Các bài toán số học chưa có lời giải

Các bài toán số học chưa có lời giải
Trong toán học có rất nhiều bài toán còn bỏ ngỏ cho đến nay vẫn chưa có lời giải. Phần lớn những bài toán đó đều thuộc về lý thuyết số học - Một ngành toán học phát triển từ rất lâu đời (có thể nói là gần như đầu tiên trong toán học) – nhưng những gì con người biết về lĩnh vực này vẫn còn là rất vô cùng ít ỏi. Các bài toán sau đây chỉ là một trong số lượng nhỏ những bài toán mà con người đã, đang và sẽ đi tìm lời giải cho nó.
Bạn có muốn khám phá, tìm chìa khoá cho các bài toán này không ?
Câu 1. Có số tự nhiên nào khác 1, 2, và 4 sao cho  là một số nguyên tố?
(C. Stanley Ogilvy và John T. Anderson, Excursions in Number Theory, Dover,1988, trang82.)
Câu 2. Có phải luôn tồn tại n điểm trong mặt phẳng (không có 3 điểm nào thẳng hàng; và 4 điểm nào trên 1 đường tròn) sao cho với mỗi k điểm ( 0 < k < n), có một độ dài đoạn thẳng tạo bởi các điểm này xảy ra đúng k lần? 
Chẳng hạn, với 4 điểm thì ta có 6 đoạn thẳng ứng với 6 độ dài, ta muốn có 1 độ dài xuất hiện 1 lần, một độ dài xuất hiện 2 lần, một độ dài xuất hiện 3 lần.
(Hallard T. Croft, Kenneth J. Falconer, và Richard K. Guy, Unsolved Problems in Geometry. Springer-Verlag, 1991, trang 153. Đã có các khẳng định cho n=2,3,4,5,6,7,8.)
Câu 3. Tổng (π + e ) có phải là số vô tỉ không?
(Victor Klee và Stan Wagon, Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory, MAA, 1991, trang243. ) [Xin nhắc lại rằng: π là tỉ số giữa chu vi và đường kính của một đường tròn (gần bằng 3,14) , e là số thực a duy nhất sao cho đạo hàm của  bằng  ( gần bằng 2.71828)]
Câu 4. Ta có  và , nhưng không có một quan hệ tương tự cho bậc 5. Các đẳng thức đáng lưu ý khác là  và .Có tồn tại các số nguyên dương phân biệt a, b, c, d sao cho  hay không?
(Richard K. Guy,Unsolved Problems in Number Theory, Springer Verlag, New York, 1994, trang 140.)
Câu 5. Có điểm nào trong mặt phẳng sao cho khoảng cách từ nó đến 4 đỉnh của hình vuông đơn vị đều hữu tỉ?
Câu 6. Giá trị của chuỗi  là bao nhiêu?
Nếu thay 3 bởi 2, thì tổng của chuỗi là .
Nếu thay 3 bởi 4, thì tổng của chuỗi là .
(William Dunham, Journey Through Genius: The Great Theorems of Mathematics, John Wiley and Sons, 1990, trang 222.)
Câu 7. Có tam giác nào mà độ dài các cạnh, độ dài trung tuyến và diện tích đều là số nguyên.
Câu 8. Chỉ có hữu hạn số chính phương được tạo nên bởi hai chữ số khác 0. Đúng hay sai?
Chẳng hạn, , , và,
Câu 9. Có tồn tại các hình hộp chữ nhật mà độ dài các cạnh và các đường chéo của nó đều là các số nguyên?
(Stanley Ogilvy, Tomorrow’s Math: Unsolved Problems for the Amateur, Oxford University Press,1972, trang 120.)
Câu 10. Có phải mọi số nguyên lớn hơn 454 là tổng lập phương của 7 hay ít hơn 7 số nguyên dương?
(Martin Gardner, Knotted Doughnuts and other Mathematical Entertainments, W. H. Freeman, 1986,trang 224.)
Câu 11. Có vô hạn số nguyên tố trong dãy Fibonacci. Đúng hay sai?
(Neville Robbins, Beginning Number Theory, Wm. C. Brown Publishers, 1993, trang 289.)
Câu 12. Có phải có vô hạn số nguyên tố sinh đôi?
(Hai số nguyên tố gọi là sinh đôi nếu chúng cách nhau hai đơn vị.)
Câu 13. Một số nguyên dương gọi là lũy thừa hoàn hảo (perfect power) nếu nó có dạng  trong đó m và n là các số nguyên dương và n>1.
 và  có phải là hai số liên tiếp duy nhất là lũy thừa hoàn hảo?
(Paulo Ribenboim, Catalan’s Conjecture, Academic Press,1994.)
Câu 14. Có phải tất cả các hình chữ nhật kích thước , trong đó k>0, lấp đầy hình vuông  ?
Lưu ý rằng tổng diện tích của các hình chữ nhật này bằng 1.
(Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, và Oren Patashnik, Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science. Addison-Wesley Publishing Company, 1989, trang 66.)
Câu 15. Phân số dạng  gọi là phân số Ai Cập. Liệu  luôn bằng tổng của 3 phân số Ai Cập. Tức là, nếu n là số nguyên lớn hơn 1, liệu có tồn tại các số nguyên x, y, z, sao cho
 ?
Câu 16. Có số hoàn hảo lẻ nào không? Số hoàn hảo là số nguyên dương bằng tổng các ước nguyên dương của nó, khác nó.