Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 - Trường THCS Hoằng Phụ

Chuyờn đề bồi dưỡng hsg toỏn 7
Chuyờn đề 1: Bài toỏn về tớnh chất của dóy tỉ số bằng nhau:
Kiến thức vận dụng :
 - 
 -Nếu thỡ với gt cỏc tỉ số dều cú nghĩa
- Cú = k Thỡ a = bk, c = d k, e = fk
Bài 1: Cho . Chứng minh rằng: 
Bài 2: Cho a,b,c R và a,b,c 0 thoả món b2 = ac. Chứng minh rằng: = 
Bài 3: Chứng minh rằng nếu thì 
Bài 4: Biết với a,b,c, d 0 Chứng minh rằng : hoặc 
Bài 5 : Cho tỉ lệ thức . Chứng minh rằng: 
 và 
Bài 6 : Cho dãy tỉ số bằng nhau:
Tính 
Bài 7 : a) Chứng minh rằng: 
Nếu Thì 
 b) Cho: . Chứng minh: 
Bài 8: Cho 
chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị nguyên. 
Bài 9 : Cho 3 số x , y , z khỏc 0 thỏa món điều kiện : 
 Hóy tớnh giỏ trị của biểu thức : B = 
Bài 10 : a) Cho cỏc số a,b,c,d khỏc 0 . Tớnh
 T =x2011 + y2011 + z2011 + t2011
 Biết x,y,z,t thỏa món:
 b) Tỡm số tự nhiờn M nhỏ nhất cú 4 chữ số thỏa món điều kiện:
 M = a + b = c +d = e + f
 Biết a,b,c,d,e,f thuộc tập N* và ;;
Cho 3 số a, b, c thỏa món : .
 Tớnh giỏ trị của biểu thức : M = 4( a - b)( b – c) – ( c – a )2 
 Một số bài tương tự 
 Bài 11: Cho dãy tỉ số bằng nhau:
Tính 
Bài 12: Cho 3 số x , y , z, t khỏc 0 thỏa món điều kiện : 
 ( n là số tự nhiờn)
 và x + y + z + t = 2012 . Tớnh giỏ trị của biểu thức P = x + 2y – 3z + t
Bài 1: Tỡm cặp số (x;y) biết : 
Bài 3 : Cho và a + b + c ≠ 0; a = 2012.
Tớnh b, c.
Bài 4 : Tỡm cỏc số x,y,z biết : 
Bài 5 : Tỡm x, biết rằng: 
Bài 6: Tìm x, y, z biết: (x, y, z )
Bài 7 : Tìm x, y, z biết và 
Bài 8 : Tỡm x , y biết : 
Bài 9: Cho dóy tỉ số bằng nhau: 
	CMR: Ta cú đẳng thức: 
Bài 1: Tỡm x biết
 a) x + 2x + 3x + 4x + ..+ 2011x = 2012.2013
 b) 
Bài 2 Tỡm x nguyờn biết
 a) 
 b) 1- 3 + 32 – 33 + .+ (-3)x = 
Bài 1 : Tỡm x biết :
 a) b) 
 Bài 2 : a) Tìm x biết 
Tìm x biết: 
Tìm x biết: 
 Bài 3 : a)Tìm các giá trị của x để: 
Tỡm x biết: 
Bài 4 : tỡm x biết :
 a) b) 
 Dạng : Sử dụng BĐT giỏ trị tuyệt đối
 Bài 1 : a) Tỡm x ngyờn biết :
 b) Tỡm x biết : 
Bài 2 : Tỡm x nguyờn biết : 
 Bài 3 : Tỡm x biết 
 Bài 4 : Tìm x, y thoả mãn: = 3
 Bài 5 : Tỡm x, y biết :
Bài 6 : Tìm các số nguyên x thoả mãn.
Dạng chứa lũy thừa của một số hữu tỉ
Bài 1: Tỡm số tự nhiờn x, biết :
 a) 5x + 5x+2 = 650 b) 3x-1 + 5.3x-1 = 162
Bài 2 : Tỡm cỏc số tự nhiờn x, y , biết:
 a) 2x + 1 . 3y = 12x b) 10x : 5y = 20y
Bài 3 : Tỡm m , n nguyờn dương thỏa món : 
 a) 2m + 2n = 2m +n b) 2m – 2n = 256
Bài 4 : Tỡm x , biết : 
Bài 5 : Tỡm x, y biết : 
Bài 6 : Tỡm x, y biết : 
 a) b) 
Chuyờn đề 4: Giỏ trị nguyờn của biến , giỏ trị của biểu thức :
Bài 1: a) Tìm các số nguyên tố x, y sao cho: 51x + 26y = 2000
 b) Tìm số tự nhiên x, y biết: 
 c) Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x - y = 6
 d) Tìm mọi số nguyên tố thoả mãn : x2-2y2=1
Bài 2 a) Tỡm cỏc số nguyờn thỏa món : x – y + 2xy = 7 
 b) Tỡm biết: 
Bài 3 a) Tìm giá trị nguyên dương của x và y, sao cho: 
 b) Tìm các số a, b, c nguyên dương thoả mãn :
 và 
Bài 4: Tìm các cặp số nguyên tố p, q thoả mãn:
Bài 5 : Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho: chia hết cho 7
Bài 1 Tìm số nguyên m để:
a) Giá trị của biểu thức m -1 chia hết cho giá trị của biểu thức 2m + 1.
b) 
Bài 2 a) Tìm x nguyên để 6 chia hết cho 2
 b) Tìm để Aẻ Z và tìm giá trị đó.
 A = . 
Bài 3: Tỡm x nguyờn để ẻ Z 
 Chuyờn đề 5 : Giỏ trị lớn nhất , giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 1: Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của cỏc đa thức sau:
 a) P(x) = 2x2 – 4x + 2012
 b) Q(x) = x2 + 100x – 1000
Bài 2 : Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của cỏc biểu thức sau:
A = - a2 + 3a + 4
B = 2 x – x2 
Bài 3 : Tỡm giỏ trị lớn nhất của cỏc biểu thức sau:
 a) P = b) Q = 
Bài 1 : Tỡm GTNN của biểu thức :
a) P = ( x – 2y)2 + ( y – 2012)2012 
 b) Q = ( x + y – 3)4 + ( x – 2y)2 + 2012
Bài 3 : Tỡm GTLN của R = 
Bài 4 : Cho phân số: (x ẻ Z)
a) Tìm x ẻ Z để C đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó.
b) Tìm x ẻ Z để C là số tự nhiên.
Bài 5 : Tìm số tự nhiên n để phân số có giá trị lớn nhất
Bài 1: Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức 
A = ( x – 2)2 + + 3
B = 
Bài 2 : Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của cỏc biểu thức 
 a) 
 b) 
 c) C = 
Chuyờn đề 6 : Dạng toỏn chứng minh chia hết 
Bài 1 : Chứng minh rằng : Với mọi số nguyờn dương n thỡ : 
chia hết cho 10
Bài 2 : Chứng tỏ rằng:
A = 75. (42004 + 42003 + . . . . . + 42 + 4 + 1) + 25 là số chia hết cho 100
Bài 3 : Cho m, n N* và p là số nguyờn tố thoả món: = (1)
 Chứng minh rằng : p2 = n + 2 
Bài 4: a) Số có chia hết cho 3 không ? Có chia hết cho 9 không ?
 b) Chứng minh rằng: chia hết cho 7 
Bài 5 : 
Chứng minh rằng: chia hết cho 30 với mọi n nguyên dương 
Chứng minh rằng: 2a - 5b + 6c 17 nếu a - 11b + 3c 17 (a, b, c ẻ Z)
Bài 6 : a) Chứng minh rằng: (a, b ẻ Z )
 b) Cho đa thức (a, b, c nguyên). 
 CMR nếu f(x) chia hết cho 3 với mọi giá trị của x thì a, b, c đều chia hết cho 3
Bài 7 : a) Chứng minh rằng là một số tự nhiờn 
 b) Cho là số nguyên tố (n > 2). Chứng minh là hợp số
Chuyờn đề 7 : Bất đẳng thức 
 1.Kiến thức vận dụng
* Kỹ thuật làm trội : Nếu a1 < a2 < a3 <. < an thỡ n a1 < a1 + a2 +  + an < nan
 * a(a – 1) < a2 < a( a+1) 
 * a2 + 2.ab + b2 = ( a + b)2 0 , * a2 – 2 .ab + b2 = ( a – b)2 0 với mọi a,b
Bài 1: Cho a, b, c > 0 . Chứng tỏ rằng: không là số nguyên.
Bài 2 Chứng minh rằng : (1) , (2) với a, b, c 
Bài 3 : Với a, b, c là cỏc số dương . Chứng minh rằng
 a) (1) b) (2)
Bài 4 : a) Cho z, y, z là các số dương.
 Chứng minh rằng: 
 b) Cho a, b, c thoả mãn: a + b + c = 0. Chứng minh rằng: .
Bài 5: Tỡm giỏ trị của x trong dóy tớnh sau:
b) 
a, ++++=0
 c) Cho các số x, y, z, t thoả mãn : xyzt=1.
Tính: 
Bài 5: (1 điểm): Cho x, y, z, t .Chứng minh rằng: cú giỏ trị khụng phải là số tự nhiờn.
Bài 6: a) Tỡm x biết : x + (x+1) + (x+2) + (x+3) +  + (x+2009) = 2009.2010
Tớnh M = 1.2+2.3+3.4+  + 2009. 2010
4) 5) 
6) 7) 
8) 9) 
Bài 18: Tỡm số tự nhiờn n biết: 
* Dạng 3: Tỡm x, y, z biết
1) 2) 
3) 4) 
5) 6) 
5. Dạng 5: Xột điều kiện bỏ dấu giỏ trị tuyệt đối hàng loạt:
 (1)
Điều kiện: D(x) kộo theo 
Do vậy (1) trở thành: A(x) + B(x) + C(x) = D(x)
Bài 5.1: Tỡm x, biết:
a) 	b) 
c) 	d) 
Bài 5.2: Tỡm x, biết:
a) 
b) 
c) 
d) 
6. Dạng 6: Dạng hỗn hợp:
Bài 6.1: Tỡm x, biết:
a) 	b) 	c) 
Bài 6.2: Tỡm x, biết:
a) 	b) 	c) 
Bài 6.3: Tỡm x, biết:
a) 	b) 	c) 
Bài 6.4: Tỡm x, biết:
a) 	b) 	c) 
7. Dạng 7: 
 Vận dụng tớnh chất khụng õm của giỏ trị tuyệt đối dẫn đến phương phỏp bất đẳng thức.
* Nhận xột: Tổng của cỏc số khụng õm là một số khụng õm và tổng đú bằng 0 khi và chỉ khi cỏc số hạng của tổng đồng thời bằng 0.
* Cỏch giải chung: 
B1: đỏnh giỏ: 
B2: Khẳng định: 
Bài 7.1: Tỡm x, y thoả món: 
a) 	b) 	c) 
Bài 7.2: Tỡm x, y thoả món:
a) 	b) 	 c) 
* Chỳ ý1: Bài toỏn cú thể cho dưới dạng nhưng kết quả khụng thay đổi
* Cỏch giải: (1)
 (2)
Từ (1) và (2) 
Bài 7.3: Tỡm x, y thoả món:
a) 	b) 	c) 
Bài 7.4: Tỡm x, y thoả món:
a) 	b) 	c) 
* Chỳ ý 2: Do tớnh chất khụng õm của giỏ trị tuyệt đối tương tự như tớnh chất khụng õm của luỹ thừa bậc chẵn nờn cú thể kết hợp hai kiến thức ta cũng cú cỏc bài tương tự.
Bài 7.5: Tỡm x, y thoả món đẳng thức:
a) 	b) 	
c) 	d) 
Bài 7.6: Tỡm x, y thoả món :
a) 	b) 
c) 	d) 
Bài 7.7: Tỡm x, y thoả món:
a) 	b) 
c) 	d) 
Tìm x, y biết : ( 2x – 5) 2008+ ( 3y + 4)2010 ≤ 0
II – Tỡm cặp giỏ trị ( x; y ) nguyờn thoả món đẳng thức chứa dấu giỏ trị tuyệt đối:
1. Dạng 1: với 
* Cỏch giải: 
* Nếu m = 0 thỡ ta cú 
* Nếu m > 0 ta giải như sau:
 (1)
Do nờn từ (1) ta cú: từ đú tỡm giỏ trị của và tương ứng .
Bài 1.1: Tỡm cặp số nguyờn ( x, y) thoả món:
a) 	b) 	c) 
Bài 1.2: Tỡm cặp số nguyờn ( x, y) thoả món:
a) 	b) 	c) 
Bài 1.3: Tỡm cặp số nguyờn (x, y ) thoả món:
a) 	b) 	c) 	d) 
Bài 1.4: Tỡm cặp số nguyờn ( x, y ) thoả món:
a) b) c) 	d) 
Bài 1.5: Tỡm cỏc cặp số nguyờn ( x, y ) thoả món:
a) 	 b) 	 c) 	 d) 
3 - Sử dụng phương phỏp bất đẳng thức:
Bài 1: Tỡm x, y thoả món đẳng thức:
a) 
 x-y-2 =0 x=-1
 y+3 =0 y= -3
Bài 2: Tỡm x, y thoả món :
a) 	
Bài 3: Tỡm x, y thoả món:
a) 
Bài 4: Tỡm x thoả món:
a) 	
2. Dạng 2: với m > 0.
* Cỏch giải: Đỏnh giỏ 
 (1)
 (2)
Từ (1) và (2) từ đú giải bài toỏn như dạng 1 với 
Bài 2.1: Tỡm cỏc cặp số nguyờn ( x, y ) thoả món:
a) 	b) 	c) 	d) 
Bài 2.2: Tỡm cỏc cặp số nguyờn ( x, y ) thoả món:
a) 	b) c) d) 
3. Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức: xột khoảng giỏ trị của ẩn số.
Bài 3.1: Tỡm cỏc số nguyờn x thoả món:
a) 	b) 	c) 	d) 
Bài 3.2: Tỡm cỏc cặp số nguyờn ( x, y) thoả món đồng thời cỏc điều kiện sau.
a) x + y = 4 và 	b) x +y = 4 và 
c) x –y = 3 và 	d) x – 2y = 5 và 
Bài 3.3: Tỡm cỏc cặp số nguyờn ( x, y ) thoả món đồng thời:
a) x + y = 5 và 	b) x – y = 3 và 
c) x – y = 2 và 	d) 2x + y = 3 và 
4. Dạng 4: Kết hợp tớnh chất khụng õm của giỏ trị tuyệt đối và dấu của một tớch:
* Cỏch giải : 
Đỏnh giỏ: tỡm được giỏ trị của x.
Bài 4.1: Tỡm cỏc số nguyờn x thoả món: 
a) 	b) 	c) 	d) 
Bài 4.2: Tỡm cỏc cặp số nguyờn ( x, y ) thoả món:
a) 	b) 	c) 
Bài 4.3: Tỡm cỏc cặp số nguyờn ( x, y ) thoả món:
a) 	b) 	c) 
5. Dạng 5: Sử dụng phương phỏp đối lập hai vế của đẳng thức:
* Cỏch giải: Tỡm x, y thoả món đẳng thức: A = B 
Đỏnh giỏ: 	(1)
Đỏnh giỏ: 	(2)
Từ (1) và (2) ta cú: 
Bài 5.1: Tỡm cỏc cặp số nguyờn ( x, y ) thoả món:
a) 	b) 
c) 	d) 
Bài 5.2: Tỡm cỏc cặp số nguyờn ( x, y ) thoả món:
a) 	b) 
c) 	d) 
Bài 5.3: Tỡm cỏc cặp số nguyờn ( x, y ) thoả món: 
a) 	b) 
c) 	d) 
V – Tỡm giỏ trị lớn nhất – nhỏ nhất của một biểu thức chứa dấu giỏ trị tuyệt đối:
1. Dạng 1: Sử dụng tớnh chất khụng õm của giỏ trị tuyệt đối:
* Cỏch giải chủ yếu là từ tớnh chất khụng õm của giỏ trị tuyệt đối vận dụng tớnh chất của bất đẳng thức để đỏnh giỏ giỏ trị của biểu thức:
Bài 1.1: Tỡm giỏ trị lớn nhất của cỏc biểu thức:
a) 	b) 	c) 	d) 
e) 	f) 	g) 
h) 	i) 	k) 
l) 	m) 	n) 
Bài 1.2: Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) 	b) 	c) 
d) 	e) 	f) 
g) 	h) 	i) 
k) 	l) 	m) 
Bài 1.3: Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức:
a) 	b) 	c) 
d) 	e) 
Bài 1.4: Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức:
a) 	b) 	c) 
Bài 1.5: Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) 	b) 	c) 
Bài 1.6: Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) 	b) 	c) 
2. Dạng 2: Xột điều kiện bỏ dấu giỏ trị tuyệt đối xỏc định khoảng giỏ trị của biểu thức:
Bài 2.1: Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) 	b) 	c) 
d) 	e) 	f) 
Bài 2.2: Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) 	b) 	c) 
Bài 2.3: Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức: 
a) 	b) 	c) 
Bài 2.4: Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức:
a) 	b) 	c) 
Bài 2.5: Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) 	b) 	c) 
3. Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức 
Bài 3.1: Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) 	b) 	c) 
Bài 3.2: Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) 	b) 	c) 
Bài 3.3: Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) 	b) 
c) 	d) 
Bài 3.4: Cho x + y = 5 tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 3.5: Cho x – y = 3, tỡm giỏ trị của biểu thức:
Bài 3.6: Cho x – y = 2 tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 3.7: Cho 2x+y = 3 tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: