Chuyên đề Đại số và giải tích 11: Phương trình lượng giác - Nguyễn Quốc Tuấn

Chuyờn đề: Phương trỡnh lượng giỏc - Chương I: ĐS & GT 11 2017 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biờn tập của Xuctu.com)-090.567.1232-quoctuansp@gmail.com 
Trang số 43 
Chu ̉ đờ̀ 3: Phương trình lượng giác cơ ba ̉n 
A. TO ́M TẮT LY ́ THUYấ ́T 
1. Phương trỡnh sinx = sina 
 a/ 
 

  
 
     
2
sin sin
2
x k
x
x k
 k
 b/    sin . : 1 1.x a ẹieàu kieọn a

 
 
     
arcsin 2
sin
arcsin 2
x a k
x a
x a k
  k 
 c/ sin sin sin sin( )u v u v     
 d/ sin cos sin sin
2
u v u v
 
    
 

 e/ sin cos sin sin
2
u v u v
 
     
 

Cỏc trường hợp đặc biệt: 
   sin 0x x k  k 

   sin 1 2
2
x x k
 k

     sin 1 2
2
x x k
 k

          2 2sin 1 sin 1 cos 0 cos 0
2
x x x x x k
 k
2. Phương trỡnh cosx = cosa 
 a/       cos cos 2x x k  k 
 b/    cos . : 1 1.x a ẹieàu kieọn a
     cos arccos 2x a x a k  k 
 c/ cos cos cos cos( )u v u v     
 d/ cos sin cos cos
2
u v u v
 
    
 

 e/ cos sin cos cos
2
u v u v
 
     
 

Cỏc trường hợp đặc biệt: 

   cos 0
2
x x k
 k
   cos 1 2x x k  k 
      cos 1 2x x k  k 
Chuyờn đề: Phương trỡnh lượng giỏc - Chương I: ĐS & GT 11 2017 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biờn tập của Xuctu.com)-090.567.1232-quoctuansp@gmail.com 
Trang số 44 
          2 2cos 1 cos 1 sin 0 sin 0x x x x x k  k 
3. Phương trỡnh tanx = tana 
 a/      tan tanx x k  k 
 b/    tan arctanx a x a k  k 
 c/ tan tan tan tan( )u v u v     
 d/ tan cot tan tan
2
u v u v
 
    
 

 e/ tan cot tan tan
2
u v u v
 
     
 

Cỏc trường hợp đặc biệt: 
   tan 0x x k  k 

     tan 1
4
x x k
 k
4. Phương trỡnh cotx = cota 
      cot cotx x k  k 
    cot arccotx a x a k  k 
Cỏc trường hợp đặc biệt: 

   cot 0
2
x x k
 k

     cot 1
4
x x k
 k
5. Một số điều cần chỳ ý: 
 a/ Khi giải phương trỡnh cú chứa cỏc hàm số tang, cotang, cú mẫu số 
hoặc chứa căn bậc chẵn, thỡ nhất thiết phải đặt điều kiện để 
phương trỡnh xỏc định. 
 * Phương trỡnh chứa tanx thỡ điều kiện: 

 
2
x k
 k
 * Phương trỡnh chứa cotx thỡ điều kiện: x k  k 
 * Phương trỡnh chứa cả tanx và cotx thỡ điều kiện 


2
x k
 k
 * Phương trỡnh cú mẫu số: 
    sin 0x x k  k 
  

   cos 0
2
x x k
 k
  

  tan 0
2
x x k
 k
Chuyờn đề: Phương trỡnh lượng giỏc - Chương I: ĐS & GT 11 2017 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biờn tập của Xuctu.com)-090.567.1232-quoctuansp@gmail.com 
Trang số 45 
  

  cot 0
2
x x k
 k
 b/ Khi tỡm được nghiệm phải kiểm tra điều kiện. Ta thường dựng một 
trong cỏc cỏch sau để kiểm tra điều kiện: 
 1. Kiểm tra trực tiếp bằng cỏch thay giỏ trị của x vào biểu thức 
điều kiện. 
 2. Dựng đường trũn lượng giỏc. 
 3. Giải cỏc phương trỡnh vụ định. 
B. BA ̀I TẬP MÂ ̃U 
Hướng dõ ̃n gia ̉i
a) Ta co ́ biờ ́n đụ ̉i: sin 3x sin
3


2
3 2
3 9 3
,
2 2
3 2
3 9 3
k
x k x
k
k
x k x
  

  
 
 
    
   
     
  
 
b) Ta co ́ biờ ́n đụ ̉i: 
2 3
osx osx os
2 4
c c c

   
3
2
4
3
2
4
x k
x k





 
 
   
 
 k
c) Ta co ́ biờ ́n đụ ̉i: 
   0 0 01sin 60 sin 60 sin 30
2
x x    
0 0 0
0 0 0 0
60 30 360
60 180 30 360
x k
x k
   
 
   
0 0
0 0
90 360
210 360
x k
x k
  
 
  
 k
; 
d. Ta co ́ biờ ́n đụ ̉i: 
2 3
cos 3 os 3 os
6 2 6 4
x c x c
     
       
    
Ba ̀i tọ̃p mõ ̃u 1: Gia ̉i ca ́c phương tri ̀nh sau: 
 . sin 3x sin
3
a

 
2
. osx
2
b c  
 0 1. sin 60
2
c x  
2
. cos 3
6 2
d x
  
  
 
Chuyờn đề: Phương trỡnh lượng giỏc - Chương I: ĐS & GT 11 2017 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biờn tập của Xuctu.com)-090.567.1232-quoctuansp@gmail.com 
Trang số 46 
3
3 2
6 4
3
3 2
6 4
x k
x k
 

 


  
 
    

11
2
36
7
2
36
x k
x k





 
 
  
 
 k
Hướng dõ ̃n gia ̉i 
a. Ta có biờ ́n đụ ̉i: 

  
3
sin 2x sin 2x sin
2 3
 
  
 
   
x k
6
x k
3 
 k
b. Điều kiện: 1 1x k x k       k 
 Ta co ́ biờ ́n đụ ̉i: 
3
3cot(1 x) 3 0 cot(1 x)
3
       
cot(1 x) cot
3
 
    
 
 1 x k
3

      x 1 k
3

      k
Hướng dõ ̃n gia ̉i 
a. Ta co ́ biờ ́n đụ ̉i: 

  
1
sin2x sin 2x sin
2 6
 
  
 
   
x k
12
5
x k
12 
 k
b. Điều kiện : 2 2
2 2
x k x k
 
         k 
Bài tập mẫu 3: Giải cỏc phương trỡnh sau: 
 a). 
1
sin2x
2
 b). 3 tan(2 x) 3 0   
Bài tập mẫu 2: Giải cỏc phương trỡnh sau: 
 a) 
3
sin2x
2
 b) 3cot(1 x) 3 0   
Chuyờn đề: Phương trỡnh lượng giỏc - Chương I: ĐS & GT 11 2017 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biờn tập của Xuctu.com)-090.567.1232-quoctuansp@gmail.com 
Trang số 47 
Ta co ́ biờ ́n đụ ̉i: 
3
3 tan(2 x) 3 0 tan(2 x)
3
       
tan(2 x) tan
6
 
    
 
2 x k
6

      x 2 k
6

    
 k
Hướng dõ ̃n gia ̉i 
a. Ta co ́ biờ ́n đụ ̉i: 
   0 0 01sin 60 sin 60 sin 30
2
x x    
0 0 0
0 0 0 0
60 30 360
60 180 30 360
x k
x k
   
 
    
 k
0 0
0 0
90 360
210 360
x k
x k
  
 
  
 k
b. Ta co ́ biờ ́n đụ ̉i: 
2 3
cos 3 os 3 os
6 2 6 4
x c x c
     
       
    
3
3 2
6 4
3
3 2
6 4
x k
x k
 

 


  
 
    

11
2
36
7
2
36
x k
x k





 
 
  
 
 k
3
.2 os 3 0 os
3 3 2
c c x c x
    
        
   
2 2
3 6 6
2 2
3 6 2
x k x k
x k x k
  
 
  
 
 
     
  
       
 
  k 
Bài tập mẫu 5: Giải ca ́c phương trỡnh sau: 
a. sin2x + (1 + 2cos3x)sinx - 2sin 2 (2x+
4

) = 0 
b. 62s in cos s in cos 3 0  x x+ x x 
Bài tập mẫu 4: Gia ̉i ca ́c phương tri ̀nh sau: 
 0 1/ sin 60
2
a x   ; b/ 
2
cos 3
6 2
x
  
  
 
; / 2 os 3 0
3
c c x
 
   
 
Chuyờn đề: Phương trỡnh lượng giỏc - Chương I: ĐS & GT 11 2017 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biờn tập của Xuctu.com)-090.567.1232-quoctuansp@gmail.com 
Trang số 48 
Hướng dõ ̃n gia ̉i 
a. Phương trỡnh đó cho tương đương với: 
 Sin2x + (1+2cos3x)sinx – 2sin(2x + 
4

)=0 
 sin2x + sinx + sin4x – sin2x = 1 – cos(4x + 
2

) 
 sinx + sin4x = 1+ sin4x  sinx = 1  x = 
2

 + k2 ,  k
Vậy phương trỡnh cú họ nghiệm là: x = 
2

 + k2 ,  k
b. Phương trỡnh đó cho tương đương với: 
 (2sin 1)(cos 3) 0 x x+ 
1
sin
2
cos 3(vô nghiệm)




x
x=
2
2
6
5
6

  
 
   

x k
x l
  ,k l 
Vậy phương trỡnh đó cho cú họ nghiệm là: 
2
2
x k
x l

  

   

6
5
6
  ,k l
C. BA ̀I TẬP TRẮC NGHIấ ̣M CO ́ HƯỚNG DÂ ̃N GIẢI 
Hướng dõ ̃n gia ̉i 
Bài tập 1: Cho phương trỡnh 2 22sin 2sin t anx
4
x x
 
   
  
 Sụ ́ điờ ̉m biờ ̉u diờ ̃n nghiờ ̣m cu ̉a phương trình lờn đường tròn lượng 
gia ́c la ̀: 
 a. 0 b. 1 c. 4 d. 8 
Chuyờn đề: Phương trỡnh lượng giỏc - Chương I: ĐS & GT 11 2017 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biờn tập của Xuctu.com)-090.567.1232-quoctuansp@gmail.com 
Trang số 49 
Điều kiện : cos 0x  (*) 
Phương trỡnh đó cho tương đương với: 
 2 2 2
sinx
2sin 2sin t anx 1 cos 2 2sin
4 2 cos
x x x x
x
    
          
    
 2cos sin 2 .cos 2sin .cos s inx cos s inx sin 2 cos s inx 0x x x x x x x x        
cos 0
sinx cos t anx 1
4
4 2
sin 2 1 2 2
2 4
x
x x k
x k
x x l x l


 
 
 

        
   
       

 (tm(*)) 
Vậy phương trỡnh đó cho cú họ nghiệm là: 
4 2
x k
 
   k
Lần lượt cho 0;1;2;3;4..k  rụ̀i biờ̉u diờ ̃n nghiờ ̣m lờn đường tro ̀ng lượng gia ́c 
ta co ́ được sụ ́ điờ ̉m biờ ̉u diờ ̉n la ̀ 4. Vọ̃y cho ̣n đáp a ́n C. 
Hướng dõ ̃n gia ̉i 
Ta cú biến đổi: 2 2 2 24sin 12sin cos 9cos 9sin 12sin cos 4cos 25x x x x x x x x      
 2 2 2 213sin 24sin cos 13cos 25 13 sin cos 24sin cos 25
13 24sin cos 25 12sin 2 12
x x x x x x x x
x x x
       
    
12sin  x 

kx 
4
  k
Bài tập 2: Cho phương trỡnh     25cos2sin3cos3sin2 22  xxxx 
Co ́ bao nhiờu nghiợ̀m cu ̉a phương tri ̀nh thuụ ̣c đoa ̣n  0;2 
a. 1 b. 2 c. 4 d. Nhiờ ̀u hơn 4 
Chuyờn đề: Phương trỡnh lượng giỏc - Chương I: ĐS & GT 11 2017 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biờn tập của Xuctu.com)-090.567.1232-quoctuansp@gmail.com 
Trang số 50 
Lần lượt cho 1;0;1;2;..k   ta thõ ́y trờn đường tro ̀n lượng gia ́c chi ̉ co ́ hai giỏ 
trị k=0,1 đờ ̉ x thuụ ̣c va ̀o  0;2 . Vọ̃y cho ̣n đa ́p a ́n B. 
Hướng dõ ̃n giải 
Phương trỡnh đó cho tương đương với: 
2
2
sin cos 2 cos 2 cos
22
6 3
x k
x x x x
k
x



 

  
        
     
 
 k
Vậy phương trỡnh đó cho cú họ nghiệm là: 
2
2
2
6 3
x k
k
x


 

 

   

  k 
Võ ̣y cho ̣n đa ́p a ́n A. 
Bài tập 3: Nghiờ ̣m cu ̉a phương trỡnh 
  






2
3
2sin2sin4sincos25sin

xxxxx
a. 
2
2
2
6 3
x k
k
x


 

 

   

 k 
 b. 
2
2
2
6
x k
x k





 

   

 k 
c. 
2
2
2
6 3
x k
k
x


 

 

  

 k d. 
2
2
2
x k
x k





   

  k 
Chuyờn đề: Phương trỡnh lượng giỏc - Chương I: ĐS & GT 11 2017 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biờn tập của Xuctu.com)-090.567.1232-quoctuansp@gmail.com 
Trang số 51 
Hướng dõ ̃n gia ̉i 
Phương trỡnh đó cho tương đương với: 4sin 5 sin 2cos 4 3 0x x x   
 
5
3 36 3
2 cos 4 cos 6 2cos 4 3 cos 6
52
36 3
x k
x x x x
x k
 
 

 
       
   

  k 
Phương trỡnh đó cho cú hai bộ nghiệm là:  
5
36 3
5
36 3
k
x
k Z
k
x
 
 

 

   

Nhõ ̣n xe ́t: Mụ ̃i ho ̣ nghiờ ̣m ở trờn ta co ́ được 6 điờ ̉m biờ ̉u diờ ̃n lờn đường 
tròn lượng gia ́c . Nờn tụ̉ng cụ ̣ng ta co ́ 12 điờ ̉m biờ ̉u diờ ̣n tất cả ca ́c ho ̣ 
nghiờ ̣m cu ̉a no ́. Võ ̣y cho ̣n đa ́p a ́n C. 
Lưu y ́: Đờ ̉ xe ́t sụ ́ điờ̉m biờ ̉u diờ ̃n cu ̉a cung lượng giỏc ta nhi ̀n va ̀o vo ̀ng 
lặp ở k. Sụ́ điờ ̉m biờ̉u diờ ̃n se ̃ được ti ́nh bởi cụng thức: 
2k
n

 với n la ̀ sụ́ 
điờ ̉m biờ ̉u diờ ̃n lờn đường tro ̀n lượng giỏc . 
Bài tập 4: Cho phương trỡnh 4sin 5 sin 2cos 4 3 0x x x   
Sụ ́ điờ ̉m biờ ̉u diờ ̃n nghiờ ̣m cu ̉a phương tri ̀nh lờn đường tro ̀n lượng 
giỏc la ̀ 
a. 3 b. 6 c. 12 d. 20 
Chuyờn đề: Phương trỡnh lượng giỏc - Chương I: ĐS & GT 11 2017 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biờn tập của Xuctu.com)-090.567.1232-quoctuansp@gmail.com 
Trang số 52 
Vi ́ du ̣: ở vo ̀ng lă ̣p 
2
3 6
k k
 
 co ́ sụ́ điờ ̉m biờ ̉u diờ ̃n la ̀ 6. 
Hướng dõ ̃n giải 
Phương trỡnh đó cho tương đương với: 
2cos sin 2sin cos 2 os 0x x x x c x     
  sin (1 2cos ) cos (1 2cos ) 0.x x x x     (sin cos )(1 2cos ) 0.x x x   

cos sin 0
1 2cos 0
x x
x
 
  
 4 ( ).
2
3
x k
k
x k





  
 
  

 
Vậy phương trỡnh đó cho cú cỏc nghiệm: , 2 , ( )
4 3
x k x k k
 
      
. 
Ta co ́: 
4
x k

   co ́ điờ ̉m biờ ̉u diờ ̃n thuụ ̣c go ́c phõ ̀n tư thứ (II) va ̀ (IV) 
+ 2
3
x k

  có điờ ̉m biờ ̉u diờ ̃n thuụ ̣c go ́c phõ ̀n tư thứ (I) va ̀ (IV) 
Nờn điờ ̉m biờ ̉u diờ ̃n nghiờ ̣m của phương trỡnh trờn thuụ ̣c va ̀o go ́c phõ ̀n tư 
thứ (I),(II) va ̀ (IV) 
Đa ́p a ́n B. 
Bài tập 5: Cho phương trỡnh: cos sin 1 sin 2 cos 2x x x x    
Điờ ̉m biờ ̉u diờ ̃n nghiờ ̣m cu ̉a phương tri ̀nh thuụ ̣c va ̀o ca ́c go ́c phõ ̀n 
tư na ̀o trờn đường tròn lượng giỏc . 
a. (I) va ̀ (II) b. (I),(II) va ̀ (IV) 
c. (II) va ̀ (III) d. (III) 
Chuyờn đề: Phương trỡnh lượng giỏc - Chương I: ĐS & GT 11 2017 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biờn tập của Xuctu.com)-090.567.1232-quoctuansp@gmail.com 
Trang số 53 
Hướng dõ ̃n gia ̉i 
Phương trỡnh đó cho tương đương với: 
22sin . 2sin 3sin 2 0x cosx cosx x x    
    
  
2sin 1 2sin 1 sin 2 0
2sin 1 sin 2 0
cosx x x x
x cosx x
     
    
 
1
sin
2
sin 2
x
x cosx vn

 

 
2
6
,
7
2
6
x k
k
x k





  
 
  


Cho ̣n đa ́p a ́n: A . 
Bài tập 7: Tõ ̣p nghiờ ̣m của phương trỡnh: 
3sin x 2sin x sin 2x 0
2
 
    
  
Bài tập 6: Nghiờ ̣m cu ̉a phương trỡnh 
2sin 2 2cos 3sin cosx x x x   
a. 
2
6
7
2
6
x k
x k





  

  

 k
 b. 
2
6
7
2
6
x k
x k





 

  

 k
c. 
2
2
2
6
x k
x k





 

  

  k d. 
5
2
6
2
6
x k
x k





 

   

 k
Chuyờn đề: Phương trỡnh lượng giỏc - Chương I: ĐS & GT 11 2017 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biờn tập của Xuctu.com)-090.567.1232-quoctuansp@gmail.com 
Trang số 54 
Hướng dõ ̃n gia ̉i 
Phương trỡnh đó cho tương đương với:  2s inx 1 2sin x cos 2x 0   
k
x
cos 2x 0 4 2
sin x.cos 2x cos 2x 0 cos 2x(sin x 1) 0
sin x 1
k2
2
 



 
            

  k
Vậy phương trỡnh đó cho cú họ nghiệm là: 
k
S ; k2
4 2 2
  

 
    
 
  k
Cho ̣n đa ́p a ́n: D 
Bài tập 8: Cho phương trỡnh  2cosx+s inx 1 sin2x . Ti ̀m mờ ̣nh 
đờ ̀ đu ́ng 
a. Phương trỡnh trờn vụ nghiờ ̣m 
b. Phương trỡnh co ́ ho ̣ nghiờ ̣m là 




  


 

x k2
2
x= k2
3
 k
c. Điờ ̉m biờ ̉u diờ ̃n nghiờ ̣m cu ̉a phương trình nă ̀m vào go ́c phõ ̀n 
tư thứ (IV) 
d. Phương trỡnh đa ̃ cho tương đương với phương trỡnh 
sin 1x 
a. 
k
S ; k2
2 2
 

 
   
 
 k b. 
k 5
S ; k
3 2 6
  

 
   
 
 k 
c. 
k
S ; k2
2 4
 

 
   
 
 k d. 
k
S ; k2
4 2 2
  

 
    
 
 k 
Chuyờn đề: Phương trỡnh lượng giỏc - Chương I: ĐS & GT 11 2017 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biờn tập của Xuctu.com)-090.567.1232-quoctuansp@gmail.com 
Trang số 55 
Hướng dõ ̃n gia ̉i 
Phương trỡnh đó cho tương đương với:    (2cosx-1) s inx(2cosx 1) 0 
 (2cosx-1)(1-sinx) 0
 



sinx 1
1
cosx=
2





 
 
  

x k2
2 (k Z).
x= k2
3
Cho ̣n đa ́p a ́n B 
Hướng dõ ̃n gia ̉i 
Phương trỡnh đó cho tương đương với: 
   22 1 2 2 1 2 1 0sin cos sin sin sin cos sinx x x x x x x         
0
0
22
1
4 2 2
2




sin
sin
cos sin sin
x kx
x
x k
x x x
x k
                   
 k
Bài tập 9: Cho phương trỡnh: sin 2 cos 2 2sin 1x x x   . 
Cho ̣n mờ ̣nh đờ ̀ đúng 
a. Phương trỡnh đa ̃ cho tương đương với phương tri ̀nh 
1
sin
2
x  
b. Nghiờ ̣m cu ̉a phương trỡnh la ̀ ; 22
S k k

 
 
  
 
c. Phương trỡnh luụn co ́ nghiờ ̣m õm 
d. Phương trỡnh co ́ 5 nghiờ ̣m thuụ ̣c va ̀o đoa ̣n  0;2 
Chuyờn đề: Phương trỡnh lượng giỏc - Chương I: ĐS & GT 11 2017 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biờn tập của Xuctu.com)-090.567.1232-quoctuansp@gmail.com 
Trang số 56 
Tiờ ́n ha ̀nh gụ ̣p nghiờ ̣m lại ta được: Nghiờ ̣m cu ̉a phương trỡnh la ̀ 
; 2
2
S k k

 
 
  
 
Võ ̣y cho ̣n đa ́p a ́n B. 
Hướng dõ ̃n giải 
Phương trỡnh đó cho tương đương với: 
       cosx sinx cosx sinx 1 2cosx 0
  
 
 
cosx sinx 0
sinx cosx 1
Giải ra và kết luận nghiệm là : 

  x k
4
, 

  x k2
2
,    x k2 .  k 
Lần lượt cho k đờ ̉ tìm gia ́ trị x dương nho ̉ nhõ ́t ta được: 
4
x

 
Cho ̣n đa ́p a ́n D. 
Bài tập 11: Cho phương trỡnh : sin 3 sin 2 sin
4 4
x x x
    
     
   
. Go ̣i 
 là sụ́ dương nho ̉ nhõ ́t cu ̉a nghiờ ̣m của phương trỡnh trờn. Khi đo ́ 
gia ́ trị của biểu thức sin 2 cosA    
Bài tập 10: Cho phương trỡnh   cos 2 1 2cos sin cos 0x x x x    . 
Nghiờ ̣m dương nho ̉ nhõ ́t của phương tri ̀nh la ̀: 
a. 0 b.  c. 
2

 d. 
4

Chuyờn đề: Phương trỡnh lượng giỏc - Chương I: ĐS & GT 11 2017 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biờn tập của Xuctu.com)-090.567.1232-quoctuansp@gmail.com 
Trang số 57 
Hướng dõ ̃n gia ̉i 
Phương trỡnh tương đương với:  sin3 cos3 sin 2 sin cosx x x x x   
    sin cos 2sin 2 1 sin 2 sin cos 0x x x x x x     
   sin cos sin 2 1 0x x x    
tan 1
sin 2 1
x
x
 
  
 4
4 2
4
x k
k
x k
x k


 



  
    
  


Vậy phương trỡnh đó cho cú họ nghiệm là:  
4 2
k
x k
 
   
Sụ ́ dương nho ̉ nhõ ́t cu ̉a nghiờ ̣m phương tri ̀nh la ̀: 
4

  . Thay va ̀o ta 
được giỏ trị cu ̉a A là: 
2 2 2
sin 2. cos 1
4 4 2 2
A
   
     
 
. Chọn đỏp ỏn A 
Bài tập 12: Cho phương trỡnh )1(cos3sin22sin  xxx . Ti ̀m mờ ̣nh 
đờ ̀ đúng 
a. Phương trỡnh co ́ hai ho ̣ nghiờ ̣m. 
b. Phương trỡnh trờn chi ̉ có mụ̣t ho ̣ nghiờ ̣m. 
c. Điờ ̉m biờ ̉u diờ ̃n nghiờ ̣m nă ̀m trờn tru ̣c tung. 
d. Với  la ̀ mụ ̣t nghiợ̀m cu ̉a phương trỡnh thi ̀ cos 0  . 
 a. 
2 2
2

 b. 
2 2
2

 c. 
2
2
 d. 1 
Chuyờn đề: Phương trỡnh lượng giỏc - Chương I: ĐS & GT 11 2017 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biờn tập của Xuctu.com)-090.567.1232-quoctuansp@gmail.com 
Trang số 58 
Hướng dõ ̃n gia ̉i 
Phương trỡnh đó cho tương đương với: 2sin (cos 1) 3(cos 1)x x x   
 (cos 1)(2sin 3) 0x x     21cos kxx   k 
Vậy phương trỡnh đó cho cú họ nghiệm là: 2x k    k . 
Võ ̣y cho ̣n đa ́p a ́n B. 
Hướng dõ ̃n giải 
Phương trỡnh đó cho tương đương với: 
sin 0
sin (sin cos 1) 0
sin cos 1 0
x
x x x
x x

        
Với s inx 0 x k   
Với cos2x = 1  
2
1
sin cos 1 0 sin( )
4 22
2
x k
x x x
x k





      
  

,  k 
 Vậy phương trỡnh cú 2 họ nghiệm. , 2
2
x k x k

    ,  k 
Lần lượt cho 0,1, 2...k  va ̀o ta chi ̉ co ́ 
2
x

 thuụ ̣c va ̀o khoa ̉ng đo ́. 
Cho ̣n đa ́p a ́n B. 
Bài tập 14: Tỡm x sao cho: sin2x - 2 3 cos2x = 0 với x 
3
( ; )
2
o

Bài tập 13: Cho phương trỡnh 
sin 2 os2 2sin 1x c x x   . Có bao nhiờu 
nghiờ ̣m cu ̉a phương trình thuụ ̣c va ̀o khoa ̉ng  0; . 
a. 0 b. 1 c. 4 d. Nhiờ ̀u hơn 4 
Chuyờn đề: Phương trỡnh lượng giỏc - Chương I: ĐS & GT 11 2017 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biờn tập của Xuctu.com)-090.567.1232-quoctuansp@gmail.com 
Trang số 59 
Hướng dõ ̃n gia ̉i 
Phương trỡnh đó cho tương đương với: sin2x - 2 3 cos
2x = 0 
 cosx(sinx- 3cosx)=0 
cos 0 2
tan 3
3
x kx
x
x k





 
  
   

 k 
Trờn 
3
0;
2
 
 
 
 ta cú tập nghiệm là: 
4
, ,
3 2 3
   
 
 
. 
Cho ̣ đa ́p a ́n D. 
Bài tập 15: Nghiờ ̣m cu ̉a phương tri ̀nh la ̀: 
2 2 2 1 2sin x cosx sinx   
 a. 
.2
4
3
.2
4
2
.2
3
x k
x k
x k







 

  


   

 k
b. 
.2
2
.2
2
.2
3
x k
x k
x k


 



 

 

  
 
 k
c. 
.2
4
3
.2
4
.2
3
x k
x k
x k







 

  


   

 k
d. 
.2
4
3
.2
4
2
.2
3
x k
x k
x k







  

   


   

 k
a. 
4
0, ,
2 3
  
 
 
 b. 
4
0; ,
3 3
  
 
 
 c. 
2
, ,
3 2 3
   
 
 
d. 
4
, ,
3 2 3
   
 
 
Chuyờn đề: Phương trỡnh lượng giỏc - Chương I: ĐS & GT 11 2017 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biờn tập của Xuctu.com)-090.567.1232-quoctuansp@gmail.com 
Trang số 60 
Hướng dõ ̃n giải 
Phương trỡnh đó cho tương đương với: 2 sin (2cos 1) (2cos