Bộ đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2012-2013

 UBND TỈNH KON TUM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2012-2013
	 	Môn: Toán
ĐỀ CHÍNH THỨC
 Ngày thi: 16/3/2013
 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
 (Đề thi có 1 trang, gồm 5 câu)
	 ĐỀ: 
Câu 1: (5,0 điểm)
	Cho biểu thức 
Rút gọn biểu thức P.
Tìm các giá trị của sao cho . 	
Câu 2: (5,0 điểm)
Giải phương trình: 
Chứng minh rằng nếu ba số thỏa mãn hệ phương trình thì có ít nhất một trong ba số phải bằng 2.
Câu 3: (4,0 điểm)
	Trên cùng một mặt phẳng tọa độ cho hai đường thẳng (d) và (D) lần lượt có phương trình là và (m là tham số).
Chứng minh rằng đường thẳng (D) luôn luôn đi qua một điểm cố định thuộc đường thẳng với mọi giá trị của .
Tìm giá trị của để gốc tọa độ cách đường thẳng (D) một khoảng lớn nhất. 	
Câu 4: (4,0 điểm)
	Cho đường tròn (O; R) và hai đường kính phân biệt AB và CD sao cho tiếp tuyến tại A của đường tròn (O; R) cắt các đường thẳng BC và BD lần lượt tại hai điểm E và F. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AE và AF.
	a) Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác BPQ là trung điểm của đoạn thẳng OA. 
b) Hai đường kính AB và CD có vị trí tương đối như thế nào thì tam giác BPQ có diện tích nhỏ nhất.
Câu 5: (2,0 điểm) 
	Cho là các độ dài ba cạnh của một tam giác và thỏa hệ thức . Chứng minh rằng .
--------------------HẾT--------------------
 UBND TỈNH KON TUM HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CẤP TỈNH LỚP 9 - NĂM HỌC 2012-2013
ĐỀ CHÍNH THỨC
 MÔN: TOÁN
 (Bản Hướng dẫn có 4 trang)
I. HƯỚNG DẪN CHUNG:
 - Các cách giải khác đúng thì cho điểm tương ứng với biểu điểm đã cho.
 - Điểm chấm của từng phần được chia nhỏ đến 0,25 điểm. Điểm của toàn bài là tổng điểm của các phần và không làm tròn số.
 - Trong cùng một câu, nếu ý trên giải sai hay không giải mà ý dưới có liên quan đến kết quả của ý trên thì không cho điểm ý dưới.
II. ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM:
Câu
Ý
Đáp án
Điểm
1
5,0 đ
a)
2,5 đ
0,75
0,5
0,5
 .
0,75
b)
2,5 đ
Ta có: (1)
0,75
0,5
0,75
0,25
Kết hợp điều kiện của ta có các giá trị cần tìm của là:
 hay .
0,25
2
5,0 đ
a)
2,5 đ
Phương trình: (1)
Ta có: 
Do đó (1) có điều kiện: .
0,5
Khi đó (1) trở thành:
0,75
0,25
0,25
(tmđk)
0,5
Vậy tập hợp nghiệm của phương trình là 
0,25
b)
2,5 đ
Với . Ta có (1)
0,25
 Vì 
Nên (1) trở thành 
0,5
0,25
0,25
0,5
0,25
 (2)
0,25
Từ (2) suy ra có ít nhất một trong ba số phải bằng .
0,25
3
4,0 đ
a)
2,0 đ
Giả sử là điểm cố định mà đường thẳng (D) luôn luôn đi qua với mọi .
0,25
Khi đó ta có: (1) 
và (1) đúng với mọi .
0,5
Ta có: 
0,25
(1) đúng với mọi khi và chỉ khi 
0,5
Vậy đường thẳng (D) luôn luôn đi qua điểm cố định .
0,25
Khi 
Vậy thuộc đường thẳng có phương trình . 
Do đó đường thẳng (D) luôn luôn đi qua điểm cố định thuộc đường thẳng với mọi giá trị của . 
0,25
b)
2,0 đ
Phương trình đường thẳng có dạng 
0,25
Vậy 
0,5
Gọi là hình chiếu vuông góc của lên đường thẳng (D)
Ta có: (không đổi)
0,5
Dấu "=" xảy ra 
0,25
0,25
Vậy thì gốc tọa độ cách đường thẳng (D) một khoảng lớn nhất.
0,25
4
4,0 đ
a)
2,5 đ
 Hình vẽ đúng cho câu a) 
0,5
Dựng (), cắt tại 
Ta có là trực tâm của 
0,5
Mà lần lượt là trung điểm các cạnh và của 
Suy ra là đường trung bình của . 
Do đó //.
0,5
Ta có: 
 có hai đường cao và cắt nhau tại , nên là trực tâm của . 
0,5
Khi đó , mà . Do đó //.
 có là trung điểm của và //
Suy ra là trung điểm của (đpcm).
0,5
b)
1,5 đ
vuông tại có là đường cao nên 
0,25
Ta có: 
0,75
Dấu '' = '' xảy ra vuông cân tại .
0,25
Vậy khi thì nhỏ nhất.
0,25
5
2,0 đ
Ta có là độ dài ba cạnh của một tam giác nên:
0,5
Từ các bất đẳng thức trên ta có:
0,5
Cộng 3 bất đẳng thức (1), (2) và (3) vế theo vế và rút gọn ta được:
 (4)
0,5
Ta có 
 (5)
0,25
Từ (4) và (5) suy ra: 
Hay (đpcm)
0,25
--------------------HẾT--------------------
UBND TỈNH KON TUM	 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO	 NĂM HỌC 2011-2012
ĐỀ CHÍNH THỨC
	 Môn: Toán
	 Ngày thi: 17/3/2012
	 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
ĐỀ:
(Đề thi này có 1 trang)
Câu 1: (4,0 điểm)
a)	
	Với Rút gọn 
b)	Biết x > 0; Tính 
Câu 2: (4,0 điểm)
a)	Giải phương trình sau:	
b)	Với a > 0; b > 0 và a+b=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Câu 3: (4,0 điểm)
a)	Giải hệ phương trình sau:
b)	Trong mặt phẳng tọa độ Oxy lấy A(2;-1) và B(4;3). Tìm tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho đạt giá trị lớn nhất.
Câu 4: (5,5 điểm)
	Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên tia AB lấy C nằm ngoài đoạn thẳng AB. Vẽ 2 tiếp tuyến CE và CF với đường tròn tâm O và cát tuyến CMN (M nằm giữa C và N). EF cắt AB tại I. Chứng minh:
	a) 
	b) Bốn điểm O,I,M,N cùng thuộc một đường tròn.
	c) 
Câu 5: (2,5 điểm)
	Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác thỏa mãn a+b+c=2.
	Chứng minh: 
-------------------- HẾT --------------------
Họ và tên: SBD
Chữ kí GT 1:
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG TỈNH KON TUM 2012
Câu 1 : a)
 ( Vì 0<)
b) Từ 
=> 
Câu 2: a) ĐK: 
 ( vì x khác 0)
Vậy phương trình có 1 nghiệm x= - 9/2
b)Đặt 
Ta có 
nên 
Vây giá trị nhỏ nhất là 35/2 khi a=b=1/2
Câu 3:
a) 
Từ (1) => y3= -1- 2(x-1)2 -1
=> y -1 (3)
Từ (2) => 
-1y -1(4)
Từ (3) và (4) => y=-1 thay voà (1) => x2-2x+1=0 => x=1
thử lại ta thấy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x=1; y=-1
b)Trong mặt phẳng ta có BĐT 
giá trị lớn nhất của là AB khi M nằm trên đường thẳng AB
mặt khác phương trình đường thẳng AB có dạng: y =2x-5(d)
mà M(xo,0)(d) nên => xo=-5
Vậy giá trị lớn nhất của là khi M(5;0)
Câu 4:
a) ta có đồng dạng với (g.g)( -chung)
=>
=> CM.CN=CE2=CO2-R2	
b) theo câu a) CE2=CM.CN (1)
xét tam giác vuông CEO
có CE2=CI.CO (2)
Từ (1) và (2)
=> đồng dạng 
=>
=>
=> 4 điểm O, I, M, N cùng nằm trên một đường tròn
c) Ta có OM=ON =R
nên tam giác OMN cân ở O
=>
mà (3)
theo câu b ta có (4) 
từ (3) và (4) ta suy ra 
Câu 5:
Theo BĐT trong tam giác ta có a+b>c;b+c>a;a+c>b mà a+b+c=2
=>0 0<a<1
tương tự 0 < b,c <1
=>(1-a)(1-b)(1-c)>0
=> a+b+c - (ab+bc+ca) + abc <1
=> 2(a+b+c) - 2(ab+bc+ca) + 2abc < 2
=>(a+b+c)2 - 2(ab+bc+ca) + 2abc < 2
=>
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LONG AN
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
MÔN THI :TOÁN
NGÀY THI: 07/4/2011
THỜI GIAN :150 phút (không kể thời gian phát đề)
Bài 1:(4 điểm) 
 1/ Không sử dụng máy tính , thực hiện phép tính : 
 A = 
 2/ Cho biểu thức:
 B = (với )
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B và giá trị x tương ứng
Bài 2:( 5 điểm)
 1/ Cho hàm số y = ax2 (a0) có đồ thị là (P) đi qua M(-1;2) . Trên (P) lấy A và B có hoành độ tương ứng là 1 và 2 . Xác định m để đường thẳng y = mx +5 song song với đường thẳng AB 
 2/ Tìm x thỏa mãn : 
Bài 3: (5 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn có AB < AC nội tiếp đường tròn O bán kính R. Ba đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H
 a/ Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF
 b/ Kẻ đường kính AK của đường tròn O.Gọi S là diện tích tam giác ABC
Chứng minh : S = 
 c/ Gọi M là trung điểm BC . Chứng minh: tứ giác DFEM là nội tiếp
Bài 4 : (3 điểm)
Cho điểm M nằm trong tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c. Gọi các khoảng cách từ M đến ba cạnh BC, AC, AB tương ứng là x,y,z . Hãy xác định vị trí M trong tam giác sao cho biểu thức : đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 5 : (3 điểm)
Tìm một số chính phương có bốn chữ số , mỗi chữ số nhỏ hơn 9. Biết rằng khi tăng mỗi chữ số thêm một đơn vị thì số mới được tạo thành cũng là số chính phương.
_______________
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NAM
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2012-2013
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Bài 1. (4,0 điểm) 
Cho biểu thức: 
 1. Rút gọn biểu thức P.
 2. Tìm các giá trị x, y nguyên thỏa mãn P = 2.
Bài 2. (4,0 điểm) 
 1. Cho hai số thực a, b không âm thỏa mãn. Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm: .
 2. Tìm tất cả các nghiệm nguyên x, y của phương trình .
Bài 3. (4,5 điểm) 
 1. Cho p và 2p + 1 là hai số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng 4p + 1 là một hợp số.
 2. Giải phương trình: 
Bài 4. (6,0 điểm) 
 Cho góc xOy có số đo bằng 60o. Đường tròn có tâm K nằm trong góc xOy tiếp xúc với tia Ox tại M và tiếp xúc với tia Oy tại N. Trên tia Ox lấy điểm P thỏa mãn OP = 3OM. Tiếp tuyến của đường tròn (K) qua P cắt tia Oy tại Q khác O. Đường thẳng PK cắt đường thẳng MN ở E. Đường thẳng QK cắt đường thẳng MN ở F.
 1. Chứng minh tam giác MPE đồng dạng với tam giác KPQ.
 2. Chứng minh tứ giác PQEF nội tiếp được trong đường tròn.
 3. Gọi D là trung điểm của đoạn PQ. Chứng minh tam giác DEF là một tam giác đều.
Bài 5. (2,0 điểm) 
	Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn:. Chứng minh rằng:
------HẾT------
Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.
Họ và tên thí sinh: ................................................. Số báo danh: ............................
Chữ ký của giám thị 1: ............................. Chữ ký của giám thị 2: ...............................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NAM
ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2012-2013
Môn thi: TOÁN
ĐÁP ÁN-BIỂU ĐIỂM
(Đáp án biểu điểm này gồm 3 trang)
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1.1
(2,5 đ)
§iÒu kiÖn ®Ó P x¸c ®Þnh lµ : .
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu 1.2
(1,5 đ)
P = 2 = 2 với 
0,5
Ta cã: 1 + Þ Þ x = 0; 1; 2; 3 ; 4
0,5
Thay vµo P ta cã c¸c cÆp gi¸ trÞ (4; 0) vµ (2 ; 2) tho¶ m·n
0,5
Câu 2.1
(2,0 đ)
Cho hai số thực a, b thỏa mãn (1)
Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm: (2)
TH1 : Với a = 0 thì (2) 
Từ (1) . Vậy (2) luôn có nghiệm 
0,5
TH2 : Với , ta có : 
0,5
0,5
Vậy pt luôn có nghiệm 
0,5
Câu 2.2
(2,0 đ)
Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: 
Ta có (1) 
0,5
 (2)
0,5
Từ (1) và (2) ta có x < y < x+2 mà x, y nguyên suy ra y = x + 1
0,5
Thay y = x + 1 vào pt ban đầu và giải phương trình tìm được x = -1; x = 1 từ đó tìm được hai cặp số (x, y) thỏa mãn bài toán là (1 ; 2), (-1 ; 0)
0,5
Câu 3.1
(2,0đ)
Do p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 
0,5
*) Nếu thì 
 là hợp số (Vô lý)
0,5
*) Nếu thì 
0,5
Do nên là một hợp số.
0,5
Câu 3.2
(2,5 đ)
Điều kiện: 
0,5
PT 
0,5
0,5
0,5
 (tmđk)
0,5
Câu 4
Câu 4.1
(2,5 đ)
Hình vẽ đúng.
+PK là phân giác góc 
 (*) .
+ Tam giác OMN đều .
+ QK cũng là phân giác 
Mà 
 . Do đó: .
Từ (*) và (**), ta có 
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu 4.2
(1,0 đ)
Do hai tam giác MPE và KPQ đồng dạng nên: 
0,5
hay: Suy ra, tứ giác PQEF nội tiếp được trong đường tròn.
0,5
Câu 4.3
(2,5 đ)
Gọi D là trung điểm của đoạn PQ. Chứng minh tam giác DEF là một tam giác đều.
Do hai tam giác MPE và KPQ đồng dạng nên: =. Suy ra: =.
Ngoài ra: . Do đó, hai tam giác MPK và EPQ đồng dạng. 
0,5
Từ đó:. 
0,5
Suy ra, D là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác PQEF.
Vì vậy, tam giác DEF cân tại D.
0,5
Ta có: ; .
0,5
Từ đó, tam giác DEF là tam giác đều.
0,5
Câu 5
(2,0 đ)
Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn: . Chứng minh rằng:
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: nên:
Tương tự ta có:
 (2)
 (3)
0,5
Cộng vế theo vế (1), (2) và (3) ta được:
 (*)
Mặt khác: 
Nên (*) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 
0,5
0,5
---------------HẾT--------------
Lưu ý: - Các cách giải đúng khác cho điểm tương đương với biểu điểm
 - Điểm toàn bài không làm tròn
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
	 GIA LAI	 Năm học 2011 – 2012
 -------------------------------------	 	MÔN: Toán
 ĐỀ CHÍNH THỨC	 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
	 -------------------------------------------------------------
 Câu 1. (3,0 điểm)
	 a) Cho . Tính giá trị của biểu thức 
	 b) Chứng minh biểu thức chia hết cho 7 với mọi số nguyên n.
 Câu 2. (3,0 điểm) 
	 a) Trong mặt phẳng, hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng có phương trình y = x + 1. 
 Tìm trên đường thẳng các điểm M (x; y) thỏa mãn đẳng thức 
	 b) Trong mặt phẳng, hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình y = ax + b. 
	 Tìm a, b để d đi qua điểm B(1;2) và tiếp xúc với Parabol (P) có phương trình: y = 2x2 
 Câu 3. (4,0 điểm) 
	 a) Giải hệ phương trình 
	 b) Gọi là hai nghiệm của phương trình (a là số thực)
	 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 Câu 4. (4,0 điểm) 
	a) Cho các số thực sao cho . Chứng minh rằng: 
	b) Trong hội trại ngày 26 tháng 3, lớp 9A có 7 học sinh tham gia trò chơi ném bóng vào rổ. 	7 học sinh này đã ném được tất cả 100 quả bóng vào rổ. Số quả bóng ném được vào rổ của 	mỗi học sinh đều khác nhau. Chứng minh rằng có 3 học sinh ném được tổng số quả bóng 	vào rổ không ít hơn 50 quả.
 Câu 5. (6,0 điểm) 
 	Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH và trung tuyến AM 	(H, M thuộc BC). Đường tròn tâm H bán kính HA, cắt đường thẳng AB và đường thẳng 	AC lần lượt tại D và E (D và E khác điểm A)
	a) Chứng minh D, H, E thẳng hàng và MA vuông góc với DE
	b) Chứng minh 4 điểm B, E, C, D cùng thuộc một đường tròn. Gọi O là tâm của đường tròn 	đi qua 4 điểm B, E, C, D. Tứ giác AMOH là hình gì?
	c) Đặt . Chứng minh rằng: 
	----------------------Hết----------------------------
Họ và tên thí sinh:.........................................................SBD........................Phòng thi....................
Đáp án.
 Câu 1. a) Rút gọn ..........................................................................................................0,5đ
	Thay vào biểu thức A ta được A = 1.....................................................................0,5đ
b) .0,5đ
 0,5đ
 = ...........................0,5đ
Ta có: P là tích của 7 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 7. ...0,5đ
Câu 2. a) Điều kiện x > 0. Tọa độ M(x; y) là nghiệm của hệ phương trình: 
	. ....0,25đ
 Giải hệ ta được x =1; y =2..1,0đ
 Vậy M(1;2) 0,25đ
	b) Vì đường thẳng d đi qua B(1;2) nên b = 2- a  0,25đ
 Khi đó, phương trình đường thẳng d có dạng y = ax + 2 – a
 Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) là: 
	 ...0,25đ
 (d) tiếp xúc với (P) khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm kép
 ...0,5đ
 Với a = 4 suy ra b = -2..0,25đ
 Vậy a = 4; b= -2 thỏa yêu cầu bài toán0,25đ
 Câu 3. a) Ta xét hai trường hợp.
 TH1: ta có hệ phương trình: (thỏa mãn điều kiện)...0,5đ
 TH2: ta có hệ phương trình: (thỏa mãn điều kiện)..0,5đ
 Vậy nghiệm của hệ phương trình là (-3;4); ..0,5đ
b) Ta có ac < 0 nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm trái dấu0,25đ
 Ta có .0,25đ
 Do đó 	(do )..............0,5đ
 = ..0,25đ
 = .....................0,25đ
 (do ).....................................................................0,5đ
 với mọi a	...............0,25đ
 Vậy GTNN của P = 24. Dấu = xảy ra khi .0,25đ
 Câu 4. 
 a) ........................................................0,25đ
 Không mất tính tổng quát, giả sử . Khi đó ta có 
 suy ra ................................................................................................................0,25đ
 Từ đó suy ra .......................................................................................0,5đ
 Suy ra .................................................................................0,5đ
 Ta cần chứng minh . 
Tức là chứng minh (*)................................................................................0,25đ
 Bất đẳng thức (*) luôn đúng vì 
 Từ đó suy ra đpcm...................................................................................................................0,25đ
 b) Gọi số quả bóng ném được vào rổ của mỗi học sinh là được xếp từ nhỏ đến lớn
	.............................................................................................0,5đ
 Xét hai trường hợp:
 TH1: . Suy ra . Do đó ta có 	(2)..0,5đ
 TH2: suy ra 
 Ta có ..............................................................................................................0,5đ
 Suy ra 	(3)
 Từ (2) và (3) ta có điều phải chứng minh...................................................................................0,5đ
 Câu 5. 
 a) Do nên DE là đường kính của đường tròn tâm H, bán kính HA suy ra D, H, E thẳng hàng..1,0đ
 Ta có .......0,5đ
	Vì nên 
 Suy ra MA vuông góc với DE....................................................................................................0,5đ
 b) Từ suy ra tứ giác DBEC nội tiếp đường tròn (O)...............................................0,5đ
 	Do OM vuông góc với BC và AH vuông góc với BC nên AH // OM..0,5đ
	Do OH vuông góc với DE và AM vuông góc với DE nên OH //AM...0,5đ
 Vậy tứ giác AMOH là hình bình hành0,5đ
 c) Do AB < AC nên H thuộc đoạn BM......................................................................................0,5đ
 Ta có ....................................................................................0,25đ
 Mặt khác .........................................................................0,25đ
 Từ (1) và (2) suy ra ....................................................................................0,5đ
Suy ra đpcm................................................................................................................................0,5đ
Chú ý: Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa của câu đó.
 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO	KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
 SÓC TRĂNG	Năm học 2014-2015
 Đề chính thức
Môn: Toán - Lớp 9
(Thời gian làm bài 150 phút, không kể phát đề)
________________
Đề thi này có 01 trang
Bài 1.(4 điểm)
Cho 
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của biểu thức A khi .
Bài 2.(4 điểm) 
a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có: .
b) Tìm số tự nhiên n sao cho n + 12 và n – 11 đều là số chính phương.
Bài 3.(4 điểm)
a) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: .
b) Tìm x, y để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. 
Bài 4.(4 điểm) 
Cho một tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn (O) và một điểm P trên cung nhỏ BC. Nối PA rồi lấy trên PA một đoạn PM = PB.
a) Chứng minh:.
b) Đoạn thẳng AP cắt BC tại Q. Chứng minh rằng 
c) Khi P chạy trên cung nhỏ BC thì trung điểm I của PA di chuyển trên đường nào?
Bài 5.(4 điểm)
 Cho đường tròn tâm O đường kính AB. M là điểm nằm trên đoạn OA, kẻ đường tròn tâm O’ đường kính MB. Gọi I là trung điểm đoạn MA, kẻ dây CD vuông góc với AB tại I. Đường thẳng BC cắt đường tròn (O’) tại J.
a) Tứ giác ACMD là hình gì? Giải thích?
b) Chứng minh ba điểm D, M, J thẳng hàng.
c) Chứng minh đường thẳng IJ là tiếp tuyến của đường tròn (O’).
d) Xác định vị trí của M trên đoạn OA để diện tích tam giác IJO’ lớn nhất.
--- HẾT ---
PHÒNG GD&ĐT QUY NHƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 
TRƯỜNG THCS NHƠN BÌNH MÔN : TOÁN 9 (Năm học : 2014 - 2015)
 (Thời gian làm bài 120’ –không kể thời gian phát đề)
Bài 1: (3 điểm)
 a) Cho (a,b) =1 . Chứng minh : (a + b , ab ) = 1
 b) Chứng minh phân số A = tối giản ( n)
Bài 2: (3 điểm)
 Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương phương trình : 
Bài 3 : (2 điểm) Giải phương trình : 
Bài 4 : (2 điểm) Cho x,y dương thỏa x + y 1 , tìm giá trị nhỏ nhất của :
 P = 
Bài 5 : (3 điểm) a) Vẽ đồ thị của hàm số y = 
 b) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số đã cho
Bài 6: (3 điểm)
 Cho tam giác ABC, phân giác góc B cắt AC tại I. Biết IC=cm; IB=1cm. 
 Tính BC ?
Bài 7: ( 4 điểm)
 Cho (O;R) đường kính AB, điểm M bất kì trên (O) (M khác A, B). Kẻ MH vuông góc AB tại H
 a) Xác định vị trí của M để diện tích tam giác OHM đạt GTLN. Tính GTLN đó ?
 b) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OHM. Chứng minh: AI vuông góc IM ?
..HẾT
PHÒNG GD&ĐT QUY NHƠN HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HS GIỎI 
TRƯỜNG THCS NHƠN BÌNH MÔN : TOÁN 9 ( Năm học: 2014 – 2015)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài 
 Đáp án 
Biểu điểm
Bài 1
(3 điểm)
a) Giả sử (a+b,a.b)=d 
Ta có a.bd 
Với ; 
 (a , b) = d Trái giả thiết (a , b ) =1 
 Với ; 
 (a , b) = d Trái giả thiết (a,b) =1
 Vậy (a,b) =1 (a+b, ab) =1 
 b) Ta có A = 
 Vì (n+1) và (n+2) là hai số tự nhiên liên tiếp nên (n+1 , n+2 ) = 1 
 Áp dụng câu a . Ta được ( n+1 +n+2 , (n+1)(n+2) ) = 1 
 Hay (2n+3 , ) = 1 
 Vậy A = Tối giản ( n) 
0,5 điểm
0,5điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
Bài 2
(3