Bộ đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán - Đề số 87

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 
2
1
x
y
x



  C . 
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số đã cho. 
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C tại giao điểm của  C với đường thẳng 2 0.y  
Câu 2 (1,0 điểm). 
a. Cho góc  thỏa mãn 
3
2


  và sin c2 1os   . Tính 2tan cot .A    
b. Cho số phức z thỏa mãn hệ thức    1 2 2 2i z i z i    . Tính môđun của .z 
Câu 3 (0,5 điểm). Giải phương trình    9 32log 5 log 1 3.x x    
Câu 4 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình 
 
 
 
2 2 2
2 2
2 2
, .
1 1
1 1
1
x y y x
x y
x y x x
y
R
y
  

    




 
Câu 5 (1,0 điểm). Tính tích phân  
2
0
sinI x x x dx

  
Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi, có 2AB a và góc ̂ . Hình 
chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng đáy  ABCD trùng với giao điểm I của hai đường chéo và .
2
a
SI  Tính 
thể tích khối chóp .S ABCD và góc tạo bởi mặt phẳng  SAB và mặt phẳng  ABCD theo .a 
Câu 7. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm .I 
Điểm  2; 1M  là trung điểm cạnh BC và điểm 
31 1
;
13 13
E
 
 
 
 là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng .AI 
Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ,ABC biết đường thẳng AC có phương trình 3 2 13 0.x y   
Câu 8 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ ,Oxyz cho mặt phẳng   : 1 0P x y z    và điểm  1; 1;2A  . 
Viết phương trình đường thẳng  đi qua A vuông góc với mặt phẳng  P . Tính bán kính của mặt cầu  S có tâm 
thuộc đường thẳng , đi qua A và tiếp xúc với mặt phẳng  .P 
Câu 9 (0,5 điểm). Trong cụm thi để xét công nhận tốt nghiệp THPT thí sinh phải thi 4 môn trong đó có 3 môn bắt 
buộc là Toán, Văn, Ngoại ngữ và 1 môn do thí sinh tự chọn trong số các môn: Vật lí, Hóa học, Sinh học, Lịch sử và 
Địa lí. Trường X có 40 học sinh đăng kí dự thi, trong đó 10 học sinh chọn môn Vật lí và 20 học sinh chọn môn Hóa 
học. Lấy ngẫu nhiên 3 học sinh bất kỳ của trường X, tính xác suất để trong 3 học sinh đó luôn có học sinh chọn môn 
Vật lí và học sinh chọn môn Hóa học. 
Câu 10 (1,0 điểm). Cho các số thực dương , ,a b c thỏa mãn điều kiện  2 2 2 332 4ca b ab ac   . Tìm giá trị nhỏ 
nhất của biểu thức 
 2 2 2 2 22
.
25
1 4
2
a c b
P
bc ab ac
b c  



 
----------------Hết---------------- 
SỞ GD&ĐT NGHỆ AN THỬ SỨC TRƯỚC KỲ THI QUỐC GIA LẦN 2 - NĂM 2015 
----------------------- 
TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA 
Môn: Toán THPT 
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề. 
------------------------------------ 
Cảm ơn bạn Trung Kiên (kiennhuthanh1@gmail.com) đã gửi tới www.laisac.page.tl
Trang | 1/4 
SỞ GD&ĐT NGHỆ AN HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN 
KỲ THI THỬ QG LẦN THỨ II NĂM 2015 
----------------------- 
TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA 
(Đáp án-thang điểm gồm 04 trang). 
------------------------------------ 
Câu Đáp án Điểm 
1 
(2,0 điểm) 
a. (1,0 điểm) Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số
2
1
x
y
x



 Tập xác định  1\D   0,25 
 Sự biến thiên: 
+) Đạo hàm 
 
2
1.
1
' 0,
1x
xy      

Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ; 1  và  1; .  
+) Giới hạn, tiệm cận. 
 lim 1; lim 1
x x
y y
 
   đường thẳng 1y  là tiệm cận ngang. 
1 1
lim ; lim
x x
y y
  
    đường thẳng 1x   là tiệm cận đứng. 
0,25 
 +) Bảng biến thiên. 
0,25 
 Đồ thị. 
0,25 
b. (1,0 điểm) Tiếp tuyến của đồ thị  C tại giao điểm của  C với đường thẳng 2 0.y  
Phương trình hoành độ giao điểm 
2
2 0.
1
x
x
x

  

 0,5 
Phương trình tiếp tuyến tại điểm  0;2M là 2y x   0,5 
Trang | 2/4 
2 
(1,0 điểm) 
a. (0,5 điểm) 
Với 
sin 03
;
2 cos 0

 

 
   
  
 0,25 
Ta có  
2 2 2
2 2
2cos 1 4
2cos cos 1 5cos 4cos 0 cos
sin
1
si 5cos 1n
 
    
 
 
   

 

  

 
Suy ra sin
3
5
   , 
3 4
;cottan
4 3
   . Do đó 
1
co2 tta
6
n .A     
0,25 
b. (0,5 điểm) 
Giả sử  , ,z a bi a b   . Ta có: 
       
4
3 4 0
1 2 2 2 3 4 3
1
1
a b a
i a bi i a bi i a b bi i
b
b

    
            
    
0,25 
Vậy 2 2
16 5
1 .
9 3
z a b   
0,25 
3 
(0,5 điểm) 
Điều kiện 1.x  
Phương trình đã cho tương đương với      23 3 3log 5 log 1 3 log 4 5 3x x x x        0,25 
 
2
4
4 32 0
8 lo¹i
x
x x
x

     
 
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là 4.x  
0,25 
4 
(1,0 điểm) 
Điều kiện 0 1x  
         2 2 2 21 2 1 1 1 0 1 2 01x y y y y x y          0,25 
Với 1,y  thay vào (2) ta có    2 2 2 2 11 1 1 1 1 0
0
10
x
x x xx x do
x

       

  
Trường hợp này hệ có các nghiệm        ; 0;1 , ; 1;1 .x y x y  
0,25 
 Với 
2 22 1x y  , ta có: 
 
2 2
2 2 2 2 2 11
1 1
2 1 1
x y
y y ax x
y
x
  
       
  
0,25 
Từ phương trình  2 :    2 2 2 21 1 1 1 1 1x y x y x x y x y x           
   
2 2
2 2 2 2 211 1 01 1 1 1 1
2
y
x y x do x x y
x
y y b
 
              
Từ (a), (b) cho ta 
2 2
0
0
1
1
1x
x
x
y
y
y


 
 
 


Vậy tập nghiệm của hệ phương trình đã cho là     0;1 , 1;1 .T  
0,25 
5 
(1,0 điểm) 
Ta có 
2 2
0 0
2 sinI x dx x xdx
 
   0,25 
Với 
3 32 2
0 0
2
1
.
3 24
x
I x dx
 

   0,25 
Với 
0
2
2
sinI x xdx

  0,25 
Trang | 3/4 
Đặt 
sin cos
x u dx du
xdx dv v x
  
 
   
Do đó  
2
22
0 0
0
2
cos cos sin cos 1I x x xdx x x x


      
Vậy 
3
1 .
24
I

  0,25 
6 
(1,0 điểm) 
Ta có ̂  ̂ 
Suy ra 
0
0
sin60
3
cos60
BI
BI aAB
AI AI a
AB

   
 
 

0,25 
Do đó 
214 4 . . 2. . 2 3
2
ABCD IABS S IA IB IA IB a
 
    
 
Nên  
3
21 1 3. . . . 2 3 .
3 3 2 3
SABCD ABCD
a a
V SI S a   
0,25 
Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng  SAB và  .ABCD 
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên .AB Ta có  AB SHI AB SH   
Do đó   ̂  ̂ 
0,25 
Xét tam giác vuông AIB có 
2 2 2
1 1 1 3
.
2
IH a
IH IA IB
    
 ̂ 
1
3
SI
HI
  ̂ . Hay 030 .  
0,25 
7.a 
(1,0 điểm) 
Gọi D là hình chiếu vuông góc của A trên BC và N 
là trung điểm của cạnh .AB Khi đó: do tứ giác BDEA 
nội tiếp đường tròn đường kính AB và ngũ giác 
BNIEM nội tiếp đường tròn đường kính BI nên: 
 ̂ ̂ ̂ 
 ̂. 
Hay NM là phân giác của góc ̂. 
Lại vì NE ND suy ra NM là trung trực của đoạn 
thẳng .DE 
0,5 
Đường thẳng MN đi qua M và song song với AC nên có phương trình 3 2 4 0.x y   
Đường thẳng DE qua E vuông góc với MN nên có phương trình 2 3 5 0x y   
Từ MN là trung trực của DE ta tìm được  1; 1 .D  
Do đó phương trình đường thẳng BC là 1.y   
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ  
1
5; 1
3 2 13
y
C
x y
 
 
 
 suy ra  1; 1B   
Đường thẳng AD đi qua D vuông góc với BC nên có phương trình là 1x  
Vậy tọa độ điểm A là nghiệm của hệ  
1
1;5 .
3 2 13
x
A
x y


 
0,5 
Trang | 4/4 
8 
(1,0 điểm) 
Đường thẳng  đi qua  1; 1;2A  và nhận véc-tơ pháp tuyến  1; 1;1pn  làm véc-tơ chỉ phương 
nên có phương trình: 
1 1 2
.
1 1 1
x y z  
 

0,5 
Gọi  1 ; 1 ;2I t t t    là tâm mặt cầu  S . Lúc đó: 
   2
3 3 1
; 3 1 .
23
t
R IA d I P t t t t

          Vậy 
3
.
2
R  
0,5 
9 
(0,5 điểm) 
Số phần tử của không gian mẫu là 3
40.n C  
Gọi A là biến cố “ 3 học sinh được chọn luôn có học sinh chọn môn Vật lí và học sinh chọn môn Hóa 
học” 
Số phần tử của biến cố A là 1 2 2 1 1 1 1
10 20 10 20 20 10 10. . . .An C C C C C C C   
0,25 
 Vậy xác suất để xảy ra biến cố A là 
1 2 2 1 1 1 1
10 20 10 20 20 10 10
3
40
. . . . 120
247
A
An C C C C C C CP
n C
 
   0,25 
10 
(1,0 điểm) 
Từ giả thiết ta có 
         2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 234 3 2 4 4 4 4ab ac a b a a bc b c c ab ac cb            
 2 2 1b c ac  
0,25 
Lại có    
 
22
2 2 2 2 2 2 2
4
20 2 2
2
b b c
a ab ac a b ab c b b c c bc
 
            
 2 2 22 4 3
2 2
3a b ab ac
bc
c
bc
  
      2 0 2 2a cc
a
b
b
    
0,25 
Lúc đó 
     22 2 2 2 2 2 2 2
2
2
25 2 2
4 2 4 1
.
5
1 .
52
c b cc a c aa c b b
P
b
c b a b
a b ac ab a b bc cbc
    
     
  

 

 0,25 
Xét hàm số    
1
, 0;2
5
t
f t t
t
  có  
2
2
1 1
' 0
5
2., 0
5 5
t
t
f t
t

    
Suy ra    
9
2
10
ff t   . Hay 
29
10 1.
a
MinP
b c

  
  
0,25 
Xin chân thành cảm ơn tới các thầy cô giáo đã tham gia giải phản biện đề thi. 
CHÚC CÁC THÍ SINH ĐẠT KẾT QUẢ CAO TRONG KỲ THI QG NĂM 2015 
Cảm ơn bạn Trung Kiên (kiennhuthanh1@gmail.com) đã gửi tới www.laisac.page.tl