Bộ đề thi học sinh giỏi Toán 8 lần 1( gồm 16 đề)

Bệ̃ Đấ̀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 LẦN 1( Gễ̀M 16 Đấ̀)
Đấ̀ Sễ́ 1
Bài 1: (2 điểm) Phõn tớch cỏc đa thức sau thành nhõn tử:
a) 5x2 - 26x + 24	c) x2 + 6x + 5	
b) 	d) x4 + 2015x2 + 2014x + 2015
Bài 2: (1,5 điểm)
a) Chứng minh rằng biểu thức sau khụng phụ thuộc vào biến:
(6 + 7)(2 – 3) – (4 + 1)
b) Tớnh giỏ trị biểu thức P = . Biết 2 – 22 = (x + y ≠ 0, ≠ 0).
c) Tỡm số dư trong phộp chia của biểu thức cho đa thức .
Bài 3 (1,25 điểm): Cho biểu thức 
 a) Tỡm điều kiện của x, y để giỏ trị của A được xỏc định.
 b) Rỳt gọn A.
 c) Nếu x; y là cỏc số thực làm cho A xỏc định và thoả món: 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1, hóy tỡm tất cả cỏc giỏ trị nguyờn dương của A?
Bài 4 : (2 điểm) Giải cỏc phương trỡnh sau: 
a) x3 - 2x2 - 5x + 6 = 0	c) 	 
b) 	d, x2 – y2 + 2x – 4y – 10 = 0 với x,y nguyờn dương.
Bài 5 : (2,75 điểm) Cho hỡnh vuụng ABCD. Qua A vẽ hai đường thẳng vuụng gúc với nhau lần lượt cắt BC tại P và R, cắt CD tại Q và S.
a) Chứng minh AQR và APS là cỏc tam giỏc cõn.
b) QR cắt PS tại H; M, N là trung điểm của QR và PS. Chứng minh tứ giỏc AMHN là hỡnh chữ nhật.
c) Chứng minh P là trực tõm SQR.
d) Chứng minh MN là đường trung trực của AC.
e) Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng.
Bài 6 : (0,5 điểm)
a) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 13x2 + y2 + 4xy - 2y - 16x + 2015
b) Cho hai số a,b thỏa món điều điều kiện a + b = 1. Chứng minh a3 + b3+ ab 
HƯỚNG DẪN CHẤM
BÀI
NỘI DUNG
THANG ĐIỂM
Bài 1
(2 điểm)
a) 5x2 - 26x + 24 = 5x2 - 6x - 20x + 24 = x(5x - 6) - 4(5x - 6) = (5x - 6)(x - 4) 
0,5 điểm
b) = = 
0,5 điểm
c) x2 + 6x + 5 = x2 + x + 5x + 5 = x(x + 1) + 5(x + 1) =
0,5 điểm
d) x4 + 2015x2 + 2014x + 2015 = x4 + x3 + x2 – x3 – x2 – x + 2015x2 + 2015x +2015 = x2 (x2 + x + 1) – x(x2 + x + 1) + 2015(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 – x + 2015)
0,5 điểm
Bài 2
(1,5 điểm)
a) ( 6 + 7)(2 – 3) – (4 + 1) = 12x2 – 18x + 14x - 21 – 12x2 + 7x – 3x + = 
0,5 điểm
b) x2 – 2y2 = xy Û x2 – xy – 2y2 = 0 Û (x + y)(x – 2y) = 0
Vỡ x + y ≠ 0 nờn x – 2y = 0 Û x = 2y .Khi đú A = 
0,5 điểm
c) 
Đặt , biểu thức P(x) được viết lại:
Do đú khi chia cho t ta cú số dư là 2000
0,5 điểm
Bài 3
(1,25 điểm)
a) Điều kiện: x y; y0 	
0,25 điểm
b) A = 2x (x+y)	
0,5 điểm
c) Cần chỉ ra giỏ trị lớn nhất của A, từ đú tỡm được tất cả cỏc giỏ trị nguyờn dương của A	
Từ (gt): 3x2 + y2 + 2x – 2y = 12x2 + 2xy + x2 – 2xy + y2 + 2(x – y) =1 
 2x(x + y) + (x – y)2 + 2(x – y) + 1 = 2 A + (x – y + 1)2 = 2
 A = 2 – (x – y + 1)2 (do (x – y + 1) (với mọi x ; y) A 2. 
+ A = 2 khi 
+ A = 1 khi Từ đú, chỉ cần chỉ ra được một cặp giỏ trị của x và y, chẳng hạn: 
+ Vậy A chỉ cú thể cú 2 giỏ trị nguyờn dương là: A = 1; A = 2	
0,25 điểm
0,25 điểm
Bài 4
(2 điểm)
a) x3 - 2x2 - 5x + 6 = 0 x3 - x2 - x2 + x - 6x + 6 = 0 (x - 1)(x2 - x - 6) = 0 (x - 1)(x + 2)(x - 3) = 0 
0,5 điểm
b) 
0,5 điểm
c) ĐKXĐ: x ≠ -1; -4; -6; 3
Û x = 0 hoặc x = 2 (thỏa món điền kiện)
Vậy tập nghiệm của phương trỡnh: S = 
0,25 điểm
0,25 điểm
d, x2 – y2 + 2x – 4y – 10 = 0 với x,y nguyờn dương.
x2 - y2 + 2x - 4y - 10 = 0 (x2+2x+1) - (y2+4y+4) – 7 = 0
(x+1)2 - (y+2)2 = 7 (x – y - 1)(x + y + 3) = 7 Vỡ x, y nguyờn dương
Nờn x + y + 3 > x – y – 1 > 0 x + y + 3 = 7 và x – y – 1 = 1 x = 3; y = 1
Phương trỡnh cú nghiệm dương duy nhất (x , y) = (3 ; 1)
0,5 điểm
Bài 5
(2,75 điểm
Vẽ đỳng hỡnh, cõn đối đẹp.
a) a) ADQ = ABR vỡ chỳng là hai tam giỏc vuụng (2 gúc cú cạnh t.ư vuụng gúc) và DA = BD (cạnh hỡnh vuụng). Suy ra AQ=AR, nờn AQR là tam giỏc vuụng cõn. Chứng minh tương tự ta cú: ABP = ADS
do đú AP =AS vàAPS là tam giỏc cõn tại A.
b) AM và AN là đường trung tuyến của tam giỏc vuụng cõn AQR và APS nờn ANSP và AMRQ.
0,25 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,5 điểm
Mặt khỏc : = 450 nờn gúc MAN vuụng. Vậy tứ giỏc AHMN cú ba gúc vuụng, nờn nú là hỡnh chữ nhật.
c) Theo giả thiết: QARS, RCSQ nờn QA và RC là hai đờng cao của SQR. Vậy P là trực tõm của SQR.
d) Trong tam giỏc vuụng cõn AQR thỡ MA là trung điểm nờn AM =QR
MA = MC, nghĩa là M cỏch đều A và C.
Chứng minh tương tự cho tam giỏc vuụng cõn ASP và tam giỏc vuụng SCP, ta cú NA = NC, nghĩa là N cỏch đều A và C. Hay MN là trung trực của AC
e) Vỡ ABCD là hỡnh vuụng nờn B và D cũng cỏch đều A và C. Núi cỏch khỏc, bốn điểm M, N, B, D cựng cỏch đều A và C nờn chỳng phải nằm trờn đường trung trực của AC, nghĩa là chỳng thẳng hàng. 
Bài 6
(0,5 điểm
a) A = 13x2 + y2 + 4xy - 2y - 16x + 2015 = y2 + 4xy - 2y + 13x2 - 16x + 2015
 = y2 + 2y(2x - 1) + (2x -1)2 + 9x2 - 12 x + 2015 = (y + 2x - 1)2 + (3x - 2)2 + 2010 
Chứng tỏ A 2010, dấu " =" xảy ra khi và chỉ khi (x = ; y = )
Vậy min A = 2010 khi (x = ; y = ) 
0,25 điểm
b) Ta cú a3+ b3 + ab (1) a3+b3+ab -0(a+b)(a2+ b2-ab) + ab-0a2+b2-0 (vỡ a + b =1)2a2+2b2-12a2+2(1-a)2-1 (vỡ b = 1- a)
2a2+2 - 4a + 2a2 - 14(a2- a +)0 (2)
... đpcm.
0,25 điểm
Đấ̀ Sễ́ 2
Bài 1: (4,0 điểm) Phõn tớch thành nhõn tử:
a/ a2 – 7a + 12
b/ x4 + 2015x2 + 2014x + 2015
c/ x3 + y3 + z3 – 3xyz 
d/ (x2 - 8)2 + 36
Bài 2: (4,0 điểm) Tỡm x, biết:
a/ ; 	b/ ; 
c/ ; 	d/ 
Bài 3: (2,0 điểm) 
a/ Cho A = . Tỡm  để A là số nguyờn.
b/ Tỡm số tự nhiờn n để n5 + 1 chia hết cho n3 + 1
Bài 4: (2,0 điểm) 
a/ Tỡm a, b, c biết 5a - 3b - 4c = 46 và .
b/ Tỡm 2 số hữu tỉ a và b biết: a + b = ab = a : b (b0)
Bài 5: (2,0 điểm)
a/ Cho a + b + c = 1 và  = 0. Tớnh 
b/ Cho a + b + c = 2014 và .
Tớnh: S = 
Cõu 6: (3,0 điểm) Cho tam giỏc ABC cú gúc A nhỏ hơn 900. Trờn nửa mặt phẳng khụng chứa điểm C, bờ là đường thẳng AB vẽ AF vuụng gúc với AB và AF = AB. Trờn nửa mặt phẳng khụng chứa điểm B, bờ là đường thẳng AC vẽ AH vuụng gúc với AC và AH = AC. Gọi D là trung điểm của BC. Trờn tia đối của tia DA lấy điểm I sao cho DI = DA. Chứng minh rằng:
a/ AI = FH ; 	 b/ DA FH
Bài 7: (2 điểm)Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú E, F thứ tự là trung điểm của AB, CD.
a/ Chứng minh rằng cỏc đường thẳng AC, BD, EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
b/ Gọi giao điểm của AC với DE và BF theo thứ tự là M và N. Chứng minh rằng EMFN là hỡnh bỡnh hành.
Bài 8: (1 điểm) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của: 
HƯỚNG DẪN CHẤM 
Bài 1: (4 điểm)
a/ a2 – 7a + 12 = a2 – 3a – 4a + 12 
 = a(a – 3) – 4(a – 3) 
 	= (a – 3)(a – 4)
b/ x4 + 2015x2 + 2014x + 2015 = x4 + x3 + x2 + 2014x2 + 2014x + 2014 – x3 + 1	
 = x2(x2 + x + 1) + 2014(x2 + x + 1)–(x – 1)(x2 + x + 1) 
 = (x2 + x + 1)(x4 + 2014 – x + 1) 	
 = (x2 + x + 1)(x4– x + 2015) 	
c/ x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y)3 – 3xy(x + y) + z3 – 3xyz =
 = (x + y + z)3 – 3z(x + y)(x + y + z) – 3xy(x + y + z) 	
 = (x + y + z)[(x + y + z)2 – 3z(x + y) – 3xy] 	
 = (x + y + z)[x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx – 3zx – 3zy – 3xy] 
 = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) 	
d/ (x2 - 8)2 + 36 = (x2+ 6x+10)(x2 -6x +10)
Bài 2: (4 điểm)
a/ . Vậy x = -24
b/ . Vậy x = 
c/ . Xột 2 trường hợp: 
* Nếu x 5/3 ta cú: 3x - 5 = 4 3x = 9 x = 3 (t/m ĐK trờn)
* Nếu x < 5/3 ta cú: 3x-5 = - 43x = 1x = 1/3 (t/m ĐK đang xột)
Vậy x = 3 ; x = 1/3.
d/ 
Vậy x = - 2015
Bài 3: (2,0 điểm)
a/ Rỳt gọn A = 
Để A nguyờn  nguyờn 1 a = 1; a = 3
b/ n5 + 1 n3 + 1 n2 (n3 + 1) - (n2 - 1) (n3 + 1) (n + 1)(n - 1) (n3 + 1) 
 (n + 1)(n - 1) (n + 1)(n2 – n + 1) (n - 1) (n2 – n + 1) (vỡ n + 1 0)
	+ Nếu n = 1 thỡ 01
	+ Nếu n > 1 thỡ (n - 1) < n(n - 1) + 1 < n2 – n + 1 
nờn khụng thể xảy ra n - 1 n2 – n + 1 
	Vậy giỏ trị của n tỡm được là n = 1
Bài 4: (2,0 điểm) 
a/ Ta cú: 
Vỡ 5a - 3b - 4c = 46 nờn: 
Suy ra a - 1 = - 4 a = -3; 
b + 3 = - 8 b = -11; c - 5 = -12c = - 7
Vậy a = -3; b = - 11 ; c = - 7.
b/ Ta cú a + b = ab a = ab - b = b(a-1).
 Do đú: a : b = b(a - 1) = a - 1
nờn a + b = a - 1 b = -1 và a = -1(a - 1) 
a = -a + 12a = 1 a = 0,5.
Vậy a = 0,5 ; b = -1.
Bài 5: (2,0 điểm)
a/ Phõn tớch 2 giả thiết để suy ra đfcm
Phõn tớch  Phần nào cú a+b+c thỡ thay = 1
b/ Ta cú: 
a + b + c = 2014a = 2014- (b + c); 
b = 2014-(a + c); c = 2014 - (a + b)
Do đú: 
 =. 
Vậy S = - 2.
K
H
F
A
D
C
B
I
Cõu 6: (3,0 điểm)
a/ - Xột BDI và CDA cú: DB = DC (gt),
 (đối đỉnh), DA = DI (gt) 
BDI =CDA (c.g.c) 
BI = CA (2 cạnh tương ứng), 
(2 gúc tương ứng). Mặt khỏc 2 gúc này ở vị trớ so le trong nờn suy ra BI//AC.
- Xột ABI và FAH cú:
 AB=AF (gt),(cựng bự với ),
BI = AH (cựng = AC) ABI = EAH (c.g.c)
AI = FH (2 cạnh tương ứng).
b/ Gọi K là giao điểm của DA và FH ta cú:
 , mà 
hay nờn 
- Xột AFK cú 
(vỡ I, K thuộc đường thẳng AD, K thuộc EH)
Bài 7: (2 điểm)
a/
- Hỡnh vẽ: 	
- Gọi O là giao điểm hai đường chộo của hỡnh bỡnh hành ABCD, ta cú O là trung điểm của BD. 
- Chứng minh BEDF là hỡnh bỡnh hành 
- Cú O là trung điểm của BD nờn O cũng là trung điểm của EF 
- Vậy EF, BD, AC đồng quy tại O. 
b/ Xột ABD cú M là trọng tõm, nờn 
- Xột BCD cú N là trọng tõm, nờn 
- Mà OA = OC nờn OM = ON 
- Tứ giỏc EMFN cú OM = ON và OE = OF nờn là hỡnh bỡnh hành. 
Bài 8: (1 điểm)
Đặt = t
 đạt được khi t = -3
 đạt được khi = -3
x2 - 7x + 9 = 0 x = ; x = 
Đấ̀ Sễ́ 3
Bài 1 (3,5 điểm) Phõn tớch cỏc đa thức thành nhõn tử: 
1) 18x3 - 
2) a(a + 2b)3 - b(2a + b)3 
3) (x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + 1
Bài 2 (2,5 điểm) 
Cho biểu thức: A = 
1) Hóy tỡm điều kiện của x để giỏ trị của biểu thức A được xỏc định.
2) Chứng minh rằng khi giỏ trị của biểu thức được xỏc định thỡ nú khụng phụ thuộc vào giỏ trị của biến x.
Bài 3 (3,0 điểm) 
1) (1,5 điểm) Cho a, b, c đụi một khỏc nhau thoả món: ab + bc + ca = 1. 
Tớnh giỏ trị của biểu thức: A = 
2) (1,5 điểm) Cho . 
Chứng minh rằng với mọi số nguyờn dương n ta cú: xn + yn = an + bn
Bài 4 (3,0 điểm) 
1) Tỡm x:
a) 
b) (x2 – 5x + 6). = 0
2) Tỡm x, y biết: 7x2 + y2 + 4xy – 24x – 6y + 21 = 0
Bài 5 (3,0 điểm) 
1) (1,5 điểm) Tỡm dư khi chia x2015 + x1945 + x1930 - x2 - x + 1 cho x2 - 1
2) (1,5 điểm) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x2 + 3x + 4)2
Bài 6 (5,0 điểm) 
Cho hỡnh bỡnh hành ABCD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của cạnh AD, BC. Đường chộo AC cắt đường chộo BD tại O và cỏc đoạn BE, DF lần lượt tại P, Q. 
1) Chứng minh rằng: P là trọng tõm của tam giỏc ABD.
2) Chứng minh rằng: AP = PQ = QC.
3) Lấy M bất kỳ thuộc đoạn DC. Gọi I, K theo thứ tự là cỏc điểm đối xứng của M qua tõm E, F. Chứng minh rằng I, K thuộc đường thẳng AB.
4) Chứng minh: AI + AK khụng đổi khi M thuộc đường thẳng AB.
Bài
Cõu
Nội dung
Biểu điểm
1
1
18x3 - = 2x 
0,5
0,5
2
a(a + 2b)3 - b(2a + b)3
= a[(a + b) + b]3 - b[a + (a + b)]3
= a[(a + b)3 + 3(a + b)2b + 3(a + b)b2 + b3] - b[a3 + 3a2(a + b) + 
 + 3a(a + b)2 + (a + b)3
= a(a + b)3 + 3ab(a + b)2 + 3ab2(a + b) + ab3 - a3b - 3a2b(a + b) – 
 - 3ab(a + b)2 - b(a + b)3
= a(a + b)3 + 3ab2(a + b) + ab3 - a3b - 3a2b(a + b) - b(a + b)3
= (a + b)[a(a + b)2 + 3ab2 -ab(a - b) - 3a2b -b(a + b)2] 
0,5
= (a + b)(a3 + 2a2b + ab2 + 3ab2 - a2b + ab2 - 3a2b - a2b - 2ab2 - b3]
= (a + b) (a3 - 3a2b + 3ab2 - b3)
= (a + b)(a - b)3
0,5
3
Đặt A = (x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + 1
A = (x – 2)(x – 5)(x – 4)(x – 5) + 1
= (x2 – 7x + 10)(x2 – 7x + 12) + 1
= (x2 – 7x + 11 – 1)(x2 – 7x + 11 + 1) + 1
= (x2 – 7x + 11)2 – 1 + 1
= (x2 – 7x + 11)2
1,0
x2 – 7x + 11 = x2 – 2x.
= = 
Vậy A = 
0,5
2
1
a) Giỏ trị của biểu thức A được xỏc định với điều kiện: 
0,5
2
Với , ta cú:
A = 
= 
= 
= 4
1,0
Vậy khi giỏ trị của biểu thức được xỏc định thỡ nú khụng phụ thuộc vào giỏ trị của biến
0,5
3
1
Ta cú: 
 1 + a2 = ab + bc + ca + a2 = a(a + b) + c(a + b) = (a + b)(c + a)
0,5
Tương tự: 1 + b2 = (b + a)(b + c) và 1 + c2 = (c + a)(c + b)
0,5
Do đú: A = 
0,5
2
Từ x2 + y2 = a2 + b2 (x2 – a2) + (y2 – b2) = 0
 (x – a)(x + a) + (y – b)(y + b) = 0
0,25
Bởi vỡ: x + y = a + b x – a = b – y, thế vào ta cú:
(b – y)(x + a) + (y – b)(y + b) = 0
 (b – y)[(x + a) – (y + b)] = 0
0,25
0,25
Nếu b – y = 0 
0,25
Nếu x + a = y + b 
0,25
Do đú: xn + yn = bn + an = an + bn
Vậy trong mọi trường hợp, ta cú: xn + yn = an + bn
0,25
4
1.a)
 (1)
Vế trỏi luụn luụn khụng õm với mọi x nờn 4x 0 
0,25
x 0 nờn x + 1 > 0, x + 3 > 0, x + 5 > 0
0,25
Do đú: (1) x + 1 + x + 3 + x + 5 = 4x
x = 9. Vậy x = 9.
0,5
1.b)
 (x2 – 5x + 6). = 0 (1)
Điều kiện: 1 – x (*)
0,25
(1) x2 – 5x + 6 = 0 hoặc = 0
 (x – 2)(x – 3) = 0 hoặc 1 – x = 0
 x = 2 hoặc x = 3 hoặc x = 1
0,5
Cỏc giỏ trị x = 2, x = 3 khụng thỏa món điều kiện (*)
Vậy x = 1.
0,25
2
7x2 + y2 + 4xy – 24x – 6y + 21 = 0
 y2 + 4xy – 6y + 7x2 – 24x + 21 = 0
 y2 + 2y(2x – 3) + (2x – 3)2 + 3x2 – 12x + 12 = 0
 (y + 2x – 3)2 + 3(x2 – 4x + 4) = 0
 (y + 2x – 3)2 + 3(x – 2)2 = 0
0,5
 (vỡ (y + 2x – 3)2 0 và 3(x – 2)2 0)
0,5
 . Vậy x = 2; y = -1
0,5
5
1
Đặt f(x) = x2015 + x1945 + x1930 - x2 - x + 1 cho x2 – 1
Gọi thương khi chia f(x) cho x2 – 1 là Q(x), dư là ax + b.
Ta cú: f(x) = (x2 – 1).Q(x) + ax + b. 
0,25
Đẳng thức trờn đỳng với mọi x nờn:
- Với x = 1 ta được: f(1) = a + b a + b = 2 (1)
0,25
- Với x = -1 ta được: f(-1) = -a + b -a + b = 0 (2)
0,25
Từ (1) và (2) suy ra: a = 1, b = 1.
0,5
Dư phải tỡm là x + 1
0,25
2
Ta cú: A = x2 + 3x + 4 = x2 + 2x.= 
0,25
Với mọi x, ta cú: > 0
0,25
Dấu “=” xảy ra khi 
0,5
Vậy minA = 12,25 khi x = -
0,5
6
1
1
Vỡ ABCD là hỡnh bỡnh hành nờn hai đường chộo AC, BD cắt nhau tại O là trung điểm của mỗi đường.
0,5
Ta cú: AO, BE là trung tuyến của ABD
Mà: AO cắt BE tại P nờn P là trọng tõm của ABD .
0,5
2
Theo cõu 1) P là là trọng tõm của ABD 
Tương tự, ta cú: 
Do đú: PQ = AC – AP – CQ = 
Vậy AP = PQ = QC
0,5
0,5
3
Vỡ I đối xứng với M qua E nờn EI = EM
Ta cú: AE = ED, EI = EM AMDI là hỡnh bỡnh hành
 AI // MD (1)
Chứng minh tương tự, ta cú: BK // MC (2)
Từ (1), (2) và (3) suy ra I, A, B, K thẳng hàng hay I, K thuộc đường thẳng AB.
0,5
0,5
4
KMI cú E, F lần lượt là trung điểm của MI, MK
 EF là đường trung bỡnh của KMI
 KI = 2.EF
Suy ra AI + AK = IK = 2.EF (4)
BF // AE và AF = AE Tứ giỏc ABFE là hỡnh bỡnh hành
 EF = AB (5)
Từ (4) và (5) suy ra: AI + AK = 2.AB khụng đổi khi M di động trờn cạnh CD.
0,5
0,5
Đấ̀ Sễ́ 4
Cõu 1 (3,0 điểm). 
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 12x3 + 16x2 - 5x - 3 
b) (x2 - x + 1)2 - 5x(x2 - x + 1) + 4x2
Cõu 2 (3,0 điểm). 
 a) Chứng minh rằng: Nếu x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx thỡ x = y = z
 b) Cho ba số a, b, c khỏc 0 thoả món: . 
 Chứng minh rằng a = b = c.
Cõu 3 (4,0 điểm).
 Giải cỏc phương trỡnh: 
 a) = 4 (1)
 b) 
Cõu 4 (4,0 điểm).
 a) Cho x, y > 0 thoả món x + y = 2. Chứng minh rằng: 
 b) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A = , với x là số nguyờn.
Cõu 5 (6,0 điểm)
 Cho hỡnh thang ABCD (AB // CD, AB < CD). Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt BD ở E và cắt CD ở K. Qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt AC ở F và cắt CD ở I. Chứng minh rằng:
 a) DK = CI
 b) EF // CD
 c) AB2 = CD.EF
Cõu
Nội dung
Điểm
1
a) 
 12x3 + 16x2 - 5x - 3
= 12x3- 6x2 + 22x2 - 11x + 6x - 3
= 6x2(2x -1) + 11x(2x - 1) + 3(2x - 1)
= (2x - 1)(6x2 + 11x + 3) 
= (2x - 1)(6x2 + 9x + 2x + 3)
= (2x - 1)[3x(2x + 3) + (2x + 3)]
 = (2x - 1)(2x + 3)(3x + 1) 
1,5
0,25
0,5
0,25
0,5
b) 
 A = (x2 - x + 1)2 - 5x(x2 - x + 1) + 4x2
Đặt x2 - x + 1 = y, ta có 
A = 4x2 - 5xy + y2 = (4x - y)(x - y)
= (4x - x2 + x - 1)(x -x2 + x - 1) = (x2 - 5x + 1)(x2 - 2x + 1) 
= (x - 1)2(x2 - 5x + 1)
 = (x - 1)2
1,5
0,5
0,25
0,25
0,5
2
a) 
 Ta cú: x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx
 2x2 + 2y2 + 2z2 = 2xy + 2yz + 2zx
 x2 – 2xy + y2 + y2 – 2yz + z2 + z2 – 2zx + x2 = 0
 (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 = 0 (1)
 Ta cú : (x – y)2 0, (y – z)2 , (z – x)2 
 Do đú: (1) .
1,0
0,5
0,25
0,25
 b) Cú thể chứng minh một trong hai cỏch sau:
Cỏch 1. Ta cú: 
 a4c2 + b4a2 + c4b2 = abc(a2c + c2a + b2c)
 Đặt x = a2c, y = b2a, z = c2b. Ta được:
 x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx
 Áp dụng kết quả cõu a) ta được:
 (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 = 0
 x = y = z
 a2c = b2a = c2b 
 ac = b2; bc = a2; ab = c2
 a = b = c (đpcm).
Cỏch 2: Đặt x = , y = , z = . Khi đú xyz = 1.
 Từ suy ra: 
 x2 + y2 + z2 = 
 Áp dụng kết quả cõu a) ta được:
 (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 = 0
 x = y = z
 = 1
 a = b = c (đpcm).
2,0
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
3
a) 
 = 4 
 Cú thể giải bằng một trong cỏc cỏch sau:
 Cỏch 1: Ta cú:
 (1) 
 (ỏp dụng tớnh chất: ).
 Vậy phương trỡnh cú nghiệm là .
Cỏch 2: Ta cú: (1) 
 (ỏp dụng tớnh chất )
 Vậy phương trỡnh cú nghiệm là .
Cỏch 3: Ta cú: (1) 
 (ỏp dụng tớnh chất )
 Vậy phương trỡnh cú nghiệm là .
Cỏch 4: Lập bảng xột dấu:
x
 1/2 5/2 
2x – 1 
 - 0 + +
2x – 5 
 - - 0 +
- Trong khoảng x < , ta cú:
 (1) -2x + 1 – 2x + 5 = 4 
 -4x = -2 
 (khụng thuộc khoảng đang xột).
- Trong khoảng , ta cú:
 (1) 2x – 1 – 2x + 5 = 4 
 , 
 phương trỡnh nghiệm đỳng với mọi .
 - Trong khoảng x > , ta cú:
 (1) 2x – 1 + 2x – 5 = 4
 (khụng thuộc khoảng đang xột).
 Vậy phương trỡnh cú nghiệm là .
Cỏch 5: 	
 0 1 5 
 Ta cú: là khoảng cỏch từ điểm 2x đến điểm 1; 
 là khoảng cỏch từ điểm 2x đến điểm 5. 
 là tổng cỏc khoảng cỏch từ điểm 2x đến điểm 1 và điểm 5. 
 Tổng này bằng 4 khi điểm 2x ở giữa điểm 1 và 5 hoặc trựng với điểm 1, hoặc trựng với điểm 5.
 Khi đú: 
 Vậy phương trỡnh cú nghiệm là 
2,0
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0, 5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,5
b) 
 Cú thể giải bằng một trong cỏc cỏch sau:
Cỏch 1: ĐKXĐ: 
 Đặt , suy ra : ab = , 
 ta cú:
 a2 + 6b2 – 7ab = 0 
 (a – b)(a – 6b) = 0
 a = b hoặc a = 6b
 - Với a = b, ta cú: 
 (x + 3)(x + 2) = (x – 2)(x – 3)
 x2 + 5x + 6 = x2 – 5x + 6
 10x = 0 
 x = 0 (thoả món ĐKXĐ)
 - Với a = 6b, ta cú: 
 (x + 3)(x + 2) = 6(x – 2)(x – 3)
 x2 + 5x + 6 = 6x2 – 30x + 36
 5x2 - 35x + 30 = 0 
 x2 – 7x + 6 = 0
 (x – 1)(x – 6) = 0
 x = 1 (thoả món ĐKXĐ) 
 hoặc x = 6 (thoả món ĐKXĐ)
 Vậy tập nghiệm của phương trỡnh là S = 
Cỏch 2: (1)
 ĐKXĐ: 
 (1) (x + 3)2(x + 2)2 + 6(x – 3)2(x – 2)2 – 7(x2 – 9)(x2 – 4) = 0
 (x2 + 6x + 9)(x2 + 4x + 4) + (6x2 – 36x + 54)(x2 – 4x + 4) –
 - (7x2 – 63)(x2 – 4) = 0
 x4 + 4x3 + 4x2 + 6x3 + 24x2 + 24x + 9x2 + 36x + 36 + 6x4 – 
 - 24x3 + 24x2 – 36x3 + 144x2 – 144x + 54x2 – 216x + 216 -
 - 7x4 + 28x2 + 63x2 - 252 = 0
 50x3 - 350x2 + 300x = 0
 x3 – 7x2 + 6x = 0
 x(x2 – 7x + 6) = 0
 x(x – 1)(x – 6) = 0
 x = 0 hoặc x = 1 hoặc x = 6. 
 Cỏc giỏ trị trờn đều thoả món ĐKXĐ.
 Vậy tập nghiệm của phương trỡnh là S = .
2,0
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
4
a) 
 Bài toỏn phụ: Chứng minh rằng a2 + b2 (a + b)2 (1)
 Chứng minh: (1) 2a2 + 2b2 a2 + 2ab + b2
 a2 – 2ab + b2 0 (a – b)2 0
Áp dụng bài toỏn phụ (1), ta cú:
 (2)
Mà (vỡ x + y = 2)
Với x, y > 0, ta cú 
 (vỡ (x – y)2 0 (x + y)2 4xy)
 (vỡ x + y = 2)
 (3)
 Từ (2) và (3) suy ra: 
2,0
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
b) 
B = với x là số nguyờn
Xột B > 0
Xột thỡ do Z nờn 
+ Khi thỡ B = - 403
+ Khi thỡ B = - 503,75
+ Khi thỡ B = - 2015 
 Vậy min B = -2015 x = . 
2,0
0,5
0,5
 0,5
0,5
5
a) 
 Tứ giỏc ABCK cú: 
 AB // CK (AB // CD, K CD)
 AK // BC (gt)
 ABCK là hỡnh bỡnh hành
 CK = AB
 DK = CD – CK = CD – AB (1)
 Chứng minh tương tự, ta cú DI = AB
 IC = CD – DI = CD – AB (2)
 Từ (1) và (2) suy ra: DK = IC
b) 
 DEK cú AB // DK, theo hệ quả định lý Ta-let ta cú:
 (3)
 FIC cú AB // IC, theo hệ quả định lý Ta-let ta cú:
 (4)
 Mà: DK = IC (cõu a) (5)
 Từ (3), (4), (5) suy ra: 
 AKC cú EF // KC (định lý Ta-lột đảo)
 EF // CD
c) 
 Ta cú: (vỡ AB = CK) (6)
 BCD cú EK // BC, theo định lý Ta-lột ta cú:
 (7)
 BDI cú EF // DI, theo định lý Ta-let ta cú:
 Mà DI = AB
 Suy ra: (8)
 Từ (6), (7), (8) suy ra: 
 AB2 = CD. EE
2,0
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,5
2,0
0,5
0,5
0,5
0,5
2,0
0,25
0,25
0,5
0,5
0,5
.
Đấ̀ Sễ́ 5
Cõu 1 (2,0 điểm). 
 Rỳt gọn biểu thức: B = 
Cõu 2 (4,0 điểm). 
 a) Tỡm số dư trong phộp chia đa thức (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 9 cho x2 + 8x + 12.
 b) Tỡm mọi số nguyờn x sao cho x3 - 2x2 + 7x - 7 chia hết cho x2 + 3.
Cõu 3 (4,0 điểm).
 Giải cỏc phương trỡnh: 
 a) 
 b) 
Cõu 4 (4,0 điểm).
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của cỏc biểu thức 
a) A = 
b) B = 
Cõu 5 (4,0 điểm)
 Cho tam giỏc ABC cõn tại A. M