Bộ đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán - Đề số 15

TRUNG TÂM DẠY THÊM VĂN HÓA LÊ HỒNG PHONG     
Câu 1 ​(2 điểm) : Cho hàm số y =   có đồ thị là (C). 
a)  Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
b) Viết phương trình của tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(–1; 4).  
Câu 2​ (1 điểm) Tính tích phân sau:  I =  . 
Câu 3 ​(1 điểm)  
a) Giải phương trình 3sinx + cos2x = 2. 
b) Giải bất phương trình 
. 
Câu 4​ (1 điểm) 
a) Tìm số hạng chứa x 2​ trong khai triển Niu–tơn của  , với x > 0 và  n là số nguyên 
dương thỏa  (trong đó   lần lượt là tổ hợp châp̣ k và chỉnh hợp châp̣ k của n). 
b) Trong giải cầu lông kỷ niêṃ ngày truyền thống học sinh sinh viên có 8 người tham gia trong đó có                                           
hai bạn Viêṭ và Nam. Các đôị được chia làm hai bảng A và B, mỗi bảng gồm 4 người. Giả sử viêc̣ 
chia bảng thực hiêṇ bằng cách bốc thăm ngẫu nhiên, tính xác suất để cả hai bạn Viêṭ và Nam nằm 
chung môṭ bảng đấu. 
Câu 5​ (1 điểm)   
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhâṭ ABCD có AD = 2AB, SA  ⊥​ (ABCD), SC = 2  
và góc giữa SC và (ABCD) bằng 60 0​. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và tính khoảng cách giữa 
hai đường thẳng AM và SD trong đó M là trung điểm của cạnh BC. 
Câu 6 ​(1 điểm)   
Trong không gian Oxyz cho măṭ phẳng (P): 2x + y – 2z + 1 = 0 và hai điểm A(1; –2; 3), B(3; 2; –1). 
Viết phương trình măṭ phẳng (Q) qua A, B và vuông góc (P). Tìm điểm M trên trục Ox sao cho 
khoảng cách từ M đến (Q) bằng  .  
Câu 7 ​(1 điểm)  
Trong măṭ phẳng Oxy cho hình thang ABCD có đáy lớn CD = 3AB, C(–3; –3), trung điểm của AD là                                         
M(3; 1). Tìm tọa đô ̣đỉnh B biết S BCD​ = 18, AB =   và đỉnh D có hoành đô ̣nguyên dương. 
Câu 8 ​(1 điểm) ​Giải hê ̣phương trình sau: 
. 
Câu 9 ​(1 điểm)  ​Cho x, y là các số không âm thỏa x 2​ + y​2​ = 2.  Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của: 
Đ/C: 235 Nguyễn Văn Cừ, P4, Q5, TP.HCM  (38 322 293)                                    Website: 
ttdtvh.lehongphong.edu.vn   
P =  .   
– Hết – 
Cảm ơn thầy Nguyễn Duy Hiếu (nguyenduyhieu_lhp@icloud.com) đã chia sẻ tới 
www.laisac.page.tl
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM  
Câ
u 
Ý  Nôị dung  Điểm 
1   
Cho hàm số y =   có đồ thị là (C). 
∑ = 2.0 
  a  Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.  ∑ = 1.25 
    * Tâp̣ xác định: D = R\{–1}. 
* Giới hạn, tiêṃ câṇ: 
 ​⇒​ y = 2 là tiêṃ câṇ ngang của đồ thị. 
⇒​ x = –1 là tiêṃ câṇ đứng của đồ thị. 
0.25 
* y' =   
* y' > 0, ​∀​ x ​∈​ D ​⇒​ Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định 
0.25 
    * Bảng biến thiên: 
x  –∞       –1         +∞  
y'    +         +   
y            +∞  2 
 2 
–∞     
0.25 
* Điểm đăc̣ biêṭ: (0; –1); ( ; 0); (–2; 5);  )  
* Đồ thị: 
0.5 
  b  Viết phương trình của tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(–1; 4).  ∑ = 0.75 
    (d) là tiếp tuyến của (C) tại M(x 0​; y​0​)  
⇒​ (d): y – y​0​ = y'(x​0​)(x – x​0​) 
⇒​ (d): y =  . 
0.25 
 (d) qua A ​⇔​   
⇔​ –3 + 2x​0​ – 1 = 4x​0​ + 4 ​⇔​ 2x​0​ = –8 ​⇔​ x​0​ = –4 ​⇒​ y​0​ = 3; y'(–4) =   
0.25 
Vâỵ (d): y =   =  .  
0.25 
Đ/C: 235 Nguyễn Văn Cừ, P4, Q5, TP.HCM  (38 322 293)                                    Website: 
ttdtvh.lehongphong.edu.vn   
TRUNG TÂM DẠY THÊM VĂN HÓA LÊ HỒNG PHONG     
2    Tính tích phân sau:  I =    ∑ = 1.0 
I =  . 
0.25 
* I​1​ =   =   = e – 1. 
0.25 
* I​2​ =  :  
Đăṭ  u = x  ⇒​ u' = e​x​. 
v' = e​x​, chọn v = e x​. 
⇒​ I​2​ =   =   = 1.  
0.25 
    Vâỵ I = e – 1 + 1 =  e​.  0.25 
3  a  Giải phương trình:  3sinx + cos2x = 2  (1)  ∑ = 0.5 
    ⇔​ 1 – 2sin​2​x + 3sinx = 2 ​⇔​ 2sin​2​x – 3sinx + 1 = 0   
⇔​  sinx = 1 hoăc̣ sinx =     
0.25 
* sinx = 1 ​⇔​   
* sinx =   
0.25 
  b  Giải bất phương trình:  (2)  ∑ = 0.5 
    Đăṭ t = log 3​x (x > 0).   
(1) ​⇔​   
 ​⇔​   ​⇔​   
0.25 
⇔​   ​⇔​ t ≥ 2 . 
Do đó ta được:  log 3​x ≥ 2 ​⇔​ x ≥ 9. Vâỵ nghiêṃ của bpt là  x ≥ 9​. 
0.25 
4 
a  Tìm số hạng chứa x 2​ trong khai triển Niu–tơn của  , với x > 0 và  n là 
số nguyên dương thỏa mãn  (trong đó   lần lượt là tổ hợp 
châp̣ k và chỉnh hợp châp̣ k của n) 
∑ = 0.5 
Ta có:   ​⇔​   
⇔​   ​⇔​ n – 2 + 6 = 15 ​⇔​ n = 11. 
0.25 
Đ/C: 235 Nguyễn Văn Cừ, P4, Q5, TP.HCM  (38 322 293)                                    Website: 
ttdtvh.lehongphong.edu.vn   
TRUNG TÂM DẠY THÊM VĂN HÓA LÊ HỒNG PHONG     
Khi đó    =   =  . 
Số hạng chứa x 2​  phải thỏa   ​⇔​   ​⇔​ k = 9. 
Vâỵ số hạng chứa x 2​ trong khai triển của   là  . 
0.25 
b 
Trong giải cầu lông kỷ niêṃ ngày truyền thống học sinh sinh viên có 8 người tham                                 
gia trong đó có hai bạn Viêṭ và Nam. Các đôị được chia làm hai bảng A và B, mỗi                                       
bảng gồm 4 người. Giả sử viêc̣ chia bảng thực hiêṇ bằng cách bốc thăm ngẫu nhiên,                                 
tính xác suất để cả hai bạn Viêṭ và Nam nằm chung môṭ bảng đấu. 
∑ = 0.5 
Gọi  Ω​ là không gian mẫu. Số phần tử của  Ω​  là   = 70 
Gọi C là biến cố "cả hai bạn Viêṭ và Nam nằm chung môṭ bảng đấu". Ta có: 
Số phần tử của  Ω​C​ là   = 30. 
0.25 
    Vâỵ xác suất để cả hai bạn Viêṭ và Nam nằm chung môṭ bảng đấu là  
 =   
0.25 
5 
  Cho hình chóp SABCD, đáy là hình chữ nhâṭ ABCD có AD = 2AB, SA​⊥ (ABCD),                                 
SC = 2 và góc giữa SC và (ABCD) bằng 60​0​. Tính thể tích của khối chóp                                 
S.ABCD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và SD trong đó M là trung                                 
điểm của cạnh BC. 
∑ = 1.0 
    * ​V​SABCD​: Ta có SA  ⊥​ (ABCD) ​⇒​ SC có hình chiếu trên (ABCD) là AC 
⇒​  . 
Tam giác SAC vuông tại A  
⇒​ AC = SCcos60​0​ =    
và SA = SCsin60 0​ =  . 
0.25 
    Ta có AB 2​ + AD​2​ = AC​2​ ​⇔​ 5AB​2​ = 5a​2​ ​⇔​ AB = a. 
Do đó S ABCD​ = AD.AB = 2a​2​. 
Vâỵ  . 
0.25 
    * d(AM, SD)​: 
​ Dựng hình bình hành AMDN và dựng AH  ⊥​ SN tại H. 
Ta có: 
* AM // DN ​⇒​ AM // (SDN) ​⇒​ d(AM, SD) = d(AM, (SDN)) = d(A, (SDN)). 
*  AM ​⊥​ MD nên AMDN là hình chữ nhâṭ 
⇒​ ND ​⊥​ AN mà DN  ⊥​ SA ​⇒​ DN ​⊥​ (SAN)  
⇒​ DN ​⊥​ AH  mà AH  ⊥​ SN ​⇒​ AH ​⊥​ (SDN) ​⇒​ d(A, (SDN)) = AH. 
0.25 
Ta có    
⇒​ AH =  . Vâỵ d(AM, SD) =  . 
0.25 
    Trong không gian Oxyz cho mp(P): 2x + y – 2z + 1 = 0, A(1; –2; 3) và B(3; 2; –1).  ∑ = 1.0 
Đ/C: 235 Nguyễn Văn Cừ, P4, Q5, TP.HCM  (38 322 293)                                    Website: 
ttdtvh.lehongphong.edu.vn   
TRUNG TÂM DẠY THÊM VĂN HÓA LÊ HỒNG PHONG     
6  Viết phương trình măṭ phẳng (Q) qua A, B và vuông góc (P). Tìm điểm M trên trục 
Ox sao cho khoảng cách từ M đến (Q) bằng  . 
   = (2; 4; –4) và vectơ pháp tuyến của (P) là   = (2; 1; –2). 
Gọi   là vectơ pháp tuyến của (Q). Ta có: 
 ​⇒​ Chọn   = (–4; –4; –6) = –2(2; 2; 3). 
0.25 
    Do đó (Q): 2(x – 1) + 2(y + 2) + 3(z – 3) = 0  ⇔​ 2x + 2y + 3z – 7 = 0.  0.25 
 M thuôc̣ Ox  ⇒​ M(m; 0; 0). Do đó: d(M; (Q)) =   ​⇔​    
0.25 
⇔​ |2m – 7| = 17 ​⇔​  . Vâỵ M(12; 0; 0) hoăc̣ M(–5; 0; 0). 
0.25 
7 
  Trong măṭ phẳng Oxy cho hình thang ABCD có đáy lớn CD = 3AB, C(–3; –3),                               
trung điểm của AD là M(3; 1). Tìm tọa đô đ̣ỉnh B biết S​BCD = 18, AB = và D                               
có hoành đô ̣nguyên dương. 
∑ = 1.0 
    Gọi   = (A; B) là vectơ pháp tuyến của CD 
(A​2​ + B​2​ > 0) 
⇒​ CD: A(x + 3) + B(y + 3) = 0  
⇔​ Ax + By + 3A + 3B = 0. 
0.25 
    Ta có: S BCD​ = S​ACD​ = 18  
⇒​ d(A; CD) =   ​⇒​ d(M; CD) =  
⇔​   ​⇔​    
⇔​ 25(36A​2​ + 48AB + 16B​2​) = 90(A​2​ + B​2​)  
⇔​ 810A​2​ + 1200AB + 310B​2​ = 0 ​⇔​  . 
0.25 
*  : Chọn B = –3  ⇒​ A = 1 ​⇒​ (CD): x – 3y – 6 = 0 ​⇒​ D(3d + 6; d) 
Ta có: CD 2​ = 90 ​⇔​ (3d + 9)​2​ + (d + 3)​2​ = 90 ​⇔​ (d + 3)​2​ = 9 ​⇔​ d = 0 hay d = –6 
⇒​ D(6; 0) (nhâṇ) hay D(–12; –6) (loại). Vâỵ D(6; 0)  ⇒​ A(0; 2) 
Ta có   ​⇒​ B(–3; 1). 
0.25 
*  : Chọn B = –27  ⇒​ A = 31 ​⇒​ CD: 31x – 27y + 12 = 0  
⇒​   ​⇒​   ​⇒​   (loại) 
Vâỵ  B(–3; 1)​. 
0.25 
8 
Giải hê ̣phương trình sau:   
∑ = 1.0 
Đ/C: 235 Nguyễn Văn Cừ, P4, Q5, TP.HCM  (38 322 293)                                    Website: 
ttdtvh.lehongphong.edu.vn   
TRUNG TÂM DẠY THÊM VĂN HÓA LÊ HỒNG PHONG     
     Điều kiêṇ: –2 ≤ x ≤ 2 và y ≥ 0  
(1) ​⇔​  ​⇔​   
0.25 
​  : (2) ​⇔​   (3) 
Đăṭ t =   ​⇒​  .  
Do đó:  (3)  ⇔​ 2t = t​2​ ​⇔​    
0.25 
⇔​   ​⇔​   
 ​⇔​   ​⇔​   ​⇔​  . 
Khi x =   ​⇒​ y =   và khi x = 2  ⇒​ y = 0. 
0.25 
*   ≤ 0 mà y ≥ 0  ⇒​ y = 0 và x = 2. Thử lại ta có x = 2, y = 0 là nghiêṃ. 
Vâỵ hê ̣đã cho có 2 nghiêṃ là  . 
0.25 
9    Cho x, y là các số không âm thỏa x 2​ + y​2​ = 2.  Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của: 
P =     
∑ = 1.0 
 *   ​⇒​   ​⇒​  . 
*  4  = (1​2​ + 1​2​)(x​2​ + y​2​) ≥ (x + y)​2​ ​⇒​ 2 ≥ x + y 
⇒​ 2(x​3​ + y​3​) ≥ (x + y)(x​3​ + y​3​) ≥   ​⇒​ x​3​ + y​3​ ≥ 2. 
Đăṭ t = x 3​ + y​3​. Ta có  . 
0.25 
    Ta có:  
* 2​3  = (x​2 ​ + y​2​)​3​ = x​6​ + y​6​ + 3x​2​y​2​(x​2​ + y​2​)  
= x​6​ + y​6​ + 6x​2​y​2​ = (x​3​ + y​3​)​2​ – 2x​3​y​3​ + 6x​2​y​2  
⇒​ 2x​3​y​3​ – 6x​2​y​2​ = t​2​ – 8 
* 2(x​3​ + y​3​) = (x​3​ + y​3​)(x​2​ + y​2​) = x​5​ + y​5​ + x​2​y​3​ + x​3​y​2​ = x​5​ + y​5​ + x​2​y​2​(x + y) 
⇒​ x​5​ + y​5​ + x​2​y​2​(x + y) = 2t​. 
0.25 
P  =   
=  – 4x​3​y​3​ + 12x​2​y​2​ + 5(x​5​ + y​5​) + 5x​2​y​2  
=  – 2(2x​3​y​3​ – 6x​2​y​2​)+ 5(x​5​ + y​5​) + 5x​2​y​2  
  =  –2(t​2​ – 8) + 5[x​5​ + y​5​ + x​2​y​2​(x + y)] = – 2t​2​ + 10t + 16 = f(t). 
0.25 
f '(t) = –4t + 10; f '(t) = 0 ​⇔​ t =  .  0.25 
Đ/C: 235 Nguyễn Văn Cừ, P4, Q5, TP.HCM  (38 322 293)                                    Website: 
ttdtvh.lehongphong.edu.vn   
TRUNG TÂM DẠY THÊM VĂN HÓA LÊ HỒNG PHONG     
Ta có: f(2) = 28;    và  . 
Vâỵ   và  .  
Đ/C: 235 Nguyễn Văn Cừ, P4, Q5, TP.HCM  (38 322 293)                                    Website: 
ttdtvh.lehongphong.edu.vn   
Cảm ơn thầy Nguyễn Duy Hiếu (nguyenduyhieu_lhp@icloud.com) đã chia sẻ tới 
www.laisac.page.tl