Các dạng Toán ôn thi vào THPT

Các dạng toán ôn thi vào THPT
Phần 1: Các bài toán về biến đổi biểu thức,căn bậc hai và các phép tính về căn bậc hai 
Phương pháp:
Phân tích đa thức tử và mẫu thành nhân tử;
Tìm ĐKXĐ (Nếu bài toán chưa cho ĐKXĐ)
Rút gọn từng phân thức(nếu được)
Thực hiện các phép biến đổi đồng nhất như:
 + Quy đồng(đối với phép cộng trừ) ; nhân ,chia.
 + Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đơn ; đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức
 + Thu gọn: cộng, trừ các hạng tử đồng dạng.
 + Phân tích thành nhân tử – rút gọn
Chú ý: - Trong mỗi bài toán rút gọn thường có các câu thuộc các loại toán: Tính giá trị biểu thức; giải Phương trình; bất Phương trình; tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên; tìm giá trị nhỏ nhất ,lớn nhấtDo vậy ta phải áp dụng các Phương pháp giải tương ứng, thích hợp cho từng loại bài.
*Mét sè bµi to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö cÇn nhí :
 Nhöõng haèng ñaúng thöùc ñaùng nhôù:
7 haèng ñaúng thöùc:(SGK)
 Vôùi A, B laø caùc bieåu thöùc
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2
(A – B)2 = A2 – 2AB + B2
 A2 – B2 = (A + B)(A – B)
(A + B)3 = A3 + 3A2B +3AB2 +B3
(A – B) 3 = A3 – 3A2B + 3AB2 - B3
A3 + B3 = (A + B) (A2 – AB + B2)
A3 – B3 = (A – B) (A2 + AB +B2)
Caùc haèng ñaúng thöùc lieân quan:
(A + B)2 = (A –B)2 + 4AB
(A – B)2 = (A +B)2 – 4AB
A3 + B3 = (A + B)3 – 3AB (A+B)
A3 - B3 = (A – B)3 + 3AB (A – B)
(A + B – C)2 = A2 + B2 + C2 + 2(AB - AC – BC)
1. Các hằng đẳng thức thường gặp :
1) x ( víi x) 
2) x ( víi x,y)
3) x - y = ( víi x,y)
4)x= ( víi x,y)
5) x== ( ( víi x,y)
6) ( víi x,y) 
7)
8) 1- x = (1-)(1++ x)
2. C¸c c«ng thøc biÕn ®æi c¨n thøc.
	a. 
	b. 
	c. 
	d. 
	e. 
	f. 
	i. 
	k. 
	m. 
VÝ dô 1. Cho biÓu thøc: 
a) Rót gän A.
b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A khi 
c) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc A nhËn gi¸ trÞ nguyªn.
d) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó gi¸ trÞ biÓu thøc A b»ng -3.
e) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó gi¸ trÞ biÓu thøc A nhá h¬n -1.
Gi¶i :
a) §KX§ : x > 0 vµ x
VËy 
b) Ta cã : 
 VËy víi th× 
c) Ta cã : 
§Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn th× ¦(2) hay 
+)Víi = -1 (lo¹i v× kh«ng T/M§K)
+)Víi = 1 (T/M§K)
+)Víi = -2 (lo¹i)
+)Víi = 2 (T/M§K)
 VËy víi x th× A cã gi¸ trÞ nguyªn.
d)Ta cã : A= -3 = - 3 + 3 = 0
 +
VËy A = -3 Khi 
e) Ta cã : A < -1 <-1 +1 < 0
 +
 (v× 2>0 do x>0)
 KÕt hîp víi §KX§ ta ®­îc 0 < x < 1 th× A <-1
VËy A<-1 khi 0 < x < 1
Ví dụ2: Cho biểu thức: 
a/ Rút gọn P.
b/ Tìm giá trị của a để biểu thức P có giá trị nguyên.
Giải: a/ Rút gọn P: 
 - Phân tích: 
 - ĐKXĐ: 
 - Quy đồng: 
 - Rút gọn: 
 b/ Tìm giá trị của a để P có giá trị nguyên:
 - Chia tử cho mẫu ta được: . 
 - Lý luận: P nguyên nguyên là ước của 1 là.
 Vậy với a = 1 thì biểu thức P có giá trị nguyên.
Bài tập : D¹ng 1
Bµi 1 Cho biÓu thøc 
a) T×m ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh, Rót gän A
b)TÝnh gi¸ trÞ cña A khi x=3-2
Bµi gi¶i:
a) §KX§ x > 0; x1.
Rót gän 
b. Khi x= 3-2 = 
Bµi 2: Cho biÓu thøc 
a) T×m ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh, rót gän biÓu thøc A
b) Víi gi¸ trÞ nµo cña xth× A > 
c) T×m x ®Ó A ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt
Bµi gi¶i:
a) §KX§ x 
.=.
A = 
b) A > 
 ( v× 3( 
KÕt qu¶ hîp víi §KX§: th× A > 1/3.
c) ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt khi ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
Mµ lóc ®ã AMax=
Bµi 3: Cho biÓu thøc 
a) Nªu ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh vµ rót gän biÓu thøc P
b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó P = 
c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: M
Bµi gi¶i:
a) §KX§ x
P = =
b) 
 (TM§K)
c) = ta cã 
VËy Mmin= 4.
D¹ng 2
Bµi 1 :Cho biÓu thøc: 
a) T×m §KX§, rót gän P
b) T×m a ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn.
Bµi gi¶i:
a) §KX§: a
b) 
®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn th× nhËn gi¸ trÞ nguyªn d­¬ng. thuéc ­íc d­¬ng cña 2.
 a=1 (Lo¹i v× kh«ng tho¶ m·i ®iÒu kiÖn)
VËy P nhËn gi¸ trÞ nguyªn khi a = 0
Bµi 2: Cho biÓu thøc 
a) T×m x ®Ó B cã nghÜa vµ rót gän B.
b) T×m x nguyªn ®Ó B nhËn gi¸ trÞ nguyªn.
Bµi gi¶i:
a) §KX§ 
B =
b) B nhËn gi¸ trÞ nguyªn khi nhËn gi¸ trÞ nguyªn.
 ¦(1)
 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn
VËy x= -1; x= -3 th× B nhËn gi¸ trÞ nguyªn
D¹ng 3
Bµi 1: Cho biÓu thøc: 
a) T×m §KX§ vµ rót gän P
b) T×m x ®Ó P > 0
Bµi gi¶i
a) §KX§ x>0; x
b) P > 0 ( v× 
KÕt hîp víi §KX§: th× P > 0
D¹ng 4
Bµi 1 : Cho biÓu thøc: 
a) T×m §KX§ vµ rót gän A
b) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña x sao cho A < 0
c) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ph­¬ng tr×nh A. cã nghiÖm.
Bµi gi¶i
a) §KX§: x > 0; x 
b) A < 0 (v× ) kÕt hîp víi §KX§ 0 <x < 1 th× 
A < 0
c) P.t: A.
§Æt >0 ta cã ph­¬ng tr×nh ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm th× ph­¬ng tr×nh (*) ph¶i cã nghiÖm d­¬ng.
§Ó ph­¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm d­¬ng th×: 
 VËy m>-1 vµ m th× pt A cã nghiÖm.
Bµi 2: Cho biÓu thøc: 
a) T×m §KX§ vµ rót gän P
b) T×m gi¸ trÞ cña P khi x = 25
c) T×m x ®Ó P.
Bµi gi¶i:
a) §KX§ x > 0; x 
b) Khi x= 25 
c) 
 TM§K 
VËy x = 2005 th× P.
D¹ng 5
Bµi 1: Cho biÓu thøc 
a) T×m §KX§, vµ rót gän A.
b)TÝnh gi¸ trÞ cña A khi x=.
c)T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó 
Bµi gi¶i: a) §KX§ x > 0; x .
=
b) Khi x = 
c)
 VËy x > 9 th× 
Bµi 2: Cho biÓu thøc: 
a) T×m §KX§, rót gän biÓu thøc A
b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A
c) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× 
Bµi gi¶i: a) §KX§ x > 0; x . 
b) Khi x=36 
c) (v× )
 KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh 0 < x <1 th× 
Phần 2: Hàm số bậc nhất –Phương trình bậc nhất một ẩn- Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn – Giải bài toán bằng cách lập hệ
1.1Hàm số bậc nhất
Khái niệm hàm số bậc nhất
- Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b. Trong đó a, b là các số cho trước và a 0
Tính chất :Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị của x thuộc R và có tính chất sau:
Đồng biến trên R khi a > 0
Nghịch biến trên R khi a < 0
Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0)
Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0) là một đường thẳng
Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b
Song song với đường thẳng y = ax, nếu b 0, trùng với đường thẳng y = ax, 
nếu b = 0
* Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a 0)
Bước 1. Cho x = 0 thì y = b ta được điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy.
 Cho y = 0 thì x = ta được điểm Q( ; 0) thuộc trục hoành
Bước 2. Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q ta được đồ thị hàm số y = ax + b
Vị trí tương đối của hai đường thẳng 
Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b (a 0) và (d’): y = a’x + b’ (a’0). Khi đó
+ 
+ 
+ 
+ 
Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a 0)
 *Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox. 
- Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong đó A là giao điểm của đường thẳng y = ax + b với trục Ox, T là điểm thuộc đường thẳng y = ax + b và có tung độ dương 
 *Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b
- Hệ số a trong phương trình y = ax + b được gọi là hệ số góc của đường thẳng 
y = ax + b 
g) Chó ý : 
- §­êng th¼ng y = ax + b (a 0) cã a gäi lµ hÖ sè gãc. 
- Ta cã: tan= (Trong ®ã lµ gãc t¹o bëi ®­êng th¼ng y = ax + b (a 0) víi chiÒu d­¬ng trôc Ox)
- NÕu a > 0 th× : 0 < < 900
- NÕu a < 0 th× : 900 < < 1800
 Minh Ho¹ : y
 y
 y = ax + b ( a > 0 )
 x x
 0 0 
 y = ax + b ( a <0 )
Một số phương trình đường thẳng 
Đường thẳng đi qua điểm M0(x0;y0)có hệ số góc k: y = k(x – x0) + y0
Đường thẳng đi qua điểm A(x0, 0) và B(0; y0) với x0.y0 0 là 
2.1 Công thức tính toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng
Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x1, y1) và B(x2, y2). Khi đó
Độ dài đoạn thẳng AB được tính bởi công thức
Tọa độ trung điểm M của AB được tính bởi công thức
f) Điểm A(xA; yA) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) ⟺ yA = f(xA).
1)Bµi to¸n : X¸c ®Þnh hµm sè y = ax + b biÕt :
a) HÖ sè gãc a vµ ®å thÞ cña nã ®i qua A( x0 ;y0 )
b) §å thÞ cña nã song song víi ®­êng th¼ng y = a’x + b’ vµ ®i qua A( x0 ;y0 )
c) §å thÞ cña nã vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng y = a’x + b’ vµ ®i qua A( x0 ;y0 )
d) §å thÞ cña nã ®i qua A( x0 ;y0 ) vµ B( x1;y1 )
e) §å thÞ cña nã ®i qua A( x0 ;y0 ) vµ c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng x1
f) §å thÞ cña nã ®i qua A( x0 ;y0 ) vµ c¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã tung ®é b»ng y1
Ph­¬ng ph¸p gi¶i :
Thay hÖ sè gãc vµo hµm sè ,V× ®å thÞ cña nã ®i qua A( x0 ;y0 ) nªn thay x = x0 ; y = y0 vµo hµm sè ta t×m ®­îc b.
V× ®å thÞ hµm sè y = ax + b song song víi ®­êng th¼ng y = ax + b nªn a = a’ thay a = a’ vµo hµm sè råi lµm t­¬ng tù phÇn b.
V× ®å thÞ hµm sè y = ax + b vu«ng víi ®­êng th¼ng y = ax + b nªn ta ta cã a.a’ = -1 ta t×m ®­îc a = - ,thay a = - vµo hµm sè råi lµm t­¬ng tù phÇn b.
V× ®å thÞ hµm sè y = ax + b ®i qua A( x0 ;y0 ) vµ B( x1;y1 ) nªn ta cã hÖ ph­¬ng tr×nh : 
 (1) ; Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh (1) ta t×m ®­îc a vµ b.
e) §å thÞ hµm sè y = ax + b ®i qua A( x0 ;y0 ) vµ c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng x1 tøc lµ ®å thÞ hµm sè y = ax + b ®i qua A( x0 ;y0 ) vµ B ( x1;0 ).Sau ®ã lµm t­¬ng tù phÇn d.
f) §å thÞ hµm sè y = ax + b ®i qua A( x0 ;y0 ) vµ c¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã tung ®é b»ng y1 tøc lµ ®å thÞ hµm sè y = ax + b ®i qua A( x0 ;y0 ) vµ B ( 0; y1) .sau ®ã lµm t­¬ng tù phÇn d.
2) VÝ dô : 
VÝ dô 1: X¸c ®Þnh ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d) biÕt:
§­êng th¼ng (d) ®i qua hai ®iÓm A( -1; 3) vµ B ( 2; -4)
§­êng th¼ng (d) ®i qua M (-2; 5) vµ song song víi ®­êng th¼ng:
 (d’): y = - x + 3 
§­êng th¼ng (d) ®i qua N (-3; 4) vµ vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng y = 2x + 7
Gi¶i :
 Gäi ®­êng th¼ng (d): y = ax + b ( a, b lµ c¸c sè )
V× (d) ®i qua hai ®iÓm A( -1; 3) vµ B ( 2; -4)
nªn ta cã: 
 VËy ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d): y = 
b) V× (d) song song víi ®­êng th¼ng: (d’): y = - x + 3 
 (d): y = mµ (d) ®i qua M (-2; 5) nªn ta cã: 5 = b = 
VËy ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d) : y = 
c) §­êng th¼ng (d) ®i qua N (-3; 4) vµ vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng y = 2x + 7
nªn ta cã: a.2 = -1 a = vµ 4 = b = 
VËy ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d) : y = 
VÝ dô 2 : Cho hµm sè y = (m2 – 2).x + 3m + 2 T×m c¸c gi¸ trÞ cña m biÕt:
§å thÞ (d) cña hµm sè song song víi ®­êng th¼ng y = 3x + 2
§å thÞ (d) cña hµm sè vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng y = -3x -2
§å thÞ (d) ®i qua ®iÓm A (2; 3) 
 Gi¶i
V× ®å thÞ (d) cña hµm sè song song víi ®­êng th¼ng y = 3x + 2 
 Nªn ta cã: 
 VËy 
V× ®å thÞ (d) cña hµm sè vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng : y = -3x -2 
 Nªn ta cã: (m2 - 2 ).(- 3) = -1 3m2 -6 = 1m2 = 
VËy 
V× ®å thÞ (d) ®i qua ®iÓm A( 2; 3) nªn ta cã : 
 3 = 2m2 - 4 + 3m + 2
 2m2 +3m -5 = 0 
Ta cã a + b + c = 0 theo hÖ qu¶ ®Þnh lÝ Viet ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm :
 m1 = - 1; m2 = VËy m1 = - 1; m2 = 
Dang 4: T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña hai ®­êng th¼ng, cña ®­êng th¼ng vµ Parabol.
1) Bµi to¸n 1 : Cho hai ®­êng th¼ng y = ax + b (d) vµ y = a’x + b’ (d’) (víi a a’).
T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña (d) vµ (d’).
Ph­¬ng ph¸p gi¶i :
- C¸ch 1 : VÏ ®å thÞ hai hµm sè y = ax + b (d) vµ y = a’x + b’ (d’) trªn cïng mét hÖ trôc to¹ ®é Oxy,sau ®ã t×m to¹ ®é giao ®iÓm ( nÕu cã )
- C¸ch 2 : Hoµnh ®é giao ®iÓm cña (d) vµ (d’) lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh :
ax + b = a’x + b’ (1)
Gi¶i ph­¬ng tr×nh (1) t×m x = x sau ®ã thay x = x t×m ®­îc vµo (d) hoÆc (d’) t×m y= y. To¹ ®é giao ®iÓm lµ A (x ; y)
- C¸ch 3 : To¹ ®é giao ®iÓm cña y = ax + b (d) vµ y = a’x + b’ (d’) lµ nghiÖm cña hÖ ph­¬ng tr×nh :
(2) 
 Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh (2) t×m ®­¬c x = x ;y = y To¹ ®é giao ®iÓm lµ A (x ; y)
2) Bµi to¸n 2:
Cho hai ®­êng th¼ng y = ax + b (d) vµ parabol y = ax2 (P) .T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña (d) vµ (P).
Ph­¬ng ph¸p gi¶i :
Hoµnh ®é giao ®iÓm cña (d) vµ (P) lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh :
ax + b = ax2 (1)
Gi¶i ph­¬ng tr×nh (1) t×m x sau ®ã thay x t×m ®­îc vµo (d) hoÆc (P) t×m y t­¬ng øng, To¹ ®é giao ®iÓm lµ A (x ; y).
 3) VÝ dô :
Cho hai hµm sè y= x+3 (d) vµ hµm sè y = 2x + 1 (d’)
a)VÏ ®å thÞ hai hµm sè trªn cïng mét hÖ trôc to¹ ®é.
b)T×m to¹ ®é giao ®iÓm nÕu cã cña hai ®å thÞ.
*NhËn xÐt : GÆp d¹ng to¸n nµy häc sinh th­êng vÏ ®å thÞ hai hµm sè trªn råi t×m to¹ ®é giao ®iÓm (x;y) tuy nhiªn gÆp nh÷ng bµi khi x vµ y kh«ng lµ sè nguyªn th× t×m to¹ ®é b»ng ®å thÞ sÏ gÆp khã kh¨n khi t×m chÝnh x¸c gi¸ tri cña x; y
Gi¶i:
a) VÏ ®å thÞ hai hµm sè ( HS tù vÏ )
b) Hoµnh ®é giao ®iÓm lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh: 
 x + 3 = 2x + 1
 2x – x = 3 – 1
 x = 2 Thay x = 2 vµo y = x + 3 ta ®­îc y = 3 + 2 = 5
VËy to¹ ®é giao ®iÓm cña (d) vµ (d’) lµ A ( 2;5 )
Dang 5: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó 3 ®­êng th¼ng ®ång quy :
1)Bµi to¸n : Cho ba ®­êng th¼ng: y = ax+ b (d) ; y = a’x+ b’ (d’) vµ y = a’’x+ b’’ (d’’) 
Trong ®ã y = a’’x + b’’ chøa tham sè m.
Ph­¬ng ph¸p gi¶i :
- To¹ ®é giao ®iÓm cña (d) vµ (d’) lµ nghiÖm cña hÖ ph­¬ng tr×nh (1) 
 Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh (1) t×m ®­¬c x = x ;y = y To¹ ®é giao ®iÓm lµ A (x ; y)
- §Ó 3 ®­êng th¼ng ®· cho ®ång quy th× (d’’) ph¶i ®i qua A (x ; y).
- Thay A (x ; y) vµo ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d’’) ta ®­îc ph­¬ng tr×nh Èn m,gi¶i ph­¬ng tr×nh t×m m .
- KÕt luËn :...................
2.VÝ dô : Cho 3 ®­êng th¼ng lÇn l­ît cã ph­¬ng tr×nh:
(d1) y = x + 1
(®2) y = - x + 3
(d3) y= (m2-1)x + m2 - 5 (víi m
X¸c ®Þnh m ®Ó 3 ®­êng th¼ng (d1) ,(d2), (d3) ®ång quy.
Gi¶i:
- V× 1- 1 nªn (d1) vµ (d2) c¾t nhau . Hoµnh ®é giao ®iÓm A cña (d1) ,(d2) lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh : -x + 3 = x + 1 x = 1
thay x = 1 vµo y = x+1 y = 2 A (1;2) ®Ó 3 ®­êng th¼ng ®ång quy th× (d3)
ph¶i ®i qua ®iÓm A nªn ta thay x = 1 ; y = 2 vµo ph­¬ng tr×nh (d3) ta cã:
 2 = (m2-1)1 + m2 - 5 m2 = 4 m = 2 
VËy víi m = 2 hoÆc m = -2 th× 3 ®­êng th¼ng (d1) ,(d2), (d3) ®ång quy.
Dang 6: T×m ®iÒu kiÖn ®Ó hai ®­êng th¼ng c¾t nhau t¹i mét ®iÓm trªn trôc tung, c¾t nhau t¹i mét ®iÓm trªn trôc hoµnh. 
6.1: §iÒu kiÖn ®Ó hai ®­êng th¼ng c¾t nhau t¹i mét ®iÓm trªn trôc tung.
	Cho (d1): y = a1x + b1 vµ (d2): y = a2x + b2
	§Ó (d1) c¾t (d2) t¹i mét ®iÓm trªn trôc tung th× 
	Gi¶i (1)
	Gi¶i (2) vµ chän nh÷ng gi¸ trÞ tho¶ m·n (1).
6.2: §iÒu kiÖn ®Ó hai ®­êng th¼ng c¾t nhau t¹i mét ®iÓm trªn trôc hoµnh.
	Cho (d1): y = a1x + b1 vµ (d2): y = a2x + b2
	§Ó (d1) c¾t (d2) t¹i mét ®iÓm trªn trôc hoµnh th× 
1. Kh¸i niÖm hÖ ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn.
 - Cho hai ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn ax + by = c vµ a'x + b'y = c'. Khi ®ã ta cã hÖ hai ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn (I)
2. NghiÖm cña hÖ ph­¬ng tr×nh.
 - NÕu hai ph­¬ng tr×nh Êy cã nghiÖm chung (x0; y0) th× (x0; y0) ®­îc gäi lµ mét nghiÖm cña hÖ ph­¬ng tr×nh (I). NÕu hai ph­¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm chung th× ta nãi hÖ ph­¬ng tr×nh (I) v« nghiÖm.
 - Chó ý : NÕu mét trong hai ph­¬ng tr×nh cña hÖ v« nghiÖm th× hÖ v« nghiÖm.
3. §Þnh nghÜa vÒ gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh: 
 - Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh lµ t×m tÊt c¶ c¸c nghiÖm (t×m tËp nghiÖm) cña nã.
4. §Þnh nghÜa hÖ ph­¬ng tr×nh t­¬ng ®­¬ng.
 - Hai hÖ ph­¬ng tr×nh gäi lµ t­¬ng ®­¬ng víi nhau nÕu chóng cã cïng tËp nghiÖm.
5.C¸c ph­¬ng ph¸p gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn th­êng dïng :
 - Ph­¬ng ph¸p thÕ
 - ph­¬ng ph¸p céng ®¹i sè
 - ph­¬ng ph¸p ®Æt Èn phô
...
* Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh b»ng ph­¬ng ph¸p thÕ.
a. Qui t¾c thÕ (SGK to¸n 9 tËp 2, trang 16)
b. Tãm t¾t c¸ch gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh b»ng ph­¬ng ph¸p thÕ.
 1) Dïng qui t¾c thÕ biÕn ®æi hÖ ph­¬ng tr×nh ®· cho ®Ó ®­îc mét hÖ ph­¬ng tr×nh míi, trong ®ã cã mét ph­¬ng tr×nh mét Èn.
 2) Gi¶i ph­¬ng tr×nh mét Èn võa cã, råi suy ra nghiÖm cña hÖ ph­¬ng tr×nh ®· cho.
* Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh b»ng ph­¬ng ph¸p céng ®¹i sè.
a. Qui t¾c céng ®¹i sè: (SGK to¸n 9 tËp 2, trang 16)
b.Tãm t¾t c¸ch gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh b»ng ph­¬ng ph¸p céng ®¹i sè.
 1) Nh©n hai vÕ cña mçi ph­¬ng tr×nh víi mét sè thÝch hîp (nÕu cÇn) sao cho c¸c hÖ sè cña mét Èn nµo ®ã trong hai ph­¬ng tr×nh cña hÖ b»ng nhau hoÆc ®èi nhau.
 2) ¸p dông qui t¾c céng ®¹i sè ®Ó ®­îc hÖ ph­¬ng tr×nh míi, trong ®ã cã mét ph­¬ng tr×nh mét Èn.
 3) Gi¶i ph­¬ng tr×nh mét Èn võa cã, råi suy ra nghiÖm cña hÖ ph­¬ng tr×nh ®· cho.
6. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh gåm mét ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt vµ mét ph­¬ng tr×nh bËc hai hai Èn.
	Th­êng dïng ph­¬ng ph¸p thÕ.
7.Mét sè bµi to¸n liªn quan ®Õn hÖ ph­¬ng tr×nh chøa tham sè :
Bµi to¸n : Cho hÖ ph­¬ng tr×nh (I)
a/ Chøng minh hÖ lu«n cã nghiÖm
b/T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt 
c/T×m m ®Ó hÖ v« nghiÖm
d/T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cho tr­íc.
Ph­¬ng ph¸p gi¶i :
 *C¸ch 1: 
a/ Rót x ( hoÆc y ) tõ (1) (hoÆc (2) ) thÕ vµo ph­¬ng tr×nh cßn l¹i ,ta ®­a vÒ ph­¬ng tr×nh (3) lµ ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt 1 Èn.Ta chøng minh ph­¬ng tr×nh (3) lu«n cã nghiÖm.
b/ Rót x ( hoÆc y ) tõ (1) (hoÆc (2) ) thÕ vµo ph­¬ng tr×nh cßn l¹i ,ta ®­a vÒ ph­¬ng tr×nh (3) lµ ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt 1 Èn. 
HÖ (I) cã nghiÖm duy nhÊt ph­¬ng tr×nh (3) cã nghiÖm duy nhÊt.
c/ Rót x ( hoÆc y ) tõ (1) (hoÆc (2) ) thÕ vµo ph­¬ng tr×nh cßn l¹i ,ta ®­a vÒ ph­¬ng tr×nh (3) lµ ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt 1 Èn. 
HÖ (I) v« nghiÖm ph­¬ng tr×nh (3) v« nghiÖm.
d/ Dùa vµo ®iÒu kiÖn cuÈ ®Ò bµi ta cã ph­¬ng ph¸p gi¶i phï hîp.
 *C¸ch 2: (Dùa vµo vÞ trÝ t­¬ng ®èi cña hai ®­êng th¼ng)
 (a, b, c, a’, b’, c’ kh¸c 0)
+ HÖ cã v« sè nghiÖm nÕu 
+ HÖ v« nghiÖm nÕu 
+ HÖ cã mét nghiÖm duy nhÊt nÕu 
B.Mét sè vÝ dô :
D¹ng1: Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn.
Bµi 1: Gi¶i c¸c HPT sau: 
 a. b. 
Gi¶i:
 a. Dïng PP thÕ: 
 VËy HPT ®· cho cã nghiÖm lµ: 
 Dïng PP céng: 
 VËy HPT ®· cho cã nghiÖm lµ: 
 -NhËn xÐt : §Ó gi¶i lo¹i HPT nµy ta th­êng sö dông PP céng cho thuËn lîi.
 VËy HPT cã nghiÖm lµ 
Bµi 2 : 
a) (§Ò thi tuyÓn sinh líp 10 thpt n¨m häc 2011-2012,Ngµy thi : 01/7/2011)
b) (§Ò thi tuyÓn sinh líp 10 thpt n¨m häc 2010-2011,Ngµy thi : 01/7/2010)
 c) (§Ò thi tuyÓn sinh líp 10 thpt n¨m häc 2009-2010,Ngµy thi : 10/7/2009)
Gi¶i:
a) 
 VËy hÖ ph­¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm 
b) 
 VËy hÖ ph­¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm 
c) 
 VËy hÖ ph­¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm 
Bµi 2 : Gi¶i c¸c hÖ ph­¬ng tr×nh sau : 
 a/ 
+ C¸ch 1: Sö dông PP céng. §K: .
 VËy HPT cã nghiÖm lµ 
 + C¸ch 2: Sö dông PP ®Æt Èn phô. §K: .
 §Æt ; . HPT ®· cho trë thµnh: (TM§K)
 VËy HPT cã nghiÖm lµ 
 *L­u ý: - NhiÒu em cßn thiÕu §K cho nh÷ng HPT ë d¹ng nµy.
 - Cã thÓ thö l¹i nghiÖm cña HPT võa gi¶i.
b/ (I)
H­íng dÉn: 
(I) 
HÖ ph­¬ng tr×nh (I) cã tËp hîp nghiÖm lµ S = {(x; y) = (2; 5)}. 
c/ 
Gi¶i:
 (HS tù gi¶i tiÕp)
D¹ng2: HÖ ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn chøa tham sè.
Bµi 1: T×m m sao cho hÖ ph­¬ng tr×nh: (I) 
	a) V« nghiÖm.
	b) Cã nghiÖm duy nhÊt.
H­íng dÉn: 
a/ (I) 
(I) v« nghiÖm khi vµ chØ khi (*) v« nghiÖm m = - 1.
b/ HÖ ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt khi vµ chØ khi m .
Bµi 2: T×m m sao cho hÖ ph­¬ng tr×nh: (I) 
	a) V« nghiÖm.
	b) Cã nghiÖm duy nhÊt.
H­íng dÉn: 
a/ (I) 
(I) v« nghiÖm khi vµ chØ khi (*) v« nghiÖm m = 2 hoÆc m = - 2.
b/HÖ ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt khi vµ chØ khi m 2.
D¹ng 3. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh cã ph­¬ng tr×nh bËc hai hai Èn.
Bµi 1: Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh:
H­íng dÉn: 
KÕt luËn: HÖ ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm: (x;y) = (1; 2) ; (x;y) = (2; 1)
Bµi 2: Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh: (I)
H­íng dÉn: 
HÖ ph­¬ng tr×nh (I) cã tËp hîp nghiÖm lµ S = {(3; 4); (4; 3)}. 
Bµi tËp ¸p dông :
Bµi 1: Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh:
Bµi 2: Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh: 
Bµi 3: Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh:
a) b) c) 
d) e) f) 
g) h) k)
l) m) p) ; q) t) v)
Bµi 4: Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh:
 a) b)
Bµi 5: Cho hÖ ph­¬ng tr×nh: 
Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh víi a = 3.
T×m ®iÒu kiÖn cña a ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm ? cã v« sè nghiÖm.
Bµi 6:Cho hÖ ph­¬ng tr×nh : 
Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh víi a = b = 1.
T×m a, b ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ (x=1; y= 0).
Bµi 7: Cho hÖ ph­¬ng tr×nh : 
Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh víi m = 1.
T×m m ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ (x = 2; y = 1).
T×m m ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt.
Gi¶i hÖ khi a=3 ; b=-2 
T×m a;b ®Ó hÖ cã nghiÖm lµ (x;y)=(
Bµi 8: Gi¶i c¸c hÖ ph­¬ng tr×nh sau :
a. b. c. d. 
2. Bµi 2:
a) T×m gi¸ trÞ cña k ®Ó c¸c ®­êng th¼ng sau c¾t nhau t¹i mét ®iÓm: ; ; vµ y = kx + k + 1
b) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó c¸c ®­êng th¼ng: ; ; vµ ®ång qui 
Gi¶i:
a) To¹ ®é giao ®iÓm cña hai ®­êng th¼ng ; lµ nghiÖm cña hÖ ph­¬ng tr×nh: 
 VËy to¹ ®é giao ®iÓm cña 2 ®­êng th¼ng trªn lµ A 
+) §Ó c¸c ®­êng th¼ng sau c¾t nhau t¹i mét ®iÓm: ; ; vµ th× ®­êng th¼ng ph¶i ®i qua ®iÓm A 
 Ta cã: 1 = k.2 + k + 1
 3k = 0 k = 0 (kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn k 0)
VËy kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña k ®Ó c¸c ®­êng th¼ng sau c¾t nhau t¹i mét ®iÓm: ; ; vµ y = kx + k + 1
b) To¹ ®é giao ®iÓm cña hai ®­êng th¼ng ; lµ nghiÖm cña hÖ ph­¬ng tr×nh: 
 VËy to¹ ®é giao ®iÓm cña 2 ®­êng th¼ng trªn lµ A 
+) §Ó c¸c ®­êng th¼ng: ; vµ ®ång qui th× ®­êng th¼ng ph¶i ®i qua ®iÓm A 
 Ta cã: 
 (tho¶ m·n ®i