Bộ đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán - Đề số 22

0 
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số. 
2 
1 
x 
y 
x 
= 
- 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C  của hàm số . 
b) Xác định  m  để đường thẳng  : 2 d y mx m = - +  cắt ( ) C  tại hai điểm phân biệt  , A B 
sao  cho độ dài  AB  ngắn nhất. 
Câu 2 (1,0 điểm). 
Giải phương trình :  sin4 2 cos3 4sin cos x x x x + = + + 
Câu 3 (1,0 điểm). 
Tính 
ln 6
0  3 3 2 7 
x 
x x 
e 
I dx 
e e 
= × 
+ + + ò 
Câu 4 (1,0 điểm). 
a)  Giải phương trình:  1 3 18.3 29 x x + - + = 
b)  Tính tổng  1 2 3 2015 2015 2015 2015 2015 1. 2. 3. 2015. S C C C C = + + + + L 
Câu 5 (1,0 điểm). 
Cho hình chóp  . S ABCD  có đáy ABCD  là hình vuông cạnh  a , hình chiếu vuông góc của  S  lên 
mặt  phẳng ( ) ABCD  trùng  với  trọng  tâm  của  tam  giác  ABD ,  cạnh SB  tạo  với  mặt  phẳng 
( ) ABCD  một góc  0 60  .Tính theo  a  thể tích khối chóp  . S ABCD  và khoảng cách giữa hai đường 
thẳng  SA  và CD . 
Câu 6 (1,0 điểm). 
Trong  mặt  phẳng  tọa  độ  Oxy  cho  đường  tròn ( )  2 2 : 9 18 0 T x y x y + - - + =  và  hai  điểm 
( ) 4;1 A ( ) , 3; 1 B -  . Gọi  , C D  là hai điểm thuộc ( ) T  sao cho ABCD  là một hình bình hành. Viết 
phương trình đường thẳng CD . 
Câu7(1,0điểm). 
Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( ) ( ) : 3 0, : 1 0 P x y z Q x y z + + - = - + - = 
Viết phương trình mặt phẳng ( ) R  vuông góc với ( ) P  và ( ) Q  đồng thời khoảng cách từ gốc tọa 
độ O đến ( ) R  bằng 2 . 
Câu 8 (1,0 điểm). 
Giải hệ  phương trình: 
3 3 2 
2 
6 3 3 4 
6 19 2 3 4 3 5 14 
x y x y x 
x y x y 
ì - + - = + ï 
í 
+ + = + + + ï î 
. 
Câu 9 (1,0 điểm). 
Cho  , , a b c  là các số thực dương  thỏa mãn  2 2 2  1 a b c + + =  . Chứng minh bất đẳng thức : 
( ) 1 1 1  2 3 a b c 
a b c 
æ ö + + - + + ³ ç ÷ 
è ø 
­­­­­­­­­­­­­Hết­­­­­­­­­­­­ 
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
Cảm ơn thầy Nguyễn Duy Liên (lientoancvp@vinhphuc.edu.vn) đã gửi tới 
www.laisac.page.tl 
SỞ GD & ĐT 
TRƯỜNG THPT 
CHUYÊN VĨNH PHÚC 
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG 
CÁC MÔN THI THPT QUỐC GIA LẦN 3­ NĂM HỌC 2014-2015 
MÔN: TOÁN ­KHỐI : 12 D 
Thời gian 180 phút (Không kể thời gian giao đề) 
Đề thi gồm 01 trang
1 
TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC. 
(Hướng dẫn chấm có 5 trang) 
HƯỚNG DẪN CHẤM KSCL LẦN 3 NĂM 2015 
Môn:TOÁN ­12D 
I. LƯU Ý CHUNG: 
­ Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm 
theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa. 
­ Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. 
­ Với bài hình học không gian nếu thí sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì không cho điểm tương 
ứng với phần đó. 
II. ĐÁP ÁN: 
Câu  Ý  Nội dung trình bày  Điểm 
a 
Cho hàm số. 
2 
1 
x 
y 
x 
= 
- 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C  của hàm số 
1,0 å 
·  Tập xác định: Hàm số 
2 
1 
x 
y 
x 
= 
- 
có tập xác định D = { } \ 1 ¡  . 
·  Chiều biến thiên. 
Đạo hàm: 
( ) 2 
2 
' 0, 1 
1 
y x 
x 
- 
= < " ¹ Þ 
- 
Hàm số nghịch biến  trên các  khoảng ( ) ;1 -¥  và 
( ) 1; . +¥  Hàm số không có cực trị. 
0,25 
Giới hạn tiệm cận : 
1 1 
2 2 2 
lim 2; lim ; lim . 
1 1 1 x  x x 
x x x 
x x x + - ®±¥ ® ® 
= = +¥ = -¥ 
- - - 
Đồ thị hàm số có: tiệm cận ngang  2 y =  ,  tiệm cận đứng  1 x = 
Bảng biến thiên: 
x  1 -¥ + ¥ 
y¢ - - 
y  2 +¥ 
-¥  2 
0,25 
0,25 
·  Đồ thị : (học sinh tự vẽ hình) 
Nhận xét: giao  điểm của hai tiệm cận ( ) 1;1 I  là tâm đối xứng. của đồ thị 
0,25 
b  Xác định m  để đường thẳng  : 2 d y mx m = - +  cắt ( ) C  tại hai điểm phân biệt  , A B  sao 
cho độ dài  AB  ngắn nhất.  1,0 å 
Phương trình hoành độ giao điểm chung giữa ( ) ( ) & C d  là :  2  2 
1 
x 
mx m 
x 
= - + 
- 
( ) ( ) 2 
1 
2 2 0 * 
x 
g x mx mx m 
¹ ì ï Û í 
= - + - = ï î 
0,25 
1 
d  cắt ( ) C  tại hai điểm phân biệt  , A B Û phương trình ( ) *  có  2  nghiệm phân biệt khác 
( ) 
( ) 
( ) 2 
0 
1 2 0 0 ** 
1 2 2 0 
m 
m m m m 
g m m m 
ì ¹ 
ï 
¢ Û D = - - > Û > í 
ï = - + - ¹ î 
Khi đó ( ) ( ) { } C d A B Ç = ¹  . Gọi ( ) ( ) 1 1 2 2 ; 2 , ; 2 A x mx m B x mx m - + - +  với  1 2 , x x  là 
0,25
2 
nghiêm phương trình ( ) *  theo định lí vi ét ta có 
1 2 
1 2 
2 
2 
. 
x x 
m 
x x 
m 
+ = ì 
ï 
í - 
= ï î 
( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 AB x x mx mx m x x Þ = - + - = + - 
( ) ( ) 2 2 2  1 2 1 2 1 4 AB m x x x x é ù Þ = + + - ë û 
0,25 
( ) ( ) 2 2 2 2 2 8 1 1 2 4 1 8 16 m AB m m m 
m m m 
é ù - æ ö æ ö = + - = + = + ³ ç ÷ ç ÷ ê ú è ø è ø ë û 
4 AB Þ ³  dấu bằng xẩy ra Û  1 m =  . 
Vậy khoảng cách  AB  ngắn nhất bằng  4 1 m Û = 
0,25 
Giải phương trình :  sin 4 2 cos3 4sin cos x x x x + = + +  1,0 å 
Phương trình  4sin cos cos 2 2 2cos 2 cos 4sin x x x x x x Û + = +  0,25 
( ) 2sin 1 cos 2 cos cos 2 cos 1 0 x x x x x Û - + - = 
( ) ( ) 
1 
sin 
2sin 1 1 cos 2 cos 0  2 
1 cos 2 cos 0 
x 
x x x 
x x 
é = ê Û - - = Û 
ê 
- = ë 
0,25 
+ ( ) 1 5 sin 2 , 2 , 
2 6 6 
x x k x k k 
p p 
= Û = + p = + p ΢ 
+ ( ) ( ) 3 2 1 cos 2 cos 0 2cos cos 1 0 cos 1 2cos 2cos 1 0 x x x x x x x - = Û - - = Û - + + = 
( ) cos 1 0 cos 1 2 , x x x k k Û - = Û = Û = p ΢ 
0,25 
2 
Vậy phương trình có ba họ nghiệm : ( ) 5 2 , 2 , 2 , 
6 6 
x k x k x k k 
p p 
= + p = + p = p ΢  0,25 
Tính 
ln6
0  3 3 2 7 
x 
x x 
e 
I dx 
e e 
= × 
+ + + 
ò 
1,0 å 
Đặt  3  x e t + =  . Khi đó  2  3 2 x x e t e dx tdt = - Þ =  . 
Đổi cận Khi  0 2 x t = Þ =  , khi  ln 6 3 x t = Þ = 
0,25 
Suy ra ( ) 
3 3 
2 2 
2 2 
2 
2 
2 3 1 3 2 3 7 
t t 
I dt dt 
t t t t 
= × = × 
+ + + - + ò ò 
0,25 
( ) ( ) 
3 3 
2 2 
1 1 
2 2 
1 2 1 1 2 1 
t 
I dt dt 
t t t t 
æ ö = × = - × ç ÷ + + + + è ø ò ò  0,25 
3 
( ) ( ) 3 3 
2 2 
80 
2 ln 1 ln 2 1 2 ln 4 2 ln 3 ln 7 ln 5 ln 
63 
t t = + - + = - - - =  0,25 
a  Giải phương trình:  1 3 18.3 29 x x + - + =  0,5 å 
PT ( ) 2 18 3.3 29 3.3 29.3 18 0 1 
3 
x x x 
x Û + = Û - + = 
Đặt ( ) 3 0 x t t = >  . Thế vào pt ( ) 1  ta được phương trình: ( ) 2 3 29 18 0 2 t t - + = 
Giải ( ) 2  2 9, 
3 
t t Þ = = 
0,25 
4  +  2 9 3 9 3 2 x t x = Þ = = Û = 
+  3 
2 2 2 
3 log 
3 3 3 
x t x = Þ = Û = 
0,25
3 
Vậy phương trình có hai nghiệm  3 
2 
2, log 
3 
x x = = 
b  Tính tổng  1 2 3 2015 2015 2015 2015 2015 1. 2. 3. 2015. S C C C C = + + + + L  0,5 å 
Số hạng tổng quát của dãy trên là  2015 
k k C ×  với  1, 2015 k =  ,  ta có 
( ) ( ) ( ) ( ) 
1 
2015 2014 
2015! 2014! 
2015 2015 , 1, 2015 
! 2015 !  1 ! 2014 1 ! 
k k k C k C k 
k k  k k 
- × = × = × = × " = 
- - - - 
0,25 
Áp dụng : ( ) 0 1 2 2014 2014 2014 2014 2014 2015 S C C C C = × + + + + L 
( ) 2014  2014 2015 1 1 2015 2 S Û = × + = × 
Chú ý . Học sinh có thể đùng đạo hàm của hàm số để tính tổng  S 
0,25 
Cho hình chóp  . S ABCD  có đáy ABCD  là hình vuông cạnh  a , . Tính theo  a  thể 
tích khối chóp  . S ABCD  và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD . 
1,0 å 
Hình vẽ ( học sinh tự vẽ ) 
Gọi  H  là trọng tâm tam giác  ABD ( ) · ( ) ( )  0 , , 60 SH ABCD SBH SB ABCD Þ ^ = = 
Gọi { } O AC BD = Ç  . Ta có 
2 2 2 1 2 5 , 
2 3 6 3 
a a a 
OA OB OH OA BH OB OH = = = = Þ = + = 
0,25 
5 
Trong tam giác  SBH ta có 
3 
0 2 
. 
15 1 15 
. tan 60 , . 
3 3 9 ABCD S ABCD ABCD 
a a 
SH BH S a V SH S = = = Þ = = 
0,25 
Xì ( ) AB CD CD SAB Þ  nên ta có 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , 3 , d CD SA d CD SAB d D SAB d H SAB = = = 
{ }  , DH AB M HM AB M Ç = Þ ^  là trung điểm  AB 
( ) ( ) ( ) AB SHM SAB SHM Þ ^ Þ ^  theo giao tuyến SM . Kẻ HK SM ^ Þ 
( ) HK SAB ^ ( ) ( ) , HK d H SAB Þ =  , (K SM Π ) 
0,25 
1 1 1 
2 
3 3 2 2 
a 
HM HA a æ ö = = = ç ÷ 
è ø 
, 
2 2 2 
15 1 1 1 
3 
a 
SH 
HK HM SH 
= Þ = + 
2 2 2 
1 9 16 15 
15 12 
a 
HK 
HK a a 
Þ = + Þ =  . 
Vây khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD  bằng 
15 
12 
a 
0,25 
Trong  mặt  phẳng  tọa  độ  Oxy  cho  đường  tròn ( )  2 2 : 9 18 0 T x y x y + - - + =    sao 
cho ABCD  là một hình bình hành. Viết phương trình đường thẳng CD . 
1,0 å 
Ta có ( ) 
2 2 
1 9 10 
: 
2 2 4 
T x x æ ö æ ö - + - = ç ÷ ç ÷ 
è ø è ø 
nên ( ) T  có tâm  1 9;
2 2 
I æ ö ç ÷ 
è ø 
bán kính 
10
2 
R =  0,25 
6 
( ) 1; 2 , 5 AB AB = - - = 
uuur 
,  và ( ) : 2 7 0 AB x y - - =  . 
Đường thẳng ( ) : 2 0 CD AB CD x y m Þ - + =  ( điều kiện  7 m ¹ -  ) 
0,25 
Khoảng cách từ  I  đến CD  là 
2 7 
2 5 
m 
h 
- 
=  và 
( ) 2 2 2  2 7 5 2 2 
2 20 
m 
CD R h 
- 
= - = - 
0,25
4 
Ta có 
( ) ( ) 
2 
2  6 2 7 5 
2 5 2 7 25 
1 2 20 
m m 
CD AB m 
m 
= - é 
= Û - = Û - = Û ê = ë 
thỏa mãn 
( ) 6 : 2 6 0 m pt CD x y · = - + = 
( ) 1 : 2 1 0 m pt CD x y · = - + = 
Có hai đường thẳng thỏa mãn :  2 6 0; 2 1 0 x y x y - + = - + = 
0,25 
cho hai mặt phẳng ( ) ( ) : 3 0, : 1 0 P x y z Q x y z + + - = - + - =  .Viết phương trình mặt 
phẳng ( ) R  vuông  góc  với ( ) P  và ( ) Q  đồng  thời  khoảng  cách  từ  gốc  tọa  độ  O  đến 
( ) R  bằng 2. 
1,0 å 
( ) ( ) : 3 0, : 1 0 P x y z Q x y z + + - = - + - = 
VTPT của mặt phẳng ( ) P  là ( ) 1  1;1;1 n = 
r 
, VTPT của mặt phẳng ( ) Q  là ( ) 2  1; 1;1 n = - 
r 
, 
VTPT của mặt phẳng ( ) R  là  n r . 
0,25 
7 
Giả thiết 
( ) ( ) 
( ) ( ) 
[ ] ( ) 1  1 2 
2 
1 
, 1;0; 1 
2 
R P  n n 
n n n 
n n R Q 
^ ì ^ ì ï Þ Þ = = - í í ^ ^ î ï î 
r r 
r r r 
r r 
Do đó mặt phẳng ( ) : 0 R x z m - + = 
0,25 
Mà ( ) ( ) ; 2 2 2 2 
2 
m 
d O R m = Û = Û = ± 
0,25 
Khi  2 2 m =  ta có mặt phẳng ( ) : 2 2 0 R x z - + = 
Khi  2 2 m = -  ta có mặt phẳng ( ) : 2 2 0 R x z - - = 
0,25 
Giải hệ  phương trình: 
( ) 
( ) 
3 3 2 
2 
6 3 3 4 1 
6 19 2 3 4 3 5 14 2 
x y x y x 
x y x y 
ì - + - = + ï 
í 
+ + = + + + ï î 
.  1,0 å 
Đkiện 
4 
3 
14 
5 
x 
y 
ì ³ - ï ï 
í 
ï ³ - 
ï î 
. 
pt ( ) 1 Û ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 
0 
1 3 1 3 1 1 1 3 0 x x y y x y x x y y 
> 
é ù 
ê ú - + - = + Û - - - + - + + = é ù ë û ê ú ë û 
14444244443 
( ) ( ) 1 0 1 3 x y y x Û - - = Û = - 
0,25 
8  Thế ( ) 3  vào ( ) 2  ta được :  2  6 13 2 3 4 3 5 9 x x x x + + = + + + ( ) 4  Đ/K  4 
3 
x ³ - 
( ) 4 ( ) ( ) ( ) 2  2 2 3 4 3 3 5 9 0 x x x x x x é ù é ù Û + + + - + + + - + = ë û ë û 
0,25 
( ) 
2 2 
2  2 3 0 
2 3 4 3 5 9 
x x x x 
x x 
x x x x 
+ + 
Û + + × + × = 
+ + + + + + 
( ) 2 
0 
2 3 
1 0 
2 3 4 3 5 9 
x x 
x x x x 
> 
é ù 
ê ú 
Û + + + = ê ú + + + + + + ê ú 
ë û 
144444424444443 
0,25
5 
( ) 
( ) 
3 
2 
3 
0 1 
0 
1 2 
x y 
x x 
x y 
é = ¾¾® = - 
Û + = Û ê 
= - ¾¾® = - ê ë 
( thỏa mãn điều kiện) 
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm ( ) ( ) ( ) { } ; 0; 1 , 1; 2 x y = - - - 
0,25 
Cho  , , a b c  là các số thực dương  thỏa mãn  2 2 2  1 a b c + + =  . Chứng minh bất đẳng thức 
( ) 1 1 1  2 3 a b c 
a b c 
æ ö + + - + + ³ ç ÷ 
è ø 
1,0 å 
Nhận xét  : ( ) 2 1 4 3 2 3 , 1 
3 
a a 
a 
- + ³ - +  với mọi  0 1 a < <  dấu bằng  khi 
3 
3 
a =  thật 
vậy ( ) ( ) ( ) 2 3 2 1 6 3 4 3 0 3 1 2 3 0 a a a a a Û - - + ³ Û - + ³  luôn  đúng  với  mọi 
0 1 a < <  dấu bằng khi 
3 
3 
a = 
0,25 
0,25 
9 
Tương tự: ( ) 2 1 4 3 2 3 , 2 
3 
b b 
b 
- + ³ - +  dấu bằng khi 
3 
3 
b = 
( ) 2 1 4 3 2 3 , 3 
3 
c c 
c 
- + ³ - +  dấu bằng khi 
3 
3 
c = 
0,25 
Từ: ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 4 3 2 3 3 
3 
a b c a b c 
a b c 
æ ö - + + + + + ³ - + + + × ç ÷ 
è ø 
( ) 1 1 1  2 3 a b c 
a b c 
æ ö Û + + - + + ³ ç ÷ 
è ø 
. Dấu bằng xẩy ra khi 
3 
3 
a b c = = = 
0,25 
Chú ý:  để tìm ra vế phải của (1) ta sử dụng phương pháp tiếp tuyến 
Cảm ơn thầy Nguyễn Duy Liên (lientoancvp@vinhphuc.edu.vn) đã gửi tới 
www.laisac.page.tl