Chuyên đề Đại số và giải tích 1: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

§3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
A. Định nghĩa
Cho hàm số xác định trên tập D.
Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số trên tập D, kí hiệu , khi:
.
Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập D, kí hiệu , khi:
.
B. Bài tập 
I. DẠNG 1: Quy tắc tìm MAX, MIN trên một khoảng (a;b)
 	Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số trên khoảng .
1. Tính . Tìm các điểm mà tại đĩ bằng 0 hoặc khơng xác định.
2. Lập bảng biến thiên.
3. Dựa vào bảng biến thiên kết luận GTLN, GTNN.
* Chú ý: Khơng xác địnhkí hiệu ||
Ví dụ 1: Tìm GTLN của hàm số .
Giải
Tập xác định: 
Ta cĩ
 ; f’(x)=0 vơ nghiệm 
 Bảng biến thiên: 
 Dấu “=” xảy ra khi 
 Vậy 
Ví dụ 2: Tìm GTLN-GTNN của: 1) trên khoảng 2) 3) 
 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên khoảng 
Giải:
Dễ thầy h àm số liên tục trên 
. 
Dễ thấy 
Vậy Minf(x) = 2 khi x = 1 và hàm số khơng cĩ giá trị lớn nhất.
2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu cĩ) của hàm số .
Giải:
Hàm số f(x) liên tục trên . Ta cĩ:
 (vơ nghiệm).
Vậy hàm số khơng đạt min và max (vì khơng cĩ điểm dừng).
3: Tìm GTLN và TGNN của hàm số : 
Giải:
:+TXĐ : D = R
+ ; y’ = 0 
+ ; 
+BBT :
x
 -1 3 
y’
 + 0 - 0 +
y
 2 1
 CĐ CT
1 
+Vậy : tại x = -1 ; tại x = 3
II. DẠNG 2 : Quy tắc tìm MAX, MIN trên đoạn [a;b]
	Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn .
Tìm các điểm trên khoảng , tại đĩ bằng 0 hoặc khơng xác định.
Tính .
Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta cĩ , 
1. HÀM ĐA THỨC
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = trên 
Giải:
· Vậy 
Ví dụ 4: Tính GTLN, GTNN của hàm số: y = trên đoạn [ -3;-1]
Giải:
* Trên đoạn [ -3;-1], ta cĩ: y’ = ; y’ = 0 [ -3;-1]
 · y(-3) = -1, y(-1) = 1, y(-2) = 3
 Vậy: y = 3 tại x = - 2 ,y = -1 tại x = - 3
Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số f(x) = x-18x+2 trên đoạn 
Giải:
f ‘(x) = = 0 
f(0) = 2; f(3) = -79 ; f(-1) = -15 ; f(4) = -30
Vậy  ; 
Ví dụ 6: Tìm GTLN, GTNN của hàm số : y = x4 – 6x2 +2 trên [0;3]
Giải:
TXĐ : D = [0;3]; y’ = 4x3 – 12x = 0 	; Ta có: f(0)= 2; f() = -7 ; f(3)= 29	
Vậy	 max[0;3] y = f(3) = 29 ; min[0;3]y = f() = -7 
2. HÀM PHÂN THỨC
* Chú ý: Điều kiện Mẫu
Ví dụ 7: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 
Giải:
Hàm số liên tục trên [0;3]
Vậy : tại x=0, x=3 tại x=1
Ví dụ 8: Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của hàm số: trên đoạn [1;2]
Giải:
· 
3. HÀM CĂN THỨC
Ghi nhớ: Phương trình chứa căn thức cơ bản
Ví dụ 9: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn .
Giải:
Ta cĩ:
 liên tục trên đoạn 
.
Vậy .
Ví dụ 10: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: 
a) y = x + b) y = (x – 6) trên đoạn [0 ; 3].
Giải
 a) TXĐ: D = [-1;1] ; y’=1-=; 
 y’= 0x =; ● y(1)=1 ; y(-1)= -1 ; y() =
+Vậy Maxy = y() = ; Miny = y(-1) = -1
b) y’ = ; y’ = ; 
 y’ = 0 
f(1) = -5; f(2) = -8; f(0) = -12 ; f(3) = -3
· ĐS: 	; 
Ví dụ 11: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất nếu có của hàm số 
Giải:
x
 2/3 1 
 + 0 
y
 0
 Vậy : Hàm số đã cho đạt : 
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Gọi M là GTLN và m là GTNN của hàm số , chọn phương án đúng trong các p/a sau: 
	A. M = 2; m = 1 	B. M = 0, 5; m = - 2 	C. M = 6; m = 1 	D. M = 6; m = - 2
Câu 2: Giá trị lớn nhất của hàm số trên là
A.6 B. 10 C. 15 D. 11
Câu 3: Cho hàm số . Chọn phương án đúng trong các phương án sau
A. 	B. C. 
D. 
Câu 4: Cho hàm số , giá trị nhỏ nhất của hàm số trên là
A. 	B. - 	C. 0	D. 
Câu 5: GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn lần lượt là
A. 3 và 2	B. 3 và 0	C. 2 và 1	D. 3 và 1
Câu 6: GTLN và GTNN của hàm số lần lượt là
A. và 2	B. và -2	C. 2 và -2	D. và -2
D. BÀI VỀ NHÀ: 
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số sau:
 trên đoạn 	 trên đoạn 
 trên đoạn 	 trên đoạn 
 	 trên đoạn 
-----Hết-----