Bộ đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9

Đề 90
Bài 1: (4,0 điểm).
	Cho biểu thức . 
 a) Tỡm cỏc giỏ trị của x để .
 b) Chứng minh rằng với mọi x thoả món .
Bài 2: (5,0 điểm).
Giải cỏc phương trỡnh: 3x2 + 4x + 10 = 2
Giải hệ phương trỡnh sau:
Bài 3: (3,0 điểm).
 Cho a, b, c là cỏc số thực dương thỏa món a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
 .
Bài 4: (2,0 điểm).
Cho ABC đều điểm M nằm trong ABC sao cho AM2 = BM2 + CM2. Tớnh số đo gúc BMC ?
Bài 5: (6,0 điểm).Cho hai đường trũn (C1) và (C2) tiếp xỳc ngoài nhau tại điểm T. Hai đường trũn này nằm trong đường trũn (C3) và tiếp xỳc với (C3) tương ứng tại M và N. Tiếp tuyến chung tại T của (C1) và (C2) cắt (C3) tại P. PM cắt đường trũn (C1) tại diểm thứ hai A và MN cắt (C1) tại điểm thứ hai B. PN cắt đường trũn (C2) tại điểm thứ hai D và MN cắt (C2) tại điểm thứ hai C.
a. Chứng minh rằng tứ giỏc ABCD là tứ giỏc nội tiếp.
b. Chứng minh rằng AB, CD và PT đồng quy.
Đề 91
Bài 1: (4,0 điểm).Cho biểu thức:
a) Rỳt gọn biểu thức P
b) Tỡm giỏ trị của x để P = 1
Bài 2: (5,0 điểm).
a) Giải phương trỡnh: 
b) Tỡm nghiệm nguyờn của hệ: 
Bài 3: (2,0 điểm).
	Cho 3 số dương x,y,z thoả món điều kiện:	xy + yz + zx = 1
	Tớnh: T = 
Bài 4: (3,0 điểm).
	Cho tứ giỏc lồi ABCD, gọi M là giao điểm của AB và CD, N là giao điểm của AD và BC. Gọi E, F, và K lần lượt là trung điểm của BD, AC và MN.
a) Chứng minh cỏc điểm E, F, K thẳng hàng.
b) Tỡm tập hợp cỏc điểm I nằm trong tứ giỏc thoả món 
Bài 5: (6,0 điểm).
Cho hai đường trũn (o1) và (o2) cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến chung gần B của hai đường trũn lần lượt tiếp xỳc với (o1) và (o2) tại C và D. Qua A kẻ đường thẳng song song với CD lần lượt cắt (o1) và (o2) tại M và N. Cỏc đường thẳng BC và BD lần lượt cắt đường thẳng MN tại P và Q . Cỏc đường thẳng CM và DN cắt nhau tại E . Chứng minh rằng:
a) Đường thẳng AE vuụng gúc với đường thẳng CD 
b) Tam giỏc EPQ là tam giỏc cõn.
Đề 92
Bài 1: (4,0 điểm).Cho biểu thức :
a) Tỡm x để P cú nghĩa và chứng minh rằng P .
b) Tỡm x thoả món : 
Bài 2: (5,0 điểm).
a) Giải phương trỡnh :
b) Giải hệ phương trỡnh :
x2y – 2x + 3y2 = 0 
x2+ y2x + 2y = 0 
Bài 3: (3,0 điểm).Cho thỏa món : 
Hóy tớnh giỏ trị của biểu thức : M = + (x8 – y8)(y9 + z9)(z10 – x10) .
Bài 4: (6,0 điểm).Cho với BC=a, CA=b, AB=c (c<a, c<b) . Gọi M và N lần lượt là tiếp điểm của cạnh AC và cạnh BC với đường trũn tõm O nội tiếp . Đoạn thẳng MN cắt tia AO tại P và cắt tia BO tại Q .Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và AC .
a) Chứng minh rằng : .
b) Chứng minh rằng : Q, E, F thẳng hàng . 
Bài 5: (2,0 điểm).Cho hai tiếp tuyến AB và AC của nữa đường trũn(O) (B, C là hai tiếp điểm). Qua điểm X của cung nhỏ BC kẻ tiếp tuyến đến đường trũn này nú cắt AB và AC theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng chu vi tam giỏc AMN và gúc MON khụng phụ thuộc vào việc chọn điểm X trờn cung nhỏ BC. 
Đề 93
Bài 1: (4,0 điểm).Cho biểu thức:
	a) Rỳt gọn biểu thức P.
	b) Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của x để P nguyờn.
Bài 2: (3,0 điểm).Cho x > 0, y > 0 và x + y = 1. Chứng minh:
Bài 3: (5,0 điểm).
a) Giải phương trỡnh : 
b) Tỡm tất cả cỏc tam giỏc vuụng cú độ dài cạnh là số nguyờn và số đo diện tớch bằng số đo chu vi. 
Bài 4: (6,0 điểm).Cho DABC đều, nội tiếp trong đường trũn tõm O. D là điểm nằm trờn cung BC khụng chứa điểm A. trờn tia AD lấy điểm E sao cho AE = DC.
	a) Chứng minh DAEB = DCDB.
	b) Xỏc định vị trớ của điểm D sao cho tổng (DA + DB + DC) lớn nhất.
Bài 5: (2,0 điểm).
 Cho a, b, clà độ dài 3cạnh của DABC . Gọi m, n, k là độ dài cỏc đường 
 phõn giỏc trong của 3gúc của DABC . Chứng minh rằng :
 + + > + + 
Đề 94
Bài 1: (4,0 điểm).
Cho biểu thức: 
Rỳt gọn biểu thức .
Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của để biểu thức nhận giỏ trị nguyờn.d 
Bài 2: (3,0 điểm).
Giải hệ phương trỡnh:
Bài 3: (5,0 điểm).Giải cỏc phương trỡnh.
a) +
b) 
Bài 4: (6,0 điểm).
Cho DABC nội tiếp đường trũn tõm O. Tia phõn giỏc trong gúc A cắt (O) tại D. Một đường trũn (L) thay đổi nhưng luụn đi qua A, D cắt AB, AC tại điểm thứ hai lần lượt tại M, N.
a) CMR: BM = CN
b) Tỡm quỹ tớch trung điểm K của MN
c) Tỡm vị trớ của (L) sao cho MN ngắn nhất.
Bài 5: (2,0 điểm).Cho tứ giỏc ABCD, gọi I là giao điểm của hai đường chộo. Kớ hiệu 
a. Chứng Minh: 
b. Khi tứ giỏc ABCD là hỡnh thang thỡ hệ thức trờn xảy ra như thế nào?
Đề 95
Bài 1: (5,0 điểm).
Cho phương trỡnh : .
a) Tỡm điều kiện của x để phương trỡnh cú nghĩa .
b) Giải phương trỡnh .
Bài 2: (3,0 điểm).Giải hệ phương trỡnh:
Bài 3: (5,0 điểm).
a) Cho x, y >0 và . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: d 
b) Cho cỏc số dương a,b,c thay đổi và thoả món : a+b+c=4.
CMR: .
Bài 4: (6,0 điểm).
Cho gúc xIy . A là điểm lấy trờn đường phõn giỏc gúc trong của gúc đú , Gọi K , M lần lượt là chõn đường vuụng gúc hạ từ A đến 2 cạnh Ix , Iy của gúc xIy . Trờn KM lấy điểm P ( KP < PM ) . Qua P dựng đường thẳng vuụng gúc với AP cắt KI tại Q , MI tại S 
 a) Chứng minh rằng cỏcc tứ giỏc KPAQ và PSMA nội tiếp được trong một đường trũn . 
 b) Chứng minh : P là trung điểm của QS 
 c) Cho é KIM = 2a ; KM = a ; QS = b ( a < b ) . Tớnh KQ . 
Bài 5: (2,0 điểm).Cho tam giác ABC nhọn có 3 đường cao: AA1, BB1, CC1 đồng qui tại H.
Chứng minh rằng: . Dấu "=" xảy ra khi nào?
Đề 90
Bài 1: (4,0 điểm).
	Cho biểu thức . 
 a) Tỡm cỏc giỏ trị của x để .
 b) Chứng minh rằng với mọi x thoả món .
Bài 2: (5,0 điểm).
Giải cỏc phương trỡnh: 3x2 + 4x + 10 = 2
Giải hệ phương trỡnh sau:
Bài 3: (3,0 điểm).
 Cho a, b, c là cỏc số thực dương thỏa món a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
 .
Bài 4: (2,0 điểm).
Cho ABC đều điểm M nằm trong ABC sao cho AM2 = BM2 + CM2. Tớnh số đo gúc BMC ?
Bài 5: (6,0 điểm).Cho hai đường trũn (C1) và (C2) tiếp xỳc ngoài nhau tại điểm T. Hai đường trũn này nằm trong đường trũn (C3) và tiếp xỳc với (C3) tương ứng tại M và N. Tiếp tuyến chung tại T của (C1) và (C2) cắt (C3) tại P. PM cắt đường trũn (C1) tại diểm thứ hai A và MN cắt (C1) tại điểm thứ hai B. PN cắt đường trũn (C2) tại điểm thứ hai D và MN cắt (C2) tại điểm thứ hai C.
a. Chứng minh rằng tứ giỏc ABCD là tứ giỏc nội tiếp.
b. Chứng minh rằng AB, CD và PT đồng quy.
HDẫn:
1.a) 
Ta cú . Từ đú giải được
b)Ta cú: 
Do nờn . Vậy 
2) Giải, xỏc định đỳng điều kiện: 
= 0
(Thỏa món)
3) Ta cú với x, y > 0 thỡ: ( x+y)2 dấu bằng xảy ra khi x = y.
Áp dụng bất đẳng thức (*) và do a+b+c = 1 nờn ta cú: 
Tương tự ta cú: 
. Dấu bằng xảy ra 
+ Hiển nhiờn hệ cú nghiệm là x = y = z = 0.	
+ Với xyz 0 thỡ (I) được viết lại: (II) Cộng ba phương trỡnh của hệ (II) theo vế ta được:
	 (*)	
Trừ phương trỡnh (*) cho từng phương trỡnh của hệ (II) theo vế ta lần lượt cú : x = 1, y = 2, z = 3. Vậy hệ phương trỡnh cú hai nghiệm (0; 0; 0) và (1; 2; 3).
4. ờBCN = ờACM => BN = AM
Vẽ tam giỏc đều CMN 	
mà
 vuụng tại M.
. (1 điểm)
5.
ã
E
N
M
B
C
O1
O3
O2
D
P
A
T
a. Gọi O1, O2, O3 tương ứng là tõm cỏc 
đường trũn (C1), (C2), (C3) ta cú M, O1, O3
 thẳng hàng => BO1 // NO3
 = > . Tương tự: 
=> => AB//NP
Tương tự CD// PM => AEDP là hỡnh bỡnh hành 
(với E = AB ầ CD). Do DPAT ~ DPTM 
=> PT2 = PA.PM tương tự PT2 = PD.PN
Vậy PA. PM = PD.DN => 
=>D EBC ~ D EDA => EBC = EDA => EDA + CBA = 1800 
=> ABCD nội tiếp.
b. Nối E O2 cắt (C2) tại C' và D' = >DECC' ~ D ED'D 
=> ED.EC = ED'.EC' => EC.ED = (EO2 - R2)(EO2+R2) 
=> EC.ED = EO22 - O2T2.
Tương tự EB.EA = EO12 - O1T2
Mà 
Hạ ET' ^ 0102 theo định lý Pitago ta cú:
EO12 - EO22 = (O1T' 2 + T' E2) - (02T' 2 + T' E2) = O1T' 2 - O2T' 2.
=> O1T 2 - O2T 2 = 01T' 2 - 02T' 2 vỡ O1T + O2T = 0102 = O1T' + O2T'
=> O1T = O1T => T º T' tức PI đi qua E . 
Đề 91
Bài 1: (4,0 điểm).Cho biểu thức:
a) Rỳt gọn biểu thức P
b) Tỡm giỏ trị của x để P = 1
Bài 2: (5,0 điểm).
a) Giải phương trỡnh: 
b) Tỡm nghiệm nguyờn của hệ: 
Bài 3: (2,0 điểm).
	Cho 3 số dương x,y,z thoả món điều kiện:	xy + yz + zx = 1
	Tớnh: T = 
Bài 4: (3,0 điểm).
	Cho tứ giỏc lồi ABCD, gọi M là giao điểm của AB và CD, N là giao điểm của AD và BC. Gọi E, F, và K lần lượt là trung điểm của BD, AC và MN.
a) Chứng minh cỏc điểm E, F, K thẳng hàng.
b) Tỡm tập hợp cỏc điểm I nằm trong tứ giỏc thoả món 
Bài 5: (6,0 điểm).
Cho hai đường trũn (o1) và (o2) cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến chung gần B của hai đường trũn lần lượt tiếp xỳc với (o1) và (o2) tại C và D. Qua A kẻ đường thẳng song song với CD lần lượt cắt (o1) và (o2) tại M và N. Cỏc đường thẳng BC và BD lần lượt cắt đường thẳng MN tại P và Q . Cỏc đường thẳng CM và DN cắt nhau tại E . Chứng minh rằng:
a) Đường thẳng AE vuụng gúc với đường thẳng CD 
b) Tam giỏc EPQ là tam giỏc cõn.
1. đk 
Ta cú: 
= == . Vậy P = 
Ta thấy P = 1 . Vậy với x = 25 thỡ P = 1
2. a. ĐK: x -1 và PT
 . Giải Pt x = 8 (t/m x -1). KL: x = 8
b. 	Hệ Û
	Đặt ịx, y là nghiệm của phương trỡnh: 	t2 - ut + v = 0 (a)
	Phương trỡnh cú nghiệm Û u2 – 4v ³ 0	(*)	
	Ta cú hệ: 	
	Thế (1) vào (2) ị v = 8 – z(5 - z) = z2 –5z + 8 
	Hệ cú nghiệm Û (a) cú nghiệm Û (*) xảy ra
	ị (5-z)2 – 4(z2 – 5z + 8) ³ 0 Û - 3z2 + 10z – 7 ³ 0	
	Û (z-1)(-3z+7) ³ 0	
	Từ (3) và do z nguyờn ị z = 1; 2	
	+) +)
	Vậy hệ cú 3 nghiệm nguyờn là: (2; 2; 1); (1; 2; 2);	(2; 1; 2)	
3. Ta cú 	 	1+x2 = xy + yz + z	= y(x+z)+x(x+z)
	 	=(x+z)(z+y)	
Tương tự ta cú:	1+y2 =(y+x)(y+z)
	1+z2 =(z+x)(z+y)	
T==
	=x(y+z)+y(x+z)+z(x+y)	=2(xy+yz+zx)=2. Vậy T= 2	
4.a) 
	+ Trờn tia MA đặt MG = AB, trờn tia MD đặt 
MH = CD. Nối GH	
+ Chứng minh được: 
Suy ra khoảng cỏch từ E; F; K đến đường thẳng GH bằng nhau nờn E; F; K cựng nằm trờn một đường thẳng. Vậy E, F,K thẳng hàng (đfcm)	
b) + Lấy điểm I bất kỳ nằm trong tứ giỏc ABCD, chứng minh được:
	I nằm trờn đường thẳng EF	
+ Lấy điểm I’ bất kỳ trờn đường thẳng EF nằm trong tứ giỏc ABCD, chứng minh được 	
 Vậy tập hợp cỏc điểm I là phần đường thẳng EF nằm trong tứ giỏc ABCD	
5.
Do MN // CD nờn EDC = ENA 
Mặt khỏc CDA= DNA ( Cựng chắn cung DA)
-> EDC= CDA hay DC là phõn giỏc gúc ADE.
 Lõp luận tương tự -> CD cũng là phõn giỏc gúc ACE
-> A và E đối xứng nhau qua CD-> AE ^ CD
Do PQ song song với CD nờn AE ^ PQ ( *)
Gọi I là giao điểm của AB và CD . Ta cú AID đồng dạng với DIB 
( Do chung BID và IAD = IDB (cựng chắn cung BD)).
-> = -> ID 2 = IA.IB. (1)
Lập luõn tương tự -> IC2 = IA.IB (2)
Từ (1) và (2) -> IC = ID
Mà = ( cựng bằng ) => AP = AQ
Kết hợp với (*) -> EPQ cõn tại E
Đề 92
Bài 1: (4,0 điểm).Cho biểu thức :
a) Tỡm x để P cú nghĩa và chứng minh rằng P .
b) Tỡm x thoả món : 
Bài 2: (5,0 điểm).
a) Giải phương trỡnh :
b) Giải hệ phương trỡnh :
x2y – 2x + 3y2 = 0 
x2+ y2x + 2y = 0 
Bài 3: (3,0 điểm).Cho thỏa món : 
Hóy tớnh giỏ trị của biểu thức : M = + (x8 – y8)(y9 + z9)(z10 – x10) .
Bài 4: (6,0 điểm).Cho với BC=a, CA=b, AB=c (c<a, c<b) . Gọi M và N lần lượt là tiếp điểm của cạnh AC và cạnh BC với đường trũn tõm O nội tiếp . Đoạn thẳng MN cắt tia AO tại P và cắt tia BO tại Q .Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và AC .
a) Chứng minh rằng : .
b) Chứng minh rằng : Q, E, F thẳng hàng . 
Bài 5: (2,0 điểm).Cho hai tiếp tuyến AB và AC của nữa đường trũn(O) (B, C là hai tiếp điểm). Qua điểm X của cung nhỏ BC kẻ tiếp tuyến đến đường trũn này nú cắt AB và AC theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng chu vi tam giỏc AMN và gúc MON khụng phụ thuộc vào việc chọn điểm X trờn cung nhỏ BC. 
1. a) Điều kiện x>0 Ta cú : 
P= P-1=	Vậy 	
b) 43x + 6 -1 = 0	
(thỏa món) 	
(loại) 	
 (thoó món điều kiện x>0) .	
2. a. ĐK : 	
 	 (thỏa món) 	
b. Giải hệ phương trỡnh :	 
Nếu y=0 x=0 Vậy x=0, y=0 là nghiệm của hệ phương trỡnh . 
Với y0 hệ đó cho trở thành x2y – 2x + 3y2 = 0 
(1)
 	 	x2y+ y3x + 2y2 = 0 	
(2)
 	Nhận thấy khụng thoả món hệ phương trỡnh .
Xột từ (1) thay vào (2) ta cú :
 . Vậy hệ cú 3 nghiệm (0;0) (1;-1) (-2;) .	
3. Từ : =>=> 
Ta cú : x8 – y8 = (x + y)(x-y)(x2+y2)(x4 + y4).= 
 y9 + z9 = (y + z)(y8 – y7z + y6z2 - .......... + z8)
 z10- x10 = (z + x)(z4 – z3x + z2x2 – zx3 + x4)(z5 - x5)
Vậy M = + (x + y) (y + z) (z + x).A = 
O
M
F
C
N
B
E
A
P
Q
4.
Ta cú : BOP là gúc ngoài BOP= OAB + OBA = (BAC + ABC)
Lại cú : PNB=1800 – MNC =1800 - 
 BOP+PNP=1800 tứ giỏc BOPN nội tiếp 
 OPM = OBC (cựng bự OPN ) 
Mặt khỏc : OMP = OCN 	 OPM OBC (g.g)
 (1)	
Tơng tự ta cú :ONQ OCA (g.g) 
AOB QOP (g.g) ‚	Từ (1) , (2) hay :	
b. Tứ giỏc AMQO nội tiếp (CM trờn)
 AQO=AMO = 900 ABQ vuụng tại Q cú QE là trung tuyến 
 EQB= EBQ=CBQ	EQ//BC	mà EF//BC E, Q, F thẳng hàng .	
5. Ta cú chu vi AMN = AM + AN + MN = AM + AN + MX + XN 
Mà MB = MX(định lớ hai tiếp tuyến cắt nhau)
Và XN = NC (định lớ hai tiếp tuyến cắt nhau)
Vậy chu vi AMN = AM + AN + MB + NC = AB + AC(khụng đổi) 
Ta cú (khụng đổi)
Tia OX ở giữa hai tia OM, ON nờn 
Ta lại cú (định lớ hai tiếp tuyến cắt nhau)
Vậy 
 (khụng đổi)
Đề 95
Bài 1: (5,0 điểm).
Cho phương trỡnh : .
a) Tỡm điều kiện của x để phương trỡnh cú nghĩa .
b) Giải phương trỡnh .
Bài 2: (3,0 điểm).Giải hệ phương trỡnh:
Bài 3: (5,0 điểm).
a) Cho x, y >0 và . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: d 
b) Cho cỏc số dương a,b,c thay đổi và thoả món : a+b+c=4.
CMR: .
Bài 4: (6,0 điểm).
Cho gúc xIy . A là điểm lấy trờn đường phõn giỏc gúc trong của gúc đú , Gọi K , M lần lượt là chõn đường vuụng gúc hạ từ A đến 2 cạnh Ix , Iy của gúc xIy . Trờn KM lấy điểm P ( KP < PM ) . Qua P dựng đường thẳng vuụng gúc với AP cắt KI tại Q , MI tại S 
 a) Chứng minh rằng cỏcc tứ giỏc KPAQ và PSMA nội tiếp được trong một đường trũn . 
 b) Chứng minh : P là trung điểm của QS 
 c) Cho é KIM = 2a ; KM = a ; QS = b ( a < b ) . Tớnh KQ . 
Bài 5: (2,0 điểm).Cho tam giác ABC nhọn có 3 đường cao: AA1, BB1, CC1 đồng qui tại H.
Chứng minh rằng: . Dấu "=" xảy ra khi nào?
1. a) điều kiện : 
Đặt = a ; = b ( a ; b 0) .
Vỡ ab + 4 > 0 nờn :
2. Ta cú: 
Sảy ra cỏc trườngg hợp:
 Trường hợp a: hoặc
 Trường hợp b: hệ vụ nghiệm
 Vậy nghiệm của hệ là:
3.a.Vi ; Ta cú: (Bdt Cụ si) 
Áp dụng BéT (*) v i a = ; b = 2xy ; ta cú: 
 (1)
Mặt khỏc : (2)
[Vỡ x, y >0 và ] khi 
b.*Do a,b,c >0 và từ gt ta cú : (1) 
*Hoàn toàn tương tự ta cũng cú: (2) (3) 
*Cộng vế với vế của (1),(2) và (3) ta cú:
 Hay ị đpcm 
4.ã Theo giả thiết é AKQ = é APQ = 900 , nờn tứ giỏc 
KPAQ nội tiếp trong đường trũn đường kớnh AQ .
 Cũng theo giả thiết é AMS = é APS = 900 
nờn tứ giỏc PSMA nội tiếp đường trũn đường kớnh AS . (ĐPCM)
b) Trong tứ giỏc nội tiếp KPAQ ta cú é K1 = é Q1 (cựng chắn cung AP) .
Trong tứ giỏc nội tiếp PSMA ta cú é S1 = é M1 (cựng chắn cung AP) .
 Mà A nằm trờn phõn giỏc của é xIy nờn AK = AM ị é K1 = é M1 . 
Vậy é Q1 = é S1 hay D AQS cõn tại A cú AP là đường cao nờn AP là trung tuyến ị P là trg điểmQS 
c) Do AK ^ Ix ; AM ^ Iy và A nằm trờn phõn giỏc của gúc xIy nờn é I1=éI2=a và DAKI = D AMI 
ị IK = IM ; AK = AM ị AI là trung trực của KM .
Gọi H = AI ầ KM ị H là trung điểm của KM và IA ^ KM tại H .
 Trong tam giỏc vuụng AIK ta cú é I1 = é K1 (cựng phụ với é IAK) nờn é K1 = é Q1 = a . 
 Trong tam giỏc vuụng AHK cú : KH = KM/2 = a/2 ; éK1 =a nờn .
 Trong tam giỏc vuụng APQ cú : QP = QS/2 = b/2 ; é Q1 = a nờn . 
 Trong tam giỏc vuụng AKQ cú : nờn = 
5. Do tam giác ABC nhọn, nên H nằm trong tam giác. A
* Đặt S = SDABC; S1 = SHBC; S2 = SHAC; S3 = SHAB. 
Ta có: 
Tương tự: 
Suy ra: 
Theo bất đẳng thức Côsy: 
Dấu "=" xảy ra khi tam giỏc ABC đều
Đề 93
Bài 1: (4,0 điểm).Cho biểu thức:
	a) Rỳt gọn biểu thức P.
	b) Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của x để P nguyờn.
Bài 2: (3,0 điểm).Cho x > 0, y > 0 và x + y = 1. Chứng minh:
Bài 3: (5,0 điểm).
a) Giải phương trỡnh : 
b) Tỡm tất cả cỏc tam giỏc vuụng cú độ dài cạnh là số nguyờn và số đo diện tớch bằng số đo chu vi. 
Bài 4: (6,0 điểm).Cho DABC đều, nội tiếp trong đường trũn tõm O. D là điểm nằm trờn cung BC khụng chứa điểm A. trờn tia AD lấy điểm E sao cho AE = DC.
	a) Chứng minh DAEB = DCDB.
	b) Xỏc định vị trớ của điểm D sao cho tổng (DA + DB + DC) lớn nhất.
Bài 5: (2,0 điểm).
 Cho a, b, clà độ dài 3cạnh của DABC . Gọi m, n, k là độ dài cỏc đường 
 phõn giỏc trong của 3gúc của DABC . Chứng minh rằng :
 + + > + + 
1. Điều kiện để P cú nghĩa: .
 Ta cú: 
Theo cõu a ta cú: . Do đú để P ẻ Z thỡ ta cần ẻ Z Û 
Û x = 1.Vậy với x = 1 thỡ P cú giỏ trị nguyờn.
2. Ta cú: x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 
= [(x + y)2 – 2xy]2 – 2x2y2 = (1 – 2xy)2 – 2x2y2= 2x2y2 – 4xy + 1.
 Vỡ x > 0 và y > 0 nờn theo BĐT Cụsi ta cú:
. Dấu bằng xảy ra khi .
3. a. ĐKXĐ: - x 
Đặt a = ; b = ( a, b 0 ). Ta được hệ pt : 	
Giải hệ pt ta được : a = 4 ; b = 1. Suy ra : x1 = 3 ; x2 = -3
b. Gọi a, b, c là số đo 3 cạnh của tam giỏc vuụng cần tỡm. Giả sử 1.
Ta cú hệ phương trỡnh : 
Từ (1) c2 = (a + b)2 − 2ab c2 = (a + b)2 − 4(a + b + c) (theo (2))
(a + b)2 − 4(a + b) = c2 + 4c(a + b)2 − 4(a + b) + 4 = c2 + 4c + 4.
(a + b − 2)2 = (c + 2)2 a + b − 2 = c + 2 (do a + b 2)c = a + b − 4.
Thay vào (2) ta được: ab = 2(a + b + a + b − 4)
ab −4a−4b + 8 = 0 b(a −4) −4(a−4) = 8 (a −4)(b−4) = 8
Phõn tớch 8 = 1.8 = 2.4 nờn ta cú:
Từ đú ta cú 2 tam giỏc vuụng cú cỏc cạnh (5 ; 12 ; 13) và (6 ; 8 ; 10) thỏa món yờu cầu của bài toỏn.
4.Vỡ DABC đều nờn AB = CB (1).
Theo giả thiết ta cú AE = CD (2).
 Ta lại cú (cựng chắn
cung AD) (3).
 Từ (1), (2) và (3) suy ra: DABE = DCBD.
Theo cõu a ta cú: DABE = DCBD
ị BE = BD ị DBED cõn.
 Mặt khỏc ta lại cú: (cựng chắn cung AB)
ị DBED đều ị BD = ED.
 Vậy ta cú: DA + DB + DC = DA + ED + AE = 2DA
 Vỡ điểm D thuộc cung BC khụng chứa A nờn suy ra tổng (DA + DB + DC) lớn nhất khi DA là đờng kớnh của đờng trũn (O), hay D là điểm chớnh giữa của cung BC nhỏ.
5.
 Qua điểm C vẽ đường thẳng song song AD cắt AB tại M 
 ị A1 = M1 ; A2 = C1 
 Mà A1 = A2 ( AD là tia phõn giỏc của gúc A )
 Nờn M1 = C1 ị AM = AC
 Xột DAMC : MC < AM + AC = 2AM
 Xột DBMC ta cú : AD // MC ị = = 
 Nờn AD = ( + )
 Û > ( + )
 Tương tự : > ( + ) ; > ( + )
 Vậy + + > + + 
Đề 94
Bài 1: (4,0 điểm).
Cho biểu thức: 
Rỳt gọn biểu thức .
Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của để biểu thức nhận giỏ trị nguyờn.d 
Bài 2: (3,0 điểm).
Giải hệ phương trỡnh:
Bài 3: (5,0 điểm).Giải cỏc phương trỡnh.
a) +
b) 
Bài 4: (6,0 điểm).
Cho DABC nội tiếp đường trũn tõm O. Tia phõn giỏc trong gúc A cắt (O) tại D. Một đường trũn (L) thay đổi nhưng luụn đi qua A, D cắt AB, AC tại điểm thứ hai lần lượt tại M, N.
a) CMR: BM = CN
b) Tỡm quỹ tớch trung điểm K của MN
c) Tỡm vị trớ của (L) sao cho MN ngắn nhất.
Bài 5: (2,0 điểm).Cho tứ giỏc ABCD, gọi I là giao điểm của hai đường chộo. Kớ hiệu 
a. Chứng Minh: 
b. Khi tứ giỏc ABCD là hỡnh thang thỡ hệ thức trờn xảy ra như thế nào?
1. Ta cú: , nờn điều kiện để A cú nghĩa là 
. 
. ()
Với là số nguyờn khụng õm, để A là số nguyờn thỡ (vỡ và ). Khi đú: 
2.a) (1)
Giải hệ (1) ta được: 
Giải cỏc hệ phương trỡnh tớch, tổng: và ta cú cỏc nghiệm của hệ phương trỡnh đó cho là: 
3. a)	x2 + 4x + 3 = ( x + 1)( x+ 3)
	x2 + 8x + 15 = ( x +3)(x+5)
	x2 + 12x + 35 = ( x +5)( x + 7)
	x2 + 16x + 63 = ( x + 7)( x + 9)
ị ĐKXĐ : x ạ -1; x ạ -3; x ạ -5; x ạ -7; x ạ -9 	
pt Û 
Û Û 
	ị 5( x + 9 - x -1) = 2( x+1)( x+9)Û 2x2 + 20x + 18 - 40 = 0Û x2 + 10x - 11 = 0
Phương trỡnh cú dạng a + b + c = 0 ị x1 = 1; x2 = -11 x1; x2 thỏa món ĐKXĐ.
	Vậy tập nghiệm của phương trỡnh là : S = 
b) ĐKXĐ: x ³ -2. ( 0,5 điểm)
Pt Û | + | -3| = 1
| + | 3 - | = 1
ỏp dụng BĐT |A|+ |B| ³| A + B| ta cú : | + | 3 - | ³ 1
Dấu "=" xảy ra khi : ()( 3 - ) ³ 0 Û 2 Ê Ê 3 	Û 2Ê x Ê 7
Vậy tập nghiệm của phương trỡnh là : S = 
4.a) Xột DBMD và DCND:
+. BD=CD (vỡ AD là phõn giỏc gúc A) +. sđ cung AD
A1+D1=sđ cung AB +sđ cung BD =sđ cung AD 
=. Trong (L), vỡ A1 = A2 DM = DN
 BMD = CND BM = CN.
b). Gọi I là trung điểm BC I cố định
Vẽ hỡnh bỡnh hành: IBMM’, ICNN’ MM’NN’ là hỡnh bỡnh hành.
 K là trung điểm M’N’
Vỡ IM’ = BM = CN = IN’ IM’=IN’ IK là phõn giỏc của M’IN’
Do IM’, IN’ cố định. Vậy: Quỹ tớch K là đờng phõn giỏc M’IN’
c) DMN cõntại D cú MDN = 1800 -BAC = Const
MN ngắn nhất DM nhỏ nhấtDMAB khi AD là đờng kớnh của (L).
5. a. Gọi S1= SAIB ; S2 = S CID ; S3 = S BIC ; S 4 = S AID
 Kẻ 
 Ta cú: 
Từ (1) và (2) suy ra: 
 Ta cú: S ABCD = S1 + S2 + S3 + S4 
 Từ (3) và (4) ta suy ra: 
 (đpcm)
b. Khi