Bộ đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán - Đề số 52

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC 
TRƯỜNG THPT ĐỒNG ĐẬU 
ĐỀ KSCL THI ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM HỌC 2014-2015 
 Mụn: TOÁN; Khối A 
Thời gian làm bài: 180 phỳt, khụng kể thời gian phỏt đề 
Cõu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số  3 23 3 1y mx mx m    cú đồ thị là  mC . 
a) Khảo sỏt và vẽ đồ thị hàm số với 1m  . 
b) Chứng minh rằng với mọi 0m  đồ thị  mC luụn cú hai điểm cực trị A và B, khi đú tỡm 
cỏc giỏ trị của tham số m để 2 2 22 ( ) 20AB OA OB   ( trong đú O là gốc tọa độ). 
 Cõu 2 (1,0 điểm). Giải phương trỡnh:  sin sin cos cosx x x x   2 3 2 3 2 3 
 Cõu 3(1 điểm): Giải hệ phương trỡnh: 
2 2
2 1 2 4( 1)
4 2 7
x y x y
x y xy
        
. 
Cõu 4 (1,0 điểm). Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy là tam giỏc vuụng cõn tại C, cạnh huyền 
bằng 3a, G là trọng tõm tam giỏc ABC, 14( ),
2
aSG ABC SB  . Tớnh thể tớch khối chúp 
S.ABC và khoảng cỏch từ B đến mặt phẳng ( )SAC theo a. 
 Cõu 5 (1 điểm): Cho x, y, z là ba số dương thoả món x2 + y2 + z2 = 1. 
 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 1P 2xyz
x y z
    
 Cõu 6(1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giỏc ABC cú phương trỡnh đường thẳng 
:2 1 0AB x y   , phương trỡnh đường thẳng : 3 4 6 0AC x y   và điểm (1; 3)M  nằm trờn 
đường thẳng BC thỏa món 3 2MB MC . Tỡm tọa độ trọng tõm G của tam giỏc ABC. 
 Cõu 7 (1điểm):Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đ−ờng tròn      2 2: 1 2 13C x y    
vμ đ−ờng thẳng   : 5 2 0x y    . Gọi giao điểm của (C) với đ−ờng thẳng   lμ A, B. Xác định 
toạ độ điểm C sao cho tam giác ABC vuông tại B vμ nội tiếp đ−ờng tròn (C). 
Cõu 8 (1,0 điểm). Tỡm hệ số của 2x trong khai triển thành đa thức của biểu thức 
 62 1P x x   . 
Cõu 9 (1,0 điểm). Tỡm tất cả cỏc giỏ trị m để bất phương trỡnh  2 1m x m x    cú 
nghiệm trờn đoạn  0;2 . 
-----------Hết----------- 
Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu. Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm. 
 Họ và tờn thớ sinh:.......; Số bỏo danh 
Cảm ơn cụ Thu Phương ( phuongthu@yahoo.com.vn) đó gửi tới www.laisac.page.tl
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC 
TRƯỜNG THPT ĐỒNG ĐẬU 
 ĐÁP ÁN KSCL THI ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM HỌC 2014-2015 
 Mụn: TOÁN; Khối A 
II. ĐÁP ÁN: 
Cõu í Nội dung trỡnh bày Điểm 
1 a 1,0 điểm 
Với 1m  , hàm số đó cho cú dạng: 3 23y x x  
TXĐ:  
Giới hạn: 3 2 3 3lim ( 3 ) lim 1
x x
x x x
x 
        ; 
3 2 3 3lim ( 3 ) lim 1
x x
x x x
x 
        
0,25 
Sự biến thiờn của hàm số. 
Ta cú: 2' 3 6y x x  ; 0' 0
2
x
y
x
    
BBT: 
x  0 2  
y’  0  0  
y 
 
 0 
4 
  
0,25 
Hàm số đồng biến trờn mỗi khoảng  ;0 và  2; , nghịch biến trờn khoảng  0;2 . 
Hàm số đạt cực đại tại điểm 0x  ; giỏ trị cực đại của hàm số là  0 0y  
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm 2x  ; giỏ trị cực tiểu của hàm số là  2 4y   . 
0,25 
Đồ thị: 
Giao điểm với trục tung là điểm  0;0 . 
0
0
3
x
y
x
    
Nhận xột: Điểm  1; 2I  là tõm đối xứng của đồ 
thị hàm số. 
0,25 
b 1,0 điểm 
 Ta cú: 2' 3 6y mx mx  0' 0
2
x
y
x
     ( Với mọi m khỏc 0). 
Do 'y đổi dấu qua 0x  và 2x  nờn đồ thị hàm số cú hai điểm cực trị ( đpcm) 
0,25 
 Với  0 3 1x y m    ; 2 3x y m     . 
0,25 
Do vai trũ của A,B như nhau nờn khụng mất tớnh tổng quỏt giả sử 
   0;3 3 , 2; 3A m B m   
Ta cú: 2 2 22 20OA OB AB         2 2 29 1 4 3 2 4 16 20m m m         0,25 
211 6 17 0m m   
1
17
11
m
m
   
KL: Với 
1
17
11
m
m
  
 thỡ ycbt được thỏa món. 
0,25 
2 1,0 điểm 
Phương trỡnh đó cho tương đương với: 
3 1 3 11 .sin 2 cos 2 3 sin cos 0
2 2 2 2
x x x x
       
 0,25 
cos sinx x               1 2 3 03 6 0,25 
sin
sin sin
sin (loai)
x
x x
x
                              
2
0
6
2 3 0
6 6 3
6 2
 0,25 
Với sin 0 , .
6 6
x x k k             0,25 
3 1,0 điểm 
 HPT 




724
)1(0612)12(2
22 xyyx
yxyx
 Điều kiện: x+2y 1 0  
 Đặt t = 2 1 (t 0)x y   
0,25 
 Phương trỡnh (1) trở thành : 2t2 – t – 6 = 0  
 
2 /
3 t/m
2
t t m
t k
  
 0,25 
Khi đú hpt đó cho 2 2
1
12 3
24 2 7
1
2
x
yx y
xx y xy
y
           
 (t/m đk) 
0,25 
 Vậy nghiệm (x,y) của hệ đó cho là: (1,1) và )
2
1,2( . 0,25 
4 1,0 điểm 
H
M
I
G
S
C
BA
Vỡ tam giỏc ABC vuụng cõn tại C, 33
2
aAB a CA CB    
Gọi M là trung điểm AC 3
2 2
aMC  3 5
2 2
aMB  
0,25 
2 22 5
3 2
aBG BM SG SB BG a      
3
.
1 3.
3 4S ABC ABC
aV SG S   (đvtt) 0.25 
Kẻ ( ) ( )GI AC I AC AC SGI    
Ta cú 1
3 2
aGI BC  . Kẻ ( ) ( ) ( , ( ))GH SI H SI GH SAC d G SAC GH      0,25 
Ta cú 2 2 2
1 1 1
3
aGH
GH GS GI
    ( , ( )) 3 ( , ( )) 3 3d B SAC d G SAC GH a    
0.25 
5 1,0 điểm 
Áp dụng BĐT Cauchy: 
3
1 1 1 3
x y z xyz
   
Nờn P ≥ 
3
3 2xyz
xyz
 . Đẳng thức khi: x = y = z. 0.25 
Đặt t = 3 xyz 
Cũng theo Cauchy: 1 = x2 + y2 +z2 ≥ 2 2 233 x y z . Đẳng thức khi x = y = z. 
Nờn cú: 0 < t ≤ 3
3
 0.25 
Xột hàm số: f(t) = 33 2t
t
 với 0 < t ≤ 3
3
Tớnh f’(t) = 
4
2
2 2
3 3(2t 1)6t
t t
   
Lập bảng biến thiờn của f(t) rồi chỉ ra : f(t) ≥ 29 3
9
  t  30;
3
   
. 0.25 
Từ đú: P ≥ 29 3
9
. GTNN của P là 29 3
9
 đạt khi x = y = z = 3
3
 0.25 
6 1,0 điểm 
Vỡ B thuộc đường thẳng (AB) nờn  ;1 2B a a , 
Tương tự:  2 4 ;3C b b  
Ta cú:  1;4 2MB a a   ,  3 4 ;3 3MC b b    
0.25 
Ta cú        2; 3AB AC A A    . 
Vỡ B, M, C thẳng hàng, 3 2MB MC nờn ta cú: 3 2MB MC  hoặc 3 2MB MC   
0.25 
TH1: 3 2MB MC        
3 1 2 3 4
3 4 2 2 3 3
a b
a b
       
11
5
6
5
a
b
    
11 17;
5 5
B      , 
14 18;
5 5
C    
7 10;
3 3
G      
0.25 
TH2: 3 2MB MC         
3 1 2 3 4
3 4 2 2 3 3
a b
a b
         
3
0
a
b
   
   3; 5 , 2;0B C   81;
3
G      
Vậy cú hai điểm 7 10;
3 3
G     và 
81;
3
G     thỏa món đề bài. 
0.25 
7 1,0 điểm 
-Tọa độ điểm A, B là nghiệm của hệ phương trỡnh: 
   






















1
3
0
2
25
02626
025
1321 222
y
x
y
x
yx
yy
yx
yx 
0,25 
   2;0 , 3; 1A B   hoặc    3; 1 , 2;0A B  
0,25 
-Vỡ tam giỏc ABC vuụng tại B và nội tiếp đường trũn (C) nờn AC là đường kớnh của 
đường trũn (C). Hay tõm  21;I  là trung điểm của AC. 0,25 
Khi đú:      2;0 , 3; 1 4;4A B C    
      3; 1 , 2;0 1;5A B C   
Vậy:  44;C  hoặc  51;C 
0,25 
8 1,0 điểm 
Theo cụng thức nhị thức Niu-tơn, ta cú: 
0 6 1 2 5 2 6 5 10 6 12
6 6 6 6 6( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
k k kP C x C x x C x x C x x C x            0.25 
Suy ra, khi khai triển P thành đa thức, 2x chỉ xuất hiện khi khai triển 0 66 ( 1)C x  và 
1 2 5
6 ( 1)C x x  . 
0.25 
Hệ số của 2x trong khai triển 0 66 ( 1)C x  là : 0 26 6.C C 
Hệ số của 2x trong khai triển 1 2 56 ( 1)C x x  là : 1 06 5.C C 
0.25 
Vỡ vậy hệ số của 2x trong khai triển P thành đa thức là : 0 26 6.C C 1 06 5.C C = 9. 0.25 
9 1,0 điểm 
Ta cú     22 1 2 2 1m x m x m x m x x          
2 4 1
1
x xm
x
    (vỡ  0;2x ) 
0.25 
Xột hàm số   2 4 1
1
x xf x
x
   trờn đoạn  0;2 , ta cú 
     
2
2
2 5 ; 0 1 6
1
x xf x f x x
x
        
0.25 
Bảng biến thiờn 
   
 
0 1; 2 1;
1 6 2 6 6
f f
f
  
    
0.25 
Vậy : bất phương trỡnh đó cho cú nghiệm thỡ      0;2min 1 6 2 6 6m f x f      . 0.25 
+_ 0
- 1
1
2 6 - 6
f(x)
f'(x)
x 2-1+ 60
Cảm ơn cụ Thu Phương ( phuongthu@yahoo.com.vn) đó gửi tới www.laisac.page.tl