Chuyên đề 2: Phương trìnhlượng giác

CHUYÊN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNHLƯỢNG GIÁC
I. CÔNG THỨC
 I. 1. Công thức lượng giác cơ bản
 I. 2. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt
 a. Cung đối: 
 b. Cung bù: 
 c. Cung phụ: 
 d. Cung hơn kém 
 Chú ý: cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém tan và cot
 I. 3. Công thức cộng
 Chú ý: sin bằng sin.cos , cos.sin ; cos bằng cos.cos , sin.sin giữa trừ ; tan bằng tan tổng chia 1 trừ tích tan.
 I. 4. Công thức nhân đôi
 I. 5. Công thức hạ bậc
I. 6. Công thức tính theo 
 I. 7. Công thức nhân ba
 I. 8. Công thức biến đổi tổng thành tích
 I. 9. Công thức biến đổi tích thành tổng
 I. 10. Bảng giá trị lượng giác của các cung đặc biệt
Cung
sin
cos
tan
 ║
cot
║
║
Chú ý: 
 với ứng với .
Công thức đổi từ độ sang radian và ngược lại: 
 I. 11. Đường tròn lượng giác
II. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
II. 1. Phương trình lượng giác cơ bản:
 II.1.1. Phương trình 
 : Phương trình vô nghiệm
 Tổng quát: 
* Các trường hợp đặc biệt
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
Giải
 II.1.2. Phương trình 
 : Phương trình vô nghiệm
 Tổng quát: 
* Các trường hợp đặc biệt
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
	;	
Giải
 II.1.3. Phương trình 
 Tổng quát: 
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
Giải
 II.1.4. Phương trình 
 Tổng quát: 
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
Giải
Bài tập đề nghị: 
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1) 	2) 	3) 
4) 	5) 	6) 
7) 	8) 	9) 
10) 	11) 	12) 
13)	14) 	15) 
16) 	17) 	18) 	
19) 	20) 	21) 
22) 	23) 
24) 	25) 	26) 
27) 	28) 
Bài 2: Tìm sao cho:.
Bài 3: Tìm sao cho:.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: Giải các phương trình sau:
18) 
22) 
23) 
24) 
25) 
Vì hoặc không là nghiệm của pt (25) nên ta có:
26) 
Vì hoặc không là nghiệm của pt (26) nên ta có:
II.2. Một số phương trình lượng giác thường gặp:
II.2.1. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: 
II.2.1.1. Định nghĩa: phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng t trong đó a,b là các hằng số và t là một trong các hàm số lượng giác.
 Ví dụ: 
II.2.1.2. Phương pháp: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản. 
Giải
II.2.1.3. Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác:
Ví dụ: Giải phương trình sau:	
Giải
Bài tập đề nghị: Giải các phương trình sau:
29) 	30) 
 II.2.2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: 
II.2.2.1. Định nghĩa: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng , trong đó a, b, c là các hằng số và t là một trong các hàm số lượng giác.
 Ví dụ: 
 a) là phương trình bậc hai đối với .
 b) là phương trình bậc hai đối với .
 c) là phương trình bậc hai đối với .
 d) là phương trình bậc hai đối với .
II.2.2.2. Phương pháp: Đặt ẩn phụ t là một trong các hàm số lượng giác đưa về phương trình bậc hai theo t giải tìm t, đưa về phương trình lượng giác cơ bản (chú ý điều kiện nếu đặt t bằng sin hoặc cos).
Giải
Đặt , điều kiện . Phương trình (1) trở thành:
Với t=1, ta được 
Đặt , điều kiện . Phương trình (2) trở thành:
Với ta được 
Các câu còn lại giải tương tự
II.2.2.3. Phương trình đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
Giải
	*) Giải phương trình:
*) Giải phương trình: 
	Vì nên phương trình vô nghiệm.
	Kết luận: vậy nghiệm của phương trình đã cho là 
	 Điều kiện: và 
	 Khi đó: 
Đặt , ta giải phương trình bậc hai theo t: 
Bài tập đề nghị: Giải các phương trình sau:
31) 	32) 	33) 
34) 	35) 	36) 
37) 	38) 	
39) 	40) 
 II.2.3. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx: 
II.2.3.1. Định nghĩa: Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx là phương trình có dạng 
II.2.3.2. Phương pháp:
 Kiểm tra có là nghiệm không, nếu có thì nhận nghiệm này.
 chia cả hai vế cho đưa về phương trình bậc hai theo : 
Ví dụ: Giải phương trình sau
Bài tập đề nghị:
41) 	42) 
43) 	44) 
45) 	46) 
 II.2.4. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x : 
II.2.4.1. Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x là phương trình có dạng trong đó và 
Ví dụ: 
II.2.4.2. Phương pháp: Chia hai vế phương trình cho ta được:
Nếu : Phương trình vô nghiệm.
Nếu thì đặt 
 (hoặc )
 Đưa phương trình về dạng: (hoặc ) sau đó giải phương trình lượng giác cơ bản.
Chú ý: Phương trình trong đó và có nghiệm khi .
Giải
Ví dụ: giải các phương trình sau:
a) 	b) 
Bài tập đề nghị: Giải các phương trình sau:
47) 	48) 	49) 
50) 	51) 	52) 
53) 	(*)	54) 
III. BÀI TẬP
 Bài 1. Giải các phương trình sau:
 55. 56. 57. 
 58. 59. 60. 
 61. 62. 63. 
Bài 2. Giải các phương trình sau:
 64. 65. 66. 
 67. 68. 69. 
 70. 71. 
 72. (*)	 	73. 
 74. 	 75. 
Bài 3. Giải các phương trình sau:
 76. 77. 78. 
 79. 80. 
Bài 4. Giải các phương trình sau:
81) 	
82) 
83) 
84) 
85) 
86) 
87) 
88)
89)
90)
91) 
92)
93)
94)
95) 
96) 
97)
98)
99) 
Dành cho HS khá – giỏi
100) 
101) 
HD: 
Giải phương trình 
102)
103)
Hướng dẫn:
104)
105) 
Hướng dẫn
, (điều kiện và )
HD giải pt 91b): 
Đặt 
Thay vào phương trình, ta được:
Ta giải 2 phương trình: ; 
106)
HD: 
Giải phương trình bậc hai đối với hàm số 
107)
	HD: 
108)
109)
200)
HƯỚNG DẪN GIẢI
52) 
53) 
 72) 
85) 
87) 
BÀI TẬP BỔ SUNG:
Giải các phương trình sau:
201) 
202) 
203) 
204) 
205) (*)
206) (*) (hay)
207) 
 III. ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG QUA CÁC NĂM
 	 (Khối A - 2005)
 	 (Khối B - 2005)
 	 (Khối D - 2005)
	(Khối A - 2006)
5) 	(Khối B - 2006)
6)	 (Khối D - 2006)
7)	(Khối A – 2007)
8)	(Khối B – 2007)
9) 	(Khối D – 2007)
10)	(Khối A – 2008)
11)	(Khối B – 2008)
12)	(Khối D – 2008)
13)	(Khối A – 2009)
14)	(Khối B – 2009)
15)	(Khối D – 2009)
16)	(Khối A – 2010)
17) 	(Khối B – 2010)
18) 	(Khối D – 2010)
19) 	(Khối A - 2011)
20) 	(Khối B - 2011)
21) 	(Khối D - 2011)
22)	(Khối A và - 2012)	
23) 	(Khối B - 2012)
24) 	(Khối D - 2012)
PHƯƠNG TRÌNHLƯỢNG GIÁC
I. Phương trình lượng giác cơ bản:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1) 	2) 	3) 
4) 	5) 	6) 
7) 	 8) 	9) 
10) 	11) 	12) 
13)	 14) 	15) 
16) 	17) 	18) 	
19) 	20) 	21) 
22) 	 23) 
24) 	 25) 	26) 
27) 	 28) 
 Bài 2: Tìm sao cho:.
 Bài 3: Tìm sao cho:.
II. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
 Bài 1
1) 	2) 	
4) 	 3) 	 6) 5) 
 8) 
7) 	 	
9) 10) 
 Bài 2. Giải các phương trình sau:
 64. 65. 66. 
 67. 68. 69. 
 70. 71. 
 72. (*)	 	73. 
 74. 	 75. 
III. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx: 
1) 	2) 
3) 	4) 
5) 	 6) 
 7) 
 8) 
IV.Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x :
 Bài 1.
1) 2 ) 	3) 
4) 	 5) 	6) 
 7) 8) 	 9)
 10) 	 11) 12) 
 14) 
 Bài 2. Giải các phương trình sau:
 1. 2. 3. 
 4. 5. 
 IV. ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG QUA CÁC NĂM
5) 	
6)	 7)	
8)	
9) 	
10)	11)	
12)	
13)	
14)	
15)	
16)	
17) 	
18) 	
19) 	 20) 	
21) 	
22)	
23) 	
24)