Các bài toán thú vị về chảo cầu

CÁC BÀI TOÁN THÚ VỊ VỀ CHẢO CẦU
Chảo câu là tên gọi của 1 số đồ dùng, trang thiết bị  có hình chỏm cầu – 1 phần của mặt cầu được “cắt” bởi 1 mặt phẳng (thiết diện) không qua tâm mặt cầu. Các bài toán về loạ này còn ít gặp trong các SGK phổ thông. Xin iới thiệu 1 số bài toán và công thức ứng dụng hay để các bạn tham khảo.
1/ Bài 1a 
Hãy tìm cách xác định bán kính 1 cái chảo hình chỏm cầu nếu chỉ có 1 viên bi nhỏ đã biết bán kính và 1 đồng hồ đếm giây (không có thước đo)
Nhận xét: 
Đây là bài toán thử thách trí thông minh (sưu tầm trên Web thongminh) nên đặt ra tình huống “oái oăm” chỉ có viên bi và 1 đồng hồ bấm giây. 
Nếu ai tinh ý sẽ liên hệ tới hiện tượng rơi tự do của viên bi, có thể tính được chiều cao h sau khi đo được thời gian t. 
h2 – h1 = 1/2g( t22 – t12)
 Từ công thức: h = 1/2 g t2 à Biết thời gian bi rơi 2 lần đo thì tính được chênh lệch độ cao 
 Áp vào bài trên: ta chọn 1 vị trí cao so với mặt đất #4,5 – 5 mét, đánh dấu vị tri thả bi lần 1 (vị trí A) và bấm thời gian bi rơi chạm đất (t1). Ướm cái chảo thẳng trên vị trí A ta có vị trí B rồi thả bi lần thứ 2, bấm hết thời gian t2. 
Áp dụng công thức trên ta có h1 – h2 . èĐây chính là đường kính cái chảo
Ghi chú: Cần độ cao > 4,5 mét (tầng gác toà nhà chẳng hạn) để có t dễ đo
Bài 1b: 
Cũng cái chảo trên, nếu chỉ có 1 cái thước đo thông thường, làm thế nào đo được bán kính chảo (chiều rộng), độ chũng (hay chiều cao) và bán kính mặt cầu chứa cái chảo đó?
Giải:
a/ Đo chiều rộng chảo: 
vẽ góc xOy và đường phân giác m của góc; Úp chảo sao cho Õ, Oy là tiếp tuyến của đường chu vi chảo, ta có AB = độ dài đường kính chảo ( hay chiều rộng chính xác nhất của chảo )
b/ Đo chiều cao (độ chũng) : 
Đặt thước song song mặt nằm ngang và tiếp xúc điểm cao nhất khi úp chảo. Đó là chiều cao h của chảo. (Nếu cần chính xác độ chũng của lòng chảo – bên trong chảo – thì trừ đo độ dày của nó)
c/ Tính bán kính mặt cầu chứa chảo
Gọi a là bán kính chảo; h là chiều cao và R là bán kính mặt cầu cần tìm, ( Hình bên à)
 trong hình , ∆AHO là tan giác vuông, theo định lí Pitago ta có:
 (R – h )2 = R2 – a2 Þ 2Rh = h2 + a2 
R = (h2 + a2): 2h 
 Þ [1 ]
Bài 2. 
 Một chảo nước hình bán cầu bán kính R= 10cm có chứa sẵn một khối nước hình chỏm cầu với chiều cao h1 = 4 cm . Người ta bỏ vào chảo nước một viên bi hình cầu bằng kim loại thì mặt nước dâng lên vừa phủ kín viên bi (hình 2). 
Tính bán kính của viên bi (kết quả làm tròn đến 2 chữ số lẻ thập phân) 
Cho biết công thức tính V khối chỏm cầu của hình cầu (O, R), chiều cao h là: 
V(chỏm cầu) = p h2 x [R – h/3]
Bài Giải:
Gọi x là bán kính viên bi hình cầu. Điều kiện: 0 < 2x < 10 Û 0 < x < 5 
Thể tích khối nước hình chỏm cầu khi chưa thả viên bi vào: 
 V(1) = p h12 x [R – 1/3h1] = 16 p [10 – 4/3] = 435,63 (cm3)
Khi thả viên bi vào thì khối chỏm cầu gồm khối nước và viên bi có thể tích là: 
 V(2) = p 2x2x [R – (2x/3)] = 4/3. [4 p x2(30 – 2x) ]
Ta có phương trình: 
V(1) - V(2) = 4/3 p x3 Û 4 p x2(30 – 2x) – 416 p = 4 p x3 
 Û 3x3 – 30x2 + 104 = 0
 Giải phương trình ta có các nghiệm: x1 » 9,6257 5 (loại);
 x2 » 2,0940 5 và x3 » 1,8197 0 (loại) 
 è Vậy: Bán kính viên bi là r = 2,09cm
Bài toán 3
Hãy tính diện tích trong lòng 1 chảo thu truyền hình vệ tinh tại gia đình, biết : (hinh bên à)
chiều rộng 2a = 60 cm; độ chũng h = 10 cm
Giải:
Biết công thức tính diện tích chỏm cầu theo h&a
 Sch.c = p ( h2 + 2a2)
 [2]
Thay h = 10; a = 30 ta tính được:
S = 3,14 ( 100 + 2x900) = 5.966 cm2
è Diện tích lòng chảo là 0,5966 m2
Bài toán 4:
Hãy tính diện tích trong lòng 1 chảo thu vệ tinh “VINA SAT” tại Trung tâm thu phát mà nhà sản xuất cho 2 thông số: R = 4,5 m; h = 0,8 m
Giải
theo công thức [1] thì
 (h2 + a2): 2Rh à a2 = 2Rh – h2
Thay a2 vào công thức [2 ] có :
Scc = p ( 4Rh – h2 )
[3]
Áp dụng [3] với các thông số của đề:
 S = 3,14(4 x 4,5 x 0,8 – 0,64) 
 = 43,20 (m2)
PHH sưu tầm đề và biên soạn bài giải - 5/11/2015