Chuyên đề 1: Vận dụng bất đẳng thức cosi để tìm cực trị

Chuyên đề 1:
 Vận dụng bất đẳng thức cosi để tìm cực trị.
 Chúng ta đã biết với a0; b0 thì a + b 2 (1) 
 (dấu “=” xảy ra a = b).
Đó là bất đẳng thức Co-si đối với hai số không âm. Bất đẳng thức này còn được mở rộng đối với n số không âm: với a1,a2,,an 0 thì 
 a1 + a2 ++ an n ( dấu “=” xảy ra a1= a2= =an). Với hai số dương a, b từ bất đẳng thức (1) ta suy ra:
Nếu ab= k (không đổi) thì min(a+b) = 2 (khi và chỉ khi a = b).
Nếu a+b = k(không đổi) thì max(ab) = (khi và chỉ khi a = b).
Kết quả trên được mở rộng đối với n số không âm:
Nếu a1a2an = k (không đổi) thì
Min(a1+a2++an) = n(khi và chỉ khi a1=a2==an).
Nếu a1+a2++an = k (không đổi) thì
max(a1a2an) = (khi và chỉ khi a1=a2==an).
Vận dụng bất đẳng thức Cosi ta có thể tìm được giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của một số biểu thức. Ta hãy bắt đầu bằng một ví dụ đơn giản.
Thí dụ 1: Cho x>0,y>0 thoã mãn điều kiện .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= .
Giải: Vì x>0, y>0 nên .Vận dụng bất đẳng thức Co-si đối với hai số dương và ta được suy ra 
Vận dụng bất đẳng thức Co-si đối với hai số dương ta được:
 A= (dấu “=” xảy ra 
Vậy min A =4 (khi và chỉ khi x=y= 4).
Nhận xét về phương pháp giải:
Trong thí dụ trên ta đã vận dụng bất đẳng thức cosi theo hai chiều ngược nhau. Lần thứ nhất ta đã “làm trội” bằng cách vận dụng để dùng điều kiện tổng , từ đó được 
Lần thứ hai ta đã “làm giảm” ttổng (bằng cách vận dụng bất đẳng thức cosi theo chiều a+b2 để dùng kết quả 
Không phải lúc nào ta cũng có thể dùng trực tiếp bất đẳng thức cosi đối với các số trong đề bài.Dưới đây ta sẽ nghiên cứu một số biện pháp biến đổi một biểu thức để có thể vận dụng bất đẳng thức cosi rồi tìm cực trị của nó.
Biện pháp 1: Để tìm cực trị của một biểu thức ta tìm cực trị của bình phương biểu thức đó.
Thí dụ2: Tìm gia trị lớn nhất của biểu thức: A=
Giải: ĐKXĐ : .
A2 = (3x-5) + (7-3x) + 2
A2 (dấu “=” xảy ra 3x- 5 = 7- 3x x = 2).
Vậy max A2 = 4 maxA=2 (khi và chỉ khi x=2).
Nhận xét về cách giải:
Biểu thức A được cho dưới dạng tổng của hai căn thức.Hai biểu thức lấy căn có tổng không đổi(bằng2).Vì vậy,nếu ta bình phương biểu thức A thì sẽ xuất hiện hạng tử là hai lần của hai căn thức.Đến đây có thể vận dụng bất đẳng thức cosi:
 .
Biện pháp hai : Nhân và chia một biểu thức với cùng một số khác 0.
Thí dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Giải: ĐKXĐ: x.
(dấu bằng xảy ra ).
Vậy maxA= (khi và chỉ khi x= 18).
Nhận xét về cách giải :
Trong cách giải trên, x- 9 được biểu diễn thành và ta đã gặp may măn ở chỗ khi vận dụng bất đẳng thức cosi, tích được làm trội thành nữa tổng có dạng kx có thể rút gọn cho x ở dưới mẫu,kết quả là một hằng số.
Con số 3 ở trên tìm được bằng cách lấy căn bậc hai của 9,số 9 này có trong đề bài(bạn đọc tự phân tích).
Biện pháp 3: Biến đổi biểu thức đã cho thành tổng của các biểu thức sao cho tích của chúng là một hằng số.
Tách một hạng tử thành tổng của nhiều hạng tử bằng nhau.
Thí dụ 4: Cho x,tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 
Giải: A= 
Dấu bằng xảy ra .
Vậy minA = 8(khi và chỉ khi x = 2).
Nhận xét :
Hai số dương 3x và có tích không phải là một hằng số.Muốn khử được x3 thì ở tử phải có x3= x.x.x do đó ta phải biểu diễn 3x= x+x+x rồi dùng bất đẳng thức cosi với 4 số dương.
Tách một hạng tử chưa biết chứa biến thành tổng của một hằng số với một hạng tử chứa biến sao cho hạng tử này là nghịch đảo của hạng tử khác có trong biểu thức đã cho(có thể sai khác một hằng số).
Thí dụ 5:
Cho 0<x<2, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= 
Giải: A= 
 A 
(dấu “=” xảy ra ).
Vậy minA = 7 (khi và chỉ khi x=
Nhận xét về phương pháp giải:
Trong cách giải trên ta đã tách thành tổng .Hạng tử nghịch đảo với nên khi vận dụng bất đẳng thức cosi ta được tích của chúng là một hằng số.
Biện pháp 4: Thêm một hạng tử vào biểu thức đã cho.
Thí dụ 6: Cho ba số dương x,y,z thoã mãn điều kiện x+y+z = 2.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Giải: áp dụng bất đẳng thức Cosi đối với hai số dương và ta được:
Tương tự : 
Vậy () + 
P (dấu “=” xảy ra x=y=z=).
Vậy minP = 1(khi và chỉ khi x=y=z=).
Nhận xét vè phương pháp giải:
Ta đã thêm vào hạng tử thứ nhất có trong đề bài,để khi vận dụng bất đẳng thức cosi có thể khử được (y+z). Cũng như vậy đối với hạng tử thứ hai và 3 Dấu đẳng thức xảy ra đồng thời trong (1),(2),(3) khi và chỉ khi x=y=z=
Nêu ta lần lượt thêm (y+z),(z+x),(x+y) vào thì ta cũng khử được (y+z),(z+x),(x+y) nhưng điều quan trọng là không tìm được giá trị của x,y,z để dấu đẳng thức xảy ra đồng thời do đó không tìm được giá trị bé nhất của P.
Các bài tâp:
Bài 1: Cho x>0,y>0 và x+y = 2a (a>0).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=.
HD: 
 (dấu “=” xảy ra 
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức A=
HD: ĐKXĐ: . maxA2 = 36maxA = 6 (khi và chỉ khi x=14).
Bài 3: Cho x+y = 15,tìm GTLN,GTNN của biểu thức 
B = .
HD: 
 MaxB2 = 16 
Bài 4: Tìm GTNN của biểu thức A = với x> 0.
HD: A (dấu “=” xảy ra 
Bài 5:Cho a,b,x là những số dương.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 P = .
HD: 
 (dấu “=” xảy ra )
Bài 6: Cho x,tìm GTNN của biểu thức .
HD: 
(dấu “=” xảy ra ).
Bài 7: Tìm GTNN của M = 
HD: Tương tự bài 6. Ta có kết quả: minM = 10 (khi và chỉ khi x= 4).
Bài 8: Cho x>0, tìm GTNN của biểu thức N = .
HD: 
(Dấu “=” xảy ra ).
Bài 9: Cho x>0;y>0 và x+y.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
HD: 
 (dấu “=” xảy ra và 
Bài 10:Cho x>y và xy=5,tìm GTNN của biểu thức 
HD: 
(dấu “=” xảy ra kết hợp với điều kiện xy=5 ta được x=5;y=1 hoặc x=-1;y=-5.)
Bài 11:Cho x>1,tìm GTLN của biểu thức .
HD: 
Dấu bằng xảy ra 
Bài 12: Cho 0<x<1, tìm GTNN của biểu thức 
HD: 
Dấu “=” xảy ra 
Chú ý: Làm thế nào để có thể biểu diễn được 
Ta đặt 
Sau đó dùng phương pháp đồng nhất hệ số,tìm được a = b =1; c = 2.
Bài 13: Cho x,y,z thoã mãn điều kiện x+y+z=a.
Tìm GTLN của biểu thức A= xy+yz+zx;
Tìm GTNN của biểu thức B= x2 + y2 + z2.
HD: a) 
 (dấu “=” xảy ra )
B= x2 + y2 + z2 = (x+y+z)2 -2(xy+yz+zx) 
B = a2 -2(xy+yz+xz).
B min max (theo câu a).
Lúc đó min B = (khi và chỉ khi x=y=z=).
Bài 14: Cho x,y,z là các số dương thoã mãn điều kiện x+y+z 
Tìm GTNN của biểu thức P = 
HD:áp dụng bất đẳng thức cosi :
Do đó P2 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=4.
Vậy minP = 6 (khi và chỉ khi x=y=z=4).
Bài 15: Cho x,y,z là các số dương thoã mãn điều kiện x+y+z =a.
Tìm GTNN của biểu thức .
HD: 
Do đó .(dấu “=” xảy ra ).
Bài 16: Cho a,b,c là các dương thoã mãn điều kiện a+b+c = 1.
Tìm GTNN của biểu thức A = 
HD: a+b+c =1 
Tương tự 1-b>0;1-c>0.
Mặt khác 1+a=1+(1-b-c) = (1-b) + (1-c) 
Tương tự, 
Suy ra 
 . Dấu “=” xảy ra khi 1-a=1-b=1-c a=b=c=.
Bài 17: Cho x,y thoã mãn điều kiện x+y = 1 và x>0. Tìm GTLN của biểu thức 
 B = x2y3.
HD: Nếu thì 
 Nếu y thì :
1= x+y = 
Suy ra: 
Dấu “=” xảy ra .