Các đề thi học sinh giỏi Toán 7 hay

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN 
Môn: Toán 7
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể giao đề)
Đề 1.1
A/ PHẦN ĐỀ CHUNG
Câu 1 (1,5điểm):
(0,75đ) Tính tổng B = 1+5+52+53+ +52008+52009
(0,75đ) Thực hiện phép tính 
Câu 2 (2điểm):
(1đ) Tìm x, y biết : 
(1đ) Tìm x biết 
Câu 3 (1,5điểm):
	Vẽ đồ thị hàm số: y = -
Câu 4 (3điểm):
(1,5đ) Hiện nay anh hơn em 8 tuổi. Tuổi của anh cách đây 5 năm và tuổi của em sau 8 năm nữa tỉ lệ với 3 và 4. Hỏi hiện nay anh bao nhiêu tuổi? Em bao nhiêu tuổi?
(1,5đ) Cho (góc A=900). Kẻ AHBC, kẻ HPAB và kéo dài để có 
PE = PH. Kẻ HQ AC và kéo dài để có QF = QH.
	a./ Chứng minh APE = APH và AQH = AQF
	b./ Chứng minh 3 điểm E, A, F thẳng hàng.
B/ PHẦN ĐỀ RIÊNG
Câu 5 A (2điểm): (Dành cho học sinh chuyên toán)
(1,5đ) Tính tổng
S = 1 + 2 + 5 + 14 + + (với n Z+)
	b. (0,5đ) Cho đa thức f(x) = x4 + 2x3 – 2x2 – 6x + 5
	Trong các số sau: 1, -1, 5, -5 số nào là nghiệm của đa thức f(x)
Câu 5 B (2điểm): (Dành cho học sinh không chuyên toán)
(1,5đ) Tìm x Z để A có giá trị nguyên
A = 
	b. (0,5đ) Chứng minh rằng: 76 + 75 – 74 chia hết cho 55
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN 
Môn: Toán 7
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể giao đề)
Đề 1.2
A/ PHẦN ĐỀ CHUNG
Câu 1 (1,5điểm) 
(1đ) Tính tổng: M = -
(0,5đ) Tìm x biết: -4x(x – 5) – 2x(8 – 2x) = -3
Câu 2 (1,5điểm)
(1đ) Tìm x, y, z biết:
 và x2 + y2 + z2 = 14
(0,5đ) Cho x1 + x2 + x3 + + x50 + x51 = 0
và x1 + x2 = x3 + x4 = x5 + x6 =  = x49 + x50 = 1
tính x50
Câu 3 (2điểm)
(1đ) Trên mặt phẳng toạ độ, cho 2 điểm M(-3;2) và N(3;-2). Hãy giải thích vì sao gốc toạ độ O và hai điểm M, N là 3 điểm thẳng hàng?
(1đ) Cho đa thức: Q(x) = x 
a./ Tìm bậc của đa thức Q(x)
b./ Tính Q
c./ Chứng minh rằng Q(x) nhận giá trị nguyên với mọi số nguyên x
Câu 4 (3điểm)
(1đ) Ba tổ công nhân A, B, C phải sản xuất cùng một số sản phẩm như nhau. Thời gian 3 tổ hoàn thành kế hoạch theo thứ tự là 14 ngày, 15 ngày và 21 ngày. Tổ A nhiều hơn tổ C là 10 người. Hỏi mỗi tổ có bao nhiêu công nhân? (Năng suất lao động của các công nhân là như nhau)
(2đ) Cho hình vuông ABCD. Trên nửa mặt phẳng chứa điểm B bờ là đường thẳng AD vẽ tia AM (M CD) sao cho góc MAD = 200. Cũng trên nửa mặt phẳng này vẽ tia AN (N BC) sao cho góc NAD = 650. Từ B kẻ BH AN (H AN) và trên tia đối của tia HB lấy điểm P sao cho HB = HP chứng minh:
a./ Ba điểm N, P, M thẳng hàng
b./ Tính các góc của AMN
B/ PHẦN ĐỀ RIÊNG
Câu 5 A. (2điểm) Dành cho học sinh chuyên
(1đ) Chứng minh rằng: 222333 + 333222 chia hết cho 13
(1đ) Tìm số dư của phép chia 109345 cho 7
Câu 5 B. (2điểm) Dành cho học sinh không chuyên
(1đ) Tìm số nguyên dương n biết
 = 2n
(1đ) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì:
3n+3 + 2n+3 – 3n+2 + 2n+2 chia hết cho 6
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN 
Môn: Toán 7
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể giao đề)
Đề 1.3
A/ PHẦN ĐỀ CHUNG
Câu 1 (2,5điểm):
(1,75đ) Tính tổng: M = 3
(0,75đ) Tính giá trị của đa thức sau tại x = -1
x2 + x4 + x6 + x8 +  + x100
Câu 2 (1điểm):
(0,5đ) Cho tỉ lệ thức tính giá trị của 
(0,5đ) Cho tỉ lệ thức chứng minh rằng 
Câu 3 (2,5điểm):
(1,5đ) Cho hàm số y = - và hàm số y = x -4
* Vẽ đồ thị hàm số y = -x
* Chứng tỏ M(3;-1) là giao của hai đồ thị hàm số trên
* Tính độ dài OM (O là gốc toạ độ)
b. (1đ) Một ôtô tải và một ôtô con cùng khởi hành từ A à B, vận tốc ôtô con là 40km/h, vận tốc ôtô tải là 30km/h. Khi ôtô tải đến B thì ôtô con đã đến B trước 45 phút. Tính độ dài quãng đường AB.
Câu 4 (2điểm): Cho ABC có góc A = 900, vẽ phân giác BD và CE (DAC ; E AB) chúng cắt nhau tại O.
a. (0,5đ) Tính số đo góc BOC
b. (1đ) Trên BC lấy điểm M và N sao cho BM = BA; CN = CA chứng minh EN// DM
c. (0,5đ) Gọi I là giao của BD và AN chứng minh AIM cân.
B/ PHẦN ĐỀ RIÊNG
Câu 5 A (2điểm): Dành cho học sinh chuyên
(1đ) Chứng minh rằng đa thức sau không có nghiệm:
P(x) = 2x2 + 2x + 
(1đ) Chứng minh rằng: 2454.5424.210 chia hết cho 7263
Câu 5 B (2điểm): Dành cho học sinh không chuyên
(1đ) Tìm nghiệm của đa thức 5x2 + 10x
(1đ) Tìm x biết: 5(x-2)(x+3) = 1
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN 
Môn: Toán 7
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể giao đề)
Đề 1.4
A/ PHẦN ĐỀ CHUNG
Câu 1 (1,5điểm):
(0,75đ) Tính tổng M = 5
(0,75đ) Cho các số a1, a2, a3 an mỗi số nhận giá trị là 1 hoặc -1 
Biết rằng a1a2 + a2a3 +  + ana1 = 0. Hỏi n có thể bằng 2002 được hay không?
Câu 2 (2 điểm)
(1đ) Tìm x biết 
(1đ) Tìm x, y, z biết 3x = 2y; 7y = 5z và x – y + z = 32
Câu 3 (1,5điểm)
Cho hình vẽ, đường thẳng OA là đồ thị hàm số y = f(x) = ax (a0)
Tính tỉ số 
Giả sử x0 = 5 tính diện tích 
y0
2
1
X0
C
B
A
x
o
1 2 3 4 5
y
Câu 4 (3điểm) 
(1đ) Một ôtô tải và một ôtô con cùng khởi hành từ A à B, vận tốc ôtô con là 40km/h, vận tốc ôtô tải là 30km/h. Khi ôtô tải đến B thì ôtô con đã đến B trước 45 phút. Tính độ dài quãng đường AB.
(2đ) Cho ABC, gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của AC và AB. Trên tia đối của tia MB lấy điểm D sao cho MD = MB, trên tia đối của tia NC lấy điểm E sao cho NE = NC. Chứng minh rằng:
Ba điểm E, A, D thẳng hàng
A là trung điểm của ED
B/ PHẦN ĐỀ RIÊNG
Câu 5 A (2điểm) Dành cho học sinh chuyên
(1đ) So sánh và + 1
(1đ) Cho hai đa thức P(x) = x2 + 2mx + m2 và Q(x) = x2 + (2m+1)x + m2
Tìm m biết P(1) = Q(-1)
Câu 5 B (2điểm) Dành cho học sinh không chuyên
(1đ) So sánh 2300 và 3200
(1đ) Tính tổng A = 1 + 2 + 22 +  + 22010
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN 
Môn: Toán 7
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể giao đề)
Đề 1.5
A/ PHẦN ĐỀ CHUNG
Câu 1 (1,5 điểm): (1đ) Tính tổng: A = + 
(0,5đ) Tìm các số a1, a2, a3,  a9 biết
 và a1 + a2 + a3 +  + a9 = 90
Câu 2 (2 điểm)
(1đ) Tìm x, y biết 
(1đ) Chỉ ra các cặp (x;y) thoả mãn = 0
Câu 3 (1,5điểm)
 a. (1đ) Cho hàm số y = f(x) = 	x + 1 với x ≥ -1
	-x – 1 với x < -1
	* Viết biểu thức xác định f
	* Tìm x khi f(x) = 2
 b. (0,5đ) Cho hàm số y = 
	* Vẽ đồ thị hàm số
	* Tìm trên đồ thị điểm M có tung độ là (-2), xác định hoành độ M (giải bằng tính toán).
Câu 4 (3điểm)
(1đ) Một ôtô dự định đi từ A đến B trong một thời gian dự định với vận tốc 40km/h. Sau khi đi được 1/2 quãng đường AB thì ôtô tăng vận tốc lên 50km/h trên quãng đường còn lại. Do đó ôtô đến B sớm hơn dự định 18 phút. Tính quãng đường AB.
(2đ) Cho ABC vuông cân ở A, M là trung điểm của BC, điểm E nằm giữa M và C. Kẻ BH, CK vuông góc với AE (H và K thuộc đường thẳng AE). Chứng minh rằng:
* BH = AK
* MBH = MAK
* MHK là tam giác vuông cân
B/ PHẦN ĐỀ RIÊNG 
Câu 5 A (2điểm) Dành cho học sinh chuyên
(1đ) Tìm các số x, y, z thoả mãn đẳng thức
 + + = 0
 	b. (1đ) Tìm x, y, z biết:	x + y = x : y = 3(x – y)
Câu 5 B (2điểm) Dành cho học sinh không chuyên
(1đ) Tìm x biết: 2x + 2x+1 + 2x+2 + 2x+3 = 120
(1đ) Rút gọn biểu thức sau một cách hợp lí: A = 
ĐÁP ÁN & BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN 7
Bài 1. 4đ
a) 74( 72 + 7 – 1) = 74. 55 55 (đpcm)	2đ
b) Tính A = 1 + 5 + 52 + 53 + . . . + 549 + 55 0	 (1)
	 5.A = 5 + 52 + 53 + . . . + 549 + 55 0 + 551 (2)	1đ
Trừ vế theo vế (2) cho (1) ta có : 4A = 551 – 1 => A = 	1đ
Bài 2. 4đ
a) ó => a = 10, b = 15, c =20.	2đ
b) Gọi số tờ giấy bạc 20 000đ, 50 000đ, 100 000đ theo thứ tự là x, y, z ( x, y, z N*) 0,5đ
Theo bài ra ta có: x + y + z = 16 và 20 000x = 50 000y = 100 000z	 0,5đ
Biến đổi: 20 000x = 50 000y = 100 000z 
=> 	 0,5đ
Suy ra x = 10, y = 4, z = 2.
Vậy số tờ giấy bạc loại 20 000đ, 50 000đ, 100 000đ theo thứ tự là 10; 4; 2.	 0,5đ
Bài 3. 4đ
f(x) + g(x) = 12x4 – 11x3 +2x2 - x - 	 1đ
 f(x) - g(x) = 2x5 +2x4 – 7x3 – 6x2 - x + 	 1đ
A = x2 + x4 + x6 + x8 + + x100 tại x = - 1
A = (-1)2 + (-1)4 + (-1)6 ++ (-1)100 = 1 + 1 + 1 ++ 1 = 50 (có 50 số hạng) 2đ
Bài 4. 4đ: Vẽ hình (0,5đ) – phần a) 1,5đ - phần b) 2đ
a) ABD =EBD (c.g.c) => DA = DE
b) Vì ABD =EBD nên góc A bằng góc BED
 Do góc A bằng 900 nên góc BED bằng 900
Bài 5: 4đ
a) Tam giác ABC và tam giác ABG có:
 DE//AB, DE = AB, IK//AB, IK= AB
 Do đó DE // IK và DE = IK
b)GDE = GIK (g. c. g) vì có: DE = IK (câu a)
 Góc GDE = góc GIK (so le trong, DE//IK)
 Góc GED = góc GKI (so le trong, DE//IK)
 GD = GI. Ta có GD = GI = IA nên AG = AD
Vẽ hình: 0,5đ
Phần a) đúng: 2đ
Phần b) đúng: 1,5đ
ĐÁP ÁN 1.2
I. PHẦN ĐỀ CHUNG
Câu 1 (1,5đ)
a. (1đ)- Đưa dấu “ – “ ra ngoài dấu ngoặc
	- Tách một phân số thành hiệu 2 phân số rồi rút gọn được A = 
b. (0,5đ) 	Biến đổi rồi rút gọn ta được x = -
Câu 2 (1,5đ)
a. (1đ)- Biến đổi các mẫu dưới dạng lập phương đưa về dạng 
	- áp dụng tính chất dãy TSBN rồi tìm x, y, z
b. (0,5đ)	Kết quả x50 = 26
Câu 3 (2đ)
a. (1đ)	
 	Gọi đường thẳng (d) đi qua O và M(-3;2) là đồ thị hàm số dạng y = ax (a0) từ đó tính a để xác định hàm số OM là đồ thị hàm số.
	- Kiểm tra điểm N(3;-2) có thuộc đồ thị hàm số không?
	 kết luận: O, M, N thẳng hàng
b. (1đ)	- Thu gọn Q(x) = bậc Q(x) là 3	(0,25đ)
	- Q(-) = = 	(0,25đ)
	- Q(x) = là một số chẵn Q(x) Z 	(0,5đ)
Câu 4(3đ)
a. (1đ) Gọi số người tổ A, tổ B, tổ C lần lượt là x, y,z tỉ lệ nghịch với 14, 15, 21
	x, y, z TLT với Từ đó tính được x = 30; y = 28; z = 20
b. (2đ)
 * 	 - BNA = PNA (c.c.c)
 góc NPA = 900 (1)
	 - DAM = PAM (c.g.c)
	 góc APM = 900 (2)
	Từ (1) và (2) góc NPM = 1800 Kết luận
 * Góc NAM = 450 ; góc ANP = 650; góc AMN = 700
II. PHẦN ĐỀ RIÊNG
Câu 5 A (2đ)
a. (1đ)	222333 + 333222 = 111333.2333 + 111222.3222
	 = 111222[(111.23)111 + (32)111] = 111222 (888111 + 9111)
	Vì 888111 + 9111 = (888 + 9)(888110 – 888109.9 +  - 888.9109 + 9110)
	 = 13.69 (888110 – 888109.9 + - 888109 + 9110)13 KL
b. (1đ) 	Ta có 109345 = (109345 – 4345) + (4345 – 1) + 1. vì 109345 – 4345 7
	4345 – 1 7 109345 chia hết cho 7 dư 1
Câu 5 B (2đ) Đáp án 2
a. (1đ)
 VT: - Đưa tổng các luỹ thừa bằng nhau dưới dạng tích 
và biến đổi được 212 n = 12
b. (1đ)
	- Nhóm số hạng thứ nhất với số hạng thứ 3 rồi đặt TSC. Số hạng thứ 2 với số hàng thứ 4 rồi đặt TSC
	- Đưa về một tổng có các số hạng cho 2 và 3 mà UCLN(2;3) = 1
	 tổng 6
ĐÁP ÁN 1.3
I. PHẦN ĐỀ CHUNG
Câu 1 (2,5đ)
 a. (2đ) 	- Biến đổi M dưới dạng một tổng rồi đặt a = ; b = ; c = 
	- Rút gọn rồi thay giá trị a, b, c vào ta tính được M = 
 b. (0,5đ)	(-1)2 + (-1)4 + (-1)6 +  + (-1)100 = 1 + 1 +1 +  + 1 = 50
Câu 2 (1đ)
(0,5đ) áp dụng tính chất của tỉ lệ thức
 b. (0,5đ) Từ 
Câu 3 (2,5đ)
(1,5đ) 
* Vẽ đồ thị hàm số y = -x
* Từ 2 hàm số trên ta được phương trình hoành độ -x = x -4
- Thay điểm M(3; -1) vào phương trình hoành độ ta được -. 3 = 3 – 4 = -1
 M(3; -1) là giao của 2 đồ thị hàm số trên.
 * Trên mặt phẳng toạ độ ta thấy
 vuông tại P
 (đvđd)
b. (1đ)
- Đổi 45 phút = 
	- Gọi vận tốc của ôtô tải và ôtô con là v1 và v2 (km/h) tương ứng với thời gian là t1 và t2 (h). Ta có v1.t1 = v2.t2
	- Vì vận tốc và thời gian là hai đại lượng TLN ; t2 – t1 = 
	- Tính được t2 = . 4 = 3 (h)
	 	T1 = 
	 S = v2 . t2 = 3 . 30 = 90km
Câu 4 (2đ)
a. (0,5đ) 	Có góc B + góc C = 900
	 góc OBC + góc BCO = (BD, CE là phân giác)
	 góc BOC = 1800 – 450 = 1350
(1đ)
 ABD = MBD (c.g.c)
 góc A = góc M = 900 DM BC (1)
	ECN = ECA (c.g.c)
góc A = góc N = 900 EN BC (2)
	Từ (1) và (2) EN // DM
O
I
E
A
D
C
M
N
B
c. (0,5đ)
	IBA = IBM (c.g.c)
	 IA = IM thay IAM cân tại I
II. PHẦN ĐỀ RIÊNG
Câu 5 A (2đ)
a. (1đ)	P(x) = (x+1)2 + x2 + với x
	vậy P(x) không có nghiệm
b. (1đ)	2454 . 5424 . 210 = (23.3)54 . (2.33)24 . 210 = 2196 . 3126
	7263 = (23 . 32)63 = 2189 . 3126
	Từ đó suy ra 2454 . 5424 . 210 7263
Câu 5 B (2đ)
a. (1đ)	Cho 5x2 + 10x = 0
	 5x(x + 10) = 0 
	Nghiệm của đa thức là x = 0 hoặc x = -10
b. (1đ)	5(x-2)(x+3) = 1 = 50 (x-2)(x+3) = 0 
	Vậy x = 2 hoặc x = -3
ĐÁP ÁN ĐỀ 1.4
I. PHẦN ĐỀ CHUNG
Câu 1 (1,5đ)
a. (0,75đ) 	- Biến đổi M dưới dạng một tổng
	- Đặt 	;	
	- Rút gọn rồi thay giá trị của a, b vào được A = 119
b. (0,75đ) 	Xét giá trị của mỗi tích a1a2, a2a3, ana1
	số tích có giá trị bằng 1 bằng số tích có giá trị bằng -1 và bằng 
vì 2002 2 n = 2002
Câu 2 (2đ)
a. (1đ) Tìm x biết	
	- áp dụng tính chất dãy TSBN cho tỉ số (1) và (3) được tỉ số (4)
	- Xét mối quan hệ giữa tỉ số (4) và (2) 
	6x = 2 . 24 = 48 x = 8
b. (1đ) 	- Đưa về dạng 
	- áp dụng tính chất dãy TSBN tính x, y, z
Câu 3 (1,5đ)
a. (0,75đ) - Trên mặt phẳng toạ độ ta thấy điểm B(x0;y0) đồ thị hàm số y = f(x) = ax
	y0 = ax0	 = a
	Mà A(2;1) 	 a = 
b. (0,75đ)	 - OBC vuông tại C
	S = = 
	Với x0 = 5 = 6,25 (đvdt)
Câu 4 (3đ) 
a. (1đ)	- Đổi 45 phút = 
	- Gọi vận tốc của ôtô tải và ôtô con là v1 và v2 (km/h) tương ứng với thời gian là t1 và t2 (h). Ta có v1.t1 = v2.t2
	- Vì vận tốc và thời gian là hai đại lượng TLN ; t2 – t1 = 
	- Tính được t2 = . 4 = 3 (h)	t1 = 
	 S = v2 . t2 = 3 . 30 = 90km
b. (2đ)
- MAD = MCB (c.g.c)
góc D = góc B AD // BC (1)
- NAE = NBC (c.g.c)
góc E = góc C AE // BC (2)
Từ (1) và (2) E, A, D thẳng hàng
- Từ chứng minh trên A là trung điểm của ED
C
E
D
A
B
N
M
II. PHẦN ĐỀ RIÊNG
Câu 5 A (2đ)
a. (1đ)	So sánh và 
	ta có 2 < 	 2 + 6 < + 6 = + 5 + 1
	 8 < ( + 1
b. (1đ)	- Thay giá trị của x vào 2 đa thức
	- Cho 2 đa thức bằng nhau ta tính được m = -
Câu 5 B (2đ)
a. (1đ)	Ta có 2
	 3
	 3200 > 2300
b. (1đ)	- Nhân hai vế của tổng với A với 2
	- Lấy 2A – A rút gọn được A = 
ĐÁP ÁN 1.5
I. PHẦN ĐỀ CHUNG
Câu 1 (1,5đ: mỗi ý đúng 0,75đ)
A = 1
áp dụng tính chất của dãy TSBN ta tính được
a1 = a2 =  = a9 = 10
Câu 2 (2điểm: mỗi ý đúng 1đ)
 a.	- áp dụng tính chất dãy TSBN cho tỉ số (1) và (3) được tỉ số (4)
- Từ tỉ số (4) và tỉ số (2) ð 12 + 4x = 2.5x ð x = 2
- Từ đó tính được y = -
 b. 	- Vì và 
	x2 + 2x = 0 và y2 – 9 = 0 từ đó tìm các cặp (x;y)
Câu 3 (1,5đ)
(1đ) 	- Biểu thức xác định f(x) = 
- Khi f(x) = 2 = 2 từ đó tìm x
 b. (0,5đ)	- Vẽ đồ thị hàm số y = 
x
0
5
 O (0;0)
y
0
2
 A (5;2)
- Biểu diễn O(0;0); A(5;2) trên mặt phẳng toạ độ OA là đồ thị hàm số y = 
- M đồ thị y = -2 = x = -5
Câu 4 (3điểm)
 a. (1đ) 	18 phút = 
	- Gọi vận tốc và thời gian dự định đi nửa quãng đường trước là v1; t1, vận tốc và thời gian đã đi nửa quãng đường sau là v2; t2.
	- Cùng một quãng đường vận tốc và thời gian là 2 đại lượng TLN do đó:
	V1t1 = v2t2 
	 (giờ) thời gian dự định đi 
cả quãng đường AB là 3 giờ
- Quãng đường AB dài 40 . 3 = 120 (km)
 b. (2đ)
 - HAB = KCA (CH – GN)
	 BH = AK
 - MHB = MKA (c.g.c)
	MHK cân vì MH = MK (1)
 Có MHA = MKC (c.c.c)
	góc AMH = góc CMK từ đó
	góc HMK = 900 (2)
 Từ (1) và (2) MHK vuông cân tại M
II. PHẦN ĐỀ RIÊNG
Câu 5 A (2đ)
(1đ) – Vì 0 với x
 0 với y
	 0 với x, y, z
Đẳng thức xảy ra 
(1đ)Từ x + y = 3(x-y) = x : y
2y(2y – x) = 0 mà y 0 nên 2y – x = 0 x = 2y
	Từ đó x = ; y = 
Câu 5 B (2đ)
a. (1đ) - Đặt 2x làm TSC rút gọn
 - Biến đổi 120 dưới dạng luỹ thừa cơ số 2 rồi tìm x
 b. (1đ) Biến đổi tử vào mẫu rồi rút gọn được A = 
ĐỀ LẦN 1 CHO ĐỘI TUYỂN 7
Ra ngày: 28/10/2010 Thu bài ngày: 2/11/2010
Bài1: Chứng minh rằng: 
 M = 3n+2 - 2n+2 +3n – 2n có tận cùng là 0 với mọi số tự nhiên n ³ 1. 
Bài 2 : Tìm x:
a) 
b)
Bài 3: 
 Chứng minh rằng: nếu (ad + bc)2 = 4abcd thì các số a, b, c, d lập thành một tỉ lệ thức.
Bài 4: 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=
Bài 5: 
Cho tam giác ABC vuông tại B. Vẽ tia AD là phân giác của .Vẽ tia CE là phân giác của .
Hai tia AD và CE cắt nhau tại I.
Chứng minh rằng: 
Vẽ tia Cx là tia đối của tia CA. Tia phân giác của góc BCx cắt tia AD tại K. Tính góc ?
PHÒNG GD & ĐT HẠ HOÀ
TRƯỜNG THCS HẠ HOÀ
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ ĐT TOÁN LẦN 1
Lớp 7- Thời gian làm bài : 120 phút
Bài 1: 
Chứng minh rằng: M = 3n+2 - 2n+2 +3n – 2n có tận cùng là 0 với mọi số tự nhiên n ³ 1.
Giải: Ta có: 
 Vậy với n Ta có M luôn có tận cùng là 0
Bài 2 : Tìm x:
a) 
b) (1)
Ta có: với mọi x 
 dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 3,2-x; 
 dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
Suy ra: 
Do đó (1) vậy: 
Bài 3: 
Ta có: (ad + bc)2 = (ad+bc)(ad+bc)=(ad)2+2adbc+(bc)2
Nên từ giả thiết (ad + bc)2 = 4abcd (ad)2+2adbc+(bc)2=4abcd(ad)2-2adbc+(bc)2=0
(ad)2-adbc-acbd+(bc)2=0ad(ad-bc)-bc(ad-bc)=0(ad-bc)2=0
ad-bc=0ad=bc ( Điều phải chứng minh)
Bài 4: 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=
Ta có: với mọi x,y nên A2010. Dấu “=” xảy ra khi x=2/5; y=-20
 Vậy GTNN của A là Amin=2010 khi x=2/5; y=-20
Bài 5:
GT
ABC; B=900; AD là phân giác của . CE là phân giác của . AD cắt CE tại I
CK là phân giác của góc BCx
KL
a)
b)=?
Giải: a) Xét tam giác AIC Ta có : 
Mà tam giác ABC vuông tại B nên 
 b) Vì hai góc ACB và BCx là hai góc kề bù nên hai tai phân giác của chúng vuông góc với nhau=900. 
 Tam giác ICK có góc AIC là góc ngoài nên 
 Vậy =450
Câu 1: Tìm các số x, y, z biết.
	a/ (x – 1)3 = - 8	b/ 
	c/ x - 3 = 0	d/ 12x = 15y = 20z và x + y + z = 48
Câu 2: 
a/ Tìm số dư khi chia 22011 cho 31 
b/ Với a, b là các số nguyên dương sao cho a + 1 và b + 2007 chia hết cho 6. Chứng minh rằng: 4a + a + b chia hết cho 6
c/ Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 6x2 + 5y2 = 74
Câu 3: 
	a/ Cho tỉ lệ thức . Chứng minh rằng ta có tỉ lệ thức: 
	b/ Trên bảng có ghi các số tự nhiên từ 1 đến 2008, người ta làm như sau: lấy ra hai số bất kì và thay vào bằng hiệu của chúng, cứ làm như vậy đến khi còn một số trên bảng thì dừng lại. Hỏi có thể làm để trên bảng chỉ còn lại số 1 được không? Giải thích?
Câu 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác ABE và ACF vuông cân tại A. Từ E và F kẻ đường vuông góc EK và FN với đường thẳng HA.
	a/ Chứng minh rằng: EK = FN.
	b/ Gọi I là giao điểm của EF với đường thẳng HA. Tìm điều kiện của tam giác ABC để EF = 2AI.
Câu 5:
a/ Cho bốn số không âm thỏa mãn điều kiện a + b + c + d = 1. Gọi S là tổng các giá trị tuyệt đối của hiệu từng cặp số có được từ bốn số a, b, c, d. Hỏi S có thể đạt được giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu.
b/ Cho tam giác nhọn ABC với = 600. Chứng minh rằng BC2 = AB2 + AC2 – AB. AC.
-----------------------Hết-----------------------
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
HƯỚNG DẪN CHẤM CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU 
MÔN: TOÁN 7
========================================
Câu
Phần
Nội dung cần trình bày
Điểm
1
(2đ)
a 0,5đ
(x – 1)3 = - 8 => x – 1 = - 2 => x = - 1 Vậy x = - 1 
0,5
b
0,5đ
 Điều kiện: x 
=> => (Thỏa món điều kiện)
Vậy x = 1 hoặc x = 3.
0,5
c
0,5đ
x - 3 = 0 Điều kiện x 0 
=> = 0 => x = 0 hoặc x = 9 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy x = 0 hoặc x = 9
0,5
d
0,5đ
12x = 15y = 20z => => 
=> x = 20; y = 16; z = 12
0,5
2
(2,5đ)
a, 1đ
Ta có 25 = 32 1 (mod31) => (25)402 1 (mod31) 
=> 22011 2 (mod31). Vậy số dư khi chia 22011 cho 31 là 2.
1
b
0,75đ
Vì a nguyên dương nên ta có 4a 1 (mod3) => 4a + 2 0 (mod3)
Mà 4a + 2 0 (mod2) => 4a + 2 6
Khi đó ta có 4a + a + b = 4a + 2 + a +1 + b + 2007 – 2010 6
Vậy với a, b là các số nguyên dương sao cho a + 1 và b + 2007 chia hết cho 6 thì 4a + a + b chia hết cho 6
0,25
0,25
0,25
c
0,75đ
Từ 6x2 + 5y2 = 74 => 6x2 74 => x2 
 mà x nguyên => x2 
Mặt khác ta có x2 + 1 = 75 – 5x2 – 5y2 5 => x2 = 4 hoặc x2 = 9
Nếu x2 = 4 => y2 = 10 (loại vì y nguyên)
Nếu x2 = 9 => y2 = 4 => (x, y) 
0,25
0,25
0,25
3
1,75 đ
a
1đ
Ta có = => = = = = . 
Vậy nếu có tỉ lệ thức ta có tỉ lệ thức: 
0,75
0,25
b
0,75đ
Gọi S là tổng tất cả các số được ghi trên bảng
Ta có S = 1 + 2 + 3 +  + 2008 = = 1004.2009 là một số chẵn. Khi lấy ra hai số a, b và thay vào bằng hiệu của hai số thì tổng S bớt đi (a + b) – (a – b) = 2b là số chẵn.
Nên tổng mới phải là một số chẵn. 
Vậy trên bảng không thể còn lại số 1
0,25
0,25
0,25
4
(2,5đ)
Vẽ hình và GT-KL đúng, đẹp
0,25
a
1,5
Chứng minh KAF = HBA ( ch – gn) => EK = AH
Chứng minh NFI = HCA ( ch – gn) => FN = AH
Suy ra EK = FN 
0,5
0,5
0,5
b
0,75đ
Chứng minh KEI = NFI ( c.g.c) => EI = FI = 
Mà AI = (gt) => AI = EI = FI => và 
=> = 900 => = 900 
Vậy EF = 2AI khi tam giác ABC vuông tại A
0,25
0,25
0,25
5
(1,25đ)
a
0,75đ
Giả sử 
Ta có S = 
=> S = a – b + b – c + c – d + a – c + a – d + b – d 
=> S = 3a + b – (c + 3d)
Mà c + 3d 0 => S 3a + b
Mặt khác a + b + c + d = 1 => a 1. 
Suy ra S = 3a + b = 2a + a + b 2.1 + 1 = 3
Dấu bằng xảy ra khi 
Vậy S lớn nhất bằng 3 khi trong bốn số a, b, c, d có một số bằng 1 còn ba số bằng 0
0,25
0,25
0,25
b
0,5đ
Kẻ BH AC
Vì 600 => = 300 => AH = (1)
Áp dụng dịnh lí Pytago ta có