Chuyên đề Đại số 9: Căn thức bậc hai và các bài toán liên quan

CHUYấN ĐỀ: CĂN THỨC BẬC HAI VÀ CÁC BÀI TOÁN LIấN QUAN
A. KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ
1. Điều kiện để căn thức cú nghĩa
 cú nghĩa (xỏc định) khi A ³ 0
2. Cỏc cụng thức biến đổi căn thức:
a. 	b. 
c. 	d. 
e. 
f. 
g. 	h. 
i. 
B. KĨ NĂNG CẦN ĐẠT:
- Tỡm căn bậc hai của một số hoặc một biểu thức.
- Tỡm điều kiện của biến để biểu thức xỏc định.
Thực hiện cỏc phộp tớnh với căn bậc hai, cỏc phộp biến đổi rỳt gọn, rỳt gọn và tớnh giỏ trị của biểu thức chứa căn bậc hai.
- Thực hiện được cỏc bài toỏn liờn quan sau khi rỳt gọn: giải phương trỡnh, bất phương trỡnh, tỡm giỏ trị nguyờn, tỡm GTLN, GTNN, chứng minh bất đẳng thức 
C. MỘT SỐ THỦ THUẬT CƠ BẢN VỚI CĂN SỐ:
Để giải cỏc bài toỏn dạng rỳt gọn biểu thức chứa căn bậc hai, thụng thường chỳng ta sẽ ưu tiờn thực hiện theo thứ tự sau:
1. Làm mất lớp căn dạng: (nếu cú)
2. Phõn tớch tử và mẫu cỏc phõn thức thành nhõn tử sau đú thu gọn phõn thức nếu được.
3. Thực hiện theo thứ tự phộp toỏn (Ngoặc – nhõn, chia – cộng, trừ).
4. Bỡnh phương hai vế.
5. Đặt ẩn phụ.
* Vớ dụ: Tớnh 
- HD HS nhẩm: 15=3.5=15.1= -3.(-5)= -1.(-15). Lại cú: 3 + 5 =8 cũn cỏc tổng khỏc khi phõn tớch khụng ra 8 trong biểu thức dưới dấu căn. Ta chọn 2 số 5 và 3 để phõn tớch: . Như vậy ta sẽ cú: 
- Hiện nay HS sử dụng mỏy tớnh là cơ bản, nờn cú thể hướng dẫn HS sử dụng mỏy tớnh để thực hiện như sau:
*Với mỏy tớnh: Fx–570VN PLUS hoặc mỏy tớnh 570ES:
- Bấm Mode chọn: 5, chọn 3
- 1 = (hoặc phớm data). (chỳ ý: Bất kỡ bài nào ta cũng chọn và nhập a = 1).
- Nhập: - 8 = (-8 là số đối của 8, tức là nhập b = -8)
- Nhập: 15 = (15 là số trong căn nhỏ, hay c = 15)
- Nhập tiếp	 =, ta được kết quả trờn mỏy bỏo . Ấn tiếp = ta được . Như vậy 8 phải phõn tớch ra 8 = 5+3. Chỳ ý nờn ưu tiờn số lớn hơn viết trước (Trỏnh trường hợp HS quờn dấu trị tuyệt đối ta cũng thu được kết quả hiệu là số dương.)
* Với mỏy tớnh loại 500MS hoặc 570MS ta làm như sau: 
- Bấm Mode Mode 1 > 2 Sau đú cũng nhập : a, b, c theo cỏch làm trờn. (Phớm tam giỏc chọn ở phớm to REPLAY)
D. MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG CÁC ĐỀ THI TUYỂN SINH CỦA NAM ĐỊNH:
Bài 1. (TS vào 10 THPT năm 2016 – 2017)
Điều kiện để biểu thức cú nghĩa là: 
A. 	B. 	C. 	D. 
Bài 2. (TS vào 10 THPT năm 2016 – 2017)
Cho biểu thức 
a, Chứng minh 
b, Tỡm cỏc giỏ trị của x sao cho P = x +3
Bài 3. (TS vào 10 THPT năm 2015 – 2016)
Điều kiện để biểu thức cú nghĩa là:
A. 	B. 	C. x=1	D. 
Bài 4. (TS vào 10 THPT năm 2015 – 2016)
a, Rỳt gọn biểu thức: Với và 
b, Chứng minh đẳng thức: 
Bài 5. (TS vào 10 THPT năm 2014 – 2015)
a, Rỳt gọn biểu thức Với x > 0 và 
b, Chứng minh đẳng thức: 
Bài 6. (TS vào 10 THPT năm 2013 – 2014)
Cho biểu thức Với x > 0 và 
a, Rỳt gọn biểu thức A
b, Tỡm tất cả cỏc số nguyờn x để A cú giỏ trị là số nguyờn.
Bài 7. (TS vào 10 THPT năm 2013 – 2014)
Cho biểu thức Với x > 0 và 
a, Rỳt gọn biểu thức A
b, Chứng minh A – 2 > 0 với mọi x > 0 và .
Bài 8. (TS vào 10 THPT năm 2011 – 2012)
Rỳt gọn biểu thức được kết quả
 A. B. C.2 D.3
Bài 9. (TS vào 10 THPT năm 2011 – 2012)
Phương trỡnh (x2-1) cú tập nghiệm là
{1;3 B. {-1;1}	 C.{3}	 D.{-1;1;3}
Bài 10. (TS vào 10 THPT năm 2011 – 2012)
Cho biểu thức P = (với x ≥ 0 và x ≠ 1) 
 1) Rỳt gọn biểu thức P
 2) Tỡm x biết P = 0
E. CÁC DẠNG BÀI TẬP LUYỆN TẬP TRẮC NGHIỆM:
Câu 1: Căn bậc hai số học của 9 là:
A. -3 B. 3 C. ± 3 D. 81
Câu 2: Căn bậc hai của 16 là:
 A. 4 B. - 4 C. 256 D. ± 4
Câu 3: So sánh 5 với ta có kết luận sau:
A. 5> B. 5< C. 5 = D. Không so sánh được
Câu 4: xác định khi và chỉ khi: 
A. x > B. x < C. x ≥ D. x ≤ 
Câu 5:xác định khi và chỉ khi: 
A. x ≥ B. x < C. x ≥ D. x ≤ 
Câu 6: bằng:
A. x-1 B. 1-x C. D. (x-1)2
Câu 7:bằng: 
A. - (2x+1) B. C. 2x+1 D. 
Câu 8: =5 thì x bằng: 
A. 25 B. 5 C. ±5 D. ± 25
Câu 9: bằng: 
A. 4xy2 B. - 4xy2 C. 4 D. 4x2y4
Câu 10: Giá trị biểu thức bằng: 
A. 1 B. 2 C. 12 D. 
Câu 11: Giá trị biểu thức bằng: 
A. -8 B. 8 C. 12 D. -12
Câu12: Giá trị biểu thức bằng:
A. -2 B. 4 C. 0 D. 
Câu13: Kết quả phép tính là: 
A. 3 - 2 B. 2 - C.- 2 D. Một kết quả khác
Câu 14: Phương trình = a vô nghiệm với :
A. a 0 C. a = 0 D. mọi a
Câu 15: Với giá trị nào của x thì b.thức sau không có nghĩa
A. x 0 C. x ≥ 0 D. x ≤ 0
Câu 16: Giá trị biểu thức bằng:
A. 12 B. C. 6 D. 3
Câu 17: Biểu thức có gía trị là:
A. 3 - B. -3 C. 7 D. -1
Câu 18: Biểu thức với b > 0 bằng: 
A. B. a2b C. -a2b D. 
Câu 19: Nếu = 4 thì x bằng: 
A. x = 11 B. x = - 1 C. x = 121 D. x = 4
Câu 20: Giá trị của x để là:
A. x = 13 B. x =14 C. x =1 D. x =4
Câu 21: Với a > 0, b > 0 thì bằng: 
A. 2 B. C. D. 
Câu 22: Biểu thức bằng:
A. B. - C. -2 D. - 2 
Câu 23: Giá trị biểu thức bằng:
A. 1 B. - C. -1 D. 
Câu 24: Giá trị biểu thức bằng: 
A. B. C. 4 D. 5 
Câu 25: Biểu thức xác định khi:
A. x ≤ và x ≠ 0 B. x ≥ và x ≠ 0 C. x ≥ D. x ≤ 
Câu 26: Biểu thức có nghĩa khi:
A. x ≤ B. x ≥ C. x ≥ D. x ≤ 
Câu 27: Giá trị của x để là:
A. 5 B. 9 C. 6 D. Cả A, B, C đều sai
Câu 28: với x > 0 và x ≠ 1 thì giá trị biểu thức A = là:
A. x B. - C. D. x-1
Câu 29 Giá trị biểu thức bằng: 
A. 0 B. C. - D. 
Câu 30 bằng:
A. - (4x-3) B. C. 4x-3 D. 
F. CÁC DẠNG BÀI TẬP LUYỆN TẬP TỰ LUẬN:
Bài 1. Thực hiện phộp tớnh: 
1) ;	2) ;	3) 
4) ;	5) 	6) 
7) ;	8) 	9) 
10) ;	 11) 	 	12) 
13) 14) 	15) 
16) 	 	17) 	18) 
19) 	 	20) 	21) 
22) 	23) 	24) 
25) 	26) 	27) 
28) 	 29) 	30) 
31) 	32) 	33) 
34) 	35) 	 
 36) 37) 	38) 
39) 	40) 	41) 
42) 	43) 	44) 	
45) 	 46) 	
47) 	48) 	
49) 
50) 	 51) 	 
52) 
53) 	 
54) 
Bài 2: Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau :
; 	; 	 
Bài 3: So sánh x; y trong mỗi trường hợp sau: 
 a) và ; b) và ; c) x = 2m và y = m+2
Bài 4
Tính giá trị của biểu thức:	A = với ; .
 Đặt . Tính giá trị của các biểu thức sau:	
	a. M-N	b. M3-N3
Chứng minh: (với và ).
Chứng minh ; ; 
Chứng minh đẳng thức: 
Chứng minh 
Chứng minh rằng 
	; 	
Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của n, kuôn có:. Từ đó tính tổng:
	b) với mọi x t/mãn: .
(*) Cho a, b l à hai số dương, chứng minh rằng:
Bài 5 Cho biểu thức : 
a) Tính S 2 	b) Chứng minh rằng S 2n=- 2 ( nN ; n 2 )
Bài 7: Rút gọn các bt sau:
3) 	4) 
5) 	6) 
7) 	8) với 	
9) (với a; b ³ 0 và a ạ b)	10) 	
11) 	11) với x ạ 2.
13)với 
Bài 8: Cho Tính .
Bài 9: Cho biểu thức 
a) Tìm điều kiện để P có nghĩa, rút gọn biểu thức P;	 b) Tìm các số tự nhiên x để là số tự nhiên;
c) Tính giá trị của P với x = 4 – 2.
Bài 10: Cho biểu thức : 
Rút gọn biểu thức P;	b) Tìm x để .
Bài 11. Cho biểu thức 
a) Rút gọn A 	b) Tìm x để A = 3
Bài 12. Cho 
a) Rút gọn rồi tính số trị của A khi x = 	b) Tìm x để A > 0
Bài 13: Cho biểu thức 
a)Tìm đ/k của x để biểu thức K xác định.	 b) Rút gọn biểu thức K và tìm giá trị của x để K đạt GTLN
Bài 14: Cho biểu thức 
a) Tìm điều kiện đối với x để K xác định	b) Rút gọn K 
c) Với những giá trị nguyên nào của x thì biểu thức K có giá trị nguyên?
b) Chứng minh Bất đẳng thức: 
Bài 15: Cho biểu thức 
a) Với giá trị nào cỉu x thì biểu thức có nghĩa	b) Rút gọn biểu thức 	c) Tìm x để biểu thức có GTLN
Bài 16: Cho biêủ thức A = 
a) Rút gọn A	 	b) Tìm a để A nhận giá trị nguyên
Bài 17: Cho biểu thức: Với x ³ 0 và x ạ 1
a) Rút gọn biểu thức Q 	b) Tìm giá trị của x để 
Bài 18: Cho biểu thức A =
a/ Rút gon A	b/ Tính giá trị của A khi x = 841
Bài 19: Cho biểu thức 
1/Rút gọn biểu thức P. 	2/Tìm a để 
Bài 20: Cho biểu thức : 
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa .	b) Rút gọn biểu thức A .
c) Giải phơng trình theo x khi A = -2 .
Bài 21: Cho biểu thức: .
a) Tìm điều kiện đối với biến x để biểu thức A được xác định.	b) Rút gọn biểu thức A.
Bài 22 . Cho biểu thức: A = .
1/. Tìm điều kiện đối với để biểu thức A được xác định.	2/. Rút gọn biểu thức A.
Bài 23:	
a) Biến đổi về dạng với b là hằng số và A là một biểu thức. 
b) Suy ra giá trị lớn nhất của biểu thức . Giá trị đó đạt được khi bằng bao nhiêu ?
Bài 25: Rút gọn các biểu thức:
a) với .	b)
Bài 26: Rút gọn biểu thức . 
Bài 27: Cho 
a) Rút gọn P 	b) Tìm x để P < 1	c) Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên
Bài 28: Cho 
a) Rút gọn N 	 b) Tính N khi 	
c) C/m: Nếu thì N có giá trị ko đổi
Bài 29: Cho 
a) Rút gọn K 	b) CMR: Nếu thì là số nguyên chia hết cho 3
Bài 30: Cho 
a) Rút gọn K 	b) Tính giá trị của K khi 	c) Tìm giá trị của x để K >1
Bài 31 : Cho 
a) Rút gọn P 	b) Tìm x để P < -1/2	c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 32: Cho biểu thức 
Rút gọn biểu thức A;	b) Tìm giá trị của x để A > - 6.
Bài 33: Cho biểu thức 
Rút gọn biểu thức B;	b) Tìm giá trị của x để A > 0.
Bài 34: Cho biểu thức 
Rút gọn biểu thức C;	b) Tìm giá trị của x để C < 1.
Bài 35: Rút gọn biểu thức :
a) ;	b) ;
c) ;	d) 
Bài 36: Cho biểu thức : 
a) Rút gọn biểu thức .	b) Tính giá trị của khi 
Bài 37: Cho biểu thức : 
a) Rút gọn biểu thức A .
b) Coi A là hàm số của biến x vẽ đồ thi hàm số A .
Bài 38:	Cho biểu thức : 
a) Rút gọn biểu thức A . 	b) Tính giá trị của A khi x = 
c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất . 
Bài 39: Cho biểu thức : A = 
a) Với những giá trị nào của a thì A xác định . 	b) Rút gọn biểu thức A . 
c) Với những giá trị nguyên nào của a thì A có giá trị nguyên . 
Bài 40: Cho biểu thức : A = 
1) Rút gọn biểu thức A . 	2) Chứng minh rằng biểu thức A luôn dơng với mọi a . 
Bài 41: Cho biểu thức : P = 
a) Rút gọn P . 	b) Tính giá trị của P với a = 9 . 
Bài 42: Cho biểu thức P = 
a) Rút gọn P.	b) Tìm a để 
Bài 43: Cho biểu thức 
a) Tìm ĐK để P có nghĩa và rút gọn P
b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức nhận giá trị nguyên
Bài 44:. Cho 
a) Rút gọn P.	b) Tìm a biết P > .	c) Tìm a biết P = .
Bài 45. Cho 
a) Chứng minh 	b) Tính P khi 
Bài 46. Cho với a < 0, b < 0.
a) Chứng minh .	b) Rút gọn .
Bài 47. Cho 
a) Rút gọn B.	b) Tính giá trị của B khi .
c) Chứng minh rằng với mọi giá trị của x thoả mãn .
Bài 48: Cho 
a) Tìm ĐKXĐ của M.	b) Rút gọn M.	c) Tính giá trị của M tại a =
Bài 49: Cho biểu thức:
1. Với giá trị nào của x thì biểu thức A có nghĩa?	2. Tính giá trị của biểu thức A khi x=1,999
Bài 50: Cho biểu thức:.
1. Rút gọn biểu thức A.	2. Tìm a ≥0 và a≠1 thoả mãn đẳng thức: A= -a2
Bài 51; Cho biểu thức:.
1. Rút gọn biểu thức trên	2. Tìm giá trị của x và y để S=1.
Bài 52; Cho biểu thức .
1. Rút gọn biểu thức A	 Tính giá trị của A khi 
Bài 53: Cho biểu thức:.
a. Chứng minh 	b. Tìm số nguyên x lớn nhất để Q có giá trị là số nguyên.
Bài 54: Cho biểu thức:.
1. Rút gọn A.	2. Tìm x để A = 0.
Bài 55: Cho biểu thức: 
1. Rút gọn biểu thức.	2. Giải phương trình A=2x.	3. Tính giá trị của A khi .
Bài 56: Cho biểu thức: F= 
1. Tìm các giá trị của x để biểu thức trên có nghĩa.	2. Tìm các giá trị x 2 để F = 2.
Bài 57: Cho biểu thức: với a, b là hai số dơng khác nhau
1. Rút gọn biểu thức N.	2. Tính giá trị của N khi: .
Bài 58: Cho biểu thức: .
1. Rút gọn biểu thức T.	2. Chứng minh rằng với mọi x > 0 và x ≠ 1 luôn có T < 1/3.
Bài 59: Lập pt bậc hai với hệ số nguyên có 2 no là: Từ đó tính P=
Bài 60: Cho biểu thức: 
1. Rút gọn biểu thức M.	2. Tìm x để M ≥ 2.
Bài 61: Cho A=
a) Chứng minh A<0.	b) Tìm tất cả các giá trị x để A nguyên
Bài 62: Cho 
1. Rút gọn A.	2. Tìm x để A=-1.
Bài 63: Cho biểu thức 
a) Rút gọn A 	b) Tìm x để A = 3
Bài 64. 
a) Tìm điều kiện của để xác định. b) Rút gọn 	c) Tìm các giá trị của để 
Bài 65: Cho 
a, Rút gọn A	b, Khi a >1.Hãy so sánh A với 
c, Tìm a để A = 2 	d, Tìm ?
Bài 66.Cho 
a, Rút gọn A	b, Tìm x để 	 c, Tìm x để 
Bài 67: Cho biểu thức 
Rút gọn biểu thức M; 	b) So sánh M với 1.
Bài 68: Cho các biểu thức và 
Rút gọn biểu thức P và Q;	b) Tìm giá trị của x để P = Q.
Bài 69: Cho biểu thức:
 P=
 a) Rỳt gọn P
b)Tỡm giỏ trị của a để P<0
Bài 70: Cho biểu thức:
 P= 
Rỳt gọn P
Tỡm cỏc giỏ trị của x để P=
Bài 71: Cho biểu thức :
 P= 
Rỳt gọn P
Tỡm giỏ trị của a để P<1
Tỡm giỏ trị của P nếu 
Bài 72: Cho biểu thức;
 P=
Rỳt gọn P
Xột dấu của biểu thức M=a.(P-)
Bài 73: Cho biểu thức:
 P=
Rỳt gọn P
Tớnh giỏ trị của P khi x
Bài 74: Cho biểu thức:
 P=
Rỳt gọn P
Tỡm x để P0
Bài 75: Cho biểu thức:
 P=
Rỳt gọn P
Xột dấu của biểu thức P.
Bài 76: Cho biểu thức:
 P=
Rỳt gọn P
So sỏnh P với 3
Bài 77: Cho biểu thức :
 P= 
Rỳt gọn P
Tỡm a để P<
Bài 78: Cho biểu thức:
 P=
Rỳt gọn P
Tỡm x để P<
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của P
Bài 11: Cho biểu thức :
 P=
Rỳt gọn P
Tỡm giỏ trị của x để P<1
Bài 12: Cho biểu thức
 P= 
Rỳt gọn P
Tớnh giỏ trị của P nếu a= và b=
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của P nếu 
Bài 13: Cho biểu thức :
 P=
Rỳt gọn P
Chứng minh P 
Bài 14: Cho biểu thức:
 P=
Rỳt gọn P
Tỡm những giỏ trị nguyờn của a để P cú giỏ trị nguyờn
Bài 15: Cho biểu thức: 
 P=
Rỳt gọn P
Tỡm giỏ trị của a để P >
Bài 16: Cho biểu thức:
 P=
Rỳt gọn P
Cho x.y=16. Xỏc định x,y để P cú giỏ trị nhỏ nhất
Bài 17: Cho biểu thức :
 P= 
Rỳt gọn P
Tỡm tất cả cỏc số nguyờn dương x để y = 625 và P < 0,2
Bài 18: Cho biểu thức: 
	a) Với giỏ trị nào của a thỡ biểu thức A khụng xỏc định
	b) Rỳt gọn biểu thức A
	c) Với giỏ trị nguyờn nào của a thỡ A cú giỏ trị nguyờn?
Bài 19: Cho 
	1) Rỳt gọn P . 
2) Chứng minh : Nếu 0 0.
3) Tỡm giỏ trị lớn nhất của P.
Bài 20: Cho biểu thức 
	a) Tỡm điều kiện để biểu thức B xỏc định 
 b) Rỳt gọn biểu thức B
	c) Tỡm giỏ trị của x khi B = 4
	d) Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn dương của x để B cú giỏ trị nguyờn
Bài 21. Cho biểu thức: 
a) Rỳt gọn P. 	
b) Tỡm x để 
Bài 22. Cho biểu thức: P = 
a) Rỳt gọn P.	
b) Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức .
Bài 23. Cho biểu thức: P = 
a) Rỳt gọn P.	
b) Tỡm giỏ trị lớn nhất của P.
c) Tỡm x để biểu thức nhận giỏ trị là số nguyờn.
Bài 24. Cho biểu thức: 
a) Rỳt gọn P.	
b) Tỡm x để 
Bài 25. Cho biểu thức: P = 
a) Rỳt gọn P.	
b) Tỡm x để 
Bài 26. Cho 
a) Rỳt gọn A.	
b) Tớnh giỏ trị của A với a = 9.	
c) Với giỏ trị nào của a thỡ 
Bài 27. Cho biểu thức : .
a) Rỳt gọn B
	b) Tớnh giỏ trị của B nếu 	
c) So sỏnh B với -1
Bài 28. Cho 
a) Rỳt gọn A.	 
 	b) Tỡm b biết 
c) Tớnh giỏ trị của A khi 
Bài 29. Cho biểu thức 
a) Rỳt gọn A.	 
b) Tỡm giỏ trị của A nếu 
c) Tỡm giỏ trị của a để 
Bài 30. Cho biểu thức .
a) Rỳt gọn biểu thức A.	
b) Tỡm giỏ trị của A để A = - 4
c) Với giỏ trị nào của a và c để B > 0 ; B < 0. 
d) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của A
Bài 31. Cho với x ≥ 0 ; x ≠ 1.
a) Rỳt gọn biểu thức P.	
b) Tỡm x sao cho P < 0
Bài 32. Xột biểu thức A.
a) Rỳt gọn A. Tỡm x để A = 2.	
b) Giả sử x > 1. Chứng minh rằng : A - | A| = 0
c) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của A ?
Bài 33. Cho P = 
a) Rỳt gọn P	
b) Tớnh giỏ trị của x để P = -1
Bài 34. Cho P = 
a) Rỳt gọn P	 	
b) Tớnh giỏ trị của P tại x= 
c) Tỡm x thỏa món 
Bài 14: Cho biểu thức:
 P=
Rỳt gọn P
Tỡm những giỏ trị nguyờn của a để P cú giỏ trị nguyờn
Bài 15: Cho biểu thức: 
 P=
Rỳt gọn P
Tỡm giỏ trị của a để P >
Bài 17: Cho biểu thức :
 P= 
Rỳt gọn P
Tỡm tất cả cỏc số nguyờn dương x để y = 625 và P < 0,2
Bài 18: Cho biểu thức: 
	a) Với giỏ trị nào của a thỡ biểu thức A khụng xỏc định
	b) Rỳt gọn biểu thức A
	c) Với giỏ trị nguyờn nào của a thỡ A cú giỏ trị nguyờn?
Bài 19: Cho 
	1) Rỳt gọn P . 
2) Chứng minh : Nếu 0 0.
3) Tỡm giỏ trị lớn nhất của P.
Bài 20: Cho biểu thức 
	 a) Tỡm điều kiện để biểu thức B xỏc định 
 b) Rỳt gọn biểu thức B
	c) Tỡm giỏ trị của x khi B = 4
	d) Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn dương của x để B cú giỏ trị nguyờn
Bài 23. Cho biểu thức: P = 
a) Rỳt gọn P.	
b) Tỡm giỏ trị lớn nhất của P.
c) Tỡm x để biểu thức nhận giỏ trị là số nguyờn.
Bài 24. Cho biểu thức: 
a) Rỳt gọn P.	
b) Tỡm x để 
Bài 30. Cho biểu thức .
a) Rỳt gọn biểu thức A.	
b) Tỡm giỏ trị của A để A = - 4
c) Với giỏ trị nào của a và c để B > 0 ; B < 0. 
d) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của A
Bài 31. Cho với x ≥ 0 ; x ≠ 1.
a) Rỳt gọn biểu thức P.	
b) Tỡm x sao cho P < 0
Bài 34. Cho P = 
a) Rỳt gọn P	 	
b) Tớnh giỏ trị của P tại x= 
c) Tỡm x thỏa món 
Bài 45: Cho biểu thức: P = 
Rỳt gọn P
Tớnh giỏ trị của P nếu a = và b =
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của P nếu