Các chuyên đề Đại số 8

eBook.here.vn - Onbai.org Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí 
 1 
1. Chuyªn ®Ò : §a thøc 
Baøi 1: Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc: 
a. A = 4 3 217 17 17 20x x x x− + − + taïi x = 16. 
b. B = 5 4 3 215 16 29 13x x x x x− + − + taïi x = 14. 
c. C = 14 13 12 11 210 10 10 ... 10 10 10x x x x x x− + − + + − + taïi x = 9 
d. D = 15 14 13 12 28 8 8 ... 8 8 5x x x x x x− + − + − + − taïi x = 7. 
Baøi 2: Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc: 
a. M = 1 1 1 650 4 42 . .3
315 651 105 651 315.651 105
− − + 
b. N = 1 3 546 1 42 . .
547 211 547 211 547.211
− − 
Baøi 3: Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc: 
a. A = ( ) ( )3 2 2 2 3 3x x y y x y− + − vôùi x = 2; 1y = . 
b. M.N vôùi 2x = .Bieát raèng:M = 22 3 5x x− + + ; N = 2 3x x− + . 
Baøi 4: Tính giaù trò cuûa ña thöùc, bieát x = y + 5: 
 a. ( ) ( )2 2 2 65x x y y xy+ + − − + 
 b. ( )2 2 75x y y x+ − + 
Baøi 5: Tính giaù trò cuûa ña thöùc: 
 ( ) ( ) 21 1x y y xy x y+ − − − bieát x+ y = -p, xy = q 
 Baøi 6: Chöùng minh ñaúng thöùc: 
 a. ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2x a x b x b x c x c x a ab bc ca x− − + − − + − − = + + − ; bieát raèng 2x = a + b 
+ c 
 b. ( )2 2 22 4bc b c a p p a+ + − = − ; bieát raèng a + b + c = 2p 
 Baøi 7: 
a. Soá a goàm 31 chöõ soá 1, soá b goàm 38 chöõ soá 1. Chöùng minh raèng ab – 2 chia 
heát cho 3. 
b. Cho 2 soá töï nhieân a vaø b trong ñoù soá a goàm 52 soá 1, soá b goàm 104 soá 1. Hoûi 
tích ab coù chia heát cho 3 khoâng? Vì sao? 
Baøi 8: Cho a + b + c = 0. Chöùng minh raèng M = N = P vôùi: 
 ( )( )M a a b a c= + + ; ( )( )N b b c b a= + + ; ( )( )P c c a c b= + + 
 Baøi 9: Cho bieåu thöùc: M = ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2x a x b x b x c x c x a x− − + − − + − − + . Tính M 
theo a, b, c, bieát raèng 1 1 1
2 2 2
x a b c= + + . 
Baøi 10: Cho caùc bieåu thöùc: A = 15x – 23y ; B = 2x + 3y . Chöùng minh raèng neáu x, 
y laø caùc soá nguyeân vaø A chia heát cho 13 thì B chia heát cho 13. Ngöôïc laïi neáu B 
chia heát cho 13 thì A cuõng chia heát cho 13. 
Baøi 11: Cho caùc bieåu thöùc: A = 5x + 2y ; B = 9x + 7y 
a. Ruùt goïn bieåu thöùc 7A – 2B. 
eBook.here.vn - Onbai.org Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí 
 2 
b. Chöùng minh raèng: Neáu caùc soá nguyeân x, y thoûa maõn 5x + 2y chia heát cho 
17 thì 9x + 7y cuõng chia heát cho 17. 
 Baøi 12: Chöùng minh raèng: 
 a. 7 9 1381 27 9− − chia heát cho 405. 
 b. 2 1 212 11n n+ ++ chia heát cho 133. 
 Baøi 13: Cho daõy soá 1, 3, 6 , 10, 15,, ( )1
2
n n + ,  
 Chöùng minh raèng toång hai soá haïng lieân tieáp cuûa daõy bao giôø cuõng laø soá 
chính phöông. 
2. Chuyªn ®Ò: BiÓn ®æi biÓu thøc nguyªn 
I. Mét sè h»ng ®¼ng thøc c¬ b¶n 
1. (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 ; 
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ; 
2
1 2 n(a a ... a )+ + + = 
 = −+ + + + + + + + + + + +
2 2 2
1 2 n 1 2 1 3 1 n 2 3 2 n n 1 na a ... a 2(a a a a ... a a a a ... a a ... a a ); 
2. (a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 = a3 ± b3 ± 3ab(a ± b); 
 (a ± b)4 = a4 ± 4a3b + 6a2b2 ± 4ab3 + b4 ; 
3. a2 – b2 = (a – b)(a + b) ; 
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) ; 
an – bn = (a – b)(an – 1 + an – 2b + an – 3b2 +  + abn – 2 + bn – 1) ; 
4. a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) 
a5 + b5 = (a + b)(a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b5) ; 
a2k + 1 + b2k + 1 = (a + b)(a2k – a2k – 1b + a2k – 2b2 –  + a2b2k – 2 – ab2k – 1 + b2k) ; 
II. B¶ng c¸c hÖ sè trong khai triÓn (a + b)n – Tam gi¸c Pascal 
§Ønh 1 
Dßng 1 (n = 1) 1 1 
Dßng 2 (n = 2) 1 2 1 
Dßng 3 (n = 3) 1 3 3 1 
Dßng 4 (n = 4) 1 4 6 4 1 
Dßng 5 (n = 5) 1 5 10 10 5 1 
 Trong tam gi¸c nµy, hai c¹nh bªn gåm c¸c sè 1 ; dßng k + 1 ®−îc thµnh lËp tõ 
dßng k (k ≥ 1), ch¼ng h¹n ë dßng 2 ta cã 2 = 1 + 1, ë dßng 3 ta cã 3 = 2 + 1, 3 = 1 + 
2, ë dßng 4 ta cã 4 = 1 + 3, 6 = 3 + 3, 4 = 3 + 1, Khai triÓn (x + y)n thµnh tæng th× 
c¸c hÖ sè cña c¸c h¹ng tö lµ c¸c sè trong dßng thø n cña b¶ng trªn. Ng−êi ta gäi b¶ng 
trªn lµ tam gi¸c Pascal, nã th−êng ®−îc sö dông khi n kh«ng qu¸ lín. Ch¼ng h¹n, víi 
n = 4 th× : 
 (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 
vµ víi n = 5 th× : 
 (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 10ab4 + b5 
eBook.here.vn - Onbai.org Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí 
 3 
II. C¸c vÝ dô 
 VÝ dô 1. §¬n gi¶n biÓu thøc sau : 
A = (x + y + z)3 – (x + y – z)3 – (y + z – x)3 – (z + x – y)3. 
Lêi gi¶i 
 A = [(x + y) + z]3 – [(x + y) – z]3 – [z – (x – y)]3 – [z + (x – y)]3 
 = [(x + y)3 + 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 + z3] – [(x + y)3 – 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 – 
z3] – [z3 – 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 – (x – y)3] – [z3 + 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 + (x – y)3] 
= 6(x + y)2z – 6z(x – y)2 = 24xyz 
 VÝ dô 2. Cho x + y = a, xy = b (a2 ≥ 4b). TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau : 
 a) x2 + y2 ; b) x3 + y3 ; c) x4 + y4 ; d) x5 + y5 
Lêi gi¶i 
a) x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b 
b) x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) = a3 – 3ab 
c) x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (a2 – 2b)2 – 2b2 = a4 – 4a2b + 2b2 
d) (x2 + y2)(x3 + y3) = x5 + x2y3 + x3y2 + y5 = (x5 + y5) + x2y2(x + y) 
Hay : (a2 – 2b)(a3 – 3ab) = (x5 + y5) + ab2 ⇒ x5 + y5 = a5 – 5a3b + 5ab2 
 Chó ý : a6 + b6 = (a2)3 + (b2)3 = (a3)2 + (b3)2 
 a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) – a3b3(a + b) 
 = (a2 + b2)(a5 + b5) – a2b2(a3 + b3) 
 VÝ dô 3. Chøng minh c¸c h»ng ®¼ng thøc : 
a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) ; 
b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) 
Lêi gi¶i 
a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 + c3 – 3abc – 3a2b – 3ab2 
 = (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2] – 3ab(a + b + c) 
 = (a + b + c) [(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab] 
 = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) 
b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = [(a + b + c)3 – a3] – (b3 + c3) 
= (b + c)[(a + b + c)2 + (a + b + c)a + a2] – (b + c)(b2 – bc + c2) 
= (b + c)(3a2 + 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)] 
= 3(a + b)(b + c)(c + a) 
 VÝ dô 4. Cho x + y + z = 0. 
 Chøng minh r»ng : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) 
Lêi gi¶i 
 V× x + y + z = 0 nªn x + y = –z ⇒ (x + y)3 = –z3 
 Hay x3 + y3 + 3xy(x + y) = –z3 ⇒ 3xyz = x3 + y3 + z3 
 Do ®ã : 3xyz(x2 + y2 + z2) = (x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) 
 = x5 + y5 + z5 + x3(y2 + z2) + y3(z2 + x2) + z3(x2 + y2) 
 Mµ x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = z2 – 2xy (v× x + y = –z). T−¬ng tù : 
 y2 + z2 = x2 – 2yz ; z2 + x2 = y2 – 2zx. 
 V× vËy : 3xyz(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(x2 – 2yz) + y3(y2 – 2zx) + z3(z3 – 
2xy) = 2(x5 + y5 + z5) – 2xyz(x2 + y2 + z2) 
 Suy ra : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (®pcm) 
eBook.here.vn - Onbai.org Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí 
 4 
Bµi tËp: 
1. Cho a + b + c = 0 vµ a2 + b2 + c2 = 14. 
TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : A = a4 + b4 + c4. 
2. Cho x + y + z = 0 vµ xy + yz + zx = 0. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : 
B = (x – 1)2007 + y2008 + (z + 1)2009. 
3. Cho a2 – b2 = 4c2. Chøng minh r»ng : (5a – 3b + 8c)(5a – 3b – 8c) = (3a – 5b)2. 
4. Chøng minh r»ng nÕu: 
5. (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 = (x + y – 2z)2 + (y + z – 2x)2 + (z + x – 2y)2 
th× x = y = z. 
6. a) Chøng minh r»ng nÕu (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 vµ x, y kh¸c 0 th× 
a b
x y
= . 
b) Chøng minh r»ng nÕu (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2 
vµ x, y, z kh¸c 0 th× 
a b c
x y z
= = . 
7. Cho x + y + z = 0. Chøng minh r»ng : 
a) 5(x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = 6(x5 + y5 + z5) ; 
b) x7 + y7 + z7 = 7xyz(x2y2 + y2z2 + z2x2) ; 
c) 10(x7 + y7 + z7) = 7(x2 + y2 + z2)(x5 + y5 + z5). 
8. Chøng minh c¸c h»ng ®»ng thøc sau : 
a) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 ; 
b) x4 + y4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2. 
9. Cho c¸c sè a, b, c, d tháa m`n a2 + b2 + (a + b)2 = c2 + d2 + (c + d)2. 
 Chøng minh r»ng : a4 + b4 + (a + b)4 = c4 + d4 + (c + d)4 
10. Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = 1. 
 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : C = a2 + b9 + c1945. 
11. Hai sè a, b lÇn l−ît tháa m`n c¸c hÖ thøc sau : 
a3 – 3a2 + 5a – 17 = 0 vµ b3 – 3b2 + 5b + 11 = 0. H`y tÝnh : D = a + b. 
12. Cho a3 – 3ab2 = 19 vµ b3 – 3a2b = 98. H`y tÝnh : E = a2 + b2. 
13. Cho x + y = a + b vµ x2 + y2 = a2 + b2. TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau : 
a) x3 + y3 ; b) x4 + y4 ; c) x5 + y5 ; d) x6 + y6 ; 
e) x7 + y7 ; f) x8 + y8 ; g) x2008 + y2008. 
3. Chuyªn ®Ò: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö 
eBook.here.vn - Onbai.org Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí 
 5 
I- Ph−¬ng ph¸p t¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö kh¸c: 
Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö 
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
, 5 6 d , 1 3 3 6
, 3 8 4 e , 3 1 8
, 8 7 f , 5 2 4
, 3 1 6 5 h , 8 3 0 7
, 2 5 1 2 k , 6 7 2 0
a x x x x
b x x x x
c x x x x
g x x x x
i x x x x
− + − +
− + + −
+ + − −
− + + +
− − − −
Bµi 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: 
(§a thøc ® cho cã nhiÖm nguyªn hoÆc nghiÖm h÷u tØ) 
II- Ph−¬ng ph¸p thªm vµ bít cïng mét h¹ng tö 
1) D¹ng 1: Thªm bít cïng mét h¹ng tö lµm xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc hiÖu cña hai 
b×nh ph−¬ng: A2 – B2 = (A – B)(A + B) 
Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: 
2) D¹ng 2: Thªm bít cïng mét h¹ng tö lµm xuÊt hiÖn thõa sè chung 
Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: 
3 2 3
3 2 3
3 2 3 2
3 2 3 2
1, 5 8 4 2, 2 3
3, 5 8 4 4, 7 6 
5, 9 6 16 6, 4 13 9 18
7, 4 8 8 8, 6 6 1
x x x x x
x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
− + − + −
+ + + − +
− + + − + −
− − + − − + +
3 2 3
3 3 2
3 2 3 2
3 3
9, 6 486 81 10, 7 6 
11, 3 2 12, 5 3 9
13, 8 17 10 14, 3 6 4 
15, 2 4 16, 2
x x x x x
x x x x x
x x x x x x
x x x
− − + − −
− + − + +
+ + + + + +
− − 2
3 2 3 2
3 2 3 2
3 2 4 3 2
12 17 2
17, 4 18, 3 3 2
19, 9 26 24 20, 2 3 3 1
21, 3 14 4 3 22, 2 1 
x x
x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
− + −
+ + + + +
+ + + − + −
− + + + + + +
( )22 2 2 2
4 4
4 4
4 4 4
4 4 4 2
1, (1 ) 4 (1 ) 2, 8 36
3, 4 4, 64
5, 64 1 6, 81 4
7, 4 81 8, 64
9, 4 10, 
x x x x
x x
x x
x x y
x y x x
+ − − − +
+ +
+ +
+ +
+ + +1
eBook.here.vn - Onbai.org Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí 
 6 
III- Ph−¬ng ph¸p ®æi biÕn 
Bµi 1:Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö 
Bµi 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö 
IV- Ph−¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng 
Ph−¬ng ph¸p: Tr−íc hÕt ta x¸c ®Þnh d¹ng c¸c thõa sè chøa biÕn cña ®a thøc, råi g¸n 
cho c¸c biÕn c¸c gi¸ trÞ cô thÓ ®Ó x¸c ®Þnh thõa sè cßn l¹i. 
VÝ dô: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: 
Gi¶i 
a, Gi¶ sö thay x bëi y th× P = 2 2( ) ( ) 0y y z y z y− + − = 
Nh− vËy P chøa thõa sè x – y 
Ta l¹i thÊy nÕu thay x bëi y, thay y bëi z, thay z bëi x th× P kh«ng ®æi(ta nãi ®a thøc P 
cã thÓ ho¸n vÞ vßng quanh bëi c¸c biÕn x, y, z). Do ®ã nÕu P ®` chóa thïa sè x – y th× 
còng chóa thõa sè y – z, z – x. VËy P ph¶i cã d¹ng 
P = k(x – y)(y – z)(z – x).Ta thÊy k ph¶i lµ h»ng sè(kh«ng chóa biÕn) v× P cã bËc 3 ®èi 
víi tËp hîp c¸c biÕn x, y, z cßn tÝch (x – y)(y – z)(z – x) còng cã bËc ba ®èi víi tËp 
hîp c¸c biÕn x, y, z. V× ®¼ng thøc 
®óng víi mäi x, y, z nªn ta g¸n cho c¸c biÕn x, y, z c¸c gi¸ trÞ riªng, ch¼ng h¹n x = 2, 
y = 1, z = 0 
ta ®−îc k = -1 
7 2 7 5
5 4 5
8 7 5 4
5 10 5
1, 1 2, 1 
3, 1 4, 1
5, 1 6, 1 
7, 1 8, 1 
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
+ + + +
+ + + +
+ + − −
+ − + +
2 2 2 2 2 2 2
2 2 4
4
1, ( 4)( 6)( 10) 128 2, ( 1)( 2)( 3)( 4) 24
3, ( 4 8) 3 ( 4 8) 2 4, ( ) 4 4 12
5, 2 2 2 15 6, ( )( 2 )( 3 )( 4 )
7, 6 11
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x xy y x y x a x a x a x a a
x x
+ + + + + + + + −
+ + + + + + + + + −
+ + + + − + + + + +
− 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
3 8, ( ) 3( ) 2
9, 2 3 3 10 10, ( 2 ) 9 18 20
11, 4 4 2 4 35 12, ( 2)( 4)( 6)( 8) 16 
x x x x
x xy y x y x x x x
x xy y x y x x x x
+ + + + +
− + + − − + + + +
− + − + − + + + + +
4 3 2
2 2 2 2 2
1, 6 7 6 1
2, ( )( ) ( )
x x x x
x y z x y z xy yz zx
+ + − +
+ + + + + + +
2 2 2
2 2 2
, P = ( ) ( ) ( )
, Q = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
a x y z y z x z x y
b a b c a b c a b c a b c a b c b c a c a b
− + − + −
+ − + + − + + − + + − + − + −
2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( )( )( )x y z y z x z x y k x y y z z x− + − + − = − − −
eBook.here.vn - Onbai.org Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí 
 7 
VËy P =- (x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x - z) 
C¸c bµi to¸n 
Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: 
2 2 2( ) ( ) ( ) ( )( )( )M a b c a b c a b c a b c a b c b c a c a b= + − + + − + + − + + − + − + −
2 2 2( ) ( ) ( )N a m a b m b c m c abc= − + − + − − , víi 2m = a+ b + c. 
Bài 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: 
3 3
2 2 2 2 2 2
3 2 3 2 3 2
3 3 3
2 2
) ( )( ) .
) ( 2 ) (2 ) .
) ( ) ( ) ( ).
) ( )( ) ( )( ) ( )( )
) ( ) ( ) ( ) ( 1).
) ( ) ( ) ( ) .
) (
a A a b c ab bc ca abc
b B a a b b a b
c C ab a b bc b c ac a c
d D a b a b b c b c c a c a
e E a c b b a c c b a abc abc
f f a b c b c a c a b
g G a b a b
= + + + + −
= + − +
= + − + + −
= + − + + − + + −
= − + − + − + −
= − + − + −
= − 2 2 2 2
4 4 4
) ( ) ( ).
) ( ) ( ) ( ).
b c b c a c c a
h H a b c b c a c a b
+ − + −
= − + − + −
V-Ph−ong ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh 
Bài 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: 
4 3 2
4 3 2
2 2
4 3 2
4
) 6 12 14 3
) 4 4 5 2 1
) 3 22 11 37 7 10
) 7 14 7 1
) 8 63
a A x x x x
b B x x x x
c C x xy x y y
d D x x x x
e E x x
= − + − +
= + + + +
= + + + + +
= − + − +
= − +
Bµi tËp: 
VÝ dô . Ph©n tÝch biÓu thøc sau thµnh nh©n tö : 
A = x3 – 3(a2 + b2)x + 2(a3 + b3) 
Lêi gi¶i 
 §Æt S = a + b vµ P = ab, th× a2 + b2 = 2S 2P- ; a3 + b3 = 3S 3SP- . V× vËy : 
 A = x3 – 3( 2S 2P- )x + 2( 3S 3SP- ) = 3 3 2 3(x S ) (3S x 3S ) (6Px 6SP)- - - + - 
 = 2 2 2(x S)(x Sx S ) 3S (x S) 6P(x S)- + + - - + - 
 = 2 2(x S)(x Sx 2S 6P)- + - + 
 = (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a + b)2 + 6ab] 
 = (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a2 
Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö : 
a) x3 + 4x2 – 29x + 24 ; 
b) x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 ; 
c) (x2 – x + 2)2 + (x – 2)2 ; 
d) 6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x + 1 ; 
eBook.here.vn - Onbai.org Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí 
 8 
e) x6 + 3x5 + 4x4 + 4x3 + 4x2 + 3x + 1. 
f) x8 + x4 + 1; 
g) x10 + x5 + 1 ; 
h) x12 + 1 ; 
i) (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 ; 
k) (x + y + z)5 – x5 – y5 – z5. 
4. Chuyªn ®Ò: X¸c ®Þnh ®a thøc 
* §Þnh lÝ Beout (BªZu) vµ øng dông: 
1) §Þnh lÝ BªZu: 
 D− trong phÐp chia ®a thøc f(x) cho nhÞ thøc x - a b»ng f(a) (gi¸ trÞ cña f(x) t¹i x 
= a): )()()()( afxqaxxf +−= 
(Beout, 1730 - 1783, nhµ to¸n häc Ph¸p) 
HÖ qu¶: NÕu a lµ nghiÖm cña ®a thõc f(x) th× f(x) chia hÕt cho x - a. 
¸p dông: §Þnh lÝ BªZu cã thÓ dïng ®Ó ph©n tÝch mét ®a thøc thµnh nh©n tö. Thùc hiÖn 
nh− sau: 
 B−íc 1: Chän mét gi¸ trÞ x = a nµo ®ã vµ thö xem x = a cã ph¶i lµ nghiÖm cña 
f(x) kh«ng. 
 B−íc 2: NÕu f(a) = 0, theo ®Þnh lÝ BªZu ta cã: )()()( xpaxxf −= 
§Ó t×m p(x) thùc hiÖn phÐp chia f(x) cho x - a. 
 B−íc 3: TiÕp tôc ph©n tÝch p(x) thµnh nh©n tö nÕu cßn ph©n tÝch ®−îc. Sau ®ã 
viÕt kÕt qu¶ cuèi cïng cho hîp lÝ. 
D¹ng 1: T×m ®a thøc th−¬ng b»ng ph−¬ng ph¸p ®ång nhÊt hÖ sè(ph−¬ng ph¸p hÖ sè 
bÊt ®Þnh), ph−¬ng ph¸p gi¸ trÞ riªng , thùc hiÖn phÐp chia ®a thøc. 
*Ph−¬ng ph¸p1: Ta dùa vµo mÖnh ®Ò sau ®©y : 
NÕu hai ®a thøc P(x) vµ Q(x) b»ng nhau: P(x) = Q(x) th× c¸c h¹ng tö cïng bËc ë hai 
®a thøc ph¶i cã hÖ sè ph¶i cã hÖ sè b»ng nhau. 
VÝ dô: 32)( 2 −+= bxaxxP ; pxxxQ −−= 4)( 2 
NÕu P(x) = Q(x) th× ta cã: 
 a = 1(hÖ sè cña lòy thõa 2) 
 2b = - 4 (hÖ sè cña lòy thõa bËc 1) 
 - 3 = - p (hÖ sè h¹ng tö bËc kh«ng hay h¹ng tö tù do) 
*Ph−¬ng ph¸p2: Cho hai ®a thøc P(x) vµ Q(x) tháa m`n deg P(x) > deg Q(x) 
Gäi th−¬ng vµ d− trong phÐp chia P(x) cho Q(x) lÇn l−ît lµ M(x) vµ N(x) 
Khi ®ã ta cã: )()().()( xNxMxQxP += (Trong ®ã: deg N(x) < deg Q(x)) (I) 
V× ®¼ng thøc (I) ®óng víi mäi x nªn ta cho x lÊy mét gi¸ trÞ bÊt k× : α=x 
(α lµ h»ng sè). Sau ®ã ta ®i gi¶i ph−¬ng tr×nh hoÆc hÖ ph−¬ng tr×nh ®Ó t×m c¸c hÖ sè 
cña c¸c h¹ng tö trong c¸c ®a thøc ( §a thøc th−¬ng, ®a thøc chia, ®a thøc bÞ chia, sè 
d−). 
VÝ dô: Bµi 1(PhÇn bµi tËp ¸p dông) 
Gäi th−¬ng cña phÐp chia A(x) cho x + 1 lµ Q(x), ta cã: 
)().1(263 232 xQxaxaxxa +=−−+ . 
eBook.here.vn - Onbai.org Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí 
 9 
Vì ñẳng thức ñúng với mọi x nên cho x = -1 ta dược: 



=
−=
⇒=++−⇒=−++−
3
2
060263 22
a
a
aaaaa 
Với a = -2 thì 4104)(,4664 223 +−=+−−= xxxQxxxA 
Với a = 3 thì 69)(,6699 223 −=−−+= xxQxxxA 
*Ph−¬ng ph¸p 3:Thùc hiÖn phÐp chia ®a thøc (nh− SGK) 
Bµi tËp ¸p dông 
Bài 1: Cho ña thức 2 3 2( ) 3 6 2 ( )A x a x ax x a a Q= + − − ∈ . X¸c ñịnh a sao cho A(x) chia hết 
cho x + 1. 
Bµi 2: Ph©n tÝch ®a thøc 4 3( ) 2 4P x x x x= − − − thµnh nh©n tö, biÕt r»ng mét nh©n tö cã 
d¹ng: 2 2x dx+ + 
Bµi 3: Víi gi¸ trÞ nµo cña a vµ b th× ®a thøc : bxaxx +++ 223 chia hÕt cho ®a thøc: 
12 ++ xx . H`y gi¶i bµi to¸n trªn b»ng nhiÒu c¸ch kh¸c nhau. 
Bµi 4: X¸c ®Þnh gi¸ trÞ k ®Ó ®a thøc: kxxxxxf +++−= 234 219)( chia hÕt cho ®a thøc: 
2)( 2 −−= xxxg . 
Bài 5: Tìm tất cả các số tự nhiên k ñể cho ña thức: 152)( 23 ++= kkkf chia hết cho nhị 
thức: 3)( += kkg . 
Bài 6: Với giá trị nào của a và b thì ña thức: baxxxxxf +++−= 234 33)( chia hết cho 
ña thức: 43)( 2 +−= xxxg . 
Bài 7: a) Xác ñịnh các giá trị của a, b và c ñể ña thức: cbxaxxxP +++= 24)( 
Chia hết cho 3)3( −x . 
 b) Xác ñịnh các giá trị của a, b ñể ña thức: 2376)( 234 +++−= xaxxxxQ chia hết 
cho ña thức bxxxM +−= 2)( . 
 c) Xác ñịnh a, b ñể axxxxP +−+= 85)( 23 chia hết cho bxxxM ++= 2)( . 
Bài 8: Hãy xác ñịnh các số a, b, c ñể có ñẳng thức: 
(ðể học tốt ðại số 8) 
Bài 9: Xác ñịnh hằng số a sao cho: 
a) axx +− 710 2 chia hết cho 32 −x . 
b) 12 2 ++ axx chia cho 3−x dư 4. 
c) 95 45 −+ xax chia hết cho 1−x . 
Bài 10: Xác ñịnh các hằng số a và b sao cho: 
a) baxx ++ 24 chia hết cho 12 +− xx . 
b) 50523 −++ xbxax chia hết cho 1032 ++ xx . 
c) 124 ++ bxax chia hết cho 2)1( −x . 
d) 44 +x chia hết cho baxx ++2 . 
Bài 11: Tìm các hăng số a và b sao cho baxx ++3 chia cho 1+x thì dư 7, chia cho 
3−x thì dư -5. 
Bài 12: Tìm các hằng số a, b, c sao cho cbxax ++ 23 chia hết cho 2+x , chia cho 12 −x 
thì dư 5+x . 
(Một số vấn ñề phát triển ðại số 8) 
))()((23 cxbxaxcbxaxx −−−=−+−
eBook.here.vn - Onbai.org Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí 
 10
Bài 13: Cho ña thức: baxxxxxP ++−+= 234)( và 2)( 2 −+= xxxQ . Xác ñịnh a, b ñể 
P(x) chia hết cho Q(x). 
Bài 14: Xác ñịnh a và b sao cho ña thức 1)( 34 ++= bxaxxP chia hết cho ña thức 
2)1()( −= xxQ 
Bài 15: Cho các ña thức 237)( 234 +++−= xaxxxxP và bxxxQ +−= 2)( . Xác ñịnh a và 
b ñể P(x) chia hết cho Q(x). 
(23 chuyên ñề toán sơ cấp) 
Dạng 2: Phương pháp nội suy NiuTơn 
Phương pháp: 
 ðể tìm ña thức P(x) bậc không quá n khi biết giá trị của ña thức tại n + 1 ñiểm 
1321 ,,,, +nCCCC L ta có thể biểu diễn P(x) dưới dạng: 
)())(())(()()( 21212110 nn CxCxCxbCxCxbCxbbxP −−−++−−+−+= LL 
 Bằng cách thay thế x lần lượt bằng các giá trị 1321 ,,,, +nCCCC L vào biểu thức 
P(x) ta lần lượt tính ñược các hệ số nbbbb ,,,, 210 L . 
Bµi tËp ¸p dông 
Bài 1: Tìm ña thức bậc hai P(x), biết: 9)2(,7)1(,25)0( −=== PPP . 
Giải 
ðặt )1()( 210 −++= xxbxbbxP (1) 
Thay x lần lượy bằng 0; 1; 2 vào (1) ta ñược: 
11.2.2.18259
18257
25
22
11
0
=⇔+−=−
−=⇔+=
=
bb
bb
b
Vậy, ña thức cần tìm có dạng: 
2519)()1(1825)( 2 +−=⇔−+−= xxxPxxxxP . 
Bài 2: Tìm ña thức bậc 3 P(x), biết: 1)3(,4)2(,12)1(,10)0( ==== PPPP 
Hướng dẫn: ðặt )2)(1()1()( 3210 −−+−++= xxxbxxbxbbxP (1) 
Bài 3: Tìm ña thức bậc ba P(x), biết khi chia P(x) cho )3(),2(),1( −−− xxx ñều ñược 
dư bằng 6 và P(-1) = - 18. 
Hướng dẫn: ðặt )3)(2)(1()2)(1()1()( 3210 −−−+−−+−+= xxxbxxbxbbxP (1) 
Bài 4: Cho ña thức bậc bốn P(x), thỏa mãn: 
)1(),12)(1()1()(
0)1(
++=−−
=−
xxxxPxP
P
 a) Xác ñịnh P(x). 
 b) Suy ra giá trị của tổng )(),12)(1(5.3.23.2.1 *NnnnnS ∈+++++= K . 
Hướng dẫn: Thay x lần lượt bằng 0; 1; 2; 3 vào (1), ta ñược : 
36)2(5.3.2)1()2(
6)1(3.2.1)0()1(
0)0(0)1()0(
,0)2(0)2()1(
=⇔=−
=⇔=−
=⇔=−−
=−⇔=−−−
PPP
PPP
PPP
PPP
ðặt )2)(1()1()1()1()1()1()( 43210 −−++−++++++= xxxxbxxxbxxbxbbxP (2) 
Thay x lần lượt bằng -1; 0; 1; 2; -2 vào (2) ta ñược: 
eBook.here.vn - Onbai.org Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí 
 11
2
1
)4)(3)(2)(1()3)(2)(1.(3)2)(1.(30
31.2.3.2.3.33