Bộ đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán - Đề số 39

SỞ GD&ĐT THANH HểA ĐỀ KSCL ễN THI THPT QUỐC GIA LẦN 1 
 Trường THPT Thiệu Húa NĂM HỌC 2014 - 2015 
 Mụn : TOAN 
 (Thời gian làm bài: 180 phỳt) 
Cõu I (4,0 ủiờm) 
 Cho hàm số ( ) ( )3 2 21 1 7 43y x m x m x= − + + − − (1) ( Với m là tham số thực). 
 1. Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ ủồ thị hàm số khi 2m = − . 
 2. Tỡm m ủể ủồ thị hàm số (1) cú hai ủiểm cực trị 1 2;x x thỏa món: 1 23x x= . 
Cõu II (3,0 ủiờm) 
 1. Giải phương trỡnh 3 4sin cos 1x x+ = 
 2. Tỡm GTLN, GTNN của hàm số ( ) 2 2lnf x x x e= + + trờn [ ]0;e 
Cõu III (2,0 ủiểm) Cho phương trỡnh 25 2 5 2log ( 1) log 0x mx m x+ −+ + + + = 
 1. Giải phương trỡnh khi 2m = − 
 2. Tỡm m ủể phương trỡnh cú nghiệm duy nhất. 
Cõu IV (2,0 ủiờm) 
1. Cho một hộp ủựng 4 viờn bi ủỏ, 5 viờn bi xang và 7 viờn bi vàng. Lấy ngẫu nhiờn một lần 
ba viờn bi. Tớnh xỏc suất ủể trong ba viờn bi lấy ủược chỉ cú hai màu. 
2. Tỡm hệ số của số hạng chứa 6x trong khai triển của: 3 52
1 n
x x
x
 
+ 
 
, biết tổng cỏc 
hệ số trong khai triển trờn bằng 4096 ( trong ủú n là số nguyờn dương và 0x > ). 
Cõu V (2,0 ủiờm) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ủỏy là tứ giỏc ABCD, cú ABD là tam giỏc 
ủều cạnh a, BCD là tam giỏc cõn tại C cú 
 0120BCD = , SA a= và ( )SA ABCD⊥ .Tớnh thể 
tớch khối chúp S.ABCD và khoảng cỏch từ ủiểm C ủến mặt phẳng (SBD). 
Cõu VI (4,0 ủiờm) 
 1. Trong mặt phẳng tọa ủộ Oxy.Cho ủường trũn ( ) 2 2: 4 6 4 0C x y x y+ − + + = .Viết phương 
 trỡnh cỏc ủường thẳng chứa cỏc cạnh của hỡnh vuụng MNPQ nội tiếp ủường trũn ( )C biết 
 ủiểm ( )2;0M . 
 2.Trong mặt phẳng tọa ủộ Oxy, cho elip ( )
2 2
: 1
16 9
x yE + = .Tỡm tọa ủộ cỏc ủiểm M trờn ( )E sao cho 
1 22MF MF= ( với 1 2,F F lần lượt là cỏc tiờu ủiểm bờn trỏi, bờn phải của ( )E ). 
Cõu VII (2,0 ủiờm) Giải hệ phương trỡnh 
( )( )
2 1
2
3 2
2.4 1 2 2log
1 1
y x x
y
x x y xy x
+ + = +

 + = + + +
, (x,y ∈R). 
Cõu VIII (1,0 ủiờm)Cho , ,a b c là ba số thực dương. Chứng minh rằng: 
2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 1
4 4 4
a b c
b c a a b b c c a
+ + +
+ + ≥ + +
+ + +
 . 
---------------- Hết---------------- 
 Thớ sinh khụng ủược sử dụng tài liệu. Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm. 
Họ và tờn thớ sinh:..........................................................Số bỏo danh:............................ 
Cảm ơn bạn Vỡ Sao Lặng Lẽ (visaolangle00@gmail.com) đó gửi tới www.laisac.page.tl
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM 
Cõu í Nội dung Điểm 
4,0 
Khảo sỏt hàm số khi 2m = − 2,0 
Khi 2m = − hàm số cú dạng: 3 21 3 4
3
y x x x= + − −
0,25 
1) Tập xỏc ủịnh: D R= 0,25 
2) Khảo sỏt sự biến thiờn: 
 a. Cỏc giới hạn: 
3 2 3 21 1lim 3 4 ; lim 3 4
3 3x x
x x x x x x
→−∞ →+∞
   
+ − − = −∞ + − − = +∞   
   
 Đồ thị hàm số khụng cú tiệm cận. 
0,5 
b.Sự biến thiờn: 2' 2 3y x x= + − , 
2 1
' 0 2 3 0
3
x
y x x
x
=
= ⇔ + − = ⇔ 
= −
 Với 171
3
x y= ⇒ = −
 ; 3 5x y= − ⇒ = 
 Bảng biến thiờn: 
x −∞
 3− 1 +∞ 
'y + 0 − 0 + 
y 
 5 +∞ 
−∞ 
17
3
− 
 Hàm số ủồng biến trờn mỗi khoảng ( ) ( ); 3 , 1;−∞ − +∞ 
 Hàm số nghịch biến trờn khoảng ( )3;1− . 
 Hàm số cú hai cực trị: ( ) 173;5 , 1;
3
 
− − 
 
 . 
0,5 
1 
2) Đồ thị: 
 Đồ thị hàm số ủi qua ( )0; 4− . 
0,5 
 2,0 
 Ta cú: ( )2 2' 2 1 7y x m x m= − + + − 
 ( ) ( )2 2' 0 2 1 7 0 1y x m x m= ⇔ − + + − = 
0,5 
I 
2 
 Để ủồ thị hàm số cú hai ủiểm cực trị thỡ phương trỡnh (1) phải cú hai nghiệm 
phõn biệt ( ) ( )2 2' 0 1 7 0 4m m m⇔ ∆ > ⇔ + − − > ⇔ > − (*) 
0,5 
f(x)=(1/3)x^3+x^2-3x-4
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
 Khi ủú ủồ thị hàm số cú hai ủiểm cực trị 1 2;x x là nghiệm của (1) nờn thỏa 
món: 
( ) ( )1 2 2
1 2
2 1
7
x x m
I
x x m
+ = +

= −
0,5 
Với 1 23x x= thế vào (I) ta ủược: 
( ) 22 2
2 2
2
4 2 1 13 7
23 7
x m m
m
x m
= + +  
⇒ = −  
 = −
2 3 2 106 31 0
3 2 10
m
m m
m
 = +
⇔ − − = ⇔ 
= −
 ( thỏa món ủiều kiện (I)). 
 Vậy 3 2 10m = ± là giỏ trị cần tỡm. 
0,5 
 3,0 
 1,5 
3 4 3 4 2 2sin cos 1 sin cos sin cosx x x x x x+ = ⇔ + = + 
3 2 4 2sin sin cos cos 0x x x x⇔ − + − = 
0,5 
 ( ) ( )2 2 2sin sin 1 cos cos 1 0x x x x⇔ − + − = 
 ( ) ( )2 2 2sin sin 1 1 sin sin 0x x x x⇔ − − − = 
0,5 
1 
( )
2
2
sin 0
sin 0
sin 1
2sin sin 2 0
sin 2 2
x x k
x
x
x kx x
x l
pi
pi
pi
 = = =  ⇔ ⇔ = ⇔   = ++ − = 
= − 
 Vậy phương trỡnh cú nghiệm: ; 2
2
x k x kpipi pi= = +
 . 
0,5 
 1,5 
 Ta cú: ( ) [ ]
2 2
1
' 0 0;f x x e
x e
= > ∀ ∈
+
0,75 
II 
2 
nờn hàm số ( ) 2 2lnf x x x e= + + ủồng biến trờn [ ]0;e , 
 suy ra: [ ] ( ) ( )0;min 0 1e f x f= = ; [ ] ( ) ( ) ( )0;max 1 ln 1 2e f x f e= = + + 
0,75 
 2,0 
 Ta cú: ( )( ) ( ) ( ) 15 2 5 2 1 5 2 5 2 −+ − = ⇒ − = + 
 Phương trỡnh ủó cho tương ủương với: 
2
5 2 5 2log ( 1) log 0x mx m x+ ++ + + − = 
 ( ) ( )22
00
1 1 0 *1
xx
x m x mx mx m x
>>  
⇔ ⇔ 
+ − + + =+ + + =  
0,5 
III 
1 Với 2m = − phương trỡnh (*) cú dạng: 
( )
2
3 13
23 1 0
3 13
2
x
x x
x loai
 +
=

− − = ⇔

−
=

 Vậy với 2m = − phương trỡnh cú một nghiệm: 3 13
2
x
+
= . 
0,75 
Để phương trỡnh ủó cho cú duy nhất nghiệm thỡ phương trỡnh (*) cú duy nhất 
một nghiệm dương, ta xột cỏc trường hợp sau: 
 Trường hợp 1: Phương trỡnh (*) cú nghiệm kộp dương 
( )2 2 3 2 30 1 4 4 0 6 3 0
3 2 310 102 2 1
mm m
m m
b mm m
a m
 = +∆ = − − − =  − − =  
⇔ ⇔ ⇔ ⇔    = −
− 
− > <
− >     <
3 2 3m⇔ = −
0,25 
 2 
Trường hợp 2: Phương trỡnh (*) cú hai nghiệm 1 2;x x thỏa món 1 20x x≤ < 
2
1 2
1 2
0 6 3 0
0 0 1 0 1
1
0 1 00 1
0 1 0
m m
x x P m m
m
S mx x m
P m
 ∆ > − − >

= − >< < < − 
<  + < 
 Vậy ( ] { }; 1 3 2 3m∈ −∞ − ∪ − là giỏ trị cần tỡm. 
(Thớ sinh cú thể giải ý này bằng hàm số) 
0,5 
 2,0 
 1,0 
 Gọi A là biến cố “ ba viờn bi lấy ủược chỉ cú hai màu” 
 Ta cú: Số phần tử của khụng gian mẫu: 316 560C = 
0,5 
1 
Số cỏch chọn ủược ba viờn bi chỉ cú một màu: 3 3 34 5 7 49C C C+ + = 
 Số cỏch chọn ủược ba viờn bi cú ủủ ba màu: 1 1 14 5 7 140C C C = 
 Vậy xỏc suất cần tỡm là: ( ) 49 140 531
560 80
P A += − = 
0,5 
 1,0 
Xột khai triển : 
5
3 5 3 2
3 3
1 1
nn
x x x x
x x
  
+ = +  
   
1 5 5 5
3 0 1 2 2 2
3 3 3
1 1 1
... ...
k nn n n k
k n
n n n nx C C x C x C x
x x x
− −           
 = + + + + +          
            
 Thay 1x = vào khai triển ta ủược: 
0 12 ... ...n k nn n n nC C C C = + + + + +  
 Theo giả thiết ta cú: 
0 1
... ... 4096k nn n n nC C C C+ + + + + = 
122 2 12n n⇔ = ⇔ = 
0,5 
IV 
2 
Với 12n = ta cú khai triển: 
12
3 5
2
1
x x
x
 
+ 
 
 Gọi số hạng thứ ( )1 0 12,k k k Z+ ≤ ≤ ∈ là số hạng chứa 6x . 
 Ta cú : ( )12 52 213 5 21 12 1221 k kk kk kkT x C x C xx
−
− +
+
 
= = 
 
 Vỡ số hạng cú chứa 6x nờn : ( )2 21 652 21 6 6
2 9
kk k
+
− + = ⇔ = = . 
 Với 6k = ta cú hệ số cần tỡm là : 612 924C = . 
0,5 
 2,0 
Gọi I là trung ủiểm của BD. Vỡ tam 
giỏc ABD ủều vàtam giỏc BCD cõn 
tại C nờn 
AI BD
CI BD
⊥
 ⊥
 Suy ra A, I, C thẳng hàng, AC BD⊥ 
 Tam giỏc ABD ủều cạnh a, suy ra 
1 3
; ;
2 2
aBD a BI a AI= = = 
 Tam giỏc BCD cõn tại C và 
 0120BCD = nờn 
 060BCI = . 
 0 0
3
;
tan 60 sin 60 32 3
BI a BI aIC BC= = = =
 *) 3 3 2 3
2 6 3
a a aAC AI IC= + = + =
0,5 
Tứ giỏc ABCD cú hai ủường chộo vuụng gúc nờn cú diện tớch: 
21 3
.
2 3ABCD
aS AC BD= =
 Suy ra thể tớch khối chúp .S ABCD là: 31 3.
3 9ABCD
V SA S a= =
 (ủvtt). 
0,5 
Tớnh khoảng cỏch 
 Gọi K là hỡnh chiếu của A trờn ủường thẳng SI, suy ra AK SI⊥ 
 Mặt khỏc 
BD AC
AK BD
BD SA
⊥
⇒ ⊥ ⊥
 nờn ( )AK SBD⊥ . 
 Vậy ( )( );d A SBD AK= 
0,5 
V 
Tam giỏc SAI vuụng tại A và cú ủường cao AK nờn: 
 2 2 2 2
1 1 1 7 21
3 7
aAK
AK AS AI a
= + = ⇒ =
 Ta cú ủường thẳng AC cắt mặt phẳng SBD tại I và 
3 2 1
6 33
IC a
IA a
= =
 . 
Suy ra: ( )( ) ( )( )1 1 21; ;3 3 21
ad C SBD d A SBD AK= = = . 
0,5 
 4,0 
 2,0 
VI 
1 
Đường trũn cú tõm ( )2; 3I − , bỏn kớnh 3R = . 
 Hỡnh vuụng MNPQ nội tiếp ủường trũn ( )C 
nờn tõm hỡnh vuụng cũng là tõm ( )2; 3I − của 
 ủường trũn, hay I là trung ủiểm của MP, suy ra 
 tọa ủộ ủiểm ( )2; 6P − 
0,5 
K
I
C
D
B
A
S
Q
P
N
M
 Gọi ( )( )2 21 ; 0n a b a b+ ≠r là vộctơ phỏp tuyến của ủường thẳng chứa cạnh 
hỡnh vuụng, 
 vỡ ( )0;6PMuuuur nờn ủương thẳng MP cú vộc tơ phỏp tuyến: ( )2 1;0n
uur
 . 
 Cỏc cạnh của hỡnh vuụng hợp với ủường chộo MP một gúc 045 . 
nờn ta cú: 
 ( ) 01 2 2 2 2 2 2cos ; cos 45 2, 1 0
a
n n
a b
= ⇔ =
+ +
ur uur
2
2 2 2 2 2
2 2
1 2
2
a ba
a a b a b
a ba b
=
⇔ = ⇔ = + ⇔ = ⇔ 
= −+ 
 Vậy cú hai vộctơ phỏp tuyến là: ( )1;1nr và ( )' 1; 1n −ur 
0,75 
 *) Cặp ủường thẳng cú vộctơ phỏp tuyến ( )1;1nr : 
 +) Đi qua ( )2;0M : 2 0x y+ − = 
 +) Đi qua ( )2; 6P − : 4 0x y+ + = 
 *) Cặp ủường thẳng cú vộctơ phỏp tuyến ( )1; 1n −r : 
 +) Đi qua ( )2;0M : 2 0x y− − = 
 +) Đi qua ( )2; 6P − : 8 0x y− − = 
 Vậy cỏc ủường thẳng chứa cỏc cạnh hỡnh vuụng MNPQ là 
2 0x y+ − = ; 4 0x y+ + = ; 2 0x y− − = ; 8 0x y− − = . 
0,75 
 2.Trong mặt phẳng tọa ủộ Oxy, cho elip ( )
2 2
: 1
16 9
x yE + = .Tỡm tọa ủộ cỏc 
ủiểm M trờn ( )E sao cho 1 22MF MF= ( với 1 2,F F lần lượt là cỏc tiờu ủiểm bờn 
trỏi, bờn phải của ( )E ). 
2,0 
2.Ta cú: 4; 3; 7a b c= = = 0,5 
Theo ủịnh nghĩa ta cú: 
1
1 2 1 2
1 2 2
2
16
2 2 3
2 3 8 8
3
MFMF MF MF MF
MF MF a MF MF

== =  
⇔ ⇔  
+ = =  
=

0,5 
1 2;
cx cxMF a MF a
a a
= + = − 
 Gọi ( );M MM x y , ỏp dụng cụng thức bỏn kớnh qua tiờu ta cú: 
 2
78 16 74
3 4 21
M M
M
cx xMF a x
a
= − ⇔ = − ⇔ = 
0,5 
2 
Mặt khỏc M thuộc ( )E nờn: 
2
2
16 7
21 3291
16 9 7
M
M
y y
 
 
  + = ⇔ = ± 
 Vậy cú hai ủiểm thỏa món: 1 2
16 7 329 16 7 329
; , ;
21 7 21 7
M M
   
−   
   
0,5 
VII 2,0 
 Điều kiện: 
2 0
0
0 0
x
x
x
y
y
≥
>
⇔ > >

0,5 
Ta cú: 
 ( ) ( )( )22 1 1 0 1 0x yx x y x y⇔ + + − − = ⇔ − − = ( Vỡ 2 1 0x yx+ + > ) 
 1y x⇔ = − (a) 
0,5 
 ( )1 ⇔ 2 1 22.4 1 2 2logy x xy
++ = + 
 ( )2 22 22 log 2 2 log 2 *y xy x⇔ + = + 
 Xột hàm số: ( ) 22 logtf t t= + trờn ( )0;+∞ 
 Ta cú: ( ) [ ]1' 2 ln 2 0 0;
ln 2
tf t t e
t
= + > ∀ ∈ ,vậy ( )f t là hàm số ủồng biến. 
 Biểu thức ( ) ( ) ( )* 2 2 2 2f y f x y x⇔ = ⇔ = (b) 
0,5 
Từ (a) và (b) ta cú: 
( ) 2 2
1 1
2 1 2
4 8 4 2 2 5 2 0
x x
x x
x x x x x
≥ ≥ 
− = ⇔ ⇔ 
− + = − + = 
1
2
1
2
x
x
x
≥

 =⇔ 
 =

 2x⇔ = 
 Với 2 1x y= ⇒ = , suy ra hệ phương trỡnh cú một nghiệm ( )2;1 . 
0,5 
 1,0 
 Ta cú: 
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1
4 4 4 4 4 4
a b cVT
b b c c a a
     
= + + + + +     
     
 2 2 2 2 2 2
1
2 2 2 2
a b c a b c
b c a b c a
 ≥ + + = + + 
 
0,25 
 Mặt khỏc: 2 2 2
1 2 1 2 1 2
; ;
a b c
b a b c b c a c a
+ ≥ + ≥ + ≥
 Cộng theo vế cỏc BĐT trờn ta ủược: 2 2 2
1 1 1a b c
b c a a b c
+ + ≥ + +
 Suy ra: 
0,25 
VIII 
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 4
VT
a b c a b b c c a
        ≥ + + = + + + + +        
        
1 4 4 4 1 1 1
4
VP
a b b c c a a b b c c a
 ≥ + + = + + = + + + + + + 
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 1a b c= = = 
0,5 
Cảm ơn bạn Vỡ Sao Lặng Lẽ (visaolangle00@gmail.com) đó gửi tới www.laisac.page.tl