Chuyên đề: Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân

CHUYÊN ĐỀ: DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN
PHẦN I: DÃY SỐ
1, Lý thuyết
+ Định nghĩa 1: Một hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dương N* được gọi là một dãy số vô hạn (hay gọi tắt là dãy số).
+ Định nghĩa 2: Một hàm số u xác định trên tập m số nguyên dương đầu tiên (m là số nguyên dương cho trước) là một dãy số hữu hạn.
+ Dãy số tăng: (Un) là dãy số tăng 
+ Dãy số giảm: (Un) là dãy số giảm 
+ Dãy số bị chặn trên: (Un) gọi là bị chặn trên nếu M sao cho .
+ Dãy số bị chặn dưới: (Un) gọi là bị chặn dưới nếu m sao cho .
+ Dãy số bị chặn: (Un) gọi là bị chặn nếu vừa bị chặn trên và dưới.
2, Bài tập
Dạng 1:Xác định một số số hạng của dãy số.Xác định số hạng tổng quát của dãy số:
Bài 1: Viết 4 số hạng đầu của dãy số (Un) biết:
Un= 
Un= 
Un= 
Un= 2-ncosn
Bài 2: Cho dãy số xác định: (Un)={1;2;-3;-4;5;6;-7;-8....}
Thiết lập công thức cho số hạng tổng quát Un sao cho công thức ấy phù hợp với 8 số hạng ban đầu đã cho của dãy:
Giải : Gọi là phần nguyên của số (là số nguyên lớn nhất không vượt quá )
Khi đ?: =0; =0; =1; =1; =2; =2; =2; =3
8 số hạng đầu tiên của dãy số thoả măn công thức Un=
Bài 3: Tìm số hạng tổng quát của dãy số: 
Giải: U1=3
 U2=2U1=3.2
 U3=2.U2=3.22
 .....................
Dự đoán: Un=3.2n-1.Sau đó khẳng định bằng quy nạp.
Bài 4: Cho dãy số (Un) xác định : . Xác định số hạng tổng quát.
Giải: Do Un=Un-Un-1+Un-1-Un-2+...+U2-U1+U1
 = 2 + +.......2 +U1=2n+1
Bài 5: Cho dãy số xác định . Tính Un theo n
Giải: Do Un=
Bài 6: Cho dãy số xác định bởi: .Tìm Un theo n.
Giải: U1=
 U2=
 ............................................................................
Dự đoán: Un=. Khẳng định công thức bằng quy nạp.
Dạng 2: Xét tính tăng, giảm (bị chặn) của dãy số.
Cách giải :
 Cách 1 : Lập hiệu : U –U 
 + Nếu U –U >0 "nÎ N Þ (U ) tăng
+ Nếu U –U <0 "nÎ N Þ (U ) giảm
 Cách 2 : với U >0 "nÎ N. Lập tỉ số 
+ Nếu >1 "nÎ NÞ (U ) tăng
+ Nếu <1"nÎ NÞ (U ) giảm
Bài 1 : Xét tính tăng, giảm của các dãy số :
 a) U =  ; b) U = 1- ; c) U = n+( ) 
HD : 
 a) Hiệu U –U= - <0 "nÎ NÞ (U ) giảm
 b) Hiệu U –U= – =- <0 "nÎ NÞ (U ) giảm
 c) Hiệu U –U= 1- ( ) >0 "nÎ NÞ (U ) tăng
Bài 2 : Xét tính tăng giảm của các dãy số :
 a) U = b) U = 
HD: 
 a) Ta cần CM: U <2 "nÎ N bằng quy nạp
 Xét U = > > =U Þ (U ) tăng
 b) Có U >0 "nÎ N. Lập = ( 1+ ). Vì 1+ £ 2 "nÎ NÞ ( 1+ )£ <1
Þ = ( 1+ )<1 hay dãy số giảm
 Bài 3 : Cho dãy số (U ) xác định bởi : U =U =U =1 "n³ 4 
 U =U +U
CMR dãy số tăng với n³ 3
 Bài 4 : Cho dãy số U = + + +....+ .CMR dãy số (U ) tăng
 Bài 5 : Cho dãy số (U ) và (X ) xác định U = "nÎ N, X =U U ... U 
a) CMR (U ) tăng, (X ) giảm
 b) CMR X = (chứng minh bằng quy nạp)
 Bài 6: Cho các dãy số (U ), (V ), (W ) xác định U = (1+ ) V = (1- ) , 
 W = (1+ ) 
a) CMR (U ), (V ) tăng, (W ) giảm
b) CMR (U ), (W ) bị chặn
 HD: Áp dụng BĐT Côsi : ³ 
 Þ (1+) >(1+) Û U >U Þ (U ) tăng
Dạng 3: Xét tính bị chặn của một dãy số
Phương pháp chung : Xác định các số M, m thông qua đánh giá hoặc sử dụng biến đổi bất đẳng thức
Bài 1: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
 a) U =3cos b) U = 
 Bài 2: Cho dãy số (U) xác định bởi "nÎ N 
 a) CMR (U) bị chặn trên bởi 8
 b) CMR (U) tăng Þ (U) bị chặn
PhÇn II: CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN
1, LÝ thuyÕt
Cấp số cộng
Cấp số nhân
*Định nghĩa
+ là dãy số 
+ U=U+d (nÎ N, n³ 2)
-d : công sai của cấp số
-d=const
+ là dãy số 
+ U=Uq (nÎ N, n³ 2)
-q : công bội của cấp số
-q =const
*Số hạng tổng quát
+ U=U+(n-1)d
+ U=U.q
*Tính chất 
+ U= (k³ 2, kÎN)
+ U=U. U (k³ 2, kÎN)
*Tổng n số hạng đầu
+ S= hoặc
+ S= 
+ S= U 
 2, Bµi tËp
A/ CẤP SỐ CỘNG:
Dạng 1 : Xác định cấp số cộng
1> Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng? Xác định công sai của cấp số cộng đó?
 a) Dãy (a) xác định bởi a=1, a=3+ a "n³ 1
 b) Dãy (b) xác định bởi b=3, b=b-n "n³ 1
 c) Dãy (c) xác định bởi c=c+2 "n³ 1
 d) Dãy (d) xác định bởi d=8n+3
 2> Cho dãy số (U) xác định bởi U=a, U=5-U "n³ 1, aÎR; hãy xác định các giá trị của a để (U) là cấp số cộng.
 Dạng 2: Xác định các yếu tố của cấp số cộng: d, U, U 
 1> Cho cấp số cộng (U) có U-U =9 và U- U=153. Hãy xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó.
 2> Cho cấp số cộng (U) có d>0, U+U=11 và U+ U=101. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.
 3> Cho cấp số cộng tăng (U) có U+ U=302094 và tổng 15 số hạng đầu tiên bằng 585. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó.
 Dạng 3: Các bài toán có liên quan đến tổng S 
 1> Cho cấp số cộng (U) có U+ U=90. Hãy tính tổng 23 số hạng đầu của cấp số cộng đó.
 2> Cho cấp số cộng (U) có U+ U=42, U+ U=66. Hãy tính tổng 346 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.
Dạng 3: Các dạng toán có liên quan
1> Tìm điều kiện của tham số m để pương trình sau có 3 nghiệm lập thành một cấp số cộng: x-3mx+ 2(m-4)x+ 9m–m=0
 HD: Giả sử phương trình có 3 nghiệm x, x, x. Vì 3 nghiệm lập thành cấp số cộng nên x+x+x=3m -> x=m. Thế x=m là nghiệm của phương trình ta được m–m=0
 Û 
+ Với m=0 ta được x=x=x=0 (loại)
+ Với m=1 ta được x=-2,x=1,x=4 . Kết luận m=1
 2> Tìm điều kiện của tham số để (C) : y=ax+ bx+ cx+d (a≠0) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.
 3> Tìm điều kiện của tham số m để phương trình x– 2(m+1)x+ 2m +1=0 có 4 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng.
 HD : Đặt t= x (t³ 0). Với điều kiện của giả thiết ta tìm được t=9t (t, t là các nghiệm của phương trình ẩn phụ t). Áp dụng Viet ta tìm được 
 4> Tìm điều kiện của m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (C)=x-5x+4 tại A, B, C, D phân biệt mà AB=BC=CD.
 5> Tìm điều kiện của m để (C) : y= x+2(2m+1)x-3m cắt Ox tại 4 điểm phân biệt lập thành một cấp số cộng.
 6> Cho dãy số a, a,a,........, a với n³ 3, thoả mãn điều kiện:
 + +..........+ = . CMR dãy số trên lập thành một cấp số cộng.
B/ CẤP SỐ NHÂN:
Bài 1: Cho cấp số nhân có: u3 = 18 và u6 = -486.
Tìm số hạng đầu tiên và công bội q của cấp số nhân đó
 Bài 2: Tìm u và q của cấp số nhân (un) biết: 
Bài 3: Tìm cấp số nhân (un) biết cấp số đó có 4 số hạng có tổng bằng 360 và số hạng cuối gấp 9 lần số hạng thứ hai.
Bài 4: Tổng 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng là 21. Nếu số thứ hai trừ đi 1 và số thứ ba cộng thêm 1 thì ba số đó lập thành một cấp số nhân. Tìm ba số đó.
Bài 5 : Ba số lập thành một cấp số nhân. Nếu số hạng thứ hai cộng thêm 2 ta được một cấp số cộng . Sau đó cộng thêm 9 với số hạng thứ ba ta lại được một cấp số nhân. Tìm ba số ấy.
 	ĐS: ; - ; 
Bài 6 : Giả sử phương trình: x3 + ax2 + bx + c = 0 có 3 nghiệm x1, x2, x3 . Chứng minh rằng các nghiệm ấy theo thứ tự nào đó lập thành 1 cấp số nhân thì b3 = ca3.
Bài 7 :Độ dài các cạnh a, b, c của tam giác ABC theo thứ tự lập thành 1 cấp số nhân. Chứng minh rằng : Tam giác không thể có 2 góc lớn hơn 600.
Bài 8:Với điều kiện nào thì 3 số liên tiếp của 1 cấp số nhân là độ dài các cạnh của 1 tam giác.
Bài 9:Tam giác ABC có tanA, tanB, tanC theo thứ tự lập thành 1 cấp số cộng. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : F = cosA + cosC.
Bài 10:Tính tổng: 5 + 55 + 555 + 
Bài 11:Tìm m để phương trình : x3-(3m+1)x2+(5m+4)x-8=0 c? 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân.
C/ CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1: Cho: . Tìm tổng các nghiệm của phương trình.
Bài 2: Cho phương trình: x8 + ax4 + a4 = 0 . Tìm a để phương trình có 4 nghiệm thực phân biệt lập thành 1 cấp số cộng.
Bài 3: Cho phương trình: x13 + ax7 + ax4 = o. Tìm a để phương trình có 5 nghiệm thực phân biệt lập thành 1 cấp số cộng.
Bài 4: Cho hàm số y = x3 – 3x2 – 9x + m. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt với các hoành độ lập thành 1 cấp số cộng.
Bài 5: Với giá trị nào của a và b phương trình: x3 + ax + b = 0 có 3 nghiệm phân biệt khác nhau lập thành 1 cấp số cộng.
Bài 6: Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 2m(m – 4)x + 9m2 – m. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm cách đều nhau.
Bài 7: Cho hàm số y = x3 – 3ax2 + 4a3. Xác định a để đường thẳng y = x cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt A, B, C Với AB = AC.
Bài 8 : Cho hàm số y = x3 – 3x2 – 9x + 1 . Tìm điều kiện đối với a, b để đường thẳng 
y = ax + b cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt A, B, C Với B là trung điểm AC.
Bài 9 : Cho hàm số : y = x4 + ax2 + b. Giả sử đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm có hoành độ lập thành 1 cấp số cộng. Chứng minh rằng: 9a2 – 100b = 0.
Bài 10: Cho hàm số y = x4 – 2(m + 1)x2 + 2m + 1. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm với các hoành độ lập thành 1 cấp số cộng.
Bài 11: Giả sử phương trình: x3 + ax2 + bx + c = 0 có 3 nghiệm x1, x2, x3 . Chứng minh rằng các nghiệm ấy theo thứ tự nào đó lập thành 1 cấp số nhân thì b3 = ca3.
D/CẤP SỐ CỘNG,CẤP SỐ NHÂN VÀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Bài 1:A, B, C là 3 góc của 1 tam giác. Chứng minh rằng: Nếu: lập thành 1 cấp số cộng thì cosA, cosB, cosC cũng lập thành 1 cấp số cộng. Điều ngược lại có đúng không ?
Bài 2: Trong tam giác ABC biết: .
Bài 3 : Chứng minh rằng: Nếu tam giác ABC có 3 góc sao cho theo thứ tự nào đó lập thành 1 cấp số cộng thì 3 cạnh a, b, c theo thứ tự đó cũng lập thành 1 cấp số cộng.
Bài 4 : a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác, thoả mãn điều kiện a < b < c và lập thành 1 cấp số cộng. Chứng minh rằng: ac = 6Rr.
Bài 5 : Độ dài các cạnh a, b, c của tam giác ABC theo thứ tự lập thành 1 cấp số cộng. Chứng minh rằng công sai của cấp số cộng ấy bằng .
Bài 6: Số đo 3 góc của tam giác ABC lập thành cấp số cộng và thoả mãn đẳng thức: sinA + sinB + sinC = .
Tính các góc A, B, C.
Biết nửa chu vi của tam gíc bằng 50. Tính các cạnh của tam giác.
Bài 7: Độ dài các cạnh a, b, c của tam giác ABC theo thứ tự lập thành 1 cấp số nhân. Chứng minh rằng : Tam giác không thể có 2 góc lớn hơn 600.
Bài 8: Trong tam giác ABC đặt a = BC, b = CA, c = AB . Giả sử: 4A = 2B = C. Chứng minh rằng:
Bài 9: Với điều kiện nào thì 3 số liên tiếp của 1 cấp số nhân là độ dài các cạnh của 1 tam giác.
Bài 10: Tam giác ABC có tanA, tanB, tanC theo thứ tự lập thành 1 cấp số cộng. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : F = cosA + cosC.
E/ ÁP DỤNG CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN ĐỂ TÍNH TỔNG.
Bài 1:Hãy biểu thị giá trị của Sn theo n ( n ) của các tổng sau:
Sn = 1 + 2+ 3+ . + n
Sn = 12 + 22 + 32 + . + n2
Sn = 13 + 23 + 33 + ..+ n3
Sn = 1.2 + 2.3 + 3.4 + . + n(n+1)
Sn = 1.2.3 +2.3.4+.+n(n+1)(n+2)
Sn = 
Sn = .
Bài 2: Tính tổng: 5 + 55 + 555 + .
E/ỨNG DỤNG CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA MỘT VÀI DÃY SỐ ĐẶC BIỆT
Trong chương trình đại số 11, việc dạy khái niệm cấp số cộng, cấp số nhân là một vấn đề lý thú, chúng có nhiều ứng dụng trong thực tế và đa số học sinh đều lĩnh hội tốt các khái niệm này. Trong bài viết này ta sẽ đưa ra một ứng dụng của cấp số cộng, cấp số nhân để tìm công thức tổng quát của một vài dãy số đặc biệt. Ta xét một số bài toán cụ thể như sau:
 Bài toán 1. Dãy số (un) có tính chất: U = U +d "nÎ N được gọi là một cấp số cộng có công sai là d. Tìm (un) theo u1 và d.
Giải.
 Ta có: U=(U – U)+ (U- U)+...+(U – U)+ U =d+d+d+...+d+ U =U+(n-1)d
Bài toán 2. Tính tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng (un), công sai d
Giải : Ta có :
 U+ U=U-d+ U+d= U+ U=.....= U+ U Với n=1,2,3........
 Vậy U+ U+ U +....+ U = [(U+ U)+(U+ U)+....+(U+ U)]= n(U+ U)
 Hay U+ U+ U +....+ U = [U+(n-1)d]
 Bài toán 3: Dãy số (U) có tính chất U= Uq, "n Î N được gọi là một cấp số nhân có công bội q. Tìm (U) theo U và q.
Giải :
 Ta có : U = Uq= Uq= ...= Uq 
 Bài toán 4 : Tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân (U) công bội q ≠ 1
Giải :
 Ta có : (1-q)(U+ U+....+ U)= (U+ U+....+ U)- (U+ U+....+ U)= U- U 
 = U- Uq = U(1- q) Þ U+ U+....+ U= U 
 Bài toán 5 : Cho U=1, U=2 U +1. Tìm U 
Giải : Trong bài toán này ta bị lúng túng ngay bởi vì đây không phải là cấp số cộng hay cấp số nhân đã biết. Vậy có cách nào để tìm U không ? Làm thế nào để mất số 1 ở vế phải để được một cấp số nhân ?
 Ta viết lại : U+1=2(U+1) Và thấy rằng nếu thay U +1 = V thì (V) là một cấp số nhân. Từ đó ta có : V = V 2 = 2 Þ U = 2 -1.
 Bài toán 6 : Cho U=1, U- U = n+1. Tìm U .
Giải : Ta viết : n+1=(n+1)[a(n+1)+b]-n(an+b). Đồng nhất các hệ số theo n ta tìm được
 a=b= Þ U- (n+1)(n+2)= U- n(n+1)
 Đặt V= U- n(n+1) Þ V=1-1=0. Từ V = V "n Þ V =0 hay U= n(n+1)
 Mặt khác U=(U- U)+(U- U)+...+(U- U)+ U, ta được :
 n+(n-1)+(n-2)+...+2+1= n(n+1)
 Chú ý : Bằng cách làm tương tự ta tính được tổng : S= 1+ 2+...+ n 
 Bài toán 7 : Tìm dãy (U) có tính chất U- U = (n+1) , "n Î N 
 Giải : Ta viết : (n+1) =a[(n+1)– n]+ b[(n+1) - n]+ c[(n+1)-n]
Cho n các giá trị 0, 1, 2 ta được hệ phương trình  
 . Giải hệ ta được : a=  ; b=  ; c= 
Từ đó : U- (n+1)(n+2)(2n+3)= U – n(n+1)(2n+1)
 Đặt V =U – n(n+1)(2n+1) ta được V = V "n hay V = V "n
 Þ U = n(n+1)(2n+1)+ V = n(n+1)(2n+1)+ U-1
 U = (U – U)+(U- U)+...+(U- U)+ U= n+(n-1)+.....+ 2+ U 
 Vậy n+(n-1)+.....+ 2+ 1= n(n+1)(2n+1).
 Bài toán 8 : Cho U=1 ; U-3U=2 , "n Î N . Tìm (U).
Giải : 
 Tìm hằng số a sao cho 2 =a 2– 3a 2 . Ta được a =-1
 U + 2 =3(U + 2 ). Đặt V = U + 2 ta được : V =3 V , V =3 Þ V = 3 
 Vậy U = 3 - 2 
 Bài toán 9 : Cho U=1, U= "n Î N . Tính (U )
 Giải : Từ giả thiết ta có : = +2. Đặt V= ta được V = V +2, V =1
 Þ V =1+(n-1)2=2n-1 Þ U = 
 Bài toán 10 : Cho U =1, U =2, U-3U+2U=2n-1, "n Î N . Tìm (U)
 Giải : Viết lại (U- U)- 2(U- U)=2n-1
 Đặt V=U- U, ta được : V-2V=2n-1=[-2(n+1)-1]-2(-2n-1)
 Þ V +2n+3=2(V +2n+1), V =1
 Đặt W =V +2n+1 ta được : W=2 W, W=V+3=4 Þ W = 2 
 Þ V= 2-2n-1 Þ U – U = 2-2n-1 Þ U – U = 2 -(2n-1)
 U =(U – U)+(U – U)+....+(U- U)+ U= 2+ 2+....+ 2-[(2n-1)+(2n-3)+...+3]+1
 = 2–n-2