Chủ đề Phương trình bậc hai một ẩn

Chủ đề phương trình bậc hai một ẩn
A. Kiến thức cần nhớ
I. Định nghĩa : Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng 
trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và 
II. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai :
Phương trình bậc hai 
*) Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt :
*) Nếu phương trình có nghiệm kép : 
*) Nếu phương trình vô nghiệm.
III. Công thức nghiệm thu gọn : 
Phương trình bậc hai và 
*) Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt :
*) Nếu phương trình có nghiệm kép : 
*) Nếu phương trình vô nghiệm.
IV. Hệ thức Vi - et và ứng dụng :
1. Nếu x1; x2 là hai nghiệm của phương trình thì : 
2. Muốn tìm hai số u và v, biết u + v = S, uv = P, ta giải phương trình :
(Điều kiện để có u và v là )
3. Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm : 
 Nếu a - b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm : 
C. Các dạng bài hay gặp trong bộ môn Toán
1. Phương trình bậc hai dạng khuyết :
a/ Phương trình bậc hai khuyết hạng tử bậc nhất :
b/ Phương trình bậc hai khuyết hạng tử tự do :
Phương pháp giải : Phân tích đa thức vế trái thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung, đưa về phương trình tích rồi giải.
2. Phương trình bậc hai đầy đủ :
Phương pháp giải :
- Sử dụng công thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn để giải.
- Sử dụng quy tắc nhẩm nghiệm để tính nghiệm với một số phương trình đặc biệt.
3. Phương trình đưa được về phương trình bậc hai :
a/ Phương trình trùng phương : 
Phương pháp giải : Đặt t = x2() đưa về dạng : 
b/ Phương trình chứa ẩn ở mẫu : 
Phương pháp giải :
- Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình.
- Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu.
- Bước 3. Giải phương trình vừa nhận được.
- Bước 4. Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thỏa mãn điều kiện xác định, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho.
c/ Phương trình tích.
 4. Không giải phương trình tính giá trị của biểu thức nghiệm (áp dụng định lý Vi-et)
Tỡm điều kiện tổng quỏt để phương trỡnh ax2+bx+c = 0 (a ạ 0) cú: 
 1. Cú nghiệm (cú hai nghiệm) Û D ³ 0
 2. Vụ nghiệm Û D < 0
 3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kộp, hai nghiệm bằng nhau) Û D = 0
 4. Cú hai nghiệm phõn biệt (khỏc nhau) Û D > 0
 5. Hai nghiệm cựng dấu Û D³ 0 và P > 0
 6. Hai nghiệm trỏi dấu Û D > 0 và P < 0 Û a.c < 0
 7. Hai nghiệm dương(lớn hơn 0) Û D³ 0; S > 0 và P > 0
 8. Hai nghiệm õm(nhỏ hơn 0) Û D³ 0; S 0
 9. Hai nghiệm đối nhau Û D³ 0 và S = 0
 10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau Û D³ 0 và P = 1
 11. Hai nghiệm trỏi dấu và nghiệm õm cú giỏ trị tuyệt đối lớn hơn Û a.c < 0 và S < 0
 12. Hai nghiệm trỏi dấu và nghiệm dương cú giỏ trị tuyệt đối lớn hơn 
 Û a.c 0
(ở đú: S = x1+ x2 = ; P = x1.x2 = )
Bài 1. Giải các phương trình sau :
Bài 2. Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m : (1)
a/ Giải phương trình với m = - 2.
b/ Gọi x1; x2 là các nghiệm của phương trình. Tính theo m.
c/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : .
d/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : 2x1 + 3x2 = 5.
e/ Tìm m để phương trình có nghiệm x1 = - 3. Tính nghiệm còn lại.
f/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
g/ Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào giá trị của m.
d/ Theo phần b : Phương trình có nghiệm 
Khi đó theo định lý Vi-et, ta có : 
Hệ thức : 2x1 + 3x2 = 5 (c)
Từ (a) và (c) ta có hệ phương trình : 
Thay vào (b) ta có phương trình : 
=> phương trình có hai nghiệm phân biệt :
Thử lại :	+) Với => thỏa mãn.
	+) Với => thỏa mãn.
Vậy với phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : 2x1 + 3x2 = 5.
e/ Phương trình (1) có nghiệm 
Khi đó : 
Vậy với m = 6 thì phương trình có nghiệm x1 = x2 = - 3.
f/ Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu 
Vậy với m < - 3 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu.
g/ Giả sử phương trình có hai nghiệm x1; x2. Khi đó theo định lí Vi-et, ta có : 	
BÀI TẬP:
Bài 1. Giải các phương trình :
Bài 2: Cho phương trình ẩn x, tham số m : 
a/ Giải phương trình (1) khi m = 5.
b/ Chứng tỏ rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
c/ Trong trường hợp phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2. Hãy tính theo m giá trị của biểu thức Tìm m để A = 0.
Bài 8. Cho phương trình ẩn x, tham số m : 
a/ Tìm số nguyên m nhỏ nhất sao cho phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
b/ Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm số nguyên m lớn nhất sao cho là một số nguyên.
Bài 3:Cho phương trình bậc hai ẩn x, m là tham số :
	(1)
a/ Chứng tỏ rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
b/ Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là . Hãy tìm m để 
Bài 4: Cho phương trình bậc hai ẩn x, m là tham số :
	(1)
a/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của m phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt ?
b/ Hãy tìm m để phương trình (1) có một nghiệm . Khi đó hãy tìm nghiệm của phương trình đó 
Bài 5: Cho phương trình bậc hai ẩn x, m là tham số : 
a/ Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.
b/ Chứng minh rằng với mọi m phương trình (1) không thể có hai nghiệm cùng là số âm.
c/ Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 - 2x2 = 5.
Bài 6: Cho phương trình bậc hai ẩn x (m, n là các tham số) :
	(1)
	a/ Giải phương trình (1) khi m = n = 1.
	b/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, n thì phương trình (1) luôn có nghiệm.
	c/ Tìm m, n để phương trình (1) tương đương với phương trình .
Bài 7:.Cho phương trình : 
	a/ Giải phương trình khi 
	b/ Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có nghiệm.
Bài 8:
Cho phương trình bậc hai :
	(1)
	a/ Tìm các giá trị của m để phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b/ Tìm giá trị của m thỏa mãn (Trong đó là hai nghiệm của phương trình) ?
Bài 9. 
Cho phương trình: x2 - ( m + 1)x + m2 - 2m + 2 = 0
1. Giải phương trình với m = 2 
2. Tìm m để phương trình có nghiệm kép; vô nghiệm; có hai nghiệm phân biệt.
Bài 10: 
Cho phương trình: x2 - 2(m + 1)x + m - 4 = 0 (1) (m là tham số)
1) Giải phương trình (1) với m = 1.
2) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.
3) Với x1, x2 là nghiệm của (1). Tính theo m giá trị của biểu thức: 
 A = x1(1 - x2) + x2(1 - x1).
Bài 12. 
Cho phương trình (ẩn x) : 2x2 + mx + m - 3 = 0 (1)
1) Giải phương trình (1) khi m = -1.
2) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
3) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương.
Bài 13
Cho phương trình bậc hai 	(x là ẩn)	(1)
	a/ Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
	b/ Gọi x1; x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1). Hãy tìm m để 
Bài 14. 
Cho phương trình x2 - 2x - 1 = 0 có hai nghiệm là x1, x2. 
Tính giá trị của biểu thức : 
Bài 15. (
Cho phương trình : 	(1)	(m là tham số).
a/ Giải phương trình (1) với m = 3.
b/ Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn : .
KIỂM TRA CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRèNH
Bài 1: Giải cỏc phương trỡnh:
Bài 2: Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m : (1)
a/ Giải phương trình với m = - 2.
b/ Tìm m để phương trình có nghiệm x1 = - 3. Tính nghiệm còn lại.
c/ Chứng tỏ phương trỡnh (1) luụn cú hai nghiệm phõn biệt với mọi m.
d/ Gọi x1; x2 là các nghiệm của phương trình .Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của A = 
e/Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : .
f/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : 2x1 + 3x2 = 5.
g/ Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào giá trị của m
h/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
Bài làm.