Các Chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7

Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 
 1
 DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT 
Bài 1: Tìm số hạng thứ n của các dãy số sau: 
a) 3, 8, 15, 24, 35, ... 
b) 3, 24, 63, 120, 195, ... 
c) 1, 3, 6, 10, 15, ... 
d) 2, 5, 10, 17, 26, ... 
e) 6, 14, 24, 36, 50, ... 
f) 4, 28, 70, 130, 208, ... 
g) 2, 5, 9, 14, 20, ... 
h) 3, 6, 10, 15, 21, ... 
i) 2, 8, 20, 40, 70, ... 
Hướng dẫn: 
a) n(n+2) 
b) (3n-2)3n 
c) 
( 1)
2
n n
d) 1+n2 
e) n(n+5) 
f) (3n-2)(3n+1) 
g) 
( 3)
2
n n 
h) 
( 1)( 2)
2
n n 
i)  ( 1)( 2)
3
n n n 
Bài 2: Tính: 
 a,A = 1+2+3++(n-1)+n 
 b,A = 1.2+2.3+3.4+...+99.100 
Hướng dẫn: 
 a,A = 1+2+3++(n-1)+n 
 A = n (n+1):2 
b,3A = 1.2.3+2.3(4-1)+3.4.(5-2)+...+99.100.(101-98) 
 3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+...+99.100.101-98.99.100 
 3A = 99.100.101 
 A = 333300 
Tổng quát: 
A = 1.2+2.3+3.4+. + (n - 1) n 
A = (n-1)n(n+1): 3 
Bài 3: Tính: 
 A = 1.3+2.4+3.5+...+99.101 
Hướng dẫn: 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 
 2
 A = 1(2+1)+2(3+1)+3(4+1)+...+99(100+1) 
 A = 1.2+1+2.3+2+3.4+3+...+99.100+99 
 A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+(1+2+3+...+99) 
 A = 333300 + 4950 = 338250 
Tổng quát: A = 1.3+2.4+3.5+...+(n-1)(n+1) 
A= (n-1)n(n+1):3 + n(n-1):2 
A= (n-1)n(2n+1):6 
Bài 4: Tính: 
 A = 1.4+2.5+3.6+...+99.102 
Hướng dẫn: 
 A = 1(2+2)+2(3+2)+3(4+2)+...+99(100+2) 
 A = 1.2+1.2+2.3+2.2+3.4+3.2+...+99.100+99.2 
 A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+2(1+2+3+...+99) 
 A = 333300 + 9900 
 A = 343200 
Bài 5: Tính: 
 A = 4+12+24+40+...+19404+19800 
Hướng dẫn: 
1
2
A = 1.2+2.3+3.4+4.5+...+98.99+99.100 
A= 666600 
Bài 6: Tính: 
 A = 1+3+6+10+...+4851+4950 
Hướng dẫn: 
 2A = 1.2+2.3+3.4+...+99.100 
 A= 333300:2 
 A= 166650 
Bài 7: Tính: 
 A = 6+16+30+48+...+19600+19998 
Hướng dẫn: 
 2A = 1.3+2.4+3.5+...+99.101 
 A = 338250:2 
 A = 169125 
Bài 8: Tính: 
 A = 2+5+9+14+...+4949+5049 
Hướng dẫn: 
 2A = 1.4+2.5+3.6+...+99.102 
 A = 343200:2 
 A = 171600 
Bài 9: Tính: 
 A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100 
Hướng dẫn: 
 4A = 1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5.(6-2)+...+98.99.100.(101-97) 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 
 3
 4A = 1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+...+98.99.100.101-97.98.99.100 
 4A = 98.99.100.101 
 A = 2449755 
Tổng quát: 
 A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+(n-2)(n-1)n 
 A = (n-2)(n-1)n(n+1):4 
Bài 10: Tính: 
 A = 12+22+32+...+992+1002 
Hướng dẫn: 
 A = 1+2(1+1)+3(2+1)+...+99(98+1)+100(99+1) 
 A = 1+1.2+2+2.3+3+...+98.99+99+99.100+100 
 A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+(1+2+3+...+99+100) 
 A = 333300 + 5050 
 A = 338050 
Tổng quát: 
 A = 12+22+32+...+(n-1)2+n2 
 A = (n-1) n (n+1):3 + n(n +1):2 
 A = n(n+1)(2n+1):6 
Bài 11: Tính: 
 A = 22+42+62+...+982+1002 
Hướng dẫn: 
 A = 22(12+22+32+...+492+502) 
Bài 12: Tính: 
 A = 12+32+52+...+972+992 
Hướng dẫn: 
 A = (12+22+32+...+992+1002)-(22+42+62+...+982+1002) 
 A = (12+22+32+...+992+1002)-22(12+22+32+...+492+502) 
Bài 13: Tính: 
 A = 12-22+32-42+...+992-1002 
Hướng dẫn: 
 A = (12+22+32+...+992+1002)-2(22+42+62+...+982+1002) 
Bài 14: Tính: 
 A = 1.22+2.32+3.42+...+98.992 
Hướng dẫn: 
 A = 1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+...+98.99(100-1) 
 A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+...+98.99.100-98.99 
 A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+...+98.99) 
Bài 15: Tính: 
 A = 1.3+3.5+5.7+...+97.99+99.101 
Hướng dẫn: 
 A = 1(1+2)+3(3+2)+5(5+2)+...+97(97+2)+99(99+2) 
 A = (12+32+52+...+972+992)+2(1+3+5+...+97+99) 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 
 4
Bài 16: Tính: 
 A = 2.4+4.6+6.8+...+98.100+100.102 
Hướng dẫn: 
 A = 2(2+2)+4(4+2)+6(6+2)+...+98(98+2)+100(100+2) 
 A = (22+42+62+...+982+1002)+4(1+2+3+...+49+50) 
Bài 17: Tính: 
 A = 13+23+33+...+993+1003 
Hướng dẫn: 
 A = 12(1+0)+22(1+1)+32(2+1)+...+992(98+1)+1002(99+1) 
 A = (1.22+2.32+3.42+...+98.992+99.1002)+(12+22+32+...+992+1002) 
A = [1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+...+98.99(100-1)] +(12+22+32+...+992+1002) 
A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+...+98.99.100- 
98.99+(12+22+32+...+992+1002) 
 A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+...+98.99) 
(12+22+32+...+992+1002) 
Bài 18: Tính: 
 A = 23+43+63+...+983+1003 
Hướng dẫn: 
Bài 19: Tính: 
 A = 13+33+53+...+973+993 
Hướng dẫn: 
Bài 20: Tính: 
 A = 13-23+33-43+...+993-1003 
Hướng dẫn: 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 
 5
Chuyên đề: 
TỈ LỆ THỨC-TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU 
A. CƠ SỞ LÍ THUYẾT 
I. TỈ LỆ THỨC 
1. Định nghĩa: 
Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai tỉ số 
d
c
b
a
 (hoặc a : b = c : d). 
Các số a, b, c, d được gọi là các số hạng của tỉ lệ thức; a và d là các số hạng ngoài hay 
ngoại tỉ, b và c là các số hạng trong hay trung tỉ. 
2. Tính chất: 
Tính chất 1: Nếu 
d
c
b
a
 thì bcad  
Tính chất 2: Nếu bcad  và a, b, c, d 0 thì ta có các tỉ lệ thức sau: 
d
c
b
a
 , 
d
b
c
a
 , 
a
c
b
d
 , 
a
b
c
d
 
Nhận xét: Từ một trong năm đẳng thức trên ta có thể suy ra các đẳng thức còn lại. 
II. TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU 
-Tính chất: Từ 
d
c
b
a
 suy ra: 
db
ca
db
ca
d
c
b
a





 
-Tính chất trên còn mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau: 
f
e
d
c
b
a
 suy ra: ...






fdb
cba
fdb
cba
f
e
d
c
b
a
(giả thiết các tỉ số trên đều có nghĩa). 
* Chú ý: Khi có dãy tỉ số 
532
cba
 ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2, 3, 5. 
Ta cũng viết a : b : c = 2 : 3 : 5 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 
 6
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 
DẠNG I: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN TRONG CÁC TỈ LỆ THỨC. 
Ví dụ 1: Tìm hai số x và y biết 
32
yx
 và 20 yx 
Giải: 
Cách 1: (Đặt ẩn phụ) 
Đặt k
yx

32
 , suy ra: kx 2 , ky 3 
Theo giả thiết: 4205203220  kkkkyx 
Do đó: 84.2 x 
 124.3 y 
KL: 12,8  yx 
Cách 2: (sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau): 
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 
4
5
20
3232




yxyx
Do đó: 84
2
 x
x
 124
3
 y
y
KL: 12,8  yx 
Cách 3: (phương pháp thế) 
Từ giả thiết 
3
2
32
y
x
yx
 
mà 1260520
3
2
20  yyy
y
yx 
Do đó: 8
3
12.2
x 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 
 7
KL: 12,8  yx 
Ví dụ 2: Tìm x, y, z biết: 
43
yx
 , 
53
zy
 và 632  zyx 
Giải: 
Từ giả thiết: 
12943
yxyx
 (1) 
201253
zyzy
 (2) 
Từ (1) và (2) suy ra: 
20129
zyx
 (*) 
Ta có: 3
2
6
203618
32
2036
3
18
2
20129




zyxzyxzyx
Do đó: 273
9
 x
x
 363
12
 y
y
 603
20
 z
z
KL: 60,36,27  zyx 
Cách 2: Sau khi làm đến (*) ta đặt k
zyx

20129
 ( sau đó giải như cách 1 của 
VD1). 
Cách 3: (phương pháp thế: ta tính x, y theo z) 
Từ giả thiết: 
5
3
53
z
y
zy
 
20
9
4
5
3
.3
4
3
43
z
z
y
x
yx
 
mà 6060
10
6
5
3
.3
20
9
.2632  z
z
z
zz
zyx 
Suy ra: 36
5
60.3
y , 27
20
60.9
x 
KL: 60,36,27  zyx 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 
 8
Ví dụ 3: Tìm hai số x, y biết rằng: 
52
yx
 và 40. yx 
Giải: 
Cách 1: (đặt ẩn phụ) 
Đặt k
yx

52
 , suy ra kx 2 , ky 5 
Theo giả thiết: 244010405.240. 22  kkkkkyx 
+ Với 2k ta có: 42.2 x 
 102.5 y 
+ Với 2k ta có: 4)2.(2 x 
 10)2.(5 y 
KL: 10,4  yx hoặc 10,4  yx 
Cách 2: ( sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau) 
Hiển nhiên x 0 
Nhân cả hai vế của 
52
yx
 với x ta được: 8
5
40
52
2

xyx
4
162


x
x 
+ Với 4x ta có 10
2
5.4
52
4
 y
y
+ Với 4x ta có 10
2
5.4
52
4




y
y
KL: 10,4  yx hoặc 10,4  yx 
Cách 3: (phương pháp thế) làm tương tự cách 3 của ví dụ 1. 
BÀI TẬP VẬN DỤNG: 
Bài 1: Tìm các số x, y, z biết rằng: 
a) 
21610
zyx
 và 2825  zyx b) 
43
yx
 , 
75
zy
 và 12432  zyx 
c) 
5
4
4
3
3
2 zyx
 và 49 zyx d) 
32
yx
 và 54xy 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 
 9
 e) 
35
yx
 và 422  yx f) zyx
yx
z
xz
y
zy
x





 211
Bài 2: Tìm các số x, y, z biết rằng: 
a) 
21610
zyx
 và 2825  zyx b) 
43
yx
 , 
75
zy
 và 12432  zyx 
c) 
5
4
4
3
3
2 zyx
 và 49 zyx d) 
32
yx
 và 54xy 
 e) 
35
yx
 và 422  yx f) zyx
yx
z
xz
y
zy
x





 211
Bài 3: Tìm các số x, y, z biết rằng: 
a) zyyx 57,23  và 32 zyx b) 
4
3
3
2
2
1 



 zyx
 và 5032  zyx 
c) zyx 532  và 95 zyx d) 
532
zyx
 và 810xyz 
e) 
zyxz
yx
y
xz
x
zy






 1321
 f) yx 610  và 282 22  yx 
Bài 4: Tìm các số x, y, z biết rằng: 
a) zyyx 57,23  và 32 zyx b) 
4
3
3
2
2
1 



 zyx
 và 5032  zyx 
c) zyx 532  và 95 zyx d) 
532
zyx
 và 810xyz 
e) 
zyxz
yx
y
xz
x
zy






 1321
 f) yx 610  và 282 22  yx 
Bài 5: Tìm x, y biết rằng: 
x
yyy
6
61
24
41
18
21 




Bài 6: Tìm x, y biết rằng: 
x
yyy
6
61
24
41
18
21 




Bài 7: Cho 0 dcba và 
cba
d
dba
c
dca
b
dcb
a







Tìm giá trị của: 
cb
ad
ba
dc
da
cb
dc
ba
A











 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 
 10
Giải: 1
3( ) 3
a b c d a b c d
b c d a c d a b d a b c a b c d
  
    
          
( Vì 0 dcba ) 
=>3a = b+c+d; 3b = a+c+d => 3a-3b= b- a => 3(a- b) = -(a-b) =>4(a-b) = 0 =>a=b 
Tương tự =>a=b=c=d=>A=4 
Bài 8: Tìm các số x; y; z biết rằng: 
a) 
x 7
y 3
 và 5x – 2y = 87; b) 
x y
19 21
 và 2x – y = 34; 
b) 
3 3 3x y z
8 64 216
  và x2 + y2 + z2 = 14. c) 
2x 1 3y 2 2x 3y 1
5 7 6x
   
  
Bài 9: Tìm các số a, b, c biết rằng: 2a = 3b; 5b = 7c và 3a + 5c – 7b = 30. 
Bài 10: Tìm các số x, y, z biết : 
a) x : y : z = 3 : 4 : 5 và 5z2 – 3x2 – 2y2 = 594; 
b) x + y = x : y = 3.(x – y) 
Giai a) Đáp số: x = 9; y = 12; z = 15 hoặc x = - 9; y = - 12; z = - 15. 
 b) Từ đề bài suy ra: 2y(2y – x) = 0, mà y khác 0 nên 2y – x = 0, do đó : x = 
2y. 
 Từ đó tìm được : x = 4/3; y = 2/3. 
Bài 11. Tìm hai số hữu tỉ a và b biết rằng hiệu của a và b bằng thương của a và b và 
bằng hai 
lần tổng của a và b ? 
Giai. Rút ra được: a = - 3b, từ đó suy ra : a = - 2,25; b = 0,75. 
Bài 12: Cho ba tỉ số bằng nhau: a b c, ,
b c c a a b  
. Biết a+b+c 0 .Tìm giá trị của mỗi tỉ 
số đó ? 
Bài 13. Số học sinh khối 6,7,8,9 của một trường THCS lần lượt tỉ lệ với 9;10;11;8. 
Biết rằng số học sinh khối 6 nhiều hơn số học sinh khối 9 là 8 em. Tính số học sinh 
của trường đó? 
Bài 14: Chứng minh rằng nếu có các số a, b, c, d thỏa mãn đẳng thức: 
       0)1(22.2 22  abababdccdabab 
thì chúng lập thành một tỉ lệ thức. 
Giải:    2 22 . 2 2( 1) 0ab ab cd c d ab ab ab          
=> ab(ab-2cd)+c2d2=0 (Vì ab(ab-2)+2(ab+1)=a2b2+1>0 với mọi a,b) 
=>a2b2-2abcd+ c2d2=0 =>(ab-cd)2=0 =>ab=cd =>đpcm 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 
 11
DẠNG II: CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC 
 Để chứng minh tỉ lệ thức: 
D
C
B
A
 ta thường dùng một số phương pháp sau: 
Phương pháp 1: Chứng tỏ rằng A. D = B.C 
Phương pháp 2: Chứng tỏ rằng hai tỉ số 
B
A
 và 
D
C
 có cùng giá trị. 
Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức. 
Một số kiến thức cần chú ý: 
+) )0(  n
nb
na
b
a
+) 
nn
d
c
b
a
d
c
b
a












 
Sau đây là một số ví dụ minh họa: ( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa) 
Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức 
d
c
b
a
 .Chứng minh rằng: 
dc
dc
ba
ba





Giải: 
Cách 1: (PP1) 
Ta có: bdbcadacdcba  ))(( (1) 
 bdbcadacdcba  ))(( (2) 
Từ giả thiết: bcad
d
c
b
a
 (3) 
Từ (1), (2), (3) suy ra: ))(())(( dcbadcba  
  
dc
dc
ba
ba





 (đpcm) 
Cách 2: (PP2) 
Đặt k
d
c
b
a
 , suy ra dkcbka  , 
Ta có: 
1
1
)1(
)1(











k
k
kb
kb
bkb
bkb
ba
ba
 (1) 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 
 12
1
1
)1(
)1(











k
k
kd
kd
dkd
dkd
dc
dc
 (2) 
Từ (1) và (2) suy ra: 
dc
dc
ba
ba





 (đpcm) 
Cách 3: (PP3) 
Từ giả thiết: 
d
b
c
a
d
c
b
a
 
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 
dc
ba
dc
ba
d
b
c
a





 
 
dc
dc
ba
ba





 (đpcm) 
Hỏi: Đảo lại có đúng không ? 
Ví dụ 2: Cho tỉ lệ thức 
d
c
b
a
 . Chứng minh rằng: 
22
22
dc
ba
cd
ab


 
Giải: 
Cách 1: Từ giả thiết: bcad
d
c
b
a
 (1) 
Ta có:   adbdacbcabdabcdcab  2222 (2) 
   bdbcacadcdbcdabacd .2222  (3) 
Từ (1), (2), (3) suy ra:    2222 bacddcab  
  
22
22
dc
ba
cd
ab


 (đpcm) 
Cách 2: Đặt k
d
c
b
a
 , suy ra dkcbka  , 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 
 13
Ta có: 
2
2
2
2
.
.
d
b
kd
kb
ddk
bbk
cd
ab
 (1) 
 
  2
2
22
22
222
222
22
22
22
22
1
1
)(
)(
d
b
kd
kb
dkd
bkb
ddk
bbk
dc
ba












 (2) 
Từ (1) và (2) suy ra: 
22
22
dc
ba
cd
ab


 (đpcm) 
Cách 3: Từ giả thiết: 
22
22
2
2
2
2
dc
ba
d
b
c
a
cb
ab
d
b
c
a
d
c
b
a


 
  
22
22
dc
ba
cd
ab


 (đpcm) 
BÀI TẬP VẬN DỤNG: 
Bài 1: Cho tỉ lệ thức: 
d
c
b
a
 . Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giả thiết 
các tỉ số đều có nghĩa). 
1) 
dc
dc
ba
ba
53
53
53
53





 2) 
22
222
dc
ba
dc
ba










3) 
dc
dc
ba
ba





 4) 
 
 2
2
dc
ba
cd
ab


 
5) 
dc
dc
ba
ba
43
52
43
52





 6) 
ba
dc
dc
ba
20072006
20062005
20072006
20062005





7) 
dc
c
ba
a



 8) 
bdb
bdb
aca
aca
57
57
57
57
2
2
2
2





Bài 2: Cho tỉ lệ thức: 
d
c
b
a
 . 
Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa). 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 
 14
a) 
dc
dc
ba
ba
53
53
53
53





 b) 
22
222
dc
ba
dc
ba










 c) 
dc
dc
ba
ba





d) 
 
 2
2
dc
ba
cd
ab


 e) 
dc
dc
ba
ba
43
52
43
52





f)
2008 2009 2008 2009
2009 2010 2009 2010
a b c d
c d a b
 

 
g) 
dc
c
ba
a



 h) 
bdb
bdb
aca
aca
57
57
57
57
2
2
2
2





 i) 
2 2
2 2 2 2
7a 3ab 7c 3cd
11a 8b 11c 8d
 

 
Bài 3: Cho 
d
c
c
b
b
a
 . Chứng minh rằng: 
d
a
dcb
cba








3
Bài 4: Cho 
d
c
c
b
b
a
 . Chứng minh rằng: 
d
a
dcb
cba








3
Bài 5: Cho 
200520042003
cba
 
 Chứng minh rằng: 2)())((4 accbba  
Bài 6: Cho dãy tỉ số bằng nhau: 3 20081 2
2 3 4 2009
a aa a
...
a a a a
    
 CMR: Ta có đẳng thức: 
2 008
1 2 3 20 081
20 09 2 3 4 200 9
a a a ... aa
a a a a ... a
    
  
    
Bài 7: Cho 
1
9
9
8
3
2
2
1 ...............
a
a
a
a
a
a
a
a
 và 0... 921  aaa 
Chứng minh rằng: 921 ... aaa  
Bài 8: Cho 
200520042003
cba
 
 Chứng minh rằng: 2)())((4 accbba  
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 
 15
Bài 9: Chứng minh rằng nếu : 
d
b
b
a
 thì 
d
a
db
ba



22
22
Bài 10: Cho 
1
9
9
8
3
2
2
1 ...............
a
a
a
a
a
a
a
a
 và 0... 921  aaa 
Chứng minh rằng: 921 ... aaa  
Bài 11: CMR: Nếu bca 2 thì 
ac
ac
ba
ba





 . Đảo lại có đúng không? 
Bài 12: Chứng minh rằng nếu : 
d
b
b
a
 thì 
d
a
db
ba



22
22
Bài 13: Cho 
dc
dc
ba
ba





 . CMR: 
d
c
b
a
 
Bài 14. Cho tỉ lệ thức : 
2 2
2 2
a b a b
c d c d



. Chứng minh rằng: a c
b d
 . 
Giải. Ta có : 
cd
ab
dc
ba



22
22
 =  
 
  
   dc
ba
dcdc
baba
cd
ab
dc
ba
dcdc
baba
cd
ab
.
.
2
2
2
2
2
2
22
22









 ; 
 
 
 
  d
c
b
a
adcbadaccbca
bdca
bdca
dbda
bdbc
adac
cbca
bad
dcb
dca
bac















 1 
Bài 15: Chứng minh rằng nếu: 
3
3
2
2





v
v
u
u
 thì 
32
vu
 
Bài 16: CMR: Nếu bca 2 thì 
ac
ac
ba
ba





 . Đảo lại có đúng không? 
Bài 17: CMR nếu )()()( yxcxzbzya  
trong đó a, b,c khác nhau và khác 0 thì : 
)()()( bac
yx
acb
xz
cba
zy








Bài 18: Cho 
dc
dc
ba
ba





 . CMR: 
d
c
b
a
 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 
 16
Bài 19: Cho 
d
c
b
a
 . Các số x, y, z, t thỏa mãn: 0 ybxa và 0 tdzc 
Chứng minh rằng: 
tdzc
ydxc
tbza
ybxa





Bài 20: Chứng minh rằng nếu: 
3
3
2
2





v
v
u
u
 thì 
32
vu
 
Bài 21: Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mãn: bdcacb  22 ; 
và 0333  dcb 
Chứng minh rằng: 
d
a
dcb
cba



333
333
Bài 22: CMR nếu )()()( yxcxzbzya  .Trong đó a, b,c khác nhau và khác 0 thì 
: 
)()()( bac
yx
acb
xz
cba
zy








Bài 23: Cho 
11
2
1
2
cxbxa
cbxax
P


 . Chứng minh rằng nếu 
111 c
c
b
b
a
a
 thì giá trị của P 
không phụ thuộc vào x. 
Bài 24: Cho biết : 
' '
' '
a b b c
1; 1
a b b c
    . CMR: abc + a
’b’c’ = 0. 
Bài 25: Cho 
d
c
b
a
 . Các số x, y, z, t thỏa mãn: 0 ybxa và 0 tdzc 
Chứng minh rằng: 
tdzc
ydxc
tbza
ybxa





Bài 26: Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mãn: bdcacb  22 ; và 0333  dcb 
Chứng minh rằng: 
d
a
dcb
cba



333
333
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 
 17
Bài 27: Cho 
11
2
1
2
cxbxa
cbxax
P


 . Chứng minh rằng nếu 
111 c
c
b
b
a
a
 thì giá trị của P 
không phụ thuộc vào x. 
Bài 28: Cho tỉ lệ thức: 2a 13b 2c 13d
3a 7 b 3c 7 d
 

 
; Chứng minh rằng: a c
b d
 . 
Bài 29: Cho dãy tỉ số : b z cy cx az ay b x
a b c
  
  ; CMR: 
x y z
a b c
  . 
Thanh Mỹ,ngày 10 tháng 12 năm2010 
Chuyên đề: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 
A> MỤC TIÊU 
 Thông qua việc giải toán sẽ phát triển được tư duy độc lập, sáng tạo của học sinh, 
rèn ý chí vượt qua mọi khó khăn. 
B> THỜI LƯỢNG 
Tổng số :(6 tiết) 
1) Kiến thức cần nhớ:(1 tiết) 
2)Các dạng bài tập và phương pháp giải(5 tiết) 
1. Lý thuyết 
*Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm a đến điểm 0 trên trục số là giá trị tuyệt đối của 
một số a( a là số thực) 
* Giá trị tuyệt đối của số không âm là chính nó, giá trị tuyệt đối của số âm là số đối 
của nó. 
 TQ: Nếu aaa  0 
 Nếu aaa  0 
 Nếu x-a  0=> | |x-a = x-a 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 
 18
 Nếu x-a  0=> | |x-a = a-x 
*Tính chất 
 Giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm 
 TQ: 0a với mọi a  R 
Cụ thể: