Các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số

GIẢI TÍCH 12 Trang1 Gv : Trịnh Công Sự 
CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ 
I. HÀM BẬC BA. 
Bài 1: Cho hàm số   3 23 2y x x . 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị  C của hàm số . 
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :    3 23 2 0x x m . 
c) Chứng minh đồ thị  C có một tâm đối xứng 
Bài 2: Cho hàm số   3 22 3 5y x x . 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị  C của hàm số . 
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :    3 22 3 4 0x x m . 
c) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị  C biết tiếp tuyến đó song song với 
   : 12 2006d y x . 
Bài 3: Cho hàm số   3 21 2 3
3
y x x x . 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị  C của hàm số. 
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :     3 21 3 3 1 0
3
x x x m . 
c) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị  C biết tiếp tuyến đó vuông góc với 
    : 3 2 0d x y . 
Bài 4: Cho hàm số         3 22 3 6 1 2 1y x x m x m . 
a) Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu . 
b) Khảo sát và vẽ đồ thị  C của hàm số khi m = 1 . 
c) Dùng đồ thị  C biện luận theo k số nghiệm của phương trình :    3 22 3 2 0x x k . 
 Bài 5 : Cho hàm số y = x3 + 3x2 + 1 . 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị  C của hàm số . 
b) Dựa vào đồ thị  C biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3 + 3x2 + m = 0 
c) Từ gốc tọa độ có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị  C . Viết phương trình các 
tiếp tuyến đó . 
Bài 6 : Cho hàm số    3 3 2y x x . 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị  C của hàm số . 
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :    3 3 1 0x x m 
c) Cho  d là đường thẳng đi qua điểm uốn của  C có hệ số góc k . Biện luận theo k vị trí 
tương đối của  d và  C . 
Bài 7 : Cho hàm số y = x3 – 3x2 – 1 . 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị  C của hàm số . 
b) Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3 – 3x2 + 5 – 2m = 0 . 
c) Viết phương trình tiếp tuyến của  C , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 
  : 4 1y x 
GIẢI TÍCH 12 Trang2 Gv : Trịnh Công Sự 
Bài 8 : Cho hàm số   3 24 4y x x x . 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị  C của hàm số . 
b) Lập phương trình tiếp tuyến với  C đi qua điểm A  0;6 . 
c) Gọi  kd là đường thẳng qua gốc tọa độ O có hệ số góc k . Định k để đường thẳng  kd 
cắt  C tại 3 điểm phân biệt . 
Bài 9 : Cho hàm số :     3 23 4y x m x mx có đồ thị là  mC . 
a) Định m để  mC có cực trị . 
b) Khảo sát và vẽ đồ thị  0C của hàm số khi m = 0 . 
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  0C đi qua A
 
 
 
1;0
3
. 
Bài 10 : Cho hàm số :     3 23 3 3 4y x x mx m có đồ thị  mC . 
a) Định m để  mC có cực trị . 
b) Định m để  mC cắt Ox tại 3 điểm phân biệt . 
c) Khảo sát và vẽ đồ thị  1C của hàm số khi m = 1 . 
d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  1C đi qua A  0;7 . 
II. HÀM TRÙNG PHƯƠNG 
Bài 1 : Cho hàm số 4 2y x 2x 3    có đồ thị  C . 
a) Khảo sát hàm số. 
b) Dựa vào đồ thị  C , hãy xác định m để phương trình 4 2x 2x m 0   có bốn nghiệm 
phân biệt. 
Bài 2 : Cho hàm số 4 21 9y x 2x
4 4
    
a) Khảo sát và vẽ đồ thị  C của hàm số . 
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C vẽ từ 9A 0;
4
 
 
 
. 
Bài 3 : Cho hàm số   4 21 33
2 2
y x x . 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị  C của hàm số . 
b) Viết phương trình tiếp tuyến của  C tại điểm uốn . 
c) Tìm tiếp tuyến của  C đi qua điểm   
 
30;
2
A . 
Bài 4 : Cho hàm số :       4 2 29 10 1y mx m x ( m là tham số ) 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị  1 của hàm số khi m = 1. 
b) Tìm m để hàm số  1 có ba cực trị . 
GIẢI TÍCH 12 Trang3 Gv : Trịnh Công Sự 
Bài 5 : Cho hàm số   
4
2 92
4 4
xy x . 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị  C của hàm số . 
b) Viết phương trình tiếp tuyến của  C tại các giao điểm của nó với trục Ox. 
c) Biện luận theo k số giao điểm của  C với đồ thị của hàm số 2y k 2x  . 
Bài 6 : Cho hàm số :      4 2 5y f x x mx m có đồ thị là  mC 
a) Xác định m để  mC có ba điểm cực trị. 
b) Khảo sát và vẽ đồ thị  C của hàm số với m 2  . 
c) Viết phương trình tiếp tuyến của  C song song với đường thẳng  d : y 24x 1  . 
III. HÀM nhất biến 
Bài 1 : Cho hàm số 

3 2
2
xy
x
 có đồ thị là  C . 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị  C của hàm số . 
b) Tìm các điểm trên  C có tọa độ là những số nguyên . 
c) Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của  C đi qua giao điểm hai đường tiệm cận 
của  C . 
Bài 2 : Cho hàm số 

3
1
xy
x
 có đồ thị là  C . 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị  C của hàm số . 
b) Chứng minh rằng đường thẳng  2y x m luôn cắt  C tại 2 điểm phân biệt M và N. 
c) Xác định m sao cho độ dài đọan MN là nhỏ nhất. 
Bài 3: Cho hàm số 

1
1
xy
x
 có đồ thị là  C . 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị  C của hàm số . 
b) Chứng minh đồ thị nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng . 
c) Viết phương tiếp tuyến của  C tại  M 0; 1 . 
Bài 4 : Cho hàm số 

2 1
1
xy
x
 có đồ thị là  C . 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị  C của hàm số . Tìm các điểm trên  C có tọa độ là những số 
nguyên . 
b) Tìm trên  C những điểm có tổng khoảng cách từ đó đến hai tiệm cận của  C là nhỏ 
nhất . 
c) Đường thẳng  d đi qua A  1;1 có hệ số góc k . Định k để  d cắt  C tại hai điểm thuộc 
hai nhánh của  C . 
d) Lập phương trình tiếp tuyến với  C , biết tiếp tuyến đó song song với đường phân giác 
của góc phần tư thứ nhất . 
Bài 5 : Cho hàm số 

2
3
xy
x
 có đồ thị là  C . 
GIẢI TÍCH 12 Trang4 Gv : Trịnh Công Sự 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị  C của hàm số . 
b) Chứng minh giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng của  C . 
c) Tìm điểm M trên đồ thị  C sao cho khoảng cách từ M đến đường tiệm cận đứng bằng 
khoảng cách từ M đến đường tiệm cận ngang. 
Bài 6 : Cho hàm số 2x 1y
x 1



. 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị  C của hàm số. 
b) Chứng minh đồ thị  C có tâm đối xứng. 
c) Gọi I là tâm đối xứng của  C . Tìm M thuộc  C sao cho IM nhỏ nhất. 
Bài 7 : Cho hàm số  3 x 1y
x 2



. 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số. 
b) Tìm tất cả các điểm trên  C có toạ độ là các số nguyên. 
c) Viết phương trình tiếp tuyến của  C kẽ từ gốc toạ độ. 
IV. HÀM hữu tỉ 
Bài 1 : Cho hàm số  

2x x 1y
x 1
a) Khảo sát và vẽ đồ thị  C của hàm số. 
b) Dựa vào đồ thị,hãy biện luận theo m số nghiệm của phươngtrình      2x 1 m x 1 m 0 
c) Chứng minh  C không có tiếp tuyến nào song song với đường thẳng  y 2x 1 . 
Bài 2 : Cho hàm số    

2 3
1
x m x m
y
x
 , m là tham số, đồ thị là  mC . 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị  C của hàm số khi m = 2 . 
b) Chứng minh rằng  mC nhận giao điểm các đường tiệm cận làm tâm đối xứng. 
c) Đường thẳng  d đi qua gốc tọa độ có hệ số góc làk . 
 Biện luận theo k số giao điểm của đường thẳng  d và đồ thị  C . 
 Suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C vẽ từ góc tọa độ .Vẽ tiếp tuyến đó. 
Bài 3 : Cho hàm số   

2 22 1x mx my
x m
 với m là tham số . 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị  C của hàm số với m = 1 . 
b) Viết phương trình đường thẳng  d đi qua điểm  3;0A có hệ số góc k .Biện luận theo k 
số giao điểm của đồ thị  C và đường thẳng  d . Viết phương trình tiếp tuyến của  C đi 
qua điểm A . 
c) Chứng minh với m bất kì đồ thị hàm số luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và tổng các 
tung độ của chúng bằng 0. 
GIẢI TÍCH 12 Trang5 Gv : Trịnh Công Sự 
Bài 4 : Cho hàm số   

12 1
1
y x
x
a) Khảo sát và vẽ đồ thị  C của hàm số . 
b) Viết phương trình tiếp tuyến với  C kẻ từ điểm A  1;3 . 
c) Định m để đường thẳng    :d y x m cắt  C tại hai điểm I , J sao cho độ dài IJ bằng 4. 
Bài 5 : Cho hàm số 

2 2
1
xy
x
 có đồ thị là  C . 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị  C của hàm số . 
b) Tìm các điểm trên  C có tọa độ là những số nguyên . 
c) Tìm các điểm trên  C cách đều hai trục tọa độ. 
Bài 6 : Cho hàm số 

2 3
1
xy
x
 có đồ thị là  C . 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị  C của hàm số . 
b) Dùng độ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình :    2 3 0x mx m . 
c) Một điểm  0 0;M x y bất kì thuộc  C . Chứng minh rằng tích khoảng cách từ M đến hai 
tiệm cận không đổi . 
d) Tìm điểm M trên  C sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất. 
Bài 7 : Cho hàm số 

2 5
1
xy
x
 có đồ thị là  C . 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị  C của hàm số . 
b) Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình :    2 5 0x mx m . 
c) Viết phương trình tiếp tuyến   đi qua  3;0M đến  C . 
d) Một điểm  0 0;M x y bất kì thuộc  C . Chứng minh rằng tích khoảng cách từ M đến hai 
tiệm cận không đổi . 
Bài 8 : TNTHPT 2007 
Cho hàm số 2y x 1
2x 1
  

, gọi đồ thị của hàm số là  H . 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị  H tại điểm  A 0; 3 . 
Bài 9 : ĐH khối D 2003 
Cho hàm số   

2 2 4 1
2
x xy
x
 ( với m là tham số ) . 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số  1 . 
b) Tìm m để đường thẳng     : 2 2md y mx m cắt đồ thị của hàm số  1 tại hai điểm phân 
biệt