Các bài toán trồng cây

CÁC BÀI TOÁN TRỒNG CÂY
Bài toán trồng cây là một trong số những bài toán có văn rất thú vị ở tiểu học. Tuy không được giới thiệu cụ thể trong chương trình sách giáo khoa ở lớp nào nhưng ta lại thấy bài toán có thể áp dụng được cho học sinh từ lớp 1 với những yêu cầu khác nhau. Những bài toán dạng này có liên quan mật thiết đến các dãy số cách đều, do đó muốn nắm được cách giải các bài toán dạng này cần nắm được cách tính khoảng cách cũng như số các số hạng của một dãy số cách đều (trong đó khoảng cách giữa các số hạng chính là khoảng cách giữa các cây, số các số hạng chính là số cây trồng ). Đối với những bài toán dạng này, mặc dù không phải là quá khó nhưng học sinh lại rất hay nhầm trong khi giải. Bài viết này sẽ đưa ra một số cách để giúp học sinh khắc phục được những sai lầm trong khi giải những bài toán dạng này. Sau đây là những ví dụ cụ thể cơ bản và nâng cao cho mỗi dạng bài:
CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN:
Dạng 1: Bài toán tính số cây khi trồng cây ở cả 2 đầu đường.
Khi trồng cây ở cả 2 đầu đường thì số cây sẽ nhiều hơn số khoảng cách là 1. Như vậy ta có thể áp dụng một số công thức sau để giải các bài toán dạng này:
Số cây = Độ dài đoạn đường : Khoảng cách giữa các cây + 1.
Độ dài đoạn đường = (Số cây – 1) x Khoảng cách giữa các cây.
Khoảng cách gữa các cây = Độ dài đoạn đường : (Số cây – 1).
Bài toán 1a: Người ta trồng cây ở hai bên đường của một đoạn đường dài 1500m. Biết khoảng cách giữa các cây đều nhau là 2m và ở cả 2 đầu của đoạn đường đều có trồng cây. Tính số cây phải trồng ở cả 2 bên của đoạn đường đó.
Phân tích: Để tính số cây phải trồng ở cả 2 bên đường ta cần tính số cây trồng ở 1 bên đường. Từ khoảng cách giữa các cây và độ dài của đoạn đường ta có thể áp dụng công thức tính số cây khi trồng ở cả 2 đầu đường và tìm được số cây trồng ở 1 bên đường. Ta có thể giải bài toán như sau:
Giải: 
Số cây phải trồng ở 1 bên của đoạn đường đó là: 1500 : 2 + 1 = 751 (cây)
Số cây phải trồng ở cả 2 bên của đoạn đường đó là: 751 x 2 = 1502 (cây)
Đáp số: 1502 cây.
Bài toán 1b: Đoạn đường từ nhà Huy đến trường dài 1250m, ở cả 2 bên đường đều trồng những cây nhãn cách đều nhau. Huy đếm được ở cả 2 bên đường từ cây nhãn ở cổng nhà mình đến cây nhãn ở cổng trường có tất cả 252cây. Hỏi khoảng cách giữa các cây là bao nhiêu mét, biết các cây trồng đối diện nhau ở 2 bên đường?
Phân tích: Vì ở cả cổng nhà và cổng trường đều có trồng cây nên số cây sẽ nhiều hơn số khoảng cách giữa các cây là 1. Từ số cây trồng ở cả 2 bên đường ta tìm được số cây trồng ở 1 bên đường. Từ độ dài đoạn đường và số cây trồng ở 1bên đường ta có thể áp dụng công thức tính khoảng cách giữa các cây khi trồng cây ở cả 2 đầu đường để tìm được khoảng cách giữa các cây. Ta có thể giải bài toán như sau:
Giải: 
Số cây trồng ở 1 bên đường là: 252 : 2 = 126 (cây)
Khoảng cách giữa các cây trồng trên đoạn đường đó là: 1250 : (126 – 1) = 10 (m)
Đáp số: 10m.
Bài toán 1c: Lớp 5A lao động trồng cây trên một đoạn đường. Biết rằng số cây trồng được ở cả 2 bên đường là 182cây, khoảng cách giữa các cây đều bằng 5m và ở cả 2 đầu của đoạn đường đều có trồng cây. Tính độ dài của đoạn đường đó.
Phân tích: Từ số cây trồng được ở cả 2 bên đường ta tìm được số cây trồng được ở 1 bên đường. Vì cả 2 đầu đường đều trồng cây nên từ số cây trồng ở 1 bên đường và khoảng cách giữa các cây ta tìm được độ dài đoạn đường như sau:
Giải: Số cây trồng ở 1 bên đường là: 182 : 2 = 91 (cây )
Độ dài của đoạn đường đó là: (91 – 1 ) x 5 = 450 (m )
Đáp số: 450m.
Dạng 2: BÀI TOÁN TÍNH SỐ CÂY KHI CHỈ TRỒNG CÂY Ở MỘT ĐẦU ĐƯỜNG
Khi trồng cây ở 1 đầu đường thì số cây sẽ bằng số khoảng cách giữa các cây. Ta có thể áp dụng một số công thức sau để giải các bài toán dạng này:
Số cây = Độ dài đoạn đường : Khoảng cách giữa các cây.
Độ dài đoạn đường = Số cây x Khoảng cách giữa các cây.
Khoảng cách gữa các cây = Độ dài đoạn đường : Số cây.
Bài toán 2a: Đoạn đường từ nhà Huy đến cầu trường dài 1500m. Người ta trồng cây ở cả hai bên đường của đoạn đường đó. Biết khoảng cách giữa các cây là 2m và ở ngay chỗ nhà Huy có trồng cây còn ở cầu trường thì không có cây trồng, tính số cây đã trồng trên đoạn đường đó.
Phân tích: Bài toán yêu cầu tính số cây phải trồng trên đoạn đường đó chính là số cây ở cả 2 bên đường. Từ khoảng cách giữa các cây, độ dài của đoạn đường và vì chỉ trồng cây ở chỗ nhà Huy mà không trồng cây ở cầu trường nên ta có thể tìm được số cây trồng ở 1 bên đường như sau:
Giải: 
Số cây phải trồng ở 1 bên của đoạn đường đó là: 1500 : 2 = 750 (cây)
Số cây phải trồng ở cả 2 bên của đoạn đường đó là: 750 x 2 = 1500 (cây)
Đáp số: 1500 cây.
Bài toán 2b: Đoạn tường giậu nhà Huy gồm các cây sứ cách đều nhau. Huy đo từ một đầu của tường giậu đến cây sứ thứ 50 được 10m. Hỏi khoảng cách giữa các cây sứ là bao nhiêu mét?
Phân tích: Ta thấy số cây sẽ bằng số khoảng cách giữa các cây. Từ số cây và độ dài đo được ta có thể áp dụng công thức tính khoảng cách giữa các cây khi chỉ trồng cây ở 1 đầu đường tìm được khoảng cách giữa các cây.
Giải: 
Khoảng cách giữa các cây sứ trên đoạn tường giậu đó là: 10 : 50 = 0,2 (m)
Đáp số: 0,2m.
Bài toán 2c: Huy đi bộ từ nhà đến trường và đếm được tổng số các bước chân là 1250 bước. Biết rằng Huy xuất phát từ ngõ và bước chân cuối cùng của Huy là cổng trường và khoảng cách giữa các bước chân coi như bằng nhau và bằng 30cm, tính độ dài quãng đường từ ngõ nhà Huy đến cổng trường.
Phân tích: Ta thấy số bước chân sẽ bằng số khoảng cách. Từ số bước chân và khoảng cách giữa các bước chân ta tìm được độ dài của đoạn đường từ ngõ nhà Huy đến cổng trường. Ta có thể giải bài toán như sau:
Giải: 
Đoạn đường từ ngõ nhà Huy đến cổng trường dài là: 1250 x 30 = 37500 (cm )
Đáp số: 3750m.
Dạng 3: Bài toán tính số cây khi không trồng cây ở cả 2 đầu đường.
Khi không trồng cây ở 2 đầu đường thì số cây sẽ ít hơn số khoảng cách là 1. Như vậy ta có thể áp dụng một số công thức sau để giải các bài toán dạng này:
Số cây = Độ dài đoạn đường : Khoảng cách giữa các cây – 1
Độ dài đoạn đường = (Số cây + 1 ) x Khoảng cách giữa các cây.
Khoảng cách gữa các cây = Độ dài đoạn đường : (Số cây + 1).
Bài toán 3a: Đoạn tường giậu nhà Huy dài 15m, trên đó có trồng các cây bằng sứ với khoảng cách là 15cm. Hỏi có tất cả bao nhiêu cây sứ trên đoạn tường giậu đó, biết rằng ở 2 đầu tường đều không có cây sứ.
Phân tích: Vì 2 đầu tường đều không trồng cây sứ nên từ khoảng cách giữa các cây sứ và độ dài của đoạn tường ta có thể áp dụng công thức tính số cây khi không trồng ở cả 2 đầu đường và tìm được số cây sứ trên đoạn tường giậu đó như sau:
Giải: Đổi: 15m = 1500cm
Số cây sứ có trên đoạn tường giậu đó là: 1500 : 15 – 1 = 99 (cây)
Đáp số: 99 cây.
Bài toán 3b: Người ta trồng cây ở cả 2 bên của một đoạn đường dài 1500m hết tất cả số cây là 398cây. Tính khoảng cách giữa các cây, biết các cây trồng đối diện nhau ở 2 bên đường và ở cả 2đầu đường đều không trồng cây.
Phân tích: Vì ở cả đầu đường đều không trồng cây nên từ số cây trồng ở cả 2 bên đường và độ dài đoạn đường ta tìm được khoảng cách giữa các cây như sau:
Giải: 
Số cây trồng ở 1 bên đường là: 398 : 2 = 199 (cây)
Khoảng cách giữa các cây trồng trên đoạn đường đó là: 1500 : (199 + 1) = 7,5 (m )
Đáp số: 7,5m.
Bài toán 3c: Trên một đoạn hè phố, người ta có trồng các cây đèn cao áp cách nhau 50m. Huy đếm được có tất cả 12cây đèn cao áp. Biết rằng ở cảc 2 đầu phhó đều không có cây đèn cao áp, tính độ dài của đoạn hè phố đó.
Phân tích: Vì cả 2 đầu đoạn hè phố đều khồng cây đèn cao áp nên từ số cây đèn cao áp và khoảng cách giữa các cây ta tìm được độ dài đoạn hè phố đó như sau:
Giải: Độ dài của đoạn hè phố đó là: (12 + 1 ) x 50 = 650 (m )
Đáp số: 650m.
MỘT SỐ BÀI TOÁN PHÁT TRIỂN NÂNG CAO
Bài 1: Người ta trồng cây trên một đoạn đường dài 1200m. Biết rằng chính giữa đoạn đường đó có một cây cầu dài 120m, khoảng cách giữa các cây là 6m và ở cả 2 đầu cầu và 2 đầu đường đều trồng cây. Tính số cây phải trồng ở cả 2 bên đường.
Phân tích: Cây cầu đã chia đoạn đường đó thành 2 đoạn đường có độ dài bằng nhau. Do đó từ độ dài của đoạn đường và độ dài của cây cầu ta tìm được độ dài của mỗi đoạn đường ở 1 bên cầu. Vì ở cả 2 đầu cầu và 2 đầu đường đều trồng cây nên từ khoảng cách giữa các cây ta có thể áp dụng công thức tính số cây khi trồng cây ở cả 2 đầu đường để tìm được số cây trồng ở 1 bên đường của mỗi đoạn đường ở 1 bên cầu, từ đó tính được số cây phải trồng ở cả 2 bên đường của đoạn đường đó.
Giải: 
Độ dài mỗi đoạn đường ở 1 bên cầu là: (1200 – 120) : 2 = 540 (m)
Số cây trồng ở 2 bên đường của1 bên cầu là: (540 : 6 + 1) x 2 = 182 (cây)
Số cây phải trồng ở cả 2 bên đường của đoạn đường đó là: 182 x 2 = 364 (cây)
Đáp số: 364cây.
CHÚ Ý:
Đối với bài toán trên học sinh dễ mắc sai lầm và giải như sau:
Đoạn đường còn lại phải trồng cây dài là: 1200 – 120 = 1080 (m)
Số cây phải trồng cả 2 bên của đoạn đường đó là: (1080 : 6 + 1) x 2 = 362 (cây)
- Với cách giải trên học sinh đã coi 2 điểm trồng cây ở 2 đầu cầu trùng làm một. Do đó số cây trồng ở mỗi bên đường sẽ bị giảm đi so với thực tế là 1cây.
Bài 2: Người ta trồng cây trên một đoạn đường dài 1200m. Ở chính giữa đoạn đường đó có một cây cầu dài 120m và chỉ trồng cây 2 đầu đường còn ở 2 đầu cầu thì không trồng cây. Tính khoảng cách giữa các cây biết số cây phải trồng ở cả 2 bên đường của đoạn đường đó là 360cây.
Phân tích: Cũng như bài 1, nhưng ở đây chỉ trồng cây ở 2 đầu đường còn ở 2 đầu cầu không trồng cây nên từ số cây trồng ở cả 2 bên đường và độ dài của đoạn đường ta tìm được khoảng cách giữa các cây như sau:
Giải: 
Độ dài mỗi đoạn đường ở 1 bên cầu là: (1200 – 120) : 2 = 540 (m)
Số cây trồng ở 1 bên đường của 1 bên cầu là: 360 : 2 : 2 = 90 (cây)
Khoảng cách giữa các cây trên đoạn đường đó là: 540 : 90 = 6 (m)
Đáp số: 6m.
CHÚ Ý: Khác với bài 1, đối với bài toán này học sinh có thể giải như sau:
Đoạn đường còn lại phải trồng cây dài là: 1200 – 120 = 1080 (m )
Số cây phải trồng ở 1 bên của đoạn đường đó là: 360 : 2 = 180 (cây)
Khoảng cách giữa các cây trên đoạn đường đó là: 1080 :180 = 6 (m)
- Cách giải trên được coi là một cách giải đúng bởi vì 2 đầu cầu không trồng cây nên có thể chuyển 1 cây ở 1 đầu đường về 1 đầu cầu và như vậy 2 đoạn đường ở 2 bên cầu sẽ trở thành một đoạn đường và chỉ trồng cây ở một đầu đường.
Bài 3: Người ta trồng cây trên một đoạn đường dài 1500m. Biết rằng chính giữa đoạn đường đó có một cây cầu dài 180m, khoảng cách giữa các cây là 6m và ở cả 2 đầu cầu và 2 đầu đường đều không trồng cây. Tính số cây trồng ở cả 2 bên đường.
Phân tích: Tương tự như bài1 nhưng ở đây cả 2 đầu cầu và 2 đầu đường đều không trồng cây. Ta có thể giải bài toán như sau:
Giải: Độ dài mỗi đoạn đường ở 1 bên cầu là: (1500 – 180) : 2 = 660 (m)
Số cây trồng ở 2 bên đường của1 bên cầu là: (660 : 6 – 1) x 2 = 218 (cây)
Số cây phải trồng ở cả 2 bên đường của đoạn đường đó là: 218 x 2 = 436 (cây)
Đáp số: 436cây.
CHÚ Ý: 
Đối với bài toán trên học sinh dễ nhầm và giải sai như sau:
Đoạn đường còn lại phải trồng cây dài là: 1500 – 180 = 1320 (m )
Số cây phải trồng cả 2 bên của đoạn đường đó là: (1320 : 6 – 1) x 2 = 348 (cây )
- Vì học sinh đã nối 2 đầu cầu trùng làm một vì vậy số cây trồng ở mỗi bên đường sẽ tăng thêm so với thực tế là 1cây.
Bài 4: Nhà Huy trồng 5 luống ngô, mỗi luống dài 40m. Biết khoảng cách giữa các cây ngô ở các luống là như nhau và đều bằng 25cm và ở 2 đầu mỗi luống ngô đều có trồng cây. Tính số cây ngô nhà Huy đã trồng được trên cả 5 luống ngô đó.
Phân tích: Từ độ dài của mỗi luống ngô và khoảng cách giữa các cây ngô ta tính được số cây ngô trồng được ở 1 luống bằng cách áp dụng công thức tính số cây trồng khi trồng cây ở cả 2 đầu đường. Từ đó tính được số cây ngô trên cả 5 luống.
Giải: Đổi 40m = 4000cm.
Số cây ngô trồng được trên cả 5 luống ngô là: (4000 : 25 + 1) x 5 = 805 (cây)
Đáp số: 805 cây.
Chú ý: Đối với bài toán trên học sinh dễ mắc sai lầm và giải như sau:
Độ dài của 5 luống ngô đó là: 40 x 5 = 200 (m) = 20000 (cm)
Số cây ngô trồng được trên cả 5 luống ngô đó là: 20000 : 25 + 1 = 801 (cây)
- Với cách giải trên học sinh đã nối 2 đầu của 2 luống ngô lại với nhau vì vậy ở 4 điểm nỗi 4 đầu các luống ngô đó, mỗi điểm đã trồng 2 cây và số cây vì thế so với thực tế đã bị giảm đi 4 cây.
Bài 5: Nhà Huy trồng 5 luống ngô, mỗi luống có 2 hàng, khoảng cách giữa các cây trong các hàng là 50cm. Huy tính được số cây phải trồng tất cả là 400 cây. Biết rằng trên mỗi luống các cây được trồng so le nhau, cây ở hàng này nằm chính giữa 2 cây ở hàng kia và ở đầu mỗi luống đều có trồng một cây. Tính độ dài của mỗi luống.
Phân tích: Nếu hàng thứ nhất có cây trồng ở đầu luống đằng này thì hàng thứ hai sẽ có cây trồng ở đầu luống đằng kia. Các cây trồng so le nhau và cây ở hàng này nằm chính giữa 2cây ở hàng kia nên ở mỗi đầu của một hàng chỉ cách ra một nửa khoảng cách giữa 2cây. Từ tổng số cây phải trồng ta tìm được số cây ở mỗi hàng, từ khoảng cách giữa các cây ta tìm được độ dài của mỗi luống.
Giải: 
Mỗi hàng trồng số cây ngô là: 400 : 5 : 2 = 40 (cây)
Nửa khoảng cách giữa 2cây là: 50 : 2 = 25 (cm)
Độ dài của mỗi luống là: 40 x 50 – 25 = 1975 (cm) = 19,75 (m)
Đáp số: 19,75m.
Chú ý: Đối với bài toán trên, sau khi tìm được nửa khoảng cách giữa các cây, học sinh sẽ dễ mắc sai lầm tính độ dài mỗi luống như sau: 40 x 50 + 25 = 2025 (cm).
- Ở đây cần giúp học sinh nắm được độ dài mỗi hàng kém độ dài mỗi luống khi tính theo cách tính số cây trồng chỉ ở một đầu đường là một nửa khoảng cách.
- Ta cũng có thể coi mỗi luống chỉ có một hàng cây và số cây ở một hàng khi đó sẽ tăng lên gấp đôi và khoảng cách giữa các cây sẽ giảm đi một nửa, ở cả 2 đầu luống khi đó sẽ đều có cây trồng. Ta có thể giải bài toán theo cách giải ở dạng1 như sau:
Vì các cây trồng so le nhau nên ta có thể dồn 2hàng ở một luống thành 1hàng. Khi đó ở cả 2 đầu luống đề có cây trồng và:
Khoảng cách giữa các cây sẽ là: 50 : 2 = 25 (cm)
Số cây ở mỗi luống sẽ là: 400 : 5 = 80 (cây)
Độ dài của mỗi luống là: 25 x (80 – 1) = 1975 (cm).
Bài 6: Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài 50m, chiều rộng 20m. Người ta rào xung quanh khu vườn đó bằng các cọc tre cách đều nhau 20cm và ở một góc vườn có để cách ra một lói đi rộng 2m. Tính số cọc tre cần dùng để rào khu vườn đó, biết rằng ở 2 bên của cửa vườn có 2cọc tre để làm cột trụ.
Phân tích: Vì để cách ra ở góc vườn một lối đi và ở 2 bên cửa của vườn có 2 cọc tre nên chiều dài còn lại phải rào có thể coi là một đoạn đường trồng cây mà ở cả 2 đầu đường đều có cây trồng. Từ chu vi và chiều rộng cửa vườn ta tìm được chiều dài còn lại phải rào. Từ đó ta có thể áp dụng cách tính số cây trồng khi trồng cây ở cả 2 đầu đường và tính được số cọc tre cần dùng để rào khu vườn đó như sau:
Giải: 
Chu vi của khu vườn đó là: (50 + 20) x 2 = 140 (m)
Chiều dài còn lại phải rào cọc tre là: 140 – 2 = 138 (m) = 13800 (cm).
Số cọc tre cần phải dùng để rào khu vườn đó là: 13800 : 20 + 1 = 691 (cái)
Đáp số: 691cái.
CHÚ Ý: Đối với bài toán trên học sinh cũng dễ mắc sai lầm và giải như sau:
Chu vi của khu vườn đó là: (50 + 20 ) x 2 = 140 (m)
Đổi: 140m = 14000cm; 2m = 200cm.
Số cọc tre cần dùng để rào cả cửa của khu vườn đó là: 14000 : 20 = 700 (cái)
Cửa vườn rào hết số cọc tre là: 200 : 20 + 1 = 11 (cái)
Số cọc tre cần phải dùng để rào khu vườn đó là: 700 – 11 = 689 (cái)
- Đối với cách giải trên, học sinh đã không tính 2 cọc tre ở 2 bên cửa của vườn.
Bài 7: Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài 50m, chiều rộng 20m. Người ta rào xung quanh khu vườn đó bằng các cọc tre cách đều nhau 20cm và ở hai góc vườn có để cách ra mỗi bên một lối đi rộng 2m. Tính số cọc tre cần dùng để rào khu vườn đó, biết rằng ở 2 bên của cửa vườn đều có 2 cọc tre để làm cột trụ.
Phân tích: Tương tự như bài 5, nhưng vì có 2 lối đi nên 2đoạn còn lại phải rào có thể coi là 2 đoạn đường được trồng cây ở cả 2 đầu. Từ đó ta có số cọc tre cần dùng sẽ được tính như sau:
Giải: 
Chu vi của khu vườn đó là: (50 + 20 ) x 2 = 140 (m)
Chiều dài còn lại phải rào cọc tre là: 140 – 2 x 2 = 136 (m ) = 13600 (cm).
Số cọc tre cần phải dùng để rào khu vườn đó là: 13600 : 20 + 2 = 682 (cái)
Đáp số: 682 cái.
CHÚ Ý: Đối với bài toán này, sau khi đã tính được chiều dài còn lại phải rào, học sinh sẽ dễ nhầm tính số cọc tre cần dùng như sau: 13600 : 20 + 1 = 681 (cái)
- Ở đây, học sinh đã nhầm với bài 6, chỉ có 1cửa vườn.
- Ta cũng có thể giải bài toán tương tự bài 6 như sau:
Chuyển 2 cửa vườn vào chính giữa 2 cạnh đối diện của vườn. Khi đó 2 cửa vườn sẽ chia vườn thành 2 nửa phải rào bằng nhau.
Một nửa độ dài cần rào là: (140 – 2 x 2) : 2 = 78 (m) = 7800 (cm)
Một nửa số cọc cần phải dùng là: 7800 : 20 + 1 = 391 (cái)
Số cọc cần phải dùng là: 391 x 2 = 682 (cái)
Bài 8: Người ta trồng cây xung quanh một cái ao hình chữ nhật có chiều dài 30m và chiều rộng 20m. Tính số cây phải trồng, biết khoảng cách giữa các cây là 2m.
Phân tích: Khi trồng cây xung quanh một hình chữ nhật thì số khoảng cách chính là số cây trồng. Do đó muốn tính số cây trồng ta cần tính số khoảng cách. Từ chiều dài và chiều rộng của ao ta tính được chu vi ao và tính được số cây như sau:
Giải: 
Chu vi của ao là: (30 + 20) x 2 = 100 (m)
Số cây cần phải trồng là: 100 : 2 = 50 (cây)
Đáp số: 50 cây.
Chú ý: Khi ra đề bài dạng này ta cần chú ý số đo chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật sao cho phải chia hết cho khoảng cách giữa các cây bởi vì nếu không thì ở góc ao sẽ không có cây trồng và khoảng cách giữa các cây sẽ không đều nhau.