Chuyền đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 4 - Năm học 2010-2011 - Phan Văn Thảo

Chương trình bồi dưỡng Toán lớp 4 năm học 2010 – 2011
Kiến thức cơ bản : Phần 1
Cách đọc và viết các số có nhiều chữ số :
Ôn lại cách đọc và viết số có nhiều chữ số 
Lấy một số ví dụ minh họa 
VD1 : Đọc các số sau :
350103762 , 203762023 ,672023501,.
VD 2 : Viết các số sau :
Hai trăm linh năm triệu ( 205000 000 ) 
Bốn trăm linh năm nghìn ba trăm mười lăm ( 405315) 
VD3: Viết các số sau biết rằng số đó gồm :
9 vạn , năm nghìn và tám mươi đơn vị 
5 trăm triệu , 7 nghìn và 0 đơn vị 
17 vạn , 6 nghìn 7 chục và 8 đơn vị 
4. Ghi giá trị của chữ số 8 trong mỗi số sau :
183700300; 897634321 ; 978456123 ; 157708406 ; 672803412 ; 967403108; 
5 . Viết số sau thành tổng theo hai cách khác nhau :
2614354 ; 8136514 ; 7328140 ;
Ví dụ : 1545 = 1000 + 500 + 40 + 5 
= 1 x 1000 + 4 x 10 + 5 x 1 .
6, Tìm 5 số đứng liên tiếp trước và 5 số đứng liên tiếp sau số 31501 ; 13377 ; 
MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ SỐ TỰ NHIÊN , PHÂN SỐ
A, SỐ TỰ NHIÊN : 
I. Những điều cần lưu ý :
1, Có 10 chữ số là 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,khi viết một số tự nhiên ta sử dụng 10 số trên . Chữ số Đầu tiên kể từ bên trái của một số tự nhiên phải khác 0 .
2, Phân tích cấu tạo của một số tự nhiên 
ab = a x 10 + b
abc = a x 100 + b x10 + c = ab x 10 + c 
abcd = a x 1000 + b x 100 + c x10 + d = abc x 10 + d = ab x 100 + cd 
3, Quy tắc so sánh hai số tự nhiên :
a. Trong hai số tự nhiên số nào có chữ số nhiều hơn thì số đó lớn hơn 
VD : 
1030 > 978 ; 985 > 895 ;
4 , Số có số tận cùng bằng 0,2,4,6,8,là những số chẵn .
VD : 12, 122, 134 , 10 , 38 , 56 . 
5, Số TN có tận cùng bằng 1,3,5,7,9 là các số lẻ 
VD : 11, 23, 35 , 67, 89 
6, Hai số tự nhiên liên tiếp nhauthì hơn ( kém ) nhau 1 đơn vị .
VD : 1,2,3,4.
7, Hai số chẵn liên tiếp nhau hơn kém nhau hai đơn vị 
8, Hai số lẻ liên tiếp nhau hơn kém nhau hai đơn vị .
II. Bài toán áp dụng : 
Bài 1 : Viết số gồm :
Một nghìn , chín trăm , ba chục và hai đơn vị ( 1932) 
13 trăm , 13 chục và 13 đơn vị (1443)
A nghìn , b trăm , c chục và d đơn vị ( a, b, c, d là các số chẵn a khác 0 
Bài 2 : Phân tích số 4138 thành : 
Các nghìn , trăm , chục và 13 đơn vị : 4 x1000 + 1 x 100 + 3 x 10 + 8
Các trăm và đơn vị : 41 x 100 + 38 = 4100 + 38 
Các chục và đơn vị : 413 x 10 + 8 = 4130 + 8 
Bài 3 : Bạn An nói : Số 165 gồm ;
16 chục và 5 đơn vị hoặc 
1 trăm và 65 đơn vị 
15 chục và 15 đơn vị 
Vậy bạn An nói đúng hay sai 
Bài 4 : Số tự nhiên x gồm mấy chữ số , biết số đó 
Có chữ số hàng cao nhất thuộc lớp nghìn 
Có chữ số hàng cao nhất thuộc lớp triệu 
Bài 5 : Viết số tự nhiên nhỏ nhất , lớn nhất , biết số đó gồm có : 
Có đủ năm chữ số : 5,4,7,0,2.
Có ba chữ số mà tổng các chữ số = 20 
Bài 6 : 
Tìm số tự nhiên x biết : 
x là số bé nhất 
x là số lớn hơn 99 và bé hơn 1000
Bài 7: Cho số 123 số này sẽ thay đổi như thế nào nếu : 
Viết thêm chữ số 0 vào sau nó 
Viết thêm chữ số 3 vào sau nó 
Đổi chỗ chữ số 1 và 3 cho nhau .
Bài 8 : Cho số 1895. Số này sẽ thay đổi như thế nào nếu :
Xóa đi chữ số 5 
Xóa đi hai chữ số cuối ;
Bài tập về nhà :
Bài 9 : Viết tất cả các số có hai chữ số khác nhau được lập từ các chữ số : 1,2,3,4 .Mỗi chữ số ở mỗi hàng được xuất hiện bao nhiêu lần ?
Bài 10 : Nêu “ Quy luật” rồi viết tiếp 3 số trong các số sau :
0,2,4,6,8;
1,3,5,7,9.
BTVN : 
1,2,4,8..
1,4,7,10 
Bài 11 : Hãy lấy ví dụ về 8 số tự nhiên liên tiếp . Em có nhận xét gì về dãy này .
BTVN : Hãy lấy 1 ví dụ về 7 số tự nhiên lẻ liên tiếp . Em có nhận xét gì về dãy này . 
Bài 12 : Năm nay Tài lên 9 , bố lên 37 tuổi . Sau bao nhiêu năm nữa thì tuổi bố Tài gấp 3 lần tuổi Tài .
Giáo viên hướng dẫn học sinh tóm tắt bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng 
Hãy ghạch chân dưói yếu tố của baìo toán 
H : Hãy tóm tắt bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng 
H1 : Hãy biểu diễn tuổi con = một đoạn thẳng 
H2 : Hãy biểu diễn tuổi bố qua tuổi con
H3 : Hiệu số tuổi convà tuổi cha là ?(37 – 9 = 28 ) 
Giải : Về tuổi con và tuổi bố lúc bố gấp 3 lần tuổi con 
	37 – 9 = 28 
Tuổi bố : 
Tuổi con :
Số tuổi anh hơn tuổi em là : 37 – 9 = 28 ( Tuổi ) 
Vậy số tuổi em là : 28 : 2 = 14 tuổi 
Số tuổi anh là 3 x 14 = 42 tuổi 
Như vậy thì sau ( 14 – 9 = 5 năm nữa thì tuổi bố = 3 lần tuổi con 
Bài 13 : Hiện nay em 5 tuổi , anh 11 tuổi . Hãy tính tuổi mỗi tuổi mỗi người khi anh gấp 3 lần tuổi em .
Giải : 
Về tuổi anh và em lúc anh gấp 3 lần tuổi em 
	11 – 5= 6
Anh 
Em 
Số tuổi anh hơn số tuỏi em là : 11 – 5 = 6 ( tuổi ) 
Vậy tuổi em là : 6 : 2 = 3 . Vậy khi em 3 tuổi anh 9 tuổi 
Tuổi anh là : 3x3 = 9 . Thì tuổi anh = 3 lần tuổi em .
Dạng 1 : Viết số tự nhiên từ những chữ số cho trước :
VD1 : cho 4 chữ số 0,3,8,và 9 .
Viết được tất cả bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau từ 4 chữ số đã cho ? 
Tìm số lớn nhất , bé nhất ? 
Tìm số lẻ lớn nhất , số chặn bé nhất .
GV hướng dẫn : 
Đọc kỹ đề bài gạch chân cái đã cho và cái cần tìm .
H1 : Có thể chọn chữ số nào làm chữ số hàng nghìn 
( Giáo viên đưa ra sơ đồ cây và bắt đầu đưa vào sơ đồ cây để tiếp tục đưa ra câu hỏi ) 
H2 : Khi đã biết chữ số hàng nghìn thì có thể chọn chữ số nào làm chữ số hàng trăm và có mấy cách chọn chữ số hàng trăm ? 
H3: Có bao nhiêu số có chữ số hàng nghìn và chữ số hàng trăm thì có thể chọn chữ số nào làm chữ số hàng chục và có mấy cách chọn .
H5 : Tương tự như vậy chữ số hàng đơn vị là những chữ số nào ? và có ? cách ? 
H6 : Hãy viết tất cả các số có 4 chữ số đã cho mà ta tìm được . 
H ? Số lớn nhất có 4 chữ số khác nhau ta viết từ 4 chữ số đã cho phải có chứ số hàng nghìn là mấy ? 
H2 : Chữ số hàng trăm phải là thứ như thế nào trong 3 số còn lại .
H3 : Chữ số hàng chục .
H4 : Vậy số phải tìm là số nào ?
C . H1 : Số lẻ lớn nhất , thì chữ số hàng nghìn phải là số nào ? 
H2 : trong 3 số còn lại thì số nào là số lẻ 
H3 : Số lẻ là số như thế nào ?
H4 : Vậy số ở hàng đơn vị phải là số mấy ? 
H5 : Trong hai số còn lại nên chọn số nào làm chữ số hàng trăm để được số lẻlớn nhất ? 
H6 : Vậy số cần tìm phải là số nào ? 
Dự kiến trả lời : 
3,8,9
Có 3 cách 
3 
	9
 8 
Có 3 cách chọn 
Có 3 x 3 = 9 
Học sinh trẻ lời dựa vào sơ đồ 
học sinh trả lời 
-Học sinh viết 
- Phải là 9 
- Phải lớn nhất trong 3 số còn lại 
- Phải là số lớn hơn bằng hai số còn lại 
-9830
Phải là số lớn nhất trong 4 số đã cho .
Số 3.
Số có chữ số tận cùng là 1,3,5,7,9,
Số 3
Số 8
- 9803
Bài tập áp dụng
Bài 1 : Cho 4 số : 0,1,2,3. 
a.Viết được tất cả bao nhiêu số có 4 chữ số là khác nhau từ 4 số đã cho 
b. Tìm số lớn nhất , số chẵn nhỏ nhất 
Bài 2: Cho 3 số : 
1,2,3 
a. Hãy viết tát cả các số có 2 chữ số khác nhau 
b. Tìm số lẻ lớn nhất .
c. Tìm số chẵn lớn nhất .
Dạng 2: Các bài toán giải bằng phân tích số 
1.Ví dụ : Tìm một số tự nhiên có 2chữ số , biết rằng nếu viết thêm chữ số 9 vào bên trái số đó ta được một số lớn gấp 13 lần số cần tìm
Hướng dẫn giải
H1 : Bài toán cho điều gì ?
H1 : Nếu gọi số cần tìm là ab thì theobài toán ta có điều gì ? 
H2 : Bài toán bắt tìm gì ? 
H3 : Hãy phân tích số 
9 ab = ?
H4 : Hãy thay 9 ab = 900 + ab vào BT 
H5 : Làm sao để vế trái mất ab
H6 : Khi đóbài toán còn lại điều gì ?
H7 : Ở bên phải là một biểu thức chứa mấy chữ .
H8 : Bên phải có gì chung 
H9 : Hãy đặt ab làm thừa số chung và tìm ab .
Trình bày lời giải : 
Gọi số cần tìm là ab theo bài ra ta có :
9 ab = 13 13 x ab 
900 + ab = 13 x ab 
900 = 12 x ab 	ab = 900/ 12 = 75 
Dự kiến học sinh trả lời
9 ab = 13 x ab 
ab = ? 
- 9 ab = 900 + ab 
- 900 + ab = ab x 13 
Tất cả 2 vế đi ab 
900 = ab x 13 – ab 
2 chữ ab 
- ab 
900 = ab x(13 – 1 )
900 =ab x 12 
Ab = 900 / 12 = 75 
2. Bài tập áp dụng :
Bài 1 : Tìm một số có hai chữ số , biết rằng khi viết thêm số 21 vào bên trái số đó ta đựoc một số lớn gấp 31 lần số phải tìm ( Giáo viên theo dõi học sinh làm ) 
Bai 2 : Tìm một số có 3 chữ số , biết rằng khi viết thêm chữ số 9 vào bên trái số đó ta được một số lớn gấp 26 lần số phải tìm .
Bài tập về nhà
1, Tìm một số có 2 chữ số , biết rằng khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải số đó ta được số lớn hơn số phải tìm 230 đơn vị 
2, Tìm số có 4 chữ số , biết rằng khi viết thêm chữ số 5 vào bên trái số đó ta được số lớn gấp 51 lần số cần tìm ? 
Số tư nhiên
Bài tập : 
1, Viết số gồm :
- Bảy mươi bảy nghìn , bảy chục và bảy đơn vị ( 77777) 
- Hai mươi nghìn , hai trăm , hai chục và hai đơn vị ( 20222) 
- Năm mươi nghìn , năm trăm và năm đơn vị ( 50505) 
- Sáu mươi nghìn và sáu đơn vị ( 60006) 
2, Viết số gồm :
- 6 nghìn , 6 đơn vị , 5 trăm , 7 chục nghìn (76 506 ) 
- 8 nghìn , chín chục nghìn , 5 trăm , 6 chục và 2 đơn vị ( 98562) 
- ba đơn vị , bảy nghìn , hai trăm , 8 chục ( 7283) 
3, Viết số thành tổng ( theo 2 cách ) 
C1 : 45743 = 40 000 + 5000 + 700 + 40 + 3 
C2 : 90783= 9 x 10 000+ 7 x 10 + 8 x 10 + 3 x1 
8888 = 
97079 = 
b.p xếp các số trên từ bé đến lớn :
4. Cho các chữ số 0,4,7,9, em hãy :
a. Lập số lớn nhất có 4 chữ số trên ( 9740) 
b. Lập số bé nhất có 4 chữ số trên ( 4079 ) 
5. Cho các chữ số 1,3,5,4 . Hãy viết tất cả các số có 4 chữ số khác nhau lập được bởi các chữ số trên . Tính tổng các số vừa tìm được .
HD : 1354 , 1345, 1435 ,1543 , 1534 , 3154 , 3145 , 3415 ,,3451 ,3514 , 3541 ,5314 , 5341 , 5413 ,5431 , 5134 , 5143 ,4513 , 4531 ,4315 , 4351 , 4135 , 4153.
Tính nhanh tổng : mỗi số đều xuất hiện ở mỗi hàng 6 lượt 
= ( 1 + 2 + 3 + 4 ) x 1000 x 6 + ( 1 + 2 + 3 + 4 ) x 100 x 6 + ( 1 + 2 + 3 + 4 ) x 10 x 6 + ( 1 + 2 + 3 + 4 ) 
Xếp các số tự nhiên trên theo thứ tự từ bé đến lớn 
6. từ 3 chữ số 3,2,7, em hãy viét tất cả các số có ba chữ số khác nhau , rồi xếp các số đó theo thứ tự từ bé đến lớn .
Tính tổng các số vừa tìm được ?
7, Tìm số lớn nhất và số bé nhất trong các số vừa lớn hơn 10 000 vừa lớn hơn 10 000 đó là : 10000 + 1 = 10001 và số lớn nhất là số liền truớc số 100 000 đólà số 
10 000 – 1 = 99999
Đáp số : 10001 và 99999
8 , Cho số 2005 . Nó sẽ thay đổi như thế nào , nếu 
a. Viết thêm một chữ số 0 vào bên phải số đó ? 
b. Viết thêm một chữ số 0 vào bên trái số đó ?
c. Xóa đi chữ số 5 ở cuối số đó ?
d. Xóa đi hai chữ số ở cuối số đó ?
e. Đối chỗ số 2 và số 5cho nhau ?
f. Viết thêm chữ số 5 vàochính giữa hai số 0?
HD : 
Viết thêm một chữ số 0 vào bên phải số đã cho được số mới là 20050 ; số mới gấp 10 lần số đã cho .
Viết thêm một chữ số 0 vào bên trái số đã cho được só mới là 02005 , số đó không thay đổi .
Xóa đi chữ số 5ở cuói số đó được số mới là 200 ; số mới giảm đi 10 lần và 5 đơn vị so với số đã cho .
Xóa đi hai chữ số ở cuối số đó được số mới là 20 , số mới giảm đi 100 lần và 5 đơn vị so với số đã cho .
Đổichỗ số 2 và số 5 cho nhau ta được số mới là 5002 . Số mới hơn số đã cho là : 5002- 2005 = 2997 
Viết thêm chữ số 5 vào giữa hai số 0được một số mới là 20505. Số mới hơn số đã cho là :
20505 – 2005 = 18500
9, Viết 5 số chẵn lớn nhất có 5 chữ số , số 5 lẻ bénhất có 5 chữ số .
10 Tìm số có 5 chữ số biết chữ số hàng chục nghìn gấp 2 lần chữ số hàng trăm , chữ số hàng trăm gấp 2 lần chữ số hàng chục , chữ số hàng đơn vị là số tự nhiên nhỏ nhất ? ( 84210 ) 
11. Tìm x :
a. x : 9 = 1785 ( dư 7) 
b. 2009 : x = 5 ( dư 4) 
x = ( 2009 – 4 ) : 5 
x = 2005 : 5 
x = 401 
c. x : 4 = 1652 + 17 
d. X x 3 = 16050 + 102 
12 . Tìm x biết :
a. x < 10005 và x là số có 5 chữ số 
b.x > 9995 và x là số có 4 chữ số 
HD : 
x là số có 5 chữ số và x < 10005 
Vậy x là số sao cho 9999 < x < 10005 
Vậy x = 10 000 , 10001 , 10002 , 10003 , 10004 
Tương tự : 9995 < x < 10005 
Vậy x = 9996 , 9997 , 9998 , 9999 .
13 Tìm số có 4 chữ số biết các chữ số của nó là bốn số tự nhiên liên tiếp có tổng là 18 .
Phương pháp giải : TT tưởng tượng ra bằng phương phápthử để giải 
Ta có : 2 + 3 + 4 + 5 = 14 < 18 loại 
3+ 4 + 5 + 6 = 18 ( đúng ) 
4 + 5 + 6 + 7 = 22 ( loại ) 
Vậy ta có số 3456 là số có 4 chữ số mà các chữ số mà các chữ số của nó là 4 số tự nhiên liên tiếp có tổng bằng 18 .
Những kiến thức cần lưu ý : 
1, Có10 chữ số là 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 khi viết một số tự nhiên ta sử dụng 10 số trên . Chữ số đầu tiên kể từ bên trái của một số tự nhiên phải khác 0 .
VD : 15 = 1 x 10 + 5 = 15 
ab = a x 10 + b 
abc = a x 10 + b x 10 + c x 10 + d = abc x 10 + d 
ab x 10 + cd 
3 , Quy tắc so sánh 2 số tự nhiên 
a. Trong hai số tự nhiên , số nào có chữ số nhiều hơn thì số đó lớn hơn .
b. Nếu hai số có cùng số chữ số thì so sánh từng hàng .( từ hàng cao đến hàng thấp ) 
VD : 1030 > 978 ; 985 < 986 
4, Số có tận cùng bằng 0,2,4,6,8là các số chẵn .
VD : 12 , 174 , 10 , 136 , 2078 
4 . Số tự nhiên có tận cùng bằng 1,3,5,7,9 là các số lẻ 
VD :11, 23 ,55 , 107 , 209 
6 , Hai số tự nhiên liên tiếp nhau hơn ( Kém ) nahu 1 đơn vị 
VD : 1,2,3,4
7 . Hai số chẵn liên tiếp nhau hơn kém nhau 2 đơn vị 
8, Hai số lẻ liên tiếp nhau hơn kém nhau 2 đơn vị .
Bài tập áp dụng
14 , Phân tích số 4138 thành 
* Các nghìn , trăm , chục và đơn vị 
= 4000 + 100 + 30 + 8 
= 4 nghìn + 1 trăm+ 3 chục + 8 đơn vị 
= 4 x 1000 + 1 x 100 + 3 x 10 + 8 
Các trăm và đơn vị 
4138 = 41 x 100 + 38 = 4100 + 38 
* Các chục và đơn vị 
4138 = 413 x 10 + 8 = 4130 + 8
15, Viết số gồm : 
- Một nghìn , chín trăm , ba chục và hai đơn vị ( 1932) 
- 13 trăm , 13 chục và 13 đơn vị ( 1443 ) 
- a nghìn , b trăm , c chục và d đơn vị ( a,b,c,d là các chữ số , a khác 0 ) ( abcd ) 
16, Ban An nói : Số 165 gồm 
- 16 chục và 5 đơn vị hoặc 
1 trăm và 65 đơn vị 
Vậy ban An nói đúng hay sai ? Vì sao ? 
Đúng , vì 165 = 16 x 10 + 5 = 100 + 65 = 150 + 15 ) 
17 . Dãy số nào sau đây là dãy số tự nhiên ( Khoanh tròn ) 
A. 1; 2; 3 ; 4 ; 5 
B . 0; 1; 2; 3 ; 4; ; 5 
C. 0, 1, 3, 4, 5
D . 0, 1 , 2 , 6 ,8 , 10 .
18 . Viết các số sau thành tổng theo 2 cách :
a, 584 873 
b. 6 709 075 
c. 132 700 008 
19 , a. Số tư nhiên lớn nhất là số nào ? Vì sao ? 
( Không có số tự nhiên lớnnhất . Vì thêm 1 vào bất kỳ một số tự nhiên nào ta được số tự nhiên liền sau số đó ) 
Số tự nhiên bé nhất là số nào ? vì sao ? 
Viết tiếp bốn số thích hợp vào dãy số sau , nêu quy luật của dãy số .
10 , 12 , 14 ,
195 , 185 , 175 
1, 8, 15 .
1; 2; 3; 5; 8; 13;
1; 4 ; ; 9;16 
21. Số tự nhiên x gồm mấy chữ số , biết số 
a. Có chữ số hàng cao nhất thuộc lớp triệu ( có 9chữ số ) 
22. Viết số tự nhiên nhỏ nhất , lớn nhất biết số đó gồm có :
a. Có đủ nămchữ số 5, 4, 7, 0, 2 
b. Có ba chữ số mà tổng các chữ số bằng 22
Chuyên đề về dãy số cách đều
Dãy số cách đều là một dạng toán thường gặp ở tiểu học . Từ quy luật của dãy số , ta có thể tìm thấy rất nhiều bài toán mà giải nó cần vận dụng nhiều kiến thức mà các em dã được trang bị . Chúng ta cần tìm hiểu mấy bài toán sau : 
Bài toán 1 : 
Cho dãy số : 1 , 3 , 5 , 7 , 9 ,,, 17 , 19 
Xác định quy luật của dãy số .
Viết tiếp 4 số hạng cuối cùng của dãy .
Tính các số hạng của dãy 
Phân tích : Muốn xác định quy luật của dãy , ta dựa vào các số hạng đã cho trong dãy để rút ra quy luật . Từ quy luật ấy ta tìm ra được 4 số hạng cuối cùng của dãy .
Tính các số hạng của dãy tức là tính xem dãy đó có bao nhiêu số hạng . Có nhiều cách tính mà một trong những cách đó dựa vào toán trồng cây ở cả hai đầu đường . Khi trồng cây ở cả hai đầu đường thì số cây bằng số khoảng cách cộng thêm 1.
Bài giải : 
Nhận xét : 
 3-1 = 2
5-3 = 2
.
19- 17 = 2
Quy luật : Hai số đứng liền nhau hơn ( kém ) nhau 2 đơn vị .
Bốn số hạng cuối cùng của dãy là : 
19 + 2 = 21 
21 + 2 = 23 
23 + 2 = 25 
25 + 2 = 27 
Ta có dãy số :
1, 3 ,5 ,7 9  17, 19 , 21 , 23, 25, 27 .
c. Hai số liên fnhau gọi là một khoảng cách nê mỗi khoảng cách là 2 .
Từ 1 đến 27 có số khoảng cách là :
( 27 – 1 ): 2 = 13 Khoảng cách 
Vậy từ 1 đến 27 có các số lẻ liên tiếp là : 
13 + 1 = 14 ( số) 
Nhận xét : Từ cách tính số các số hạng của dãy ta có thể nêu thành công thức tìm số các số hạng của dãy số cách đầu như sau : 
Số các số hạng = ( Số lớn nhất – số bé nhất ) : khoảng cách + 1 
Bài toán 2: Cho dãy số : 1,4, 7 , 10, 97 , 100 . 
Tính số các số hạng của dãy .
Tính tổng các số hạng của dãy .
Phân tích : Ap dụng công thức tính số các số hạng của dãy cách đều ta dễ dàng tìm được số các số hạng của dãy trên . Tuy nhiên trước hết ta phải tìm quy luật để suy ra khoảng cách giữa khoảng cách giữa hai số liền nhau trong dãy .
Ta có : 1 + 4 + 7 + 10 + + 94 + 97 + 100 = ( 1 + 100 ) + ( 4 + 97 + + ( 7 + 94 ) + + = 101 + 100 +101 + 
Như vậy số cặp có tổng bằng 101 + 101 + 101 + 
Như vậy số cặp có tổngbằng 101 sẽ bằng ½ số các số hạng của dãy . Do đó để tính tổng các số hạng trên ta có thể tính bằng công thức sau :
Tổng các số hạng = ( số lớn nhất + số bé nhất ) x số các số hạng : 2 
Bài giải :
Nhận xét 
4- 1 = 3 
7- 4 = 3
10 – 7 = 3 
..
100 – 97 = 3 
Quy luật : Hai số đứng liền nhau hơn ( kém ) nhau 3đơn vị .
Số các số hạng của dãy là : ( 100 – 1 ) : 3 + 1 = 34 ( số ) 
Tổng số các số hạng của dãy là : 
( 100 + 1 ) x 34 : 2 = 1717 
Bài toán 3 :
Cho dãy số : 2, 5, 8, 11, 14 , 17 , 98 , 101 , 104 , 107 , 110 ,
Tính số các số hạng thứ 25 của dãy 
Tìm số hạng thứ 25 của dãy .
Xét em số 56 , 75 , 113 có thuộc dãy số trên không , nếu có thì nó là thứ bao nhiêu của dãy ? 
Phân tích : Tìm số hạng 25 của dãy tức là tính đến số hạng cần tìm là 25 số hạng . Do đó ta gọi số hạng đó là x rồi vân dụng công thức tính số các số hạng của dãy để túnh .
Nếu dựa vào quy luật cách đều thì sẽ không nhận biết được sốnào trong số đã cho là số hạng của dãy . Chẳng hạn muốn biết số 56 có phải là số hạng của dãy không ta phải xét xem số 53 thuộc dãy không , muốn biết 53 có thuộc dãy không lại phải xem xét số 50có thuộc dãy không.Tuy nhiên ta có thể giả sử số cần xét là số hạng của dãy và tìm vị trí của nó , nếu không tìm được vị trí nào thì số đó không thuộc dãy . Ta cũng có thể tìm cách khác chẳng hạn : Nếu lấy mỗi số của dãy chia cho 3 ( khoảng cách ) thì luôn có số dư là 2 . Như vậy số nào chia cho 3 có số dư là 2 thì mới là số hạng của dãy . Dựa vào cách tính số các số hạng của dãy hoặc thương của nó so với số chỉ vị trí của từng số hạng sẽ biết được vị trí của số hạng đó .
2 + 3= 5
5 + 3= 8 
8 + 3=11 
..
101 + 3 = 104 
104 + 3 = 107 
107 + 3 = 110 
Quy luật : Hai số đứng liền nhau hơn ( kém ) nhau 3 đơn vị .
Số các sốhạng của dãy là : 
( 110 – 2 ): 3 + 1 = 37 ( số ) 
Gọi số hạng thứ 25 của dãy là y ta có : 
( y – 2 ) : 3 + 1 = 25 
( y – 2 ) : 3 = 25 -1 
( y – 2 ) : 3 = 24 
( y – 2 ) = 24 x 3
Y – 2= 72 
Y = 72 + 2 
Y = 74 
Vậy số hạng thứ 25 của dãy là 74 .
Cách 1 : 
Giả sử 56 là số hạng của dãy thì vị trí của nó trong dãy số đó là : 
( 56- 2 ) : 2 + 1 = 19 
Tìm được vị trí của số 56 trong dãy nên 56 là số hạng của dãy và là số hạng thứ 19 .
Giả sử 75 là số hạng của dãy thì vị trí của nó trong dãy số đó là : 
( 75 – 2 ) : 3+ 1 = 24 
Không tìm được vị trí của số 75 trong dãy nên số 75 không thuộc dãy số đó . 
số 113 > 110 ( 110 là số lớn nhất trong dãy ) . Vậy số 113 không phải là số hạng trong dãy số trên .
Cách 2 : 
Nhận xét 
2 : 3 = 0 ( dư 2 ) 
5 : 3 = 0 ( dư 2 ) 
8 : 3 = 2 ( dư 3) 
107 : 3 = 35 ( dư 2 ) 
110 : 3 = 2( dư 2 ) 
Quy luật : mỗi số hạng của dãy khi chia cho 3 đều dư 2 và thương kém số chỉ vị trí của nó 1 đơn vị .
+ Xét số 56 , ta có : 56 : 3 = 18 ( dư 2 ) nên 56 là số hạng của dãy số trên .
Vì thương luôn kém số chỉ vị trí 1 đơn vị mà 18 + 1 = 19 nên số 56 là số hạng thứ 18 của dãy số trên .
+ Xét số 60 không phải là số hạng của dãy .
+ Xét số 113 : Ta thấy số 113 lớn hơn số lớn nhất của dãy là 110 nên 113 không thuộc dãy số trên .
Lưu ý : Ta cũng có thể tìm số hạng thứ 25 của dãy dựa vào quy luật đồng dư trên .
Cách làm như sau : 
Vì mỗi số hạng của dãy khi chia cho 3 đều dư 2 và thương kém số chỉ vị trí của nó 1 đơn vị nên số hạng thứ 25 khi chia cho 3 cũng dư 2và được thương là:
25 – 1 = 24
Số hạng thứ 25 của dãy là 
24 x 3 + 2=74 
Trên đây là 3 bài toán tiêu biểu cho 3 dạng toán về dãy số cách đều . 
Bài tập về nhà :
Bài 1 : Cho dãy số : 1,5, 10 , 15 , 20 245 , 250 .
Tính số các số hạng của dãy 
Tính tổng các số hạng của dãy 
Bài 2 : Cho dãy số : 1, 5, 9,13 , 17, 21 
Xác định quy luật của dãy rồi viết thêm 4 số hạng của dãy .
Tìm số hạng thứ 32 của dãy .
Bài 3 : Cho dãy số : 500 , 496, 492  , 30 , 26 , 22
Xác định quy luật của dãy rồi viết thêm 4 số hạng cuối cùng của