Bộ đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán - Đề số 5

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 
1
( ).
1
x
y H
x



a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. 
b) Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng 2 0x y   và cắt ( )C tại 2 
điểm ,A B phân biệt sao cho tam giác IAB có diện tích 2 3 với I là giao điểm 2 tiệm cận. 
Câu 2 (1 điểm). Giải phương trình cos 2 1 tan tan tan 2sin 1.
2
x
x x x x     
 
Câu 3 (1 điểm). Tính giới hạn 
3
3 20
1 3 1 1
lim .
x
x x x
x x
   


 
Câu 4 (1 điểm). 
a) Có tất cả bao nhiêu cặp vợ chồng thực hiện việc bắt tay lẫn nhau (tất nhiên mỗi người 
không bắt tay vợ/ chồng mình) trong một buổi gặp mặt biết rằng có tất cả 40 cái bắt tay. 
b) Tìm hệ số của số hạng thứ 4 trong khai triển nhị thức Niutơn (theo thứ tự số mũ giảm dần 
của x ) của biểu thức 53
2
( )
n
x x
x
   
 
 với 0x  biết trong khai triển này, tổng các hệ số 
của số hạng thứ 2 và số hạng thứ 3 bằng hệ số của số hạng cuối cùng. 
Câu 5 (1 điểm). Trong không gian với hệ trục tọa độ ,Oxyz cho hình chóp tam giác đều 
.S ABC với (3;0;0); (0;3;0)A B và C thuộc tia .Oz Tìm tọa độ điểm S biết thể tích của khối 
chóp .S ABC bằng 9. 
Câu 6 (1 điểm). Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác đều tâm ;O hình chiếu của 
S trên mặt phẳng đáy là trung điểm của đoạn thẳng .AO Biết rằng SO a và SAB là tam 
giác vuông. Tính theo a thể tích của khối chóp .S ABC và khoảng cách từ tâm đường tròn 
ngoại tiếp tam giác SAC đến mặt phẳng .SCO 
Câu 7 (1 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ ,Oxy cho đường tròn 2 2( ) : 2 .C x y x  
Tam giác ABC vuông tại A có AC là tiếp tuyến của ( )C trong đó A là tiếp điểm, chân 
đường cao kẻ từ A là (2;0).H Tìm tọa độ đỉnh B của tam giác ABC biết B có tung độ 
dương và 
2
.
3
ABCS  
Câu 8 (1 điểm). Giải hệ phương trình 
3 32 2 4 2 3 3
4 3 2 3
2 2 1( )
1 ( 1) 1.
x y x x y y y x x
x x x x y
       

     
Câu 9 (1 điểm). Cho các số thực dương , ,a b c thay đổi thỏa mãn điều kiện 2 2 2 14.a b c   
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
2 2 22
4( ) 4 3
3 28 (7 )
5
.
( )a c a b c
a c a
a bc a b

   
    

T H Ử S Ứ C T R Ư Ớ C K Ỳ T H I 
(Đã được đăng báo Toán Học và Tuổi trẻ số 448, đề Số 1, năm 2014) 
TRẦN QUỐC LUẬT 
(GV THPT chuyên Hà Tỉnh) 
Cảm ơn thầy Trần Quốc Luật (quocluatchuyenhatinh@gmail.com) đã chia sẽ đến 
www.laisac.page.tl
Câu 2. Điều kiện cos .cos 0.
2
x
x  Khi đó phương trình đã cho tương đương với 
cos 2 sin
2sin 1 cos 2 sin 2 cos sin
cos cos
2
cos 2 cos 2
4 4 , .
6 3
x x
x x x x x
x x
x k
x x
x k k

 
 
      

                   


Đối chiếu điều kiện ta thu được nghiệm 
5
2 ; 2 ; 2 , .
6 6
x k x k x k k
 
          
Câu 3. Ta có 
3
3 20
20 23 3
1 3 (1 ) (1 1 )
lim
3 1 1
lim .
2( 1)(1 1 )( 1)( 1 3 (1 ) 1 3 (1 ) )
x
x
x x x x
x x
x
x xx x x x x


     


   
   
          

Câu 4. a) Gọi số cặp vợ chồng là ( 2).n n  Ta có số lượng cái bắt tay là 22 2 ( 1)nC n n n   
(do mỗi cách chọn 2 người trong 2n người thì ta có 1 cặp bắt tay và mỗi người không bắt tay 
vợ/ chồng mình). Ta có 2 ( 1) 40 5.n n n    
b) Ta có 
5 11
2
0
( ) ( 1) 2 .
n kn
k n k k
n
k
x C x



  Theo bài ra 1 1 2 22 ( 1) 4 ( 1) 2 .n n nn nC C     Do 2 0n  
và 2 14 2n nC C nên n chẵn. Khi đó 
*2 ( ).n k k  Thay vào được 2 4( 1) 2 .
2
kk k   Suy ra 
2 4.k n   Hệ số của số hạng thứ 4 cần tìm là 32. 
Câu 5. Ta có (0;0; )C c với 0.c  Do BC CA AB  nên 2 9 18 3c c    (do 0c  ). Gọi 
G là tâm của tam giác đều ABC ta có (1;1;1).G Phương trình đường thẳng  đi qua G và 
vuông góc với mặt phẳng ABC là 
1 1 1
.
1 1 1
x y z  
  Do .S ABC ta hình chóp đều nên 
điểm ,S  suy ra ( ; ; ).S s s s Ta có 
1
. ( ) 9 2 3 3 1.
3
SG S ABC SG s s        Do vậy 
có 2 điểm S thỏa mãn là (3;3;3); ( 1; 1; 1).S S    
Câu 6. Ta có 2 2 2 2 20 SB SA HB HA AB     nên tam giác SAB vuông tại .S Đặt 
HA HO x  ta có 2 .OB x Theo Định lý cos ta có 7; 2 3.BH x BC x  Áp dụng Định 
lý Pitago cho tam giác SAB ta có 2 2 2 2 2 2 2 27 12 .
3
a
SA SB AB a a x x x x         
Khi đó 2 3.
1 2 3 2
. . .4 .
3 4 33
S ABCV a a a  Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAC 
thì I là trung điểm của AC (do tam giác SAC vuông tại S ). Do HI OC (tính chất đường 
trung bình) nên ( ;( )) ( ;( ))I SCO I SCOd d HL  trong đó ,K L lần lượt là hình chiếu của H trên các 
đường thẳng CO và .SK Ta có ( ;( )) 2 2
3 . 22
; .
2 2 113
I SCO
a a HK HS
HK d HL a
HK HS
    

Câu 1. a) Bạn đọc tự giải. 
b) Ta có :d y x m   với 2m  và ( 1;1).I  Phương trình hoành độ giao điểm của ( )H và 
d là 2
1
(2 ) ( 1) 0 (1)
1
x
x m x m x m
x

        

 (do 1x   không thỏa mãn). 
Ta có 2 8 0;m m     nên ( )H và d luôn cắt nhau tại 2 điểm ,A B với 1 1( ; );A x x m  
2 2( ; )B x x m  trong đó 1 2,x x là 2 nghiệm của phương trình (1) thỏa mãn 1 2 2;x x m   
1 2 1.x x m  Điều kiện để tam giác IAB có diện tích bằng 2 3 là 
2 2 2
1 2
| |
( ; ). 4 3 2( ) 4 3 ( 8) 48 2
2
m
d I d AB x x m m m         (do 2.m   ) 
Câu 7. Do tam giác ABC vuông tại A có H thuộc ( )C và CA là tiếp tuyến của ( )C nên 
( ).B C Ta có 
2 2
3
ABCSAC
AB
  nên 
2
2 2
3.
BA
BH
AB AC
 

 Giả sử ( ; )B a b với 0.b  
Khi đó 
2 2
2 2
1 ( 1) 1 1 3
; .
2 23 ( 2) 3
BI a b
a b
BH a b
     
    
     
 Vậy 
1 3
; .
2 2
B
 
  
 
Câu 8. Điều kiện 3 21; 1 0.y x x    Ta có phương trình thứ nhất của hệ tương đương với 
2 23 3
3
3
3
2 3
( ) ( 1) 2( ) 1
1 1
1
0
( 1) .
x x y y x x y y
x x y y
x y
x
x y
     
     
  

 
 
Khi đó phương trình thứ hai của hệ trở thành 
4 3 2 3
4 3 2 3 2 2
4 3 2
3 2 2
3
3 2 2
1 1
1 1 0
1
( 1) 1 0
1
( 1)( 1) 0 1
(do 0).
01 1
x x x x
x x x x x x
x x x
x x x
x x x x
x
xx x x
    
        
 
      
   
     
        
Đáp số: ( ; ) (0;1); ( ; ) (1;2).x y x y  
Câu 9. Ta có 
2 2 2 2
2 2 2 2 2( ) 3 28 3 2 5 2( )( ).
1 1 1 1 1 1
2 3 6 2 3 6
a b c a b c
a c a b c a b a c
 
           
 
Mặt khác 
2 2 2 2 2
4 8 8 4 2
.
7 2 ( ) 2 2 ( ) ( )
a a a
a bc a a b c a a b c a b c a b c
   
         
Do vậy 
2
22
2 5 2 3
( ) ( )
1 1 1 1 1 1 8
5 3 .
5 5 3 3 1
( )
5( )
a b a b a b c
a
a b c
ab b c
   
  
               



Khi 3; 2; 1a b c   thì 
8
.
15
 Vậy giá trị lớn nhất của  là 8 .
15
Cảm ơn thầy Trần Quốc Luật (quocluatchuyenhatinh@gmail.com) đã chia sẽ đến 
www.laisac.page.tl