Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số - Đỗ Minh Tuấn

Đỗ Minh Tuấn Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số 
 Trang 1 
Dạng 1: Cho hàm số ( , )y f x m có tập xác định D. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số đơn điệu trên D 
Cách giải 
 Hàm số đồng biến trên D ' 0,y x D    
 Hàm số nghịch biến trên D ' 0,y x D    
Chú ý: 
Nếu ' 2y ax bx c   thì: '
0
0,
0
a
y

   
 
 và ' 00,
0
a
y

   
 
 
Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số ( , )y f x m đơn điệu trên một khoảng ( ; )a b 
Cách giải 
 Hàm số đồng biến trên '( ; ) 0, ( ; )a b y x a b    
 Hàm số nghịch biến trên '( ; ) 0, ( ; )a b y x a b    
 Sử dụng kiến thức: 
    
( ; )
( ), ( ; ) max ( )
a b
m f x x a b m f x và     
( ; )
( ), ( ; ) min ( )
a b
m f x x a b m f x 
Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số     3 2( , )y f x m ax bx cx d đơn điệu trên một khoảng 
có độ dài bằng k cho trước. 
Cách giải 
 Ta có: ' 23 2y ax bx c   
 Hàm số đồng biến trên khoảng 1 2( ; )x x PT: 
' 0y  có hai nghiệm phân biệt 1x và 2x
0
0
a 
 
 
 (1) 
 Biến đổi  1 2x x k thành 
2 2
1 2 1 2( ) 4x x x x k   (2) 
 Sử dụng định lý Viet, đưa phương trình (2) thành phương trình theo m 
 Giải phương trình, kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả 
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số ( , )y f x m có cực trị 
Cách giải 
 Đối với hàm số:    3 2y ax bx cx d . Khi đó, ta có: ' 23 2y ax bx c   
Hàm số có cực trị  Hàm số có CĐ và CT  PT: ' 23 2 0y ax bx c    có hai nghiệm phân biệt 
 Đối với hàm số: 
2ax bx cy
mx n
 


. Khi đó, ta có: 
2
'
2 2
2 ( ) ( )
( ) ( )
amx anx bn cm g xy
mx n mx n
  
 
 
Hàm số có cực trị  Hàm số có CĐ và CT 
  PT: 2( ) 2 ( ) 0g x amx anx bn cm     có hai nghiệm phân biệt khác n
m
 
C¸c d¹ng to¸n liªn quan ®Õn kh¶o s¸t hµm sè 
www.VNMATH.com
Đỗ Minh Tuấn Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số 
 Trang 2 
Dạng 5: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số ( , )y f x m đạt cực trị tại điểm 0x 
Cách giải 
 Hàm số đạt cực trị tại điểm 0x thì: 
'
0( ) 0y x  . GPT này ta tìm được giá trị của m 
 Thử lại các giá trị của m vừa tìm được xem có thỏa mãn hay không? 
 Nếu B3y  hoặc B4y  thì vận dụng kiến thức: '' 0 0( ) 0y x x  là điểm CĐ 
''
0 0( ) 0y x x  là điểm CT 
 Nếu B2
B1
y  thì kiểm tra bằng cách lập bảng biến thiên 
Dạng 6: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số ( , )y f x m có cực trị tại hai điểm 1x , 2x và các điểm cực 
trị đó thỏa mãn một hệ thức (I) nào đó. 
Cách giải 
 Tìm điều kiện của m để hàm số có cực trị (1) 
 Vận dụng định lý Viet, ta có hệ thức liên hệ giữa 1x và 2x 
 Biến đổi hệ thức (I) đã cho và vận dụng định lý Viet để tìm được m 
 Kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả 
Dạng 7: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số ( )y f x 
Cách giải 
 Đối với hàm số 3 2y ax bx cx d    : 
 Thực hiện phép chia đa thức y cho 'y và viết hàm số dưới dạng: '( ).y u x y Mx N   
 Gọi 1 1( ; )A x y và 2 2( ; )B x y là hai điểm cực trị. Khi đó: 1 1y Mx N  và 2 2y Mx N  
 Do đó, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có dạng: y Mx N  
 Đối với hàm số 
2ax bx cy
mx n
 


: 
 Chứng minh bổ đề: Nếu hàm số ( )
( )
u xy
v x
 có 
'
0
0
( ) 0
( ) 0
y x
v x
 


 thì 
'
0
0 '
0
( )
( )
( )
u x
y x
v x
 
 Áp dụng bổ đề: 
Gọi 1 1( ; )A x y và 2 2( ; )B x y là hai điểm cực trị. Khi đó: 11
2ax by
m

 và 22
2ax by
m

 
 Do đó, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có dạng: 2a by x
m m
  
Dạng 8: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số ( , )y f x m có các điểm cực trị nằm về hai phía đối 
với trục tung 
Cách giải 
 Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị 1x và 2x (1) 
 Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ giữa 1x và 2x (2) 
www.VNMATH.com
Đỗ Minh Tuấn Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số 
 Trang 3 
 A và B nằm về hai phía đối với trục 1 2 0Oy x x  (sử dụng hệ thức (2)) 
 Kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả 
Dạng 9: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số ( , )y f x m có các điểm cực trị nằm về hai phía đối 
với trục hoành 
Cách giải 
 Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị 1x và 2x (1) 
 Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ giữa 1x và 2x (2) 
 Tính các giá trị 1y và 2y (tính giống như ở Dạng 7) 
 Các điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục 1 2 0Oy y y  (sử dụng hệ thức (2)) 
 Kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả 
Dạng 10: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số ( , )y f x m có các điểm cực trị nằm về hai phía đối 
với đường thẳng : 0d Ax By C   cho trước 
Cách giải 
 Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị 1x và 2x (1) 
 Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ giữa 1x và 2x (2) 
 Tính các giá trị 1y và 2y (tính giống như ở Dạng 7)  Tọa độ các điểm cực trị: 1 1( ; )A x y , 2 2( ; )B x y 
 A và B nằm về hai phía đối với 1 1 2 2( )( ) 0d Ax By C Ax By C       kết quả 
Dạng 11: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số ( , )y f x m có các điểm CĐ và CT đối xứng với 
nhau qua đường thẳng : 0d Ax By C   
Cách giải 
 Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị 1x và 2x (1) 
 Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ giữa 1x và 2x (2) 
 Tính các giá trị 1y và 2y (tính giống như ở Dạng 7)  Tọa độ các điểm cực trị: 1 1( ; )A x y , 2 2( ; )B x y 
 A và B đối xứng với nhau qua 
AB d
d
I d

 

  giá trị m 
 Kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả 
Dạng 12: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số ( , )y f x m có các điểm CĐ và CT cách đều đường 
thẳng : 0d Ax By C   
Cách giải 
 Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị 1x và 2x (1) 
 Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ giữa 1x và 2x (2) 
 Tính các giá trị 1y và 2y (tính giống như ở Dạng 7)  Tọa độ các điểm cực trị: 1 1( ; )A x y , 2 2( ; )B x y 
 A và B cách đều đường thẳng 
AB d
I d

 

  giá trị m 
 Kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả 
trong đó I là trung điểm của AB 
trong đó I là trung điểm của AB 
www.VNMATH.com
Đỗ Minh Tuấn Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số 
 Trang 4 
Dạng 13: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số ( , )y f x m có các điểm cực trị A và B thỏa mãn 
một hệ thức nào đó (VD: ,AB k AB ngắn nhất, 2OA OB ) 
Cách giải 
 Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị 1x và 2x (1) 
 Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ giữa 1x và 2x (2) 
 Tính các giá trị 1y và 2y (tính giống như ở Dạng 7)  Tọa độ các điểm cực trị: 1 1( ; )A x y , 2 2( ; )B x y 
 Từ hệ thức liên hệ giữa các điểm A, B ta tìm được giá trị của m 
Dạng 14: Tìm điểm M thuộc đường thẳng : 0d Ax By C   sao cho tổng khoảng cách từ điểm M đến hai 
điểm cực trị của đồ thị hàm số ( )y f x là nhỏ nhất 
Cách giải 
 Tìm các điểm cực trị 1 1( ; )A x y và 2 2( ; )B x y của ĐTHS ( )y f x 
 Viết phương trình đường thẳng AB 
 Kiểm tra xem A va B nằm về cùng một phía hay nằm về hai phía đối với đường thẳng d 
+ Nếu: 1 1 2 2( )( ) 0Ax By C Ax By C      A và B nằm về hai phía đối với d 
Khi đó: MA MB AB  . Do đó: MA MB nhỏ nhất  M là giao điểm của AB với đường thẳng d 
+ Nếu: 1 1 2 2( )( ) 0Ax By C Ax By C      A và B nằm về cùng một phía đối với d 
- Xác định tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d 
- Khi đó: ' 'MA MB MA MB A B    . Do đó: MA MB nhỏ nhất  M là giao điểm của A’B 
với đường thẳng d 
Dạng 15: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số ( , )y f x m có các điểm CĐ, CT và đường thẳng đi 
qua hai điểm cực trị tạo với đường thẳng : 0d Ax By C   một góc bằng α 
Cách giải 
 Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị (1) 
 Viết phương trình đường thẳng  đi qua hai điểm cực trị 
 Khi đó: 1
1
α α






  
     
 
  

.
 taïo vôùi goùc tan
 d
d
d
d
d k k
d k k
k k
d
k k
 giá trị của m 
 Kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả 
A* 
*B 
d 
*M 
*M0 
 A, B nằm về hai phía 
 B 
M A 
A’ 
d 
H 
 A, B nằm về cùng một phía 
www.VNMATH.com
Đỗ Minh Tuấn Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số 
 Trang 5 
Dạng 16: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số 4 2y ax bx c   có các điểm CĐ, CT tạo thành một 
tam giác vuông cân. 
Cách giải 
 Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị (1) 
 Tìm tọa độ các điểm cực trị A, B, C của ĐTHS 
 Xác định xem ABC cân tại điểm nào, giả sử cân tại A 
 Khi đó: ABC vuông cân 0.OA OB  
 
giá trị của m 
 Kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả 
Chú ý: ĐTHS trùng phương có trục đối xứng là trục Oy và ĐTHS có các điểm CĐ, CT ĐTHS có ba điểm 
cực trị 
Dạng 17: Tìm giá trị của m để tiệm cận xiên của ĐTHS 
2ax bx c
y
mx n
 


 chắn trên hai trục tọa độ một tam 
giác có diện tích bằng k. 
Cách giải 
 Tìm đường tiệm cận xiên của ĐTHS 
 Tìm tọa độ giao điểm ( ;0)AA x và (0; )BB y của TCX với các trục tọa độ 
 Khi đó: AOA x và 
1 1. .
2 2B OAB A B
OB y S OAOB x y    
 Từ đó, suy ra kết quả của m 
Dạng 18: Tìm các điểm M trên đồ thị (C): ax by
cx d



 sao cho tổng khoảng cách từ điểm M đến giao điểm của 
hai đường tiệm cận là nhỏ nhất. 
Cách giải 
 Tìm các đường tiệm cận của ĐTHS  Giao điểm A và B của hai đường tiệm cận 
 Sử dụng phương pháp chia đa thức, viết lại hàm số đã cho dưới dạng: qy p
cx d
 

 (với ,p q ) 
 Gọi ; ( )qM m p C
cm d
    
. Tính khoảng cách từ điểm M đến các đường tiệm cận 
 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm  kết quả 
Chú ý: - Khoảng cách từ điểm 0 0( ; )M x y đến đường thẳng : 0Ax By C    là: 
0 0
( ; ) 2 2M
Ax By C
d
A B

 


- Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm A và B: 2A B AB  . Dấu “=” xảy ra A B  
- Đối với hàm số dạng 
2ax bx cy
mx n
 


 cách làm hoàn toàn tương tự 
Dạng 19: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( ) : ( )C y f x tại điểm 0 0( ; )M x y 
Cách giải 
 Xác định 0x và 0y 
B 
A x 
y 
O 
www.VNMATH.com
Đỗ Minh Tuấn Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số 
 Trang 6 
 Tính 'y . Từ đó suy ra: ' 0( )y x 
 Phương trình tiếp tuyến cần tìm: ' 0 0 0( )( )y y x x x y   
Dạng 20: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( ) : ( )C y f x biết tiếp tuyến đó có hệ số góc bằng k 
Cách giải 
 Xác định k 
 Tính '( )f x và giải phương trình '( )f x k để tìm hoành độ tiếp điểm 0x . Từ đó suy ra: 0 0( )y f x 
 PT tiếp tuyến cần tìm: 0 0( )y k x x y   
Dạng 21: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( ) : ( )C y f x biết tiếp tuyến đó đi qua điểm ( ; )A AA x y 
Cách giải 
 Gọi  là đường thẳng đi qua điểm ( ; )A AA x y và có hệ số góc k PT : ( )A Ay k x x y    (*) 
  là tiếp tuyến của (C)  HPT: '
( ) ( ) (1)
( ) (2)
A Af x k x x y
k f x
  


 có nghiệm 
 Thay k từ (2) vào (1) ta được: '( ) ( )( ) (3)A Af x f x x x y   
 Giải phương trình (3) ta được x k (thay vào (2))  PT tiếp tuyến cần tìm (thay vào (*)) 
Dạng 22: Tìm các điểm M sao cho từ điểm M có thể kẻ được n tiếp tuyến tới đồ thị ( ) : ( )C y f x 
Cách giải 
 Giả sử: 0 0( ; )M x y . Phương trình đường thẳng  qua M và có hệ số góc k có dạng: 0 0( )y k x x y   
  là tiếp tuyến của (C)  HPT: 0 0'
( ) ( ) (1)
( ) (2)
f x k x x y
k f x
  


 có nghiệm 
 Thay k từ (2) vào (1) ta được: ' 0 0( ) ( )( ) (3)f x f x x x y   
 Khi đó, từ M kẻ được n tiếp tuyến đến (C)  PT (3) có n nghiệm phân biệt kết quả 
Dạng 23: Tìm các điểm M sao cho từ điểm M có thể kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị ( ) : ( )C y f x và hai tiếp 
tuyến đó vuông góc với nhau. 
Cách giải 
 Giả sử: 0 0( ; )M x y . Phương trình đường thẳng  qua M và có hệ số góc k có dạng: 0 0( )y k x x y   
  là tiếp tuyến của (C)  HPT: 0 0'
( ) ( ) (1)
( ) (2)
f x k x x y
k f x
  


 có nghiệm 
 Thay k từ (2) vào (1) ta được: ' 0 0( ) ( )( ) (3)f x f x x x y   
 Khi đó, qua M kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C)  PT (3) có 2 nghiệm phân biệt 1x và 2x 
 Hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau ' '1 2( ). ( ) 1f x f x    kết quả 
Chú ý: Qua M kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) sao cho hai tiếp điểm nằm về hai phía đối với trục hoành 
    1 2
(3) coù 2 nghieäm phaân bieät
( ). ( ) 0f x f x 
www.VNMATH.com
Đỗ Minh Tuấn Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số 
 Trang 7 
Dạng 24: Tìm các giá trị của m để đồ thị 1( ) : ( , )C y f x m cắt đồ thị 2( ) : ( )C y g x tại n điểm phân biệt 
Cách giải 
 1( )C cắt 2( )C tại n điểm phân biệt  PT: ( , ) ( )f x m g x có n nghiệm phân biệt 
 Tìm m bằng một số cách: dựa vào điều kiện có nghiệm của PT bậc hai, dựa vào bảng biến thiên, dựa 
vào đồ thị  kết quả 
Dạng 25: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: ( , ) 0F x m  
Cách giải 
 Biến đổi phương trình ( , ) 0F x m  về dạng: ( ) ( )f x g m , trong đó đồ thị ( )y f x đã vẽ đồ thị 
 Số nghiệm của PT đã cho chính là số giao điểm của đồ thị ( ) : ( )C y f x với đường thẳng 
: ( )d y g m 
 Dựa vào số giao điểm của d với (C)  kết quả 
Dạng 26: Tìm giá trị của m để đường thẳng :d y px q  cắt đồ thị ( ) : ax bC y
cx d



 tại hai điểm phân biệt 
M, N sao cho độ dài đoạn MN là nhỏ nhất. 
Cách giải 
 d cắt ( )C tại hai điểm phân biệt  PT: ax b px q
cx d

 

 có hai nghiệm phân biệt 
 PT: 2 0Ax Bx C   (1) có hai nghiệm phân biệt khác d
c
 
điều kiện của m (*) 
 Khi đó, d cắt ( )C tại hai điểm phân biệt 1 1( ; )M x y và 2 2( ; )N x y . Theo định lý Viet ta có mối liên hệ 
giữa 1x và 2x ( 1x và 2x là hai nghiệm của pt (1)) 
 Tính: 2 2 22 1 2 1( ) ( )MN x x y y     kết quả của m để MN là nhỏ nhất 
Chú ý: - Khi tính 1y và 2y ta thay 1x và 2x vào phương trình của đường thẳng d 
- OMN vuông 1 2 1 2. 0 0OM ON x x y y    
 
- Đối với đồ thị của hàm số 
2
( ) : ax bx cC y
mx n
 


 cách làm hoàn toàn tương tự 
Dạng 27: Tìm giá trị của m để đường thẳng :d y px q  cắt đồ thị ( ) : ax bC y
cx d



 tại hai điểm phân biệt 
thuộc cùng một nhánh của (C). 
Cách giải 
 Xác định tiệm cận đứng của (C) 
 d cắt ( )C tại hai điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của (C) 
 PT: ax b px q
cx d

 

 có hai nghiệm phân biệt nằm về cùng một phía đối với TCĐ 
 PT: 2 0Ax Bx C   (1) có hai nghiệm phân biệt khác d
c
 và nằm về cùng một phía với TCĐ 
kết quả của m (vận dụng điều kiện để hai điểm nằm cùng một phía đối với đường thẳng) 
www.VNMATH.com
Đỗ Minh Tuấn Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số 
 Trang 8 
Dạng 28: Tìm giá trị của m để đường thẳng đồ thị 3 2( ) :C y ax bx cx d    cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt 
có hoành độ lập thành một cấp số cộng. 
Cách giải 
 Điều kiện cần: 
 Hoành độ các giao điểm 1 2 3, ,x x x là nghiệm của PT: 
3 2 0ax bx cx d    (1) 
 Theo định lý Viet, ta có: 1 2 3
bx x x
a
    (2) 
 Do 1 2 3, ,x x x lập thành một cấp số cộng, nên: 1 3 22x x x  . Thay vào (2) ta được: 2 3
bx
a
  
 Thay vào (1), ta được giá trị của m 
 Điều kiện đủ: Thử lại các giá trị của m vừa tìm được xem PT đã cho có 3 nghiệm hay không 
 Kết luận: Đưa ra giá trị của m 
Dạng 29: Tìm giá trị của m để đường thẳng đồ thị 3 2( ) :C y ax bx cx d    cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt 
có hoành độ lập thành một cấp số nhân. 
Cách giải 
 Điều kiện cần: 
 Hoành độ các giao điểm 1 2 3, ,x x x là nghiệm của PT: 
3 2 0ax bx cx d    (1) 
 Theo định lý Viet, ta có: 1 2 3
dx x x
a
  (2) 
 Do 1 2 3, ,x x x lập thành một cấp số nhân, nên: 
2
1 3 2x x x . Thay vào (2) ta được: 32
dx
a
  
 Thay vào (1), ta được giá trị của m 
 Điều kiện đủ: Thử lại các giá trị của m vừa tìm được xem PT đã cho có 3 nghiệm hay không 
 Kết luận: Đưa ra giá trị của m 
Dạng 30: Cho họ đường cong ( ) : ( , )mC y f x m , với m là tham số. Tìm điểm cố định mà họ đường cong trên 
đi qua với mọi giá trị của m. 
Cách giải 
 Gọi 0 0( ; )A x y là điểm cố định của họ ( )mC . Khi đó ta có: 0 0( , ), 0,y f x m m Am B m      
 0
0
0
A
x
B

 

 và oy điểm cố định A 
 Kết luận các điểm cố định mà họ ( )mC luôn đi qua 
Dạng 31: Cho họ đường cong ( ) : ( , )mC y f x m , với m là tham số. Tìm các điểm mà họ đường cong trên 
không đi qua với mọi giá trị của m. 
Cách giải 
 Gọi 0 0( ; )A x y là điểm mà họ ( )mC không đi qua m . 
 Khi đó phương trình ẩn m: 0 0( , )y f x m vô nghiệm điều kiện của 0x và 0y 
www.VNMATH.com
Đỗ Minh Tuấn Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số 
 Trang 9 
Dạng 32: Cho đồ thị ( ) : ( )C y f x . Vẽ đồ thị của hàm số  y f x 
Cách giải 
 Vẽ đồ thị của hàm số ( ) : ( )C y f x 
 Ta có:   ( )
( )
f x
y f x
f x

  

 Do đó, đồ thị của hàm số  y f x là hợp của hai phần: 
 Phần 1: là phần của đồ thị (C) nằm ở bên phải trục Ox 
 Phần 2: là phần đối xứng với phần 1 qua trục Ox 
Dạng 33: Cho đồ thị ( ) : ( )C y f x . Vẽ đồ thị của hàm số ( )y f x 
Cách giải 
 Vẽ đồ thị của hàm số ( ) : ( )C y f x 
 Ta có: 
( )
( )
( )
f x
y f x
f x

  

 Do đó, đồ thị của hàm số  ( )y f x là hợp của hai phần: 
 Phần 1: là phần của đồ thị (C) bên trên trục Ox 
 Phần 2: là phần đối xứng với phần đồ thị (C) ở bên dưới trục Ox qua trục Ox 
Dạng 34: Cho đồ thị ( ) : ( )C y f x . Vẽ đồ thị của hàm số ( )y f x 
Cách giải 
 Vẽ đồ thị của hàm số ( ) : ( )C y f x 
 Ta có: 
 

   
  
( ) 0
( ) ( )
( )
f x
y f x y f x
y f x
 Do đó, đồ thị của hàm số  ( )y f x là hợp của hai phần: 
 Phần 1: là phần của đồ thị (C) nằm bên trên trục Ox 
 Phần 2: là phần đối xứng với phần 1 qua trục Ox 
Dạng 35: Cho đồ thị ( ) : ( )C y f x . Vẽ đồ thị của hàm số  ( ) ( ) . ( )y f x u x v x 
Cách giải 
 Vẽ đồ thị của hàm số ( ) : ( )C y f x 
Ta có:  
( ). ( )
( ). ( )
u x v xy
u x v x
 Do đó, đồ thị của hàm số  ( ) ( ) . ( )y f x u x v x là hợp của hai phần: 
 Phần 1: là phần của đồ (C) trên miền ( ) 0u x 
 Phần 2: là phần đối xứng với phần đồ thị (C) trên miền ( ) 0u x qua trục Ox 
nếu 0x  
nếu 0x  
nếu ( ) 0f x  
nếu ( ) 0f x  
nếu ( ) 0u x 
nếu ( ) 0u x  
www.VNMATH.com