Bồi dưỡng học sinh giỏi Casio 9 - Phần Hình học

A/ Hình học phẳng:
F MỘT SỐ CÔNG THỨC CẦN NHỚ:
D ABC : tam giác ABC; , , là các góc của tam giác ABC;
AB = c , AC = b, BC = c; ha, hb, hc lần lượt là độ dài các đường cao ứng với a, b, c.
la, lb, lc lần lượt là độ dài các đường phân giác ứng với a, b, c.
ma, mb, mc lần lượt là độ dài các đường trung tuyến ứng với a, b, c.
R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn nội tiếp của D ABC;
SABC , p lần lượt là diện tích và nửa chu vi của D ABC.
FCÔNG THỨC liên quan đến tam giác:
Định lý hàm số Cos : a2 = b2 + c2 – 2bc CosA ( và các công thức tương tự )
Định lý hàm số Sin : 
SABC = a.ha = b.c.sinA = ( và các công thức tương tự )
SABC = ( Công thức Heron )
SABC = : SABC = p.r = 
; 
FCÔNG THỨC liên quan đến tứ giác:
SABCD = 
Nếu tứ giác ABCD nội tiếp thì 
Nếu tứ giác ABCD vừa ngoại tiếp, vừa nội tiếp: 
Nếu tứ giác ABCD ngoại tiếp và có tổng hai góc đối diện bằng 2 thì 
Nếu tứ giác ABCD nội tiếp ( O; R ) thì 
Nếu tứ giác ABCD nội tiếp ( O; R ) thì góc tạo bởi hai đường chéo là 
BÀI TẬP ( bắt buộc ):
+ Dạng toán 10 : Hình học ( từ bài 103 đến bài 124 ) ở tài liệu/ trang 14 – 15 – 16.
 Bài tập sử dụng máy tính điện tử trong trường phổ thông - Tạ Duy Phượng.
+ Các bài tập mở rộng và nâng cao:
Bài 1: Cho hình thang ABCD ca cạnh bên AD và BC bằng nhau, đường chéo AC vuông góc với cạnh bên BC . Biết AD = 5 cm; AC = 12 cm. Tính AB; góc B và chiều cao AH của hình thang ABCD.
Bài 2: Cho tam giác ABC có góc A bằng 650, BC = 14,5 cm; AC – AB = 8,6 cm.
Tính các góc B, C và diện tích tam giác ABC.
Bài 3: Cho tam giác ABC có các trung tuyến CM, AN, BP cắt nhau tại G. Biết AB = 3,2 cm; CM = 2,4 cm; AN = 1,8 cm. Tính ( chính xác đến 2 chữ số ở phần thập phân ):
a/ Chiều cao GH của tam giác AGM;
b/ Diện tích tam giác ABC.
Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A có độ dài đường cao AH bằng độ dài cạnh đáy BC. Gọi M là trung điểm của AC. Tính góc MBC ( làm tròn đến phút ).
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có độ dài đường cao AH bằng 1 cm và diện tích tam giác ABC bằng 1 cm2. Tính các cạnh của tam giác ABC .
Bài 6: Cho tam giác ABC có 3 góc đều nhọn. Biết AB = 32,25 cm; AC = 35,75 cm; 
 = 63025’. Tính diện tích tam giác ABC và BC; , .
Bài 7: Cho tam giác ABC có c = 23 cm; b = 24 cm; a = 7 cm. Tính ; SABC ; R và r ?
Bài 8: Cho hình chữ nhật ABCD. Qua đỉnh B vẽ đường vuông góc với đường chéo AC tại H. Gọi E, F, G thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AH, BH, CD.
a/ CMR : EFGH là hình bình hành
b/ Góc BEG là góc vuông, nhọn hay tù ? Vì sao ?
c/ Cho biết BH = 17,25 cm, . Tính SABCD.
d/ Tính độ dài đường chéo AC ?
Bài 9: Cho hình bình hành ABCD có góc A tù. Kẻ hai đường cao AH và AK ( AH ^ BC, AK ^ CD). Biết và độ dài hai cạnh AB = a , AD = b.
a/ Tính AH và AK.
b/ Tính tỉ số diện tích SABCD và diện tích SHAK.
c/ Tính diện tích hình bình hành ABCD còn lại S khi khoét đi tam giác HAK
d/ Biết ; a = 29,1945 cm; b = 198,2001 cm. Tính S ?
Giải:a/ Do và nên Suy ra: AH = AB.sinB = a.sin
 AK = AD.sinB = b.sin
b/ SABCD= BC.AH = absin
SHAK = 
 Vậy 
c/ S = SABCD – SHAK = SABCD - = 
d/ Thế số vào tính S = 3079,663325 cm2.
Bài 10: Cho tam giác vuông với các cạnh góc vuông lần lượt là . Hãy tính tổng các bình phương của các trung tuyến. 
 Giải: Do tam giác ABC vuông tại A nên a2 = b2 + c2 . Theo công thức tính độ dài đường trung tuyến trong tam giác thì:
 Kết quả: 6,377839361.
Bài 11: Tính diện tích hình được tô đậm trong hình tròn đơn vị ?
Giải: Gọi R là bán kính đường tròn không tô đậm à .
Diện tích hình quạt tròn . Ký hiệu OE = r . Vì đường tròn lớn có bán kính bằng 1 nên r + 2R =1 và .Diện tích tam giác cong ABC là . Do đó diện tích phần tô đậm bằng:
 à thế R vào biểu thức rồi tính
Bài 13: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính ; góc OAB bằng 510360230; góc OAC bằng 220180420.
a/ Tính diện tích và cạnh lớn nhất của tam giác khi tâm O nằm trong tam giác.
b/ Tính diện tích và cạnh nhỏ nhất của tam giác khi tâm O nằm ngoài tam giác.
Bài 14: Cho hình thang vuông ABCD ( AB // CD, góc B bằng góc C bằng 900 ).
Biết AB = 12,35 cm; BC = 10,55 cm; góc ADC = 570 . Tính:
a/ Chu vi hình thang ABCD.
b/ Diện tích hình thang ABCD
c/ Các góc còn lại của tam giác ADC.
Bài 15: Cho tam giác ABC có góc B bằng 1200, AB = 6,25 cm; BC = 12,50 cm. đường phân giác của góc B cắt AC tại D.
a/ Tính BD
b/ Tính tỉ số diện tích của các tam giác ABD và ABC
c/ Tính diện tích tam giác ABD.
Bài 16: Cho hình chữ nhật ABCD. Qua đỉnh B kẻ đường vuông góc với đường chéo AC tại H. Gọi E, F, G theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AH, BH, CD.
a/ Tính sin BEG.
b/ Biết BH = 17,25 cm; góc BAC bằng 380 400. Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.
c/ Tính độ dài đường chéo AC.
Bài 17:
Cho ba đường tròn ( O;R), (O1;R1) và (O2;R3) tiếp xúc ngoài nhau từng đôi một và cùng tiếp xúc với đường thẳng (d). Tính R theo R1 và R2 .
Giải: 
Dùng 
Bài 18) Cho tam giác ABC vuông tại A, cạnh AC = cm, AB = cm. Tính độ dài đường cao AH ứng với cạnh huyền của tam giác ABC.
Bài19)Cho tam giác ABC vuông tại A có diện tích bằng . Kéo dài AB về phía B một đoạn . Tính dện tích tam giác ACD.
Bài 20) Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Kéo dài đường chéo AC về phía C một đoạn CE. Biết diện tích tứ giác ABCD là , diện tích tứ giác ABED là . Tính .
Bài 21) Cho hình thang ABCD, đáy lớn AB. Trên cạnh AD ta lấy điểm M, trên cạnh BC ta lấy điểm N sao cho và 
. Biết AB = .CD. Tính .
 Bài 22:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi HE, HF lần lượt là các đường cao của các tam giác AHB và AHC. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC biết 
BE = 3,1245 cm; CF = 5,4321 cm.
Bài 23: Cho tam giác ABC có diện tích là S0. Trên các cạnh AB, AC lấy lần lượt các điểm M, N sao cho: ; với 0 < m, n < 1. BN cắt CM tại D.
a/ Tính diện tích các tam giác BMC, ABN, AMN theo S0.
b/ Tính tỉ số các diện tích: và tính theo m và n.
Bài 24: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 5 và AD = 3. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = 1,5 và trên cạnh BC lấy điểm N sao cho BN = 1,8. Gọi I là giao điểm của CM và AN. Tính IA, IB, IC (chính xác đến 4 chữ số thập phân)
Bài 25: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Đường tròn tâm I nội tiếp DABC tiếp xúc với BC tại D. Biết AB = 18, BC = 25, AC = 21. Tính AD (chính xác đến 4 chữ số thập phân) và số đo góc IAD (độ, phút, giây)
Bài 26: Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, ph©n gi¸c trong BD, ph©n gi¸c ngoµi BE ( D,E thuéc AC) BiÕt AD = 3cm, DC = 5cm.
TÝnh ®é dµi AB, BC
TÝnh ®é dµi AE. 
Bài 27: Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A cã BC = 10cm, ®­êng cao AH = 4cm.Gäi I, K lµ h×nh chiÕu cña H trªn AB vµ AC. SAIHK = ?
Bài 28: TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c biÕt ®é dµi ba trung tuyÕn cña nã b»ng 15cm, 36cm, 39 cm.
PHẦN NÂNG CAO:
Bài 1: Tính chiều cao hình thang cân có diện tích bằng 12 cm2 , đường chéo bằng 5 cm.
Giải: 
Gọi BH là đường cao hình thang cân ABCD. 
Ta có: . Đặt BH = x và DH = y. Ta có:
Suy ra: x = 4 ; y = 3 hoặc x = 3 ; y = 4. 
Do đó chiều cao của hình thang bằng 3 cm hoặc 4 cm.
Bài 2: ( trích đề thi học sinh giỏi CASIO tỉnh Phú Yên, năm học: 2008 – 2009 )
Cho tam giác ABC có diện tích bằng đơn vị. Trên cạnh AB lấy điểm M và trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AM = 3BM và AN = 4CN. Đoạn BN cắt CM tại điểm O. Tính diện tích tam giác AOB và AOC.
Giải:
+ Vẽ MF, EP, CQ cùng vuông góc với BO.
+ OM = OC ( D MOF = DCOQ )
+ SOAM = SOAC ( cùng chiều cao, cạnh đáy bằng nhau )
+ SBOF = SBOC ( cùng chiều cao, cạnh đáy bằng nhau )
+ SBON = SOAM è SOAB = ; SOAC = 
Bài 3: ( trích đề thi học sinh giỏi CASIO tỉnh Phú Yên, năm học: 2008 – 2009 )
Vẽ một tấm bìa lên mặt đồng hồ hình vuông và dùng các vị trí chỉ giờ làm các đường biên ( xem hình ). Nếu t là diện tích của 1 trong 8 miền tam giác ( như miền giữa 12 giờ và 1 giờ )và T là diện tích của 1 trong 4 tứ giác( như tứ giác giữa 1 giờ và 2 giờ ). Tính tỉ số ? 
Giải:
+ 
Bài 4: ( trích đề thi học sinh giỏi CASIO tỉnh Phú Yên, năm học: 2008 – 2009 )
Trong hình dưới đây, dây PQ và MN song song với bán kính OR = 1. Các dây MP. PQ, NR đều có độ dài bằng a, dây MN có độ dài bằng b. Tính ?
Giải:
Ta có: mà R = 1 
Bài 5: Cho tam giác ABC có các trung tuyến AM và BN vuông góc với nhau. Tính AB biết AC = b = 15,6789; BC = a = 12, 1234.
Giải:	 + Gọi G là trọng tâm tam giác ABC
 Đặt AB = c; GM = x và GN = y.
 Ta có AG = 2GM = 2x ; BG = 2GN = 2y.
 Tương tự: 
Bài 6: Cho hình thang vuông ABCD ( AB // CD) và . Biết AB = 12,35; BC = 10, 35 và . Tính chu vi hình thang ABCD ?
Giải:
Bài 7: Cho hình chữ nhật ABCD có các cạnh AB = 3; AD = 5. Đường tròn tâm A bán kính 4 cắt BC tại E và cắt AD tại F.
a/ Tính gần đúng diện tích hình quạt tròn EAF
b/ Tính gần đúng tỉ số diện tích hai phần hình chữ nhật do cung EF chia ra ?
Giải: 
Bài 8: Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng 111,2009 cm và góc A bằng 600. Tính diện tích phần không chung nhau giữa hình thoi và hình tròn nội tiếp ABCD.
Giải:
Bài 9: Cho tam giác ABC có AB = 4 dm; BC = 5 dm; CA = 6 dm. Tính gần đúng diện tích phần hình tròn ngoại tiếp khi khoét đi phần diện tích hình tròn nội tiếp tam giác ?
Giải:
+ Vận dụng công thức
Đáp số: 
Bài 10: Cho (O) và OA = R. Trên tiếp tuyến tại A với (O) lấy điểm B sao cho 
AB = 6 cm. Một điểm D ở bên trong đường tròn, BD cắt đường tròn tại C sao cho BC = CD = 3 cm, OD = 2 cm. Tính diện tích hình tròn (O) ?
Giải:
Ta có: BA2 = BC.BE 
Bài 11: Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB = 13,724 cm; cạnh bên AD = 21,867 cm.Biết hai dường chéo vuông góc với nhau. Tính SABCD ?
 Giải: Ta có:
Đường cao h = FG = EF + EG nên 
Do đó: 
Bài 12: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 2.AC. Trên cạnh BC lấy điểm I sao cho CI = CA, trên cạnh AB lấy điểm K sao cho BK = BI. Đường tròn tâm K bán kính KB cắtdường trung trực của AK tại H. Tính góc HBA ?
Giải:
Đặt AB = 2AC = a thì 
Gọi N là trung điểm của AK , vì tam giác NHK vuông tại N nên:
Ta được:	
 Bài 13 : Cho hai đường tròn ( O1; R ) và ( O2; r ) tiếp xúc ngoài tại A ( R > r ). Tiếp tuyến chung trong At cắt tiếp tuyến chung ngoài BC tại D. Tính góc ADC theo R và r.
Bài 14: Cho đường tròn ( O ) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Gọi I và J là trung điểm của OC và OD. AI cắt (O) tại M. Tính ?
Bài15: Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng 111,2009 cm và góc A bằng 600. 
Tính tỉ số diện tích phần hình tròn nội tiếp ABCD với diện tích hình thoi còn lại khi khoét đi hình tròn ?
 .
Bài 16: Tính diện tích hình được tô đậm trong hình tròn đơn vị ?
Bài 17:
Tính tỉ số diện tích phần bôi đen và diện tích tam giác đều trong hình tròn đơn vị ?
Bài 18:
Cho 3 đường tròn ( A; 2 cm ); ( B;1 cm ) và
 (C ) lần lượt tiếp xúc ngoài nhau và cùng tiếp xúc với một đường thẳng ( như hình vẽ ).
a/ Tính gần đúng bán kính R của đường tròn tâm C . Đáp số: 
b/ Tính gần đúng diện tích S 
( phần gạch đậm ) giới hạn bởi 3 đường tròn và đường thẳng. Đáp số: 0,455485821
Bài 19: Cho 3 đường tròn (O1; a ), (O2; b ), (O3; c ) từng đôi một tiếp xúc ngoài nhau
( như hình vẽ ).Tiếp tuyến chung trong của (O1) và (O2) cắt (O3) tại M và N. Tính độ dài MN theo a, b, c. 
Bài 20:Hai đường thẳng EF, GH cùng song song với hai đáy AB = a < CD = b của hình thang và chia hình thang thành 3 phần có diện tích bằng nhau. 
Tính EF và GH theo a và b.
Bài 21: Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình thoi ABCD. Vẽ đường trung trực của AB cắt AC và BD lần lượt tại I và J. Biết IB = a; JA = b. Tính diện tích hình thoi ABCD.
Bài 22: 
Cho hình thoi ABCD có , O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên cạnh AB. Trên tia đối của tia BC, trên tia đối của tia DC lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho HM // AN. Tính ?
Bài 23: Viên gạch lát hình vuông với các hoạ tiết trang trí được tô bằng 3 loại màu ( như hình bên ). Hãy tính tỉ lệ phần trăm diện tích của mỗi màu có trong viên gạch này ?
Đáp số: Stô đen = 4 ( 25%); Sgạch chéo= 2,2832 ( 14,27%); Scòn lại = 9,7168 ( 60,73%)
Bài 24:
Bài 25:Cho tam giác ABC có góc A nhọn, 
AC = c; AC = b. Cho biết diện tích tam giác là:.
a/ Tính cạnh BC theo b, c. 
b/ Tính cạnh BC với b = 5 cm; c = 3,5 cm)
Đáp số:
a/ 
Cho hai hình tròn (A) và (B) cắt nhau tại hai điểm M và N sao cho diện tích phần chung của hai đường tròn bằng nửa diện tích hình tròn (B). Tính tỉ số diện tích hình tròn (A) với (B).
Một số bài tập về hình học không gian:
Bài 1: Cho hình chóp tứ giác đều O.ABCD có độ dài cạnh đáy bằng a, độ dài cạnh bên bằng .
a/ Tính diện tích xung quang, diện tích toàn phần và thể tích hình chóp O.ABCD theo a và .
b/ Tính diện tích xung quang, diện tích toàn phần và thể tích hình chóp O.ABCD theo 
a = 5,75 cm và = 6,15 cm.
Giải: 
a/ Sxq = ; 
b/ 
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 9 dm, 
AD = dm và chân đường cao hình chóp là giao điểm của hai đường chéo hình chữ nhật đáy. Cạnh bên SA = 7 dm. Tính gần đúng chiều cao SH và thể tích hình chóp?
Giải:
Bài 3: Cho hình tứ diện ABCD có các cạnh AB = 7, BC = 6, CD = 5, BD = 4 và chân đường vuông góc hạ từ A xuống mặt phẳng ( BCD ) là trọng tâm của tam giác BCD.Tính gần đúng với 5 chữ số thập phân thể tích của khối tứ diện đó ?
Giải:
+ Tính trung tuyến 
+ Tính đường cao AG do 
+ Tính diện tích tam giác BCD theo công thức Herông:
+ 
Bài 4: Cho tứ diện S ABC có cạnh SA vuông góc với đáy (ABC), SB = 8 cm; SC = 15 cm; BC = 12 cm và mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng (ABC) góc 68052’. Tính gần đúng diện tích toàn phần tứ diện S ABC.
Giải:
+ Tính 
+ Kẻ SH ^ BC 
Bài 5: Người ta cắt một tờ giấy hình vuông có cạnh bằng 1 để gấp thành một hình chóp tứ giác đều sao cho 4 đỉnh của hình vuông dán lại thành đỉnh của hình chóp. Tính cạnh đáy của hình chóp để thể tích lớn nhất?
Giải:
Bài 1:Tính diện tích hình gạch chéo trong hình tròn đơn vị ?
Bài 2:Tính tỉ số diện tích phần bôi đen và diện tích tam giác đều trong hình tròn đơn vị ?
Bài 3:Cho 3 đường tròn ( A; 2 cm ); ( B;1 cm ) và (C; R ) lần lượt tiếp xúc ngoài nhau và cùng tiếp xúc với một đường thẳng 
( như hình vẽ ).
a/ Tính gần đúng bán kính R của đường tròn tâm C 
b/ Tính gần đúng diện tích S 
( phần gạch chéo ) giới hạn bởi 3 đường tròn và đường thẳng. 
Bài 4: Viên gạch lát hình vuông với các hoạ tiết trang trí được tô bằng 3 loại màu ( như hình bên ). Hãy tính tỉ lệ phần trăm diện tích của mỗi màu có trong viên gạch này ?
Giải: Gọi OA = r là bán kính đường tròn nhỏ, OB = R = 1 là bán kính đường tròn lớn. Áp dụng định lý hàm số sin cho tam giác OAB, ta được:
Diện tích S’ của hình tròn nhỏ bằng 
Diện tích S của cả ngôi sao ( khi chưa khoét đi hình tròn nhỏ ) bằng:
Vậy diện tích phần tô đậm bằng 
Do đó tỉ số diện tích phần tô đậm và phần còn lại bằng 
Bài tập: Cho tam giác ABC có độ dài cạnh bằng a. Trên BC lấy M sao cho BM = b
 ( b < a ). Đường trung trực của AM cắt AB, AC lần lượt tại E, F. Tính theo a và b:
a/ EF .
b/ Diện tích tam giác MEF.
Bài tập: Cho hình vẽ