Bộ đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán - Đề số 77

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
LÀO CAI 
ĐỀ THI THỬ ư KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 
MễN THI: TOÁN 
Thời gian làm bài: 180 phỳt 
Cõu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 
3 
2 3 1 3 
2 4 2 
x 
y x x = - - +  (1). 
a) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1); 
b) Viết phương trỡnh tiếp tuyến của đồ thị (C). Biết tiếp tuyến đú vuụng gúc với đường thẳng 
8 
( ) : 1 
27 
d y x = +  . 
Cõu 2 (1,0 điểm). 
1) Giải phương trỡnh:  2 cos 2x cos x sin x+2 0 + - =  . 
2) Tỡm cỏc số thực x, y thỏa món: ( ) ( )  2 2 1 (3 2) 1 2  2 x i i y i y  x + + = + - - - +  . 
Cõu 3 (0,5 điểm). Giải phương trỡnh sau trờn tập số thực:  2 2 3 9 log log (9 ) 1 0 x x - - =  . 
Cõu 4 (1,0 điểm). Giải hệ phương trỡnh sau trờn tập số thực: 
2 2 
2 
2 5 2 2 
3 5 4 
x y x 
x xy x y y y 
ỡ + = + ù 
ớ 
+ + - - = + ù ợ 
. 
Cõu 5 (1,0 điểm). Tớnh tớch phõn 
1 
0 
x 
x 
e x 
I dx 
e 
+ 
= ũ  . 
Cõu 6 (1,0 điểm). Cho hỡnh chúp  . S ABCD  cú đỏy ABCD  là hỡnh thoi cạnh a, gúc BAC bằng 60 0 . 
Hỡnh chiếu vuụng gúc  của  S  trờn mặt phẳng ( ) ABCD  là điểm H thuộc đoạn BD sao cho HD = 
2HB. Đường thẳng SO tạo với mặt phẳng ( ) ABCD  gúc  0 60  với O là giao điểm của AC và BD. 
Tớnh thể tớch khối chúp  . S ABCD  và khoảng cỏch từ  B đến mặt phẳng ( ) SCD  theo  a . 
Cõu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ  Oxy , cho tứ giỏc  ABCD  nội tiếp đường trũn 
đường kớnh AC. Biết ( ) 3; 1 M -  là trung điểm của cạnh  BD , điểm ( ) 4; 2 C -  . Điểm ( ) 1; 3 N - -  nằm 
trờn đường thẳng đi qua B và vuụng gúc với AD. Đường thẳng  AD  đi qua điểm ( ) 1;3 P  . Tỡm tọa 
độ cỏc đỉnh A, B, D. 
Cõu  8  (1,0  điểm).  Trong  khụng  gian  với  hệ  toạ  độ  Oxyz ,  cho  điểm ( ) 2;3;5 M  và  đường  thẳng 
1 2 2 
: 
1 3 2 
x y z 
d 
+ + - 
= =  . Viết phương trỡnh mặt phẳng  ( ) P  đi qua M và vuụng gúc với đường thẳng 
d . Tỡm tọa độ điểm N thuộc  d sao cho N cỏch M một khoảng bằng 5. 
Cõu 9 (0,5 điểm). Tỡm hệ số của  8 x  trong khai triển nhị thức Niuưtơn của 
22 
2  2 x 
x 
ổ ử - ỗ ữ 
ố ứ 
. 
Cõu 10 (1,0 điểm). Cho  x  là số thực thuộc đoạn 
5 
1; 
4 
ộ ự -ờ ỳ ở ỷ 
. Tỡm giỏ trị lớn nhất, giỏ trị nhỏ nhất 
của biểu thức 
5 4 1 
5 4 2 1 6 
x x 
P 
x x 
- - + 
= 
- + + + 
. 
ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưHẾTưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư 
Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu. Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm. 
Cảm ơn thầy Ngụ Quang Nghiệp (nghiepbt3@gmail.com )đó gửi tới www.laisac.page.tl
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
LÀO CAI 
HƯỚNG DẪN CHẤM 
ĐỀ THI THỬ LẦN 2 ư Kè THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 
MễN THI: TOÁN 
( Hướng dẫn chấm  gồm cú 05 trang, 10 cõu) 
I. Hướng dẫn chấm: 
1.  Cho điểm lẻ tới 0,25; 
2.  Điểm toàn bài là tổng điểm thành phần, khụng làm trũn; 
3.  Chỉ cho điểm tối đa khi bài làm của thớ sinh chớnh xỏc về mặt kiến thức; 
4.  Thớ sinh giải đỳng bằng cỏch khỏc cho điểm tương ứng ở cỏc phần. 
5.  Với bài hỡnh học khụng gian (cõu 6) nếu thớ sinh khụng vẽ hỡnh hoặc vẽ hỡnh sai thỡ khụng 
cho điểm tương ứng với phần đú. 
II. ĐÁP ÁN: 
Cõu  Nội dung  Điểm 
1 
(2,0 điểm) 
1. (1,0 điểm) 
* Tập xỏc định:   D  R = 
* Sự biến thiờn: 
ã  Giới hạn: 
x  x 
lim y ;lim y 
đ-Ơ đ+Ơ 
= -Ơ = +Ơ . 
ã  Đạo hàm:  2 
1 3 3 
' 3; ' 0 
2 2 2 
x 
y x x y 
x 
= - ộ 
= - - = Û ờ = ở 
0.25 
ã  Bảng biến thiờn 
9 
4 
y' 
ư1 
+  + ư  0 0 
ưƠ 
ư 
9 
2 
+Ơ 
+Ơ 2 ưƠ 
y 
x 
0.25 
ã  Kết luận: 
ư  Hàm sụ nghịch biến trờn khoảng ( ) 1;2 -  ; 
ư  Hàm sụ đồng biến trờn cỏc khoảng (–Ơ;ư1) và (2;+Ơ) ; 
ư  Hàm số đạt cực đại tại điểm  1 CD x = -  ;  CD 
9 
4 
y =  ; 
ư  Hàm số đạt cực tiểu tại  CT  2 x =  ;  CT 
9 
2 
y = - 
0.25
* Đồ thị: 
0.25 
2.(1,0 điểm) 
Gọi D  là tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm ( ) 0 0 ; M x y  và vuụng gúc với đường 
thẳng  8  1 
27 
y x = +  . Khi đúD  cú hệ số gúc bằng ư 27 
8 
0,25 
( ) 0 
27 
' 
8 
y x Û = -  0,25 
2 
0 0 0 
3 3 3 1 
0 
2 2 8 2 
x x x Û - + = Û =  . Ta cú  0 
9 
8 
y = -  0,25 
Phương trỡnh của D là  27 9 27 9 1 y y x x 
8 8 8 16 2 
ổ ử = - - Û = - + - ỗ ữ 
ố ứ 
0,25 
2 
(1,0điểm) 
1.(0,5 điểm) 
2 cos 2x cos x sin x 0 + - =  2 3sin sin 4 0 x x Û - - + =  sin 1 x Û = 
0,25 
( ) sin 1 2 . 
2 
x x k  k 
p p = Û = + ẻ  0,25 
2.(0,5 điểm) 
( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 (3 2) 2 1 (3 2) 1 2 1 2 2 2 x i i y i x i y i y y x x + + = + - Û + + = + - - - - + - 
2 1 2 
1 2 3 2 
x x 
y y 
+ = - ỡ 
Û ớ - = - ợ 
0,25 
1 
3 
3 
5 
x 
y 
ỡ = ù ù Û ớ 
ù = 
ù ợ 
0,25 
3 
(0,5 điểm) 
2 2 
3 9 log log (9 ) 1 0 x x - - =  (1) 
Điều kiện: x > 0. Với điều kiện trờn ta cú 
( )  2  3 3 3 
3 
log 1 
log log 2 0 1  log 2 
x 
x x 
x 
ộ = - ờ Û - - = Û ờ = ờ ở 
0,25 
1 
3 
9 
x 
x 
ộ 
ờ = ờ Û 
ờ = ờ ở 
. Kết hợp điều kiện phương trỡnh (1) cú tập nghiệm là 
1 
;9 
3 
S 
ỡ ỹ ù ù ù ù ớ ý = ù ù ù ù ợ ỵ 
0,25 
4 
(1,0 điểm) 
2 2 
2 
2 5 2 2      (1) 
3 5 4     (2) 
x y x 
x xy x y y y 
ỡ + = + ù 
ớ 
+ + - - = + ù ợ 
. Điều kiện:  2  0 xy x y y + - - ³  và  0 y ³ 
4 
2 
ư2 
ư4 
5 
I ư 
9 
8 
1 
2 
ư 
5 
2 
ư 
9 
2 
9 
4 
y 
x 7 
2 
2 
O 
ư1
ư Với điều kiện trờn: 
( ) ( ) ( ) 
( ) 
( ) 
2 
2 
3 0 2 1 2  1 
3  1 
1  0 2 1 
1 
x y  xy x y y y 
y 
x y 
xy x y y y 
Û + = - - + - - - - 
ộ ự + 
+ Û = - - ờ ỳ 
+ - - + + ờ ỳ ở ỷ 
0,25 
2 1 0 x y Û - - =  ( Vỡ với x,y thỏa món  2  0 xy x y y + - - ³  và  0 y ³  thỡ 
( ) 
2 
3  1 
1 0 
1 
y 
xy x y y y 
+ 
+ > 
+ - - + + 
) 
0,25 
Thế  2 1 y x = -  vào (1) ta cú 
2 2 2 5 2 1 x x x + = - + 
2 
2 
4 2 
2 2 ( 2)( 2) 
1 1 5 3 
x x 
x x 
x x 
- - 
Û = + - + 
- + + + 
( ) ( ) 
2 
2( 2) 2 
0 2 2 
1 1 5 3 
x 
x x 
x x 
+ ộ ự - + + Û = + - ờ ỳ - + + + ở ỷ 
(3) 
0,25 
Ta thấy :  1 x " ³  , 
( ) ( ) 
2 2 
2( 2) 2 2 2 
2 1 0 2 
1 1 1 1 5 3 5 3 
x 
x x 
x x x x 
ổ ử + 
- + + = + + - > + ỗ ữ - + - + + + + + ố ứ 
, 
nờn (3) cú nghiệm duy nhất x = 2. Vậy hệ phương trỡnh đó cho cú nghiệm duy nhất 
( )  1 ; 2; . 
2 
x y ổ ử = ỗ ữ 
ố ứ 
0,25 
5 
(1,0 điểm) 
1 1 1 
0 0 0 
1. . . 
x 
x 
x 
e x 
I dx dx x e dx 
e 
- + = = + ũ ũ ũ  0,25 
1 
1 
1  0 
0 
1. 1 I dx  x = = = ũ  0,25 
1 
2 
0 
. . x I x e dx - = ũ  . Đặt  x x 
u x du dx 
dv e dx v e - - 
= = ỡ ỡ 
ị ớ ớ 
= = - ợ ợ 
0,25 
( ) ( ) 
1 
1 1 
2  0 0 
0 
2 
. 1 x x x x I e dx xe xe e 
e 
- - - - = + = = - - - - ũ  . Vậy I =  1 2 
2 
2 I I 
e 
+ = -  0,25 
6 
(1,0 điểm) 
O 
S 
A 
D 
C B 
H
* Tớnh thể tớch khối chúp S.ABCD : 
SH ^ (ABCD)  =>HO  là  hỡnh  chiếu  của  SO  trờn  (ABCD)  nờn 
ã ã ã  0 ( , ( )) ( , ) 60 SO ABCD HO AC SOH = = = 
Diện tớch ABCD là 
2 2 3 3 
2 2. 
4 2 ABCD ABC 
a a 
S S D = = = 
0,25 
Trong tam giỏc SHO cú  0 
1 3 
. tan 60 3 
3 2 2 
a a 
SAH HO = = = 
Thể tớch S.ABCD là 
3 
. 
1 3 
. 
3 12 S ABCD ABCD 
a 
V SH S = = 
0,25 
*Tớnh khoảng cỏch từ B đến (SCD) : 
( ) ( )  . 
3 
. . . 
3 
(1) , 
1 3 
(2) 
2 24 
B SCD 
SCD 
B SCD S BCD S ABCD 
V 
d  B  SCD 
S 
a 
V V V 
= 
= = = 
0,25 
2 2 2 2 57 21 ; 
6 6 
a a 
SD SH HD SC SH HC = + = = + = 
Trong tam giỏc SCD cú 
( )( )( ) 
2 
57 21 
; ; ; ; 
6 6 2 
21 
(3) 
12 SCD 
a a SC SD CD 
SD SC CD a p 
a 
S p  p SC p SC p CD 
+ + 
= = = = 
= = - - - 
Từ (1), (2), (3) ta cú 
( ) ( )  3 7 , 
14 
a 
d  B  SCD = 
0,25 
7 
(1,0 điểm) 
Giả sử ( ) ; D a b  . Vỡ M là trung điểm BD nờn ( ) 6 ; 2 B a b - - -  . 
Ta cú ã  0 90 / / ADC AD DC BN CD = ị ^ ị 
( ) 7 ;1 NB a b = - - 
uuur 
và ( ) 4; 2 CD a b = - + 
uuur 
.  Ta  cú  , NB CD 
uuur uuur 
cựng  phương 
( )( ) ( )( )  6 7 2 4 1  b a a b a b = Û = - - + - - ( ) 1 
0,25 
Ta cú ( ) 1; 3 ; PD a b = - - 
uuur 
( )( ) ( )( ) 2 3 0 1 4 PD CD b b a a ^ Û + + - = - - 
uuur uuur 
(2) 
0,25 
Thế (1) vào (2) ta cú  2 
5 
2 18 40 0 
4 
a 
a a 
a 
= ộ 
- + = Û ờ = ở 
Với a = 4 ta cú b = ư2. Khi đú D(4;ư2) trựng C (loại). 
Với a = 5 ta cú b = ư1. Vậy D(5;ư1) và B(1;ư1). 
0,25 
Vỡ AD đi qua P(1;3) và D(5;ư1) nờn phương trỡnh đường thẳng AD: x + y – 4 = 0. 
Vỡ AB vuụng gúc với BC nờn phương trỡnh đường thẳng AB: 3x ư y – 4 = 0. 
Tọa độ của A là nghiệm của hệ phương trỡnh 
3 4 0 2 
4 0 2 
x y x 
x y y 
- - = = ỡ ỡ 
Û ớ ớ + - = = ợ ợ 
. 
Vậy ( ) 2; 2 A  , D(5;ư1) và B(1;ư1). 
0,25
8 
(1,0 điểm) 
* Viết phương trỡnh mặt phẳng (P) : 
d cú vộctơ chỉ phương là :  (1;3;2) u = 
r 
, vỡ (P) vuụng gúc với d nờn (P) cú vộctơ phỏp 
tuyến  (1;3;2) u = 
r 
0,25 
Phương trỡnh mp(P) : ( ) 1 3( 3) 2( 5) 0 3 2 21 0 2  y z x y z x + - + - = Û + + - = -  0,25 
* Tỡm N: 
Vỡ N thuộc d nờn N(t ư 1; 3t ư 2; 2t + 2). Ta cú 
2 2 2 5 ( 3) (3 5) (2 3) 5 MN t t t = Û - + - + - = 
0,25 
2 
3 
14 48 18 0  3 
7 
t 
t t 
t 
= ộ 
ờ Û - + = Û 
ờ = 
ở 
. Vậy: N(2; 7; 8) hoặc 
4 5 20 
; ; 
7 7 7 
N ổ ử - - ỗ ữ 
ố ứ 
0,25 
9 
(0, 5 điểm) 
Số hạng tổng quỏt trong khai triển 
22 
2  2 x 
x 
ổ ử - ỗ ữ 
ố ứ 
là 
( ) ( ) 
k 
22 k  k k k 44 3k 2 
22 22 
2 C C x 2 x 
x 
- - ổ ử = - - ỗ ữ 
ố ứ 
0,25 
Ta cú 
0 k 22 
k k 12 
44 3k 8 
Ê Ê ỡ 
ù ẻ Û = ớ 
ù - = ợ 
Ơ  , Vậy, hệ số của  8 x  trong khai triển nhị thức Niuưtơn 
của 
22 
2  2 x 
x 
ổ ử - ỗ ữ 
ố ứ 
là ( ) 12 12 22 C  2 -  . 
0,25 
10 
(1,0 điểm) 
Đặt  5 4 ; 1 a x b x = - = +  thỡ  2 2 4 9; a b + =  , 0 a b ³ 
Do đú đặt  0; : 3sin ;  2 3cos 
2 
a b p a a a ộ ự ẻ = = ờ ỳ ở ỷ 
. Khi đú: 
3 
3sin cos  2sin cos 2 
2 6 3sin 3cos 6 2sin 2cos 4 
a b 
P 
a b 
a a a a 
a a a a 
- - - 
= = = 
+ + + + + + 
0,25 
Xột hàm số  2sin cos ( ) 
2sin 2cos 4 
f x a a 
a a 
- 
= 
+ + 
, với  0; 
2 
p a ộ ự ẻ ờ ỳ ở ỷ 
. 
Ta cú  2 
6 4sin 8cos 
'( ) 0 
(2sin 2cos 4) 
f x a a 
a a 
+ + 
= > 
+ + 
với mọi  0; 
2 
p a ộ ự ẻ ờ ỳ ở ỷ 
. 
0,25 
Suy ra hàm f(x) đồng biến trờn đoạn  0; 
2 
p a ộ ự ẻ ờ ỳ ở ỷ 
. 
Do đú: 
0;  0; 
2  2 
1 1 
min ( ) (0) ; max ( ) 
6 2 3 x 
f f f f 
p p a 
p a a 
ộ ự ộ ự ẻ ẻ ờ ỳ ờ ỳ ở ỷ ở ỷ 
ổ ử = = - = = ỗ ữ 
ố ứ 
. 
0,25 
Vậy  1 min 
6 
P = -  , khi  5 
4 
x =  ; Vậy  1 max 
3 
P =  , khi  1 a = -  .  0,25 
Cảm ơn thầy Ngụ Quang Nghiệp (nghiepbt3@gmail.com )đó gửi tới www.laisac.page.tl