Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9 định lý Ta-Lét và một số ứng dụng

CHUYÊN ĐỀ
BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 8, 9
ĐỊNH LÝ TA-LÉT VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
Họ và tên: 	Lê Huy Hoàng 
Chức vụ: 	Giáo viên 
Đơn vị: 	Trường THCS Vĩnh Tường 
Đối tượng học sinh bồi dưỡng: Lớp 8, 9
Số tiết: 6 tiết (2buổi)
PHẦN 1. PHẦN MỞ ĐẦU
	I - LÝ DO CHỌN CHUYÊN ĐỀ
	1. Cơ sở lí luận:
	Định lý Ta-lét là một trong những định lý hình học cổ điển giữ vai trò quan trọng trong chương trình toán THCS. Định lý Ta-lét được sử dụng nhiều trong giải toán, đặc biệt là những bài toán có liên quan đến đoạn thẳng và tỉ số hai đoạn thẳng.
	Thông qua việc vận dụng định lý Ta-lét vào giải toán ta có thể ôn lại cho học sinh các tính chất về tỷ lệ thức các kỹ năng biến đổi đại số, chứng minh đẳng thức, giải phương trình, chứng minh đường thẳng song song, diện tích đa giác...
Vận dụng định lý Ta-lét vào giải toán ngoài việc học sinh được rèn luyện các kỹ năng toán học, chủ yếu còn được nâng cao về mặt tư duy toán học. Các thao tác tư duy như: Phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hoá, đặc biệt hoá,  thường xuyên được rèn luyện và phát triển.
	2. Cơ sở thực tiễn.
	Qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy khả năng vận dụng định lý Ta-lét vào giải bài toán của học sinh còn hạn chế. Khi học về phần này, học sinh còn khó khăn:
	- Việc sử dụng các kỹ năng về biến đổi đại số vào hình còn lúng túng hay mắc sai lầm.
	- Kỹ năng phân tích giả thiết, kết luận của bài toán để vẽ thêm yếu tố phụ, tìm lời giải cho bài toán còn chậm và hạn chế.
	- Khả năng vận dụng bài toán này cho bài toán khác, kỹ năng chuyển đổi bài toán, khai thác bài toán theo hướng đặc biệt hoá, khái quát hoá chưa cao.
	- Học sinh chưa có thói quen tổng hợp và ghi nhớ những tri thức phương pháp qua từng bài toán, dạng toán.
	3. Kết luận khái quát.
	Nhận thức rõ được vị trí và tầm quan trọng của định lý Ta-lét trong chương trình Toán THCS từ đó ý tưởng về chuyên: “Định lý Ta-lét và ứng dụng” ra đời. Thông qua thực tế giảng dạy kết hợp với bồi dưỡng học sinh giỏi và một số sách viết chuyên đề của các nhà giáo khác, tôi nghiên cứu và thực hiện đề tài này.
Những năm gần đây, trong các kỳ thi giao lưu HSG lớp 8,9 cấp huyện, kì thi chọn HSG lớp 9 cấp tỉnh và các kỳ thi tuyển sinh vào các lớp chuyên Toán, chuyên Tin của các trường THPT chuyên thường xuất hiện các bài toán hình học có nội dung áp dụng định lý Ta-lét. Đây không phải là một kiến thức mới, tuy nhiên đòi hỏi học sinh phải có tư duy linh hoạt và cái nhìn nhạy bén thì mới áp dụng được nội dung định lý . 
II . MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.
	Từ thực tế giảng dạy môn Toán cho đối tượng học sinh khá, giỏi tôi đã rút ra được một số kinh nghiệm khi giảng dạy chuyên đề: “Định lý Ta-lét và một số ứng dụng” với mục đích áp dụng kinh nghiệm này trong giảng dạy để giúp học sinh :
	- Nắm vứng nội dụng định lý Ta-lét trong tam giác và định lý Ta-lét tổng quát.
	- Trang bị cho học sinh một cách có hệ thống các dạng bài tập và phương pháp giải. Qua đó rèn luyện cho học sinh các kỹ năng tính toán, vẽ hình, phân tích, suy luận, tổng hợp, 
	- Rèn luyện và phát triển cho học sinh các phẩm chất trí tuệ, các thao tác tư duy: So sánh, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, khái quát hoá,
PHẦN 2: NỘI DUNG
I – GIỚI THIỆU VỀ TA- LÉT
Thalès de Milet hay theo phiên âm tiếng Việt là Ta-lét (tiếng Hy Lạp: ΘαλῆςὁΜιλήσιος; khoảng 624 TCN – khoảng 546 TCN), là một triết gia, một nhà toán học người Hy Lạp sống trước Socrates, người đứng đầu trong bảy nhà hiền triết của Hy Lạp. Ông cũng được xem là một nhà triết gia đầu tiên trong nền triết học Hy Lạp cổ đại, là "cha đẻ của khoa học". Tên của ông được dùng để đặt cho một định lý toán học do ông phát hiện ra.
Ta-lét sống trong khoảng thời gian từ năm 624 TCN– 546 TCN, ông sinh ra ở thành phố Miletos, một thành phố cổ trên bờ biển gần cửa sông Maeander (của Thổ Nhĩ Kỳ).Tuổi thọ của ông không được biết một cách chính xác. Có hai nguồn: một nguồn cho là ông sống khoảng 90 tuổi, còn một nguồn khác cho là ông sống khoảng 80 tuổi.
Trước Ta-lét, người Hy Lạp giải thích nguồn gốc tự nhiên của thế giới, vạn vật qua các câu truyện thần thoại của chúa trời, của các vị thần và các anh hùng. Các hiện tượng như sấm, sét hay động đất được cho là do các vị thần trong tự nhiên.Ông quan niệm toàn bộ thế giới của chúng ta được khởi nguồn từ nước. Nước là bản chất chung của tất cả mọi vật, mọi hiện tượng trong thế giới. Mọi cái trên thế gian đều khởi nguồn từ nước và khi bị phân hủy lại biến thành nước.
Với quan niệm nước là khởi nguyên của thế giới, của mọi sự vật, hiện tượng. Ông đã đưa yếu tố duy vật vào trong quan niệm triết học giải thích về thế giới. Thế giới được hình thành từ một dạng vật chất cụ thể là nước chứ không phải do chúa trời hay các vị thần.
Định lý Ta-lét: 
- Hai đường thẳng song song định ra trên hai đường thẳng giao nhau những đoạn thẳng tỷ lệ
- Góc chắn nửa đường tròn thì bằng một vuông
- Đường kính chia đôi đường tròn thành hai phần bằng nhau
- Hai góc đáy của tam giác cân thì bằng nhau
- Hai tam giác nếu có hai cặp góc đối và cặp cạnh tương ứng bằng nhau thì bằng nhau
- Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau
Ta-lét là người đầu tiên nghiên cứu về thiên văn học, hiểu biết về hiện tượng nhật thực diễn ra do mặt trăng che khuất mặt trời.
Ông cũng nghĩ ra phương pháp đo chiều cao của các kim tự tháp Ai Cập căn cứ vào bóng của chúng.
Ta-lét được coi là người đầu tiên đặt vấn đề nghiên cứu về Sự sống ngoài Trái Đất.
Ta-lét chết lúc già một cách đột ngột khi đang xem một thế vận hội. Trên mộ ông khắc dòng chữ: “Nấm mồ này nhỏ bé làm sao! Nhưng vinh quang của con người này, ông vua của các nhà thiên văn, mới vĩ đại làm sao”.
II - KIẾN THỨC CƠ BẢN.
1. Đoạn thẳng tỉ lệ.
1.1.Tỉ số hai đoạn thẳng.
- Tỉ số hai đoạn thẳng là tỉ số các độ dài của chúng với cùng một đơn vị đo.
Như vậy tỉ số hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào đơn vị mà ta chọn.
1.2. Đoạn thẳng tỉ lệ:
- Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng A’B’ và C’D’ 
nếu ta có tỉ lệ thức thức: hay
- Tỉ lệ thức giữa các đoạn thẳng có các tính chất như của tỉ lệ thức giữa các số. 
	*1. Tích các trung tỉ bằng tích các ngoại tỉ.
 *2. Có thể hoán vị các trung, ngoại tỉ:
*3. Các tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
2. Định lý Ta-lét trong tam giác.
2.1.Định lý thuận:
Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
GT
KL
2.2 Định lý đảo.
Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.
GT
KL
2.3. Hệ quả:
Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có 3 cạnh tương ứng tỉ lệ với 3 cạnh của tam giác đã cho.
GT
KL
Chú ý: Định lý Ta-lét thuận, đảo và hệ quả vẫn đúng trong trường hợp đường thẳng a song song với một cạnh của tam giác và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại:
3. Định lý Ta-lét tổng quát:
3.1. Định lý thuận:
 Nhiều đường thẳng song song định ra trên hai cát tuyến bất kỳ nhữngđoạn thẳng tương ứng tỷ lệ.
GT
Cho a//b//c; d cắt a, b, c lần lượt tại A, B, C; d’ cắt a, b, c lần lượt tại A’, B’,C’.
KL
Hướng chứng minh:
Ta có thể chứng minh định lý này bằng cách qua A kẻ một đường thẳng song song với d’. Đường thẳng này cắt b, c theo thứ tự tại. Dễ dàng chứng minh được. Sau đó áp dụng định lý Ta-lét trong tam giác vào để có: từ đây suy ra kết luận.
3.2 . Định lý đảo.
	Cho 3 đường thẳng a, b, c cắt hai cát tuyến d, d’ tại các điểm theo thứ tự; A, B, C và A’, B’, C’ thoả mãn tỉ lệ thức:mà 2 trong 3 đường thẳng a, b, c là song song với nhau thì 3 đường thẳng a, b, c song song với nhau.
3.3 Hệ quả(các đường thẳng đồng quy cắt hai đường thẳng song song)
Hệ quả 1: Nhiều đường thẳng đồng quy định ra trên hai đường thẳng song song những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
Hướng chứng minh:
Ta có thể chứng minh hệ quả này bằng cách xét các tam giác AOB và AOC có AB//A’B’ và AC//A’C’. Theo hệ quả định lý Ta-lét trong tam giác ta có: và từ đó suy ra: (đpcm)
Hệ quả 2: Nếu nhiều đường thẳng không song song định ra trên hai đường thẳng song song các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì chúng đồng quy tại một điểm .
Hướng chứng minh:
Gọi d1, d2, d3 là ba đường thẳng không song song cắt hai đường thẳng song song a và b lần lượt tại A, B, C và A’, B’, C’ thỏa mãn:
 d1, d2, d3 đồng quy tại O.
Ta có thể chứng minh định lý bằng cách gọi giao điểm của hai đường thẳng d1, d2 là O. Ta chứng minh d3 cũng đi qua O. 
Gọi C” là giao điểm của OC và đường thẳng b. Ta chưng minh . Thật vậy, vì AC//A’C’ nên hệ quả 1 ta có: mà theo giả thiết ta có : . Từ đó suy ra . Hay d3 đi qua O hay ba đường thẳng d1, d2, d3 đồng quy.
III – CÁC DẠNG BÀI TẬP ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ TA-LÉT.
	Định lý Ta-lét có nhiều ứng dụng trong giải toán hình học như: Các bài toán liên quan đến tỉ số các đoạn thẳng; các bài toán chứng minh hệ thức đoạn thẳng; các bài toán chứng minh nhiều điểm thẳng hàng, nhiều đường thẳng song song, nhiều đường thẳng đồng quy; các bài toán về diện tích, vận dụng để chứng minh định lý ... Tuy nhiên trong khuân khổ của chuyên đề, tôi chọn hai ứng dụng chính để trình bày là: Chứng minh hệ thức đoạn thẳng; chứng minh nhiều đường thẳng đồng quy và nhiều điểm thẳng hàng
Dạng 1
CHỨNG MINH HỆ THỨC ĐOẠN THẲNG.
	 Dạng bài tập chứng minh hệ thức đoạn thẳng là dạng bài tập hay và khó. Nếu như ở lớp 7, các hệ thức về đoạn thẳng còn đơn giản: Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, chứng minh đoạn thẳng này bằng tổng hai đoạn thẳng khác, thì lên lớp 8, 9 học sinh sau khi học xong về diện tích đa giác, định lý Ta-lét, tam giác đồng dạng, hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông và các kiến thức về đường tròn thì lớp bài tập về chứng minh hệ thức đoạn thẳng trở lên đa dạng và phong phú. Đối với các bài toán lớp 8, 9 thì định lý Ta-lét và các trường hợp đồng dạng của tam giác là những công cụ để giải toán.
Ví dụ 1(lớp 8). Một đường thẳng đi qua A của hình bình hành ABCD cắt BD, BC, DC theo thứ tự ở E, K, G. Chứng minh rằng: 
	c) Khi đường thẳng thay đổi vị trí nhưng vẫn đi qua A thì tích BK.DG có giá trị không đổi.
Hướng dẫn tìm lời giải:
a) Từ .Vậy cần tìm mối liên hệ giữa các tỉ số vàvới .
b) Từ
Từ đó tìm mối liên hệ của các tỉ số với các tỉ số và 
c) Vì giả thiết chỉ cho hình bình hành có các cạnh không đổi nên ta biểu diễn mối quan hệ của tích BK.DG với các cạnh của hình bình hành.
Lời giải tóm tắt:
a/ Vì BK//AD và AB//DG nên theo hệ quảđịnh lý Ta-lét ta có: 
 (đpcm)
b/ Từ suy ra: 
Vì BK//AD và AB//DG nên theo định lý Ta-lét ta có : 
 nên (đpcm)
c/ Vì BK//AD và KC//AD nên theo định lý Ta-lét ta có
	(1)
	(2)
Nhân vế với vế của (1) và (2) ta được: (không đổi)
Ví dụ 2 (lớp 8): D ABC, O là một điểm thuộc miền trong tam giác, qua O kẻ HF//BC, DE//AB, MK//AC với H, K Î AB; 
E, M Î BC; D, F Î AC.
	Chứng minh rằng:
	a) 
	b) 
* Hướng dẫn tìm lời giải:Giả thiết đã cho các đường thẳng song song, ta cố định một trong 3 tỉ số trong hệ thức cần chứng minh chẳng hạn:. Hãy tìm cách chuyển các tỉ số về các tỉ số có cùng mẫu là BC. 
Lời giải (tóm tắt)
	a) KM//AC
	Qua F kẻ FI//AB, I Î BC:
vậy suy ra: 
Vậy	 (Đpcm)
	b) FH//BC =>
 KM//AC =>
nên ta được:	(Đpcm)
Ví dụ 3 (lớp 8). Cho hình thang ABCD có AB = a, CD = b. Qua giao điểm O của hai đường chéo, kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AD và BC theo thứ tự ở E và G. Chứng minh rằng:
* Hướng dẫn tìm lời giải:
Từ
Từ đó dựa vào hệ quả của định lý Ta-lét ta tìm mối quan hệ giữa các tỉ số.
* Lời gải tóm tắt:
Vì OE//AB nên theo hệ quả định lý Ta-lét ta có: (1)
Vì OE//CD nên theo hệ quả định lý Ta-lét ta có: (2)
Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được: .
Do đó: hayChứng minh tương tự ta có
Nhận xét:Nếu thay đổi dữ kiện của bài toán ta có bài toán sau.
Ví dụ 4 (lớp 8). (Trích đề thi HOMC 2006)
Cho tam giác ABC, PQ//BC với P, Q là các điểm tương ứng thuộc AB và AC. Đường thẳng PC và QB cắt nhau tại G. Đường thẳng đi qua G và song song với BC cắt AB tại E và AC tại F. Biết PQ = a và EF = b. Tính độ dài của BC.
Hướng dẫn tìm lời giải:
	Sau khi vẽ hình ta thấy tứ giác BPQC là hình thang có các yếu tố thỏa mãn ví dụ 3. Từ đó ta có thể vận dụng kết quả của ví dụ 3 vào giải bài toán.
Lời giải tóm tắt:
	Đặt BC = x
	Áp dụng kết quả ví dụ 4 ta có:
Từ đó suy ra suy ra 
Từ đó tìm ra hay
*Nhận xét: Định lý Ta-lét ngoài việc ứng dụng cho chứng minh đẳng thức hình học còn được vận dụng để chứng minh bất đẳng thức hình học. Sau đây ta có thể xét một ví dụ về việc vận dụng định lý Ta-lét để chứng minh bất đẳng thức.
Ví dụ 5 (lớp 8)
Cho D ABC, phân giác trong AD. chứng minh rằng:
	a) Nếu thì 
	b) Nếu thì 
	c) Nếuthì 
Hướng dẫn tìm lời giải:
Hệ thức cần chứng minh có dạng có thể chuyển về hệ thức ở dạng tỉ số đoạn thẳng: 
	Dạng 1: 
	Dạng 2: 
Ở ví dụ này ta biến đổi hệ thức cần chứng minh về dạng 2.
Qua C kẻ CF //AD, F Î AB, ta có nhận xét gì về D AFC?
Độ dài BF?
	Áp dụng định lý Ta-lét vào D BFC ta được Đpcm.
Lời giải (tóm tắt):
	a) Qua C kẻ CF //AD, F Î AB, ta có: (1)
 (2)
	Từ (1) và (2) suy ra D AFC đều =>AF=FC=AC =>BF =AB+AF=AB + AC
	Áp dụng hệ quả định lý Ta-lét vào D BFC, AD//FC:	
	hay
	Suy ra: (Đpcm)
	b) D AFC cân (do ) =>AF=AC nên: BF =AB + AC
	D BFC có AD//FC =>
	Do D AFC cân tại A có góc => => FC > AC nên :
	(Đpcm)
	c) Khi lập luận tương tự ta cũng được 
Ví dụ 6(lớp 8). Cho tam giác ABC, biết AB = c; BC =a; CA = b. Phân giác AD. Chứng minh rằng: 
Lời gải tóm tắt:
Kẻ AD là tia phân giác góc A, D∈BC. Qua D kẻ DE song song với AB, E∈AC.
Ta có ∆EAD cân tại E. Suy ra AE =ED.
Áp dụng hệ quả của định lý Ta-lét vào ∆ABC ta có: 
Suy ra: hay 
Trong tam giác ADE có AD < AE + ED hay (đpcm)
Nhận xét: Từ kết quả bài toán trên ta có: . Áp dụng kết quả này ta có thể giải bài toán sau:Ví dụ 7 (lớp 8). (Trích đề thi HOMC 2014).Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và x, y, x là độ dài của các đường phân giác tương ứng. Chứng minh bất đẳng thức sau:
Từ ví dụ 6 ta có:
	(1)
Chứng minh tương tự ta có: 
	(2)
và 	(3)
Từ (1) (2) và (3) ta có:
 (đpcm)
Ví dụ 9(lớp 8).Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi O là giao điểm của AD và BC. Gọi I, K ,H là chân các đường cao kẻ từ B, O ,C tới AD .Chứng minh rằng : 
AD.BI.CHBD.OK.AC
Lời giải (tóm tắt)
Kẻ AE BD
Vì OK//HC nên theo hệ quả định lý Ta-lét ta có:
Ta lại có AD.BI.CH=2..CH
Mà BD.CE=2SABD ,OA.HC=OK.AC, AO ≥AE
nên AD.BI.CH=2..CH=BD.CE.CHBD.AO.CH=BD.OK.AC
Dấu “=” xảy ra khi AE=AO hay AC BD
Ví dụ 10 (lớp 9)(Câu 4c_Trích đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2012 – 2013)
Cho tam giác nhọn () có các đường cao và trực tâm Gọi là đường tròn tâm O, đường kính BC. Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, tới đường tròn (M, N là các tiếp điểm). Gọi là giao điểm thứ hai của và đường tròn , là giao điểm của và . Chứng minh rằng:
* Hướng dẫn tìm lời giải:
Ta thấy đẳng thưc cần chứng minh là đẳng thức của các tỉ số. Để chứng minh các hệ thức giữa các tỉ số ta có thể vận dụng một trong các kiến thức: Định lý Ta-lét; tam giác đồng dạng; hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác; tính chất của cát tuyến cắt nhau với đường tròn. Tuy nhiên trong bài toán này sử dụng phương pháp loại trừ ta có thể thấy chỉ có thể sử dụng kiến thức về định lý Ta-lét và tam giác đồng dạng.
Để có thể sử dụng được định lý Ta-lét ta cần phải vẽ thêm hình phụ:Qua O kẻ đường thẳng d song song với B’C’. Từ đó ta có thể tìm được mối quan hệ giữa các tỉ số và chứng minh được định lí.
Lời giải
Qua O kẻ đường thẳng d song song với B’C’ , d cắt BB’ và CC’ lần lượt tại D, E. Áp dụng hệ quả định lý Ta-lét ta có:
 (1)
Ta có: (vì cùng bằng ) và 
 (2)
Lấy F (F ≠ E) trên đường thẳng CC’ sao cho OE = OF 
(vì cùng bằng ). 
Lại có 
 (3)
Từ (1), (2), (3) 
Ví dụ 8 (lớp 9)(Trích đề thi khảo sát học sinh giỏi lớp 9 vòng 1 huyện Tam Dương 2014 - 2015)
Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH, gọi E và F theo thứ tự là hình chiếu của H trên AC và AB. Cho D là một điểm trên BC. Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu của D trên AB và AC. Chứng minh rằng:
a) .
b) DB.DC = MA.MB + NA.NC.
Lời giải tóm tắt
a/ ABC, = 900, AH BC
Ta có: AC2 = CH.BC; AB2 = BH.BC (1)
Ta có: EH // AB (Định lý Ta-lét) (2)
HF // AC (hệ quả định lý Ta-lét) hay mà HF = AE nên (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có: hay 
b/ Dễ thấy MD//AC và ND //AB.
Vì MD//AC nên theo hệ quả của định lý Ta-lét (4)
Vì ND//AB nên theo hệ quả của định lý Ta-lét (5)
Từ (4) và (5) 
 = =
Ví dụ 9: (Lớp 9)(Trích câu 4b đề thi vào lớp 10 chuyên Toán và chuyên Tin – Thành phố Hà Nội – Năm học 2009 – 2010)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Gọi BD và CE là hai đường cao của tam giác ABC.
b/ Tia AO cắt BC tại A1 và cắt cung nhỏ BC tại A2 tia BO cắt AC tại B1 và cắt cung nhỏ AC tại B2. Tia CO cắt AB tại C1 và cắt cung nhỏ AB tại C2.
Chứng minh: 
Lời giải tóm tắt
Gọi H là giao điểm của BD và CE. AH cắt BC tại K cắt tại M. Ta có và . 
Lại có (cùng phụ với góc ABC) suy ra nên tam giác BCM cân tại C, do đó HK = KM (1)
nên MA2//BC
Theo định lý Ta-lét ta có: . Kết hợp với (1) suy ra: (2)
Tương tự ta có: (3) và (4)
Từ (2), (3) và (4) suy ra: (đpcm)
Dạng 2:
CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG,
 NHIỀU ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY, NHIỀU ĐIỂM THẲNG HÀNG
	Ở lớp 7 để chứng minh hai đường thẳng song song thì ta phải tìm các mối quan hệ về góc hoặc các mối quan hệ giữa các đường thẳng. Để chứng minh đồng quy ta thường áp dụng tính chất của các đường trong tam giác, ...Đến lớp 8, sau khi học song định lý Ta-lét đảo, từ hệ thức về độ dài đoạn thẳng cũng cho ta kết luận 2 đường thẳng song song.
	D ABC, 
Như vậy định lý Ta-lét đảo cho ta thêm một cách chứng minh 2 đường thẳng song song.
Ví dụ 1 (lớp 8): 	D ABC, trung tuyến AM, phân giác AMC cắt AC tại H, phân giác góc AMB cắt AB tại K. Chứng minh rằng HK // BC.
Hướng dẫn tìm lời giải:
	Để chứng minh KH//BC ta chứng minh, hãy tìm cách chuyển các tỉ số ở hai vế đẳng thức về cùng một tỉ số bằng cách sử dụng tính chất đường phân giác trong tam giác.
Lời giải:
	Theo giả thiết: MK là phân giác của =>	
	MH là phân giác góc AMC suy ra: 
Mà MB = MC (theo giả thiết) nên suy ra:	(định lý Ta-lét đảo)
Ví dụ 2(lớp 8):Qua giao điểm O của 2 đường chéo tứ giác ABCD, kẻ 1 đường thẳng tuỳ ý cắt cạnh AB tại M và CD tại N. Đường thẳng qua M song song với CD cắt AC ở E và đường thẳng qua N song song với AB cắt BD ở F. Chứng minh BE//CF.
	* Hướng dẫn tìm lời giải:
	Hãy sử dụng các đường thẳng song song trong giả thiết và định lý Ta-lét để chứng minh hệ thức 
	* Lời giải tóm tắt:
Theo giả thiết MB//NF
 =>	(1) 
NC//ME =>	(2)
Từ (1) và (2) suy ra:(Định lý Ta-lét đảo)
Nhận xét: Ta chuyển từ yêu cầu chứng minh 2 đường thẳng song song về chứng minh hệ thức dạng 
Ví dụ 3(lớp 8):Cho D ABC, có AB + AC = 2.BC.
	Gọi I là giao điểm 3 đường phân giác trong, G là trọng tâm của D ABC (I khác G). Chứng minh rằng IG // BC .
	* Hướng dẫn tìm lời giải:
Để chứng minh IG // BC, ta phải chứng minhhay	
Từ giả thiết của bài toán suy ra: 
Hãy chứng minh , bằng cách sử dụng tính chất của đường phân giác.
	* Lời giải:
	Gọi AI cắt BC ở D, AG cắt BC tại M. 
	Nối B với I, C với I sử dụng tính chất 
 đường phân giác trong tam giác ta được: 
	(1)
Theo giả thiết AB + AC = 2. BC =>(2)
	Từ (1) và (2) suy ra	(3)
	Vì G là trọng tâm của D ABC nên:	(4)
	Từ (3) và (4) suy ra: 	(Đpcm)
* Chú ý:
+ Bài toán đảo của bài toán trên vẫn đúng: Từ IG//BC => AB+ AC = 2.BC
	+ Nếu thay giả thiết AB + AC = 2.BC bằng giả thiết AB + AC < 2.BC thì kết luận của bài toán thay đổi như thế nào? (IG cắt tia MC)
Ví dụ 4(lớp 8):D ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. Gọi M, N, P, Q lần lượt là hình chiếu của D trên AB, BE, CF, CA. Chứng minh rằng M, N, P, Q thẳng hàng.
	* Hướng dẫn tìm lời giải:
	Yêu cầu bài toán chứng minh M, N, P, Q thẳng hàng. Giả thiết của bài toán cho các đường thẳng vuông góc, từ đó sẽ có các đường thẳng song song. Hãy chứng minh M, N, P, Q thẳng hàng bằng cách chứng minh nó cùng nằm trên một đường thẳng song song với EF.
	* Lời giải tóm tắt:
	Từ giả thiết suy ra: 
HE // DQ =>(1) (theo định lý Ta-lét)	
HF/ / DM =>	(2) (theo định lý Ta-lét)	
Từ (1) và (2) s