Chuyên đề Hàm số lũy thừa – hàm số mũ và hàm số logarit

3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q ZZZ0$7+91FRP 7KV/¬9ÅQÒR¢Q
&Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW ZZZPDWKYQFRP
 HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT Chương 
Bài 1: LŨY THỪA – CÁC PHÉP TÍNH VỀ LŨY THỪA VỚI HÀM SỐ THỰC 
 
  
1. Kiến thức cơ bản 
Gọi a và b là những số thực dương, x và y là những số thực tùy ý 
 . . .....na a a a a= 
  
x
x
x
a a
b b
   =   
 .x y x ya a a += 
 
x
y xya a= 
 
1x x y n
y n
a
a a
a a
− −= ⇒ =  ( )
( )
0
01 1 ,
0
u x
u x x
x
∀  = ⇒ =     ≠
 ( ) ( ) .
y x
x y x ya a a= = 	 .
n n n
a b ab= 

 ( ). .
x
x xa b a b=  ( )
m
nn ma a= 
2. Lưu ý 
 Nếu 0a < thì xa chỉ xác định khi x∀ ∈ ℤ . 
 Nếu 1a > thì a aα β α β> ⇔ > . 
 Nếu 0 1a ⇔ < . 
 ( ) n
1
lim 1 2,718281828459045...
n
x
e
n→∞
  = + ∈   
≃ ℕ . 
 Để so sánh 1
s
a và 2
s
b . Ta sẽ đưa 2 căn đã cho về cùng bậc n (với n là bội số chung của s1 và s2 ) ⇒ Hai 
số so sánh mới lần lượt là An và Bn . Từ đó so sánh A và B ⇒ kết quả so sánh của 1s a và 2s b . 
 Công thức lãi kép: Gọi A là số tiền gửi, r là lãi suất mỗi kì, N là số kì ⇒ Số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) 
là: ( )1
N
C A r= + . 
3. Bài tập áp dụng 
 Bài 1. Với ,a b là các số thực dương. Hãy rút gọn các biểu thức sau: 
1/ 
9 2 6 4
7 7 5 58 : 8 3 .3A
       = −      
 2/ 
( ) ( )
3 1 3 4
0
3 2
2 .2 5 .5
10 : 10 0,25
B
− −
− −
+
=
−
3/ ( )
4
2 3
5 45 0,2C
−
−       = +       
 4/ 
1 3
3 5
0,75 1 181
125 32
D
− −
−
      = + −        
5/ ( ) ( )
1 2 2
22
03 3 30, 001 2 .64 8 9E
− −
= − − − + 6/ 2 3 5 52 .8F −= 
n sốa 
7KV/¬9ÅQÒR¢Q ZZZ0$7+91FRP3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q
ZZZPDWKYQFRP &Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW 
7/ 
2
3 43. 3 : 3G
 =   
 8/ 
2 7
2 7 1 7
10
2 .5
H
+
+ +
= 
9/ ( ) ( )
2
1,5
30, 04 0,125I
− −
= − 10/ ( )
0,75 5
2
1
0,25
16
J
−
−  = +   
11/ 
( ) ( )
4
0,75 23 1,5
3
5 4
9 2 6 4 5 3
7 7 5 5 2 4
1 1
. 0,04 0,125
16 8
8 : 8 3 .3 . 5 0,2
K
−
−
− −
− −
−
 
           + −               
 =
             − +                 
 12/ 
1 9 1 32
1 1 4 4 2 2
2 2
1 5 1 1
4 4 2 2
1 2 : .
b b a a b b
L a b
a a
a a b b
−
−
         − −    = − + − −                − −   
13/ 
4 1 1 1 1
3 6 33 3 2 3 6: : . . . :M a a a a a a a a a
             = +                 
 14/ ( )
3 5
3 2 1 2 4 2 2 1 2 2 2 1 2 2
2 5 1 5
6
4 .2 .2 : 25 5 .5
2 .3
N
+
+ − −− + −−
+ +
  = + −   
15/ 
2
3 43. 3 : 3O
 =   
 16/ ( )
3 32 2 1
6 6 6
3 3 3 332 2 2 22
a b ab a b
P a b a
a ab b a b
− − + = − − + 
 − + − 
Bài 2. Hãy so sánh các cặp số sau: 
1/ 34− và 24− 2/ 32 và 1,72 3/ 22− và 1 4/ ( )
1
0,013
−
 và 1 
5/ 
1,4
1
2
     
và 
2
1
2
     
 6/ 1
9
π     
và 
3,14
1
9
     
 7/ 
2
1
3
     
và 
3
1
3
     
 8/ 3 10 và 5 20 
9/ 4 5 và 3 7 10/ 17 và 3 28 11/ 4 13 và 5 23 12/ 54 và 74 
13/ ( )
2
0,01
−
và ( )
2
10
−
 14/ 
2
4
π     
và 
6
4
π     
 15/ 2 35− và 3 25− 14/ 3005 và 3008 
15/ ( )
3
0,001
−
và 3 100 16/ 24 và ( )
2
0,125
−
 17/ ( )
3
2
−
và ( )
5
2
−
 18/ 
4
4
5
−
     
và 
5
5
4
     
19/ 100,02− và 1150 20/ 
5
2
2
π     
và 
10
3
2
π     
 21/ 
2
3
5
−
      
và 
2
2
2
−
      
 22/ ( )
1
43 1− và ( )
2
23 1− 
Bài 3. So sánh hai số ,m n nếu: 
1/ 3,2m < 3,2n 2/ ( )2
m
> ( )2
n
3/ 
1
9
m
     
và 
1
9
n
     
 4/ 
3
2
m
      
> 
3
2
n
      
5/ ( )5 1
m
− < ( )5 1
n
− 6/ ( )2 1
m
− < ( )2 1
n
− 
Bài 4. Có thể kết luận gì về cơ số a nếu: 
1/ ( ) ( )
2 1
3 31 1a a
− −
− < − 2/ ( ) ( )
3 1
2 1 2 1a a
− −
+ > + 3/ 
0,2
21 a
a
−
   <   
3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q ZZZ0$7+91FRP 7KV/¬9ÅQÒR¢Q
&Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW ZZZPDWKYQFRP
4/ ( ) ( )
1 1
3 21 1a a
− −
− > − 5/ ( ) ( )
3
2
42 2a a− > − 6/ 
1 1
2 21 1
a a
−
      >        
7/ 3 7a a< 8/ 
1 1
17 8a a
− −
< 9/ 0,25 3a a− −< 
Bài 5. Đơn giản các biểu thức sau: 
1/ ( ) ( )
3 2
3 7 2 7
1 . . . 7 .
8 7 14
A
           = − − − − −               
 2/ 
( ) ( )
( ) ( )
2 6
4
6 4
2
3 . 15 .8
9 . 5 . 6
B
− −
=
− −
3/ 
3 2
2 34 8C = + 4/ 
2
3 5
232D
−  =    
5/ 
( ) ( )
( ) ( )
7 3
4
4 5
18 .2 . 50
25 . 4
E
− −
=
− −
 6/ 
( ) ( )
( )
3 3
6
4
2
3
125 . 16 . 2
25 . 5
F
− −
=
 
− 
  
7/ 
( )
( ) ( )
2
3 1 3 4
0 3
3 2 2
2 .2 5 .5 0,01
10 : 10 0,25 10 . 0,01
G
−
− −
−
− − −
+ −
=
− +
 8/ 
1 1 1 1 1
3 3 3 3 34 10 25 2 5H
      = − + +       
9/ 
4
35 4
3
4. 64. 2
32
I
    
= 10/ 
5 5 5
2
3 5
81. 3. 9. 12
3 . 18. 27. 6
J =
    
Bài 6. Viết các biểu thức sau với dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ: 
1/ ( ) 4 32. , 0A x x x= ≥ 2/ ( ) 5 3. , , 0
b a
B a b
a b
= ≠ 3/ 5 32. 2 2C = 
4/ 3 3
2 3 2
. .
3 2 3
D = 5/ 4 3 8E a= 6/ 
5 2
3
b b
F
b b
= 
Bài 7. Đơn giản các biểu thức sau: 
1/ 
1,5 1,5
0,5 0,5
0,50,5 0,5
0,5 0,5
.
2.
a b
a b
ba bA
a b a b
+
−
+= +
− +
 2/ 
0,5 0,5 0,5
0,5 0,5
2 2 1
.
12 1
a a a
B
aa a a
 + − + = −   −+ + 
3/ 
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
2
1 1
2 2
3 3
.
2
x y x y x y
C
x y
x y
      + − −  = +  −       −        
 4/ 
1 1 1 1 3 1
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
2
.
x y x y x y y
D
x y x y
xy x y xy x y
   − +  = + −   + −  + − 
5/ 
1 2 2 1 2 4
3 3 3 3 3 3.E a b a a a b
       = − + +        
 6/ 
1 1 1 1 1 1
4 4 4 4 2 2. .F a b a b a b
             = − + +               
7KV/¬9ÅQÒR¢Q ZZZ0$7+91FRP3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q
ZZZPDWKYQFRP &Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW 
7/ 
1 1 1
2 2 2
1 1
2 2
2 2 1
.
1
2
a a a
G
a
a a a
   + − + = −  −  + 
 8/ 
( )
( )
( )
1
1 2 2 2
2
1
1
. 1
2
a b c b c a
H a b c
bca b c
−
−
−
−
−
 + + + −  = + + +   − +
9/ 
3 3
6 6
a b
I
a b
−
=
−
 10/ 
4
:
ab ab b
J ab
a ba ab
  − = −   − +
11/ 
4
42
2
4
2
a x x a
K a x a x
a x ax
 +  = − + +    + 
 12/ 
3 32 2
3 3 3 332 2 2 2
6
6 6
2
a x ax a x
a x a ax xL x
a x
+ −
+
− − += −
−
13/ 
3
4 43 3
4 4
1 1
1 1
x x x
M
x x
x x
x x
 
 
 
 − =
    − +    − −         − +   
 14/ 
3 3 33 3 2 2 2 2
3
3 33 32
2
:
a a a b a b a b ab
N a
a ba ab
 
− + − = + 
 −− 
15/ 
5
3 3
2 5
5 2102 27. 3. 32 2 .3
2 3
y
O y
y
−
    +   = + −    +     
 16/ 
1 1 1 1
3 3 3 3
1 1 2 1 1 2
3 3 3 3 3 3
8 2
6
2 4 2
b a a b a b
P
a b a a b b
− − − − −
  − −  = +    − + + 
17/ 
3
2
1 123
4 4
3 8 3
:
a b a
Q a b
b a a b
 
              = + +                 
  
 18/ ( ) ( )
1
2 2
1
1
2
1
2 1
4
a b
R a b ab
b a
−
     = + + −       
Bài 8. Giải các phương trình sau: 
1/ 54 1024x = 2/ 
1
5 2 8
.
2 5 125
x+
   =   
 3/ 1 3
1
8
32
x− =
4/ ( )
2
2 1
3 3
9
x
x
−
  =    
 5/ 
2 8 27
.
9 27 64
x x−
       =        
 6/ 
2 5 6
3
1
2
x x− +
   =   
7/ 2 8
1 0,25
.32
0,125 8
x
x
−
−
  =    
 8/ 0,2 0, 008x = 9/ 
3 7 7 3
9 7
49 3
x x− −
      =        
10/ 5 .2 0, 001x x = 11/ ( ) ( ) 112 3
6
x x
=
 12/ 1 1
1
7 .4
28
x x− − =
Bài 9. Giải các bất phương trình sau: 
1/ 0,1 100x > 2/ 3
1
0, 04
5
x
   >   
 3/ 
100
0, 3
9
x >
4/ 27 . 49x+ 5/ 
2
1 1
9
3 27
x+
   <   
 6/ 13
9 3
x < 
7/ ( ) 13. 3
27
x
>
 8/ 1
1
27 .3
3
x x− <
 9/ 3
1
2 1
64
x
   >   
3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q ZZZ0$7+91FRP 7KV/¬9ÅQÒR¢Q
&Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW ZZZPDWKYQFRP
Bài 10. Giải các phương trình sau: 
1/ 22 2 20x x++ = 2/ 13 3 12x x++ = 3/ 15 5 30x x−+ = 
4/ 1 14 4 4 84x x x− ++ + = 5/ 24 24.4 128 0x x− + = 6/ 1 2 14 2 48x x+ ++ = 
7/ 3.9 2.9 5 0x x−− + = 8/ 
2 5 63 1x x− + = 9/ 14 2 24 0x x++ − = 
7KV/¬9ÅQÒR¢Q ZZZ0$7+91FRP3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q
ZZZPDWKYQFRP &Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW 
Bài 2: LOGARIT 
 
  
1. Kiến thức cơ bản 
a/ Định nghĩa 
 Với 0, 1, 0a a b> ≠ > ta có: log
a
b a bαα= ⇔ = . Chú ý: log
a
b
có nghĩa khi 
0, 1
0
a a
b
 > ≠

 >
 Logarit thập phân: 
10
lg log logb b b= = 
 Logarit tự nhiên (logarit Nepe): ln log
e
b b= 
b/ Tính chất 
Cho 0, 1a a> ≠ và , 0b c > . Khi đó: 
Nếu 1a > thì log log
a a
b c b c> ⇔ >
 Nếu 0 1a< < thì log log
a a
b c b c> ⇔ <
 log 1 0
a
=
  log 1
a
a =
  log b
a
a b=  
log
a
b
a b= 
c/ Các qui tắc tính logarit 
Cho 0, 1a a> ≠ và , 0b c > . Ta có: 
 ( )log . log loga a ab c b c= +  log log loga a a
b
b c
c
   = −   
 log . log
a a
b bβ β=  2log 2 log
a a
b b= 
d/ Các công thức đổi cơ số 
Cho , , 0a b c > và , 1a b ≠ . Ta có: 
 
log
log log . log log
log
a
b a b a
a
c
c b c c
b
= ⇒ =  
1
log
loga
b
b
a
= , 
ln
log
lna
b
b
a
=
 ( ) 
1
log . log , 0
aa
b b
β
β
β
= ≠ 
 
1
log log
a
a
b b= − 
1
log
1 1
log log
ab
a b
c
c c
=
+
 
log logc a
b ba c= 
2. Bài tập áp dụng 
Bài 1. Thực hiện các phép tính sau: 
1/ 
2 1
4
log 4. log 2A = 2/ 
5 27
1
log . log 9
25
B =
 3/ 3log
a
C a=
4/ 32
log 2log 3
4 9D = + 5/ 
2 2
log 8E = 6/ 9 8log 2 log 2727 4F = + 
7/ 3 4
1
3
7
1
log . log
log
a a
a
a a
G
a
= 8/ 
3 8 6
log 6. log 9. log 2H =
 9/ 3 812 log 2 4 log 59I += 
3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q ZZZ0$7+91FRP 7KV/¬9ÅQÒR¢Q
&Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW ZZZPDWKYQFRP
10/ 3 9 9log 5 log 36 4 log 781 27 3J = + + 11/ 75 log 8log 625 49K = + 12/ 53 2 log 45L −= 
13/ 6 8
1 1
log 3 log 4
9 4M = + 14/ 9 2 1251 log 4 2 log 3 log 273 4 5N + −= + + 
15/ ( ) ( ) ( )0 0 0lg tan1 lg tan2 ... lg tan89P = + + + 16/ ( ) ( )8 4 2 2 3 4log log log 16 . log log log 64Q    =        
17/ ( )35 log 2 33 log log28R = + 18/ 
3
1 1 1
3 3 3
1
2 log 6 log 400 3 log 45
2
S = − + 
Bài 2. Thực hiện phép biến đổi theo yêu cầu bài toán. 
1/ Cho 
12
log 27 a= . Tính 
6
log 16 theo a . 
2/ Cho 
2
log 14 a= . Tính 
49 7
log 32 và 
49
log 32
 theo a . 
3/ Cho 
2 2
log 5 ; log 3a b= = . Tính 
3
log 135 theo ,a b . 
4/ Cho 
15
log 3 a= . Tính 
25
log 15 theo a . 
5/ Cho log 3
a
b = . Tính 
3
log
b
a
b
a
6/ Cho lg 3 0, 477= . Tính ( )
81
1
lg 9000; lg 0, 000027 ;
log 100
. 
7/ Cho log 5
a
b = . Tính log
ab
b
a
8/ Cho 
7
log 2 a= . Tính 
1
2
log 28 theo a . 
9/ Cho log 13
a
b = . Tính 3 2log
b
a
ab . 
10/ Cho 
25 2
log 7 ; log 5a b= = . Tính 3 5
49
log
8
theo ,a b . 
11/ Cho lg 3 ; lg 2a b= = . Tính 
125
log 30
 theo ,a b . 
12/ Cho 
30 30
log 3 ; log 5a b= = . Tính 
30
log 1350
 theo ,a b . 
13/ Cho 
14 14
log 7 ; log 5a b= = . Tính 
35
log 28
 theo ,a b . 
14/ Cho 
2 3 7
log 3 ; log 5 ; log 2a b c= = = . Tính 
140
log 63
 theo , ,a b c . 
15/ Cho log 7
a
b = . Tính 
3
log
a b
a
b
16/ Cho 
27 8 2
log 5 ; log 7 ; log 3a b c= = = . Tính 
6
log 35 theo , ,a b c . 
17/ Cho 
49 2
log 11 ; log 7a b= = . Tính 
3 7
121
log
8
 theo ,a b . 
Bài 3. Cho 0, 1a a> ≠ . Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) 1log 1 log 2 ( )a aa a++ > + ∗ 
 HD: Xét ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )1 1 1
1 1
log 2 log 2 log
log 2 . log
2log 1
a a a
a a
a
a a a
A a a
a
+ + +
+ +
+ + +
= = + ≤
+
( ) ( ) ( ) ( )
2
1 1
log 2 log 1
1
2 2
a a
a a a
+ +
 + +  = < = ⇒ (Đpcm). 
7KV/¬9ÅQÒR¢Q ZZZ0$7+91FRP3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q
ZZZPDWKYQFRP &Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW 
Bài 4. So sánh các cặp số sau: 
1/ 
3
log 4
 và 
4
1
log
3
 2/ 3
0,1
log 2 và 
0,2
log 0, 34 3/ 
3
4
2
log
5
 và 
5
2
3
log
4
4/ 
1
3
1
log
80
 và 
1
2
1
log
15 2+
 5/ 
13
log 150
 và 
17
log 290
 6/ 6log 32 và 6
1
log
23 
7/ 
7
log 10
 và 
11
log 13
 8/ 
2
log 3
 và 
3
log 4
 9/ 
9
log 10
 và 
10
log 11
 HD: 4/ CM: 
1 1
3 2
1 1
log 4 log
80 15 2
< <
+
 5/ CM: 
13 17
log 150 2 log 290< <
 7/ Xét 7 7 7
7 11
7
log 10. log 11 log 13
log 10 log 13
log 11
A
−
= − = 
7 7 7
7
1 10.11.7 10 11
log log . log 0
log 11 7.7.13 7 7
  = + >   
 8/, 9/ Sử dụng Bất đẳng thức ( )∗ bài tập 3. 
Bài 5. Chứng minh các đẳng thức sau (với giả thiết các biểu thức đã cho có nghĩa) 
1/ log loga ac bb c= 
2/ ( )
log log
log
1 log
a a
ax
a
b x
bx
x
+
=
+
3/ 
log . log
log log
log
a b
a b
ab
c c
c c
c
+ = 
4/ 
log
1 log
log
a
a
ab
c
b
c
= + 
5/ ( )
1
log log log ,
3 2c c c
a b
a b
+
= +
 với 2 2 7a b ab+ = 
6/ ( ) ( )
1
log 2 2 log 2 log log ,
2a a a a
x y x y+ − = +
 với 2 24 12x y xy+ = 
7/ ( )
a3 1
lg lg lg
4 2
b
a b
+
= + , với 2 29 10a b ab+ = 
8/ 
( ) ( ) ( ) ( )
log log 2 log . log
b c c b c b c b
a a a a
+ − + −
+ = với 2 2 2a b c+ = 
9/ 
( )
2 3 4
11 1 1 1 1
...
log log log log log 2 log
ka aa a a a
k k
x x x x x x
+
+ + + + + = 
10/ 
log . log . log
log . log log . log log . log
log
a b C
a b b c c a
abc
N N N
N N N N N N
N
+ + = 
11/ 
1
1 lg10 zx −= với 
1
1 lg10 xy −= và 
1
1 lg10 yz −= 
12/ 
2 3 2009 2009 !
1 1 1 1
...
log log log logN N N N
+ + + = 
3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q ZZZ0$7+91FRP 7KV/¬9ÅQÒR¢Q
&Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW ZZZPDWKYQFRP
13/ 
log log log
log log log
a b a
b c c
N N N
N N N
−
=
−
 với , ,a b c lần lượt theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân. 
7KV/¬9ÅQÒR¢Q ZZZ0$7+91FRP3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q
ZZZPDWKYQFRP &Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW 
Bài 3: HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT 
 
  
1. Kiến thức cơ bản 
1.1/ Khái niệm 
a/ Hàm số lũy thừa y xα= (α là hằng số) 
Số mũ α Hàm số y xα= 
Tập xác định D 
nα = (n nguyên dương) ny x= D = ℝ 
nα = (n nguyên dương âm hoặc 0n = ) ny x= { }\ 0D = ℝ 
α là số thực không nguyên y xα= ( )0,D = +∞ 
Lưu ý: Hàm số 
1
ny x= không đồng nhất với hàm số ( ) , *ny x n= ∈ ℕ 
b/ Hàm số mũ ( ) , 0, 1xy a a a= > ≠ 
 Tập xác định: D = ℝ 
 Tập giá trị: ( )0,T = +∞ 
 Tính đơn điệu 
 Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang. 
 Dạng đồ thị: 
c/ Hàm số logarit ( ) log , 0, 1ay x a a= > ≠ 
 Tập xác định: ( )0,D = +∞ 
 Tập giá trị: T = ℝ 
 Tính đơn điệu 
 Nhận trục tung làm tiệm cận đứng. 
 Dạng đồ thị: 
○ Khi 1a > hàm số đồng biến. 
○ Khi 0 1a< < : hàm số nghịch biến. 
1a > 
x 
y 
x 
y 
1 1 
xy a= xy a= 
O O 
 0 1a< < 
○ Khi 1a > hàm số đồng biến. 
○ Khi 0 1a< < : hàm số nghịch biến. 
log
a
y x=
1a > 
x 
y 
O 1 
log
a
y x=
x 
y 
 0 1a< < 
O 
1 
3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q ZZZ0$7+91FRP 7KV/¬9ÅQÒR¢Q
&Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW ZZZPDWKYQFRP
1.2/ Giới hạn đặc biệt 
 ( )
1
0
1
lim 1 lim 1
x
x
x x
x e
x→ →±∞
  + = + =   
( )
0
ln 1
lim 1
x
x
x→
+
= 
 
0
1
lim 1
x
x
e
x→
−
= 
1.3/ Đạo hàm 
Đạo hàm hàm số sơ cấp Đạo hàm hàm số hợp 
 ( ) ( ) 
'
1. , 0x x xα αα −= > ( ) .
'
1. 'u u uα αα −⇒ = 
 ( )
'
. lnx xa a a= ( )
'
. ln . 'u ua a u u⇒ = 
 ( )
'
x xe e= ( )
'
. 'u ue e u⇒ = 
 ( )
' 1
log
lna
x
x a
=
 ( )
' '
log
lna
u
u
u a
⇒ =
 ( ) ( ) 
' 1
ln , 0x x
x
= >
 ( )
' '
ln
u
u
u
⇒ =
/ư?X¿¿ ( )
'
1
1
.
n
n n
x
n x −
= ( )
'
1
'
.
n
n n
u
u
n u −
⇒ = 
2. Bài tập áp dụng 
Bài 1. Tính các giới hạn sau: 
1/ lim
1
x
x
x
x→+∞
     + 
 2/ 
1
1
lim 1
x
x
x x
+
→+∞
  +   
 3/ 
2 1
1
lim
2
x
x
x
x
−
→+∞
 +     − 
4/ 
1
33 4
lim
3 2
x
x
x
x
+
→+∞
 −     + 
 5/ 
1
lim
2 1
x
x
x
x→+∞
 +     − 
 6/ 
2 1
lim
1
x
x
x
x→+∞
 +     − 
7/ 
ln 1
lim
x e
x
x e→
−
−
 8/ 
2
0
1
lim
3
x
x
e
x→
−
 9/ 
1
lim
1
x
x
e e
x→
−
−
10/ 
0
lim
sin
x x
x
e e
x
−
→
−
 11/ 
sin 2 sin
0
lim
x x
x
e e
x→
−
 12/ 
1
lim 1x
x
x e
→+∞
   −    
Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 
1/ 24 3 1y x x= − − 2/ ( )
1
2 44y x x= + − 3/ ( )
3
2 3 2y x x= − + 
4/ 3y x x x= + + 5/ 
3
1 1 1
y
x x x
= + +
 6/ ( ) ( )( ) 1 . 1
m nm n
y x x
+
= − + 
7/ 3 2 1y x x= + + 8/ 4
1
1
x
y
x
+
=
−
 9/ 
2
5
2
2
1
x x
y
x
+ −
=
+
10/ ( )3 sin 2 1y x= + 11/ 3 2cot 1y x= + 12/ 
3
3
1 2
1 2
x
y
x
−
=
+
Với 0x > nếu n chẳn. 
Với 0x < nếu n lẻ. 
7KV/¬9ÅQÒR¢Q ZZZ0$7+91FRP3K¤QORừpLY¢SKư?ư?QJSK£SJLừrLWR£Q
ZZZPDWKYQFRP &Kư?ư?QJ,,+¢PVừ?PưH–?+¢PVừ?OưH\WKừ?D–?+¢PVừ?/RJDULW 
13/ 3
3
sin
4
x
y
+
= 14/ 11 5 99 6y x= + 15/ 
2
4
2
1
1
x x
y
x x
+ +
=
− +
Bài 3. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 
1/ ( )2 2 2 xy x x e= − + 2/ ( )2 2 xy x x e−= + 3/ 2 sinxy e x−= 
4/ 
22x xy e += 5/ 
1
3
x x
y xe
−
= 6/ 
2
2
x x
x x
e e
y
e e
+
=
−
7/ cos2x xy e= 8/ 
2
3
1
x
y
x x
=
− +
 9/ cotcos . xy x e= 
Bài 4. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 
1/ ( )2ln 2 3y x x= + + 2/ ( )2log cosy x= 3/ ( ). ln cosxy e x= 
4/ ( ) ( )22 1 ln 3y x x x= − + 5/ ( )31
2
log cosy x x= − 6/ ( )3log cosy x= 
7/ 
( )ln 2 1
2 1
x
y
x
+
=
+
 8/ 
( )ln 2 1
1
x
y
x
+
=
+
 9/ ( )2ln 1y x x= + + 
Bài 5. Chứng minh các hàm số đã cho thỏa mãn các hệ thức được chỉ ra: 
1/ ( ) 
2
22. ; ' 1
x
y x e xy x y
−
= = −
 2/ ( ) 1 ; 'x xy x e y y e= + − = 
3/ 4 2 ; ''' 2 ' 12 0x xy e e y y y−= + + − = 4/ 2. . ; '' 3 ' 2 0x xy a e be y y y− −= + + + = 
5/ sin ; '' 2 ' 2 0xy e x y y y−= + + = 6/ ( ) 4cos ; 4 0xy e x y y−= + = 
7/ sin ; ' cos sin '' 0xy e y x y x y= − − = 8/ 2 sin 5 ; '' 4 29 0xy e x y y y= − + = 
9/ 2
1
; '' 2 '
2
x xy x e y y y e= − + =