Bộ đề thi 10 chuyên Toán

ÑEÀ CHÍNH THÖÙC	Moân thi: TOAÙN (LÔÙP CHUYEÂN TOAÙN )
Thôøi gian: 150 phuùt (khoâng keå phaùt ñeà) Ngaøy thi: 16 – 07 – 1999
Baøi 1: (1,5 ñieåm)
Cho phöông trình:	x2 + mx + n = 0
Tìm m vaø n, bieát raèng phöông trình coù hai nghieäm x1, x2 thoaû maõn:
ìïx1 - x2 = 5
í
x 3 - x 3 = 35
ï 1	2
Baøi 2: (1,5 ñieåm)
Chöùng minh raèng moät soá coù daïng: n4 - 4n3 - 4n2 + 16n
(Vôùi n laø soá töï nhieân chaün, lôùn hôn 4) thì chia heát cho 384.
Baøi 3: (1,5 ñieåm)
3
20 + 14 2
3
20 - 14 2
Khoâng duøng maùy tính, haõy tính:
+
Baøi 4: (1,5 ñieåm)
Giaûi phöông trình:
x - 2
y - 3
z - 5
x + y + z + 4 = 2	+ 4	+ 6
(Vôùi x, y, z laø caùc aån)
Baøi 5: (4,0 ñieåm)
Cho hình thang ABCD (AB // CD).
Treân ñaùy lôùn AB, ngöôøi ta laáy ñieåm M. Tìm treân ñaùy nhoû CD moät ñieåm N sao cho dieän tích nhaän ñöôïc do caùc ñöôøng thaúng AN, BN, CM vaø DM caét nhau taïo thaønh laø lôùn nhaát.
Bieát dieän tích hình thang baèng a2. Ñöôøng cheùo lôùn cuûa hình thang naøy coù ñoä
daøi beù nhaát laø bao nhieâu?
ÑEÀ CHÍNH THÖÙC	Moân thi: TOAÙN (Daønh cho caùc lôùp chuyeân
Vaên, Tieáng Anh, Lyù, Hoaù) Thôøi gian: 150 phuùt (khoâng keå phaùt ñeà) Ngaøy thi: 16 – 07 – 1999
Baøi 1: (2,0 ñieåm)
Cho phöông trình:	x2 + mx + n = 0
Tìm m vaø n bieát raèng phöông trình coù hai nghieäm x1, x2 thoaû maõn:
ìïx1 - x2 = 5
í
x 3 - x 3 = 35
x x	
ï 1	2
Baøi 2: (2,0 ñieåm)
Cho	A =
Ruùt goïn A

x 2 +	- x	x +	x

x
,vôùi x > 0
Giaûi phöông trình:	A	= x - 2	+ 1
Baøi 3: (4,0 ñieåm)
Cho ñöôøng troøn taâm O, ñöôøng kính AB = 2R. Keû tia tieáp tuyeán Bx. M laø moät
ñieåm di ñoäng treân Bx (M ¹ B). AM caét (O) taïi N. Goïi I laø trung ñieåm cuaû
Chöùng minh töù giaùc BOIM noäi tieáp ñöôïc trong moät ñöôøng troøn.
AN.
Chöùng minh tam giaùc IBN ñoàng daïng vôùi tam giacù OMB.
Tìm vò trí cuûa ñieåm M treân tia Bx ñeå dieän tích tam giaùc AIO coù giaù trò lôùn nhaát.
Baøi 4: (2,0 ñieåm)
Cho x, y, z laø ba soá thöïc thoaû ñieàu kieän x2 + y2 + z 2 = 1 Haõy tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc:
A = xy + yz + 2zx.
ÑEÀ CHÍNH THÖÙC	Moân: TOAÙN	Caùc lôùp khoâng chuyeân Toaùn
Khoaù thi ngaøy: 17 – 07 – 2000 Thôøi gian laøm baøi: 150 phuùt (khoâng keå thôøi gian giao ñeà)
Baøi 1: (2,0 ñieåm)
x 2	x 4 y 2
+ 3
Chöùng minh raèng neáu:
+

= a , vôùi x > 0; y > 0
y 2
+
3 x 2 y 4
3 x 2
3 y 2
3 a2
thì:	+	=
Baøi 2: (3,0 ñieåm)
Cho phöông trình:
x 2
- 2x + 1
6 + 4 2
6 - 4 2
=	-
Ruùt goïn veá phaûi cuûa phöông trình.
Giaûi phöông trình
Baøi 3: (4,0 ñieåm)
Cho hình thang ABCD (AB // CD), giao ñieåm hai ñöôøng cheùo laø O. Ñöôøng thaúng qua O song song vôùi AB caét AD vaø BC laàn löôït taïi M vaø N.
Chöùng minh 1	+	1	=	2
AB	CD	MN
Bieát dieän tích tam giaùc AOB baèng a2. Dieän tích tam giaùc COD baèng b2. Tính dieän tích hình thang ABCD.
Baøi 4: (1,0 ñieåm)
Cho P(2) laø giaù trò cuûa ña thöùc P (x) khi x = 2.
Chöùng minh raèng P (x) - P (2) chia heát cho x – 2.
ÑEÀ CHÍNH THÖÙC	Moân: TOAÙN - Lôùp: Chuyeân toaùn Khoaù thi ngaøy: 17 – 07 – 2000 Thôøi gian laøm baøi: 150 phuùt (Khoâng keå thôøi gian giao ñeà)
Baøi 1: (2,0 ñieåm)
Chöùng toû raèng neáu ba soá a, b, c thoaû maõn ñieàu kieän:
ìa + b + c > 0 (1)
í
ïab + bc + ca > 0 (2)
î
ïabc > 0 (3)
thì a, b, c laø ba soá döông.
Baøi 2: (2,0 ñieåm)
Cho b vaø c laø caùc soá nguyeân döông vaø a laø soá nguyeân toá sao cho a2 + b2 = c2
Chöùng minh raèng ta luoân coù a < b vaø b+ 1 = c.
Baøi 3: (3,0 ñieåm)
x - 2
Giaûi caùc phöông trình sau: a) x + y + z + 4 = 2

y - 3
z - 5
+ 4	+ 6
x2
x +
5
4
x2
x +
9
4
b)	+	= 2
Baøi 4: (3,0 ñieåm)
Cho ñöôøng troøn taâm O vaø moät ñöôøng thaúng AB tieáp xuùc vôùi ñöôøng troøn taïi T sao cho T laø trung ñieåm cuûa ñoaïn AB. P laø moät ñieåm treân ñoaïn BT (P ¹ B vaø P ¹ T).
Töø P keû caùt tuyeán PMN vôùi ñöôøng troøn (O) trong ñoù M naèm giöõa P vaø N. NB caét ñöôøng troøn (O) ôû E; AM caét ñöôøng troøn (O) ôû I, IE caét AB ôû F.
Chöùng minh AF = BP.
ÑEÀ CHÍNH THÖÙC	Moân thi: TOAÙN (LÔÙP CHUYEÂN TOAÙN )
Thôøi gian laøm baøi: 150 phuùt (khoâng keå phaùt ñeà) Ngaøy thi: 03 – 07 – 2001
Baøi 1: (2,0 ñieåm)
Tìm soá töï nhieân nhoû nhaát bieát raèng khi chia soá naøy cho 2001 thì ñöôïc soá dö laø 9, coøn khi chia noù cho 2002 thì ñöôïc soá dö laø 10.
Baøi 2: (2,0 ñieåm)
Giaûi heä phöông trình:
ìïy + xy2 = 6x2
í
ïî1+ x2 y2 = 5x2
Baøi 3: (2,0 ñieåm)
Cho boán soá a, b, c, d thoaû maõn:
ìïa + b + c + d = 3
í
ïîa2 + b2 + c2 d2 = 3
Tìm caùc soá ñoù trong tröôøng hôïp d ñaït giaù trò lôùn nhaát.
Baøi 4: (4,0 ñieåm)
Cho tam giaùc ñeàu ABC noäi tieáp trong ñöôøng tronø

(O, R). M laø moät ñieåm tuøy yù
treân cung nhoû AB. Treân tia AM keùo daøi veà phía M laáy moät ñieåm N sao cho MN = MB.
a/ Chöùng minh tam giaùc BMN laø tam giaùc ñeàu. b/ Ñònh vò trí cuûa M ñeå MA + MB lôùn nhaát.
c/ Tìm taäp hôïp caùc ñieåm N khi M di ñoäng treân cung nhoû AB.
ÑEÀ CHÍNH THÖÙC	Moân thi: TOAÙN (Lôùp chuyeân Vaät lyù, Hoùa hoïc, Sinh hoïc)
Thôøi gian laøm baøi: 150 phuùt
(khoâng tính thôøi gian phaùt ñeà) Ngaøy thi: 03 – 07 – 2001
Baøi 1: (2,0 ñieåm)
Cho bieåu thöùc:
a + 1
a - 2 a + 1
æ	ö
ç a -	a
+
è
a - 1
:
÷
A = ç	1	1	÷
ø
, vôùi a > 0, a ¹ 1
1/ Ruùt goïn A.
2/ Chöùng minh raèng A < 1.
Baøi 2: (2,0 ñieåm)
Giaûi phöông trình:
x 2
- 2x + 1
6 + 4 2
6 - 4 2
=	-
Baøi 3: (2,0 ñieåm)
Tìm giaù trò cuûa a ñeå ba ñöôøng thaúng: (d1) : y = 2x – 5
(d2) : y = x + 2
(d3) : y = ax – 12
ñoàng qui taïi moät ñieåm trong maët phaúng toaï ñoä.
Baøi 4: (4,0 ñieåm)
Cho hai ñieåm A, B coá ñònh vaø phaân bieät. Ñöôøng troøn taâm O1, tieáp xuùc vôùi ñöôøng thaúng AB taïi A, ñöôøng troøn taâm O2 tieáp xuùc vôùi ñöôøng thaúng AB taïi B. Hai ñöôøng troøn naøy caét nhau taïi M, N. MN caét AB taïi I. Haõy chöùng minh:
Hai tam giaùc IAM vaø IAN ñoàng daïng.
I laø ñieåm coá ñònh khi hai ñöôøng troøn thay ñoåi.
TRÖÔØNG ÑHKHTN - ÑHQG HAØ NOÄI 1999
(Thôøi gian laøm baøi: 150 phuùt)
Baøi 1:
Caùc soá a, b, c thoûa maõn ñieàu kieän:
ì a + b + c = 0
í	2	2
î a	+ b
c2
= 14
Haõy tính giaù trò cuûa bieåu thöùc: P = 1 + a4 + b4 + c4
Baøi 2:

Giaûi phöông trình:
x + 3
7 - x
2x -8
-	=
Giaûi heä phöông trình:
ï
ì x + y + 1 + 1 = 9
ï	x	y	2
í
ï xy + 1	=	5
ï	xy	2
Baøi 3:
Tìm caùc soá nguyeân döông n sao cho: n2 + 9n – 2 chia heát cho n + 11.
Baøi 4:

Cho voøng troøn (C) vaø ñieåm I ôû trong voøng troøn. Döïng qua I hai daây cung baát kyø MIN vaø EIF . Goïi M’, N’, E’, F’ laø caùc trung ñieåm cuûa IM, IN, IE, IF.
Chöùng minh raèng töù giaùc M’N’E’F’ noäi tieáp ñöôøng troøn.
Giaû söû I thay ñoåi, caùc daây cung MIN, EIF thay ñoåi. Chöùng minh raèng ñöôøng troøn ngoaïi tieáp töù giaùc M’N’E’F’coù baùn kính khoâng ñoåi.
Giaû söû I coá ñònh, caùc daây cung MIN, EIF thay ñoåi nhöng luoân luoân vuoâng goùc vôùi nhau. Tìm vò trí cuûa caùc daây cung MIN, EIF sao cho töù giaùc M’N’E’F’ coù
dieän tích lôùn nhaát.
TRÖÔØNG THPT NAÊNG KHIEÁU ÑHQG TP. HCM NAÊM 2001
MOÂN TOAÙN AB (Thôøi gian laøm baøi: 150 phuùt)
Baøi 1:
Giaûi baát phöông trình:
x + 1
> 2x - 1
Giaûi heä phöông trình:
ì	1	7
ïï x + y = 2
í
ï
1	7
ï
y +	=
	x	3
Baøi 2:

Cho a, b, c laø caùc soá thöïc phaân bieät sao cho caùc phöông trình:
x2 + ax + 1 = 0 vaø x2 + bx + c = 0 coù nghieäm chung, ñoàng thôøi caùc phöông trình x2 + x + a = 0 vaø x2 + cx + b = 0 cuõng coù nghieäm chung.
Haõy tìm toång a + b + c.
Baøi 3:
Treân caùc caïnh AB vaø CD cuûa hình vuoâng ABCD laàn löôït laáy caùc ñieåm M, N sao cho AM = CN = AB . Goïi K laø giao ñieåm cuûa AN vaø DM. Chöùng minh
3
tröïc taâm cuûa tam giaùc ADK naèm treân caïnh BC.
Cho hình vuoâng ABCD vôùi giao ñieåm hai ñöôøng cheùo laø O. Moät ñöôøng thaúng d vuoâng goùc vôùi maët phaúng (ABCD) taïi O. Laáy moät ñieåm S treân d.
Chöùng minh raèng (AC) ^ (SBD) vaø (SAC) ^ (SBD).
Baøi 4:

Cho töù giaùc loài ABCD coù AB vuoâng goùc vôùi CD vaø AB = 2, BC = 13, CD = 8, DA = 5.
Ñöôøng thaúng (BA) caét ñöôøng tnaúng (CD) taïi E. Haõy tính AE.
Tính dieän tích töù giaùc ABCD.
TRÖÔØNG THPT NAÊNG KHIEÁU ÑHQG TP. HCM MOÂN TOAÙN CHUYEÂN Naêm hoïc 2001 – 2002
(Thôøi gian laøm baøi: 150 phuùt)
Baøi 1:
Baøi 2:

Tìm soá nguyeân döông a nhoû nhaát sao cho a chia heát cho 6 vaø 2000 a laø soá chính phöông.
Tìm soá nguyeân döông b nhoû nhaát sao cho (b –1) khoâng laø boäi cuûa 9, b laø boäi cuûa 4 soá nguyeân toá lieân tieáp vaø 2002b laø soá chính phöông.
Cho x, y laø caùc soá thöïc sao cho
1
x +	vaø
y
1
y +	ñeàu laø caùc soá nguyeân.
x
Chöùng minh
x2 y 2 +
1
x2 y
2 laø soá nguyeân.
Baøi 3:
Tìm taát caû caùc soá nguyeân döông n sao cho xn yn +
1
xn yn

laø soá nguyeân.
Cho a, b laø caùc soá döông thoûa ab = 1. Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc
A =(a + b)(a2 + b2 ) +
4
a + b

1	1	1
Baøi 4:
Cho m, n laø caùc soá nguyeân thoaû
Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa B = m.n.
+	=	.
2m	n	3
Cho hai ñöôøng troøn C1 (O1, R1) vaø C2 (O2, R2) tieáp xuùc ngoaøi vôùi nhau taïi ñieåm A . Hai ñieåm B, C laàn löôït di ñoäng treân C1, C2 sao cho BˆAC = 900.
Chöùng minh trung ñieåm M cuûa BC luoân naèm treân moät ñöôøng troøn coá ñònh.
Haï AH vuoâng goùc vôùi BC. Tìm taäp hôïp caùc ñieåm H.
Chöùng minh raèng ñoä daøi ñoaïn AH khoâng lôùn hôn
2R1R2 .
R1 + R2
Baøi 5:
Phaùt bieåu vaø chöùng minh caùc keát quaû töông töï nhö caâu a) vaø caâu b) trong tröôøng hôïp C1 vaø C2 tieáp xuùc trong vôùi nhau taïi ñieåm A.
x + 5
y -1
y - 3
y - 5
Giaûi heä phöông trình:
x + 1
x + 3
ïì	+	+
í
=	+	+
ïî x + y + x2 + y2
=	80
ÑEÀ THI TUYEÅN SINH VAØO LÔÙP 10 TRÖÔØNG THPT HUØNG VÖÔNG PHUÙ THOÏ 1999
MOÂN TOAÙN AB (Thôøi gian laøm baøi: 150 phuùt)
Baøi 1:
Giaûi heä phöông trình:
x2 + 2
y2
+ 3
+
x
ì
ï	+
x2
+ 2
í
ï	- x +
+ y	=	5
y2
+ 3
- y	=	2
Baøi 2:
Chöùng minh raèng:
2 £ a( c - d ) + 3d £ 3
vôùi moïi a, b, c, d thuoäc [2; 3]
3	b( d - c) + 3 c	2
Baøi 3:
Chöùng minh raèng vôùi ba soá thöïc a, b, c phaân bieät thì phöông trình:
1	1	1
+	+	=	0
x - a	x - b	x - c
coù hai nghieäm khaùc nhau.
Baøi 4:
Cho tam giaùc caân ABC. Treân caïnh ñaùy BC laáy cacù ñieåm E, F (khaùc B, C) sao
cho BE = CF < BC . Goïi R vaø r laàn löôït laø baùn kính ñöôøng tronø
2
ngoaïi tieáp
DABC, D AEF.
Chöùng minh raèng hai ñöôøng troøn ngoaïi tieáp caùc tam giaùc ABE vaø ABF coù baùn kính baèng nhau.
Tính baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp DABF theo R, r.
ÑEÀ THI VAØO LÔÙP 10 MOÂN TOAÙN AB TRÖÔØNG THPT CHUYEÂN LEÂ QUÙY ÑOÂN BÌNH ÑÒNH
NAÊM HOÏC 2002 – 2003 - Ngaøy thi: 12 – 07 – 2002
Thôøi gian laøm baøi: 150 phuùt
. Lyù thuyeát: (2 ñieåm)
Thí sinh choïn moät trong hai ñeà sau ñeå laøm baiø .
a 2
Ñeà 1:

(1- 3 )
2
(
3 - 1)
2
Chöùng minh ñònh lyù: “Vôùi moãi soá thöïc a thì

=	a ”
Ñeà 2 :
Aùp duïng: So saùnh
vaø
Chöùng minh ñònh lyù: “Trong moät töù giaùc noäi tieáp, toång soá ño hai goùc ñoái dieän nhau baèng hai goùc vuoâng”.
Aùp duïng: Cho hình thang caân ABCD (AB // CD). Chöùng minh raèng ABCD laø töù giaùc noäi tieáp.
Caùc baøi toaùn baét buoäc: (8 ñieåm)
Baøi 1: (1,5 ñieåm)
Cho phöông trình: (1−
2)x2 +(
2 −1)x +1+
2 = 0
Bieát phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät, khoâng giaûi phöông trình, haõy tìm toång vaø tích 2 nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho.
Baøi 2: (2,5 ñieåm)
Hai ngöôøi ñi xe ñaïp khôûi haønh cuøng moät luùc töø A ñeå ñi heát quaõng ñöôøng AB daøi 35 km. Ngöôøi thöù nhaát moãi giôø ñi nhanh hôn ngöôøi thöù hai 4 km neân ñeán B sôùm
hôn ngöôøi thöù hai 1 giôø. Tính vaän toác cuûa moiã
Baøi 3: (3 ñieåm)
ngöôøi.
Cho nöûa ñöôøng troøn taâm O, ñöôøng kính AB. Laáy moät ñieåm C treân ñoaïn OA (C khaùc O vaø A). Goïi M laø moät ñieåm treân nöûa ñöôøng troøn (M khaùc A vaø B). Keû
caùc tieáp tuyeán Ax, By vôùi nöûa ñöôøng troøn (Ax, By ôû cuøng moät nöûa maët phaúng coù bôø laø ñöôøng thaúng AB chöùa nöûa ñöôøng troøn). Noái MC, ñöôøng thaúng qua M vuoâng goùc vôùi MC caét Ax vaø By taïi D vaø E.
Chöùng minh raèng:
Caùc töù giaùc ACMD vaø BCME laø caùc töù giaùc noäi tieáp.
DˆCE = DˆAM + MˆBE
DˆCE vuoâng
Baøi 4: (1 ñieåm)
Vôùi a, b, c laø 3 soá döông. Chöùng minh raèng:
ab
bc
ca
Neáu a + b + c =	+	+	thì a = b = c.
ÑEÀ THI VAØO LÔÙP 10 CHUYEÂN TOAÙN TRÖÔØNG THPT CHUYEÂN LEÂ QUÙY ÑOÂN BÌNH ÑÒNH
NAÊM HOÏC 2002 – 2003 - Ngaøy thi: 13 – 07 – 2002
Thôøi gian laøm baøi: 150 phuùt
Baøi 1: (4,5 ñieåm)
Caâu 1: (1,5 ñieåm)
Bieát a2 + b2 = 1. Chöùng minh ñaúng thöùc:
2 (a6 + b6 ) - 3 (a4 + b4 ) +
Caâu 2: (1, 5 ñieåm)
Giaûi phöông trình:
Caâu 3: (1, 5 ñieåm)
+
a4 + 4b2
b4 + 4a2
x 2 -
= 2
x 2
- 4 x + 5
4 x - 4

= 0	(1)
Ñònh m ñeå ñöôøng thaúng - 4 x – y + 1 = 0 song song vôùi ñöôøng thaúng (m2 - 4 m ) x - y + 5 = 0
Vôùi giaù trò m tìm ñöôïc ôû caâu a, haõy tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa:
2
4x y 1
é2 m2
2
4m x 2y 5ù
A = (-	- + ) + ë (	-
Baøi 2: (2 ñieåm)
) -	+ û
Cho ñöôøng troøn (O) vaø ñöôøng thaúng (d) khoâng caét ñöôøng troøn.
Goïi I laø hình chieáu cuûa O leân (d). Töø I ta keû caùc caùt tuyeán IAB vaø ICD tôùi ñöôøng troøn (A, B, C, D thuoäc (O)). Ñöôøng thaúng (d) caét AD vaø CB taïi caùc ñieåm E vaø F.
Chöùng minh: IE = IF.
Goïi M laø ñieåm baát kyø treân (d). Töø M keû caùc tieáp tuyeán MT vaø MT ‘ tôùi (O)
(T vaø T ‘ laø caùc tieáp ñieåm). Chöùng minh khi M di ñoäng treân (d) thì T T ‘ luoân ñi qua moät ñieåm coá ñònh.
Baøi 3: (1,5 ñieåm)
Vôùi moãi n Î N, ñaët a n =
27 n + 3 + 32 n + 1 . 54 n + 1
Ñònh n ñeå an laø moät soá nguyeân toá.
Goïi x laø soá chính phöông coù 8 chöõ soá, trong ñoù 4 chöõ soá ñaàu vaø 4 chöõ soá cuoái ñeàu lapä thaønh soá chính phöông lôùn hôn 0. Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa x.
Baøi 4: (1 ñieåm)
t + 2 + 2	2 t
t + 2 - 2	2 t
Cho haøm soá f (t ) =	+
Goïi x, y, z laø nhöõng giaù trò cuûa t ñeå f (t) nhoû nhaát vaø x + y + z = 3. Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa A = x 2 + y 2 + z 2.
Baøi 5: (1 ñieåm)
Cho moät soá höõu haïn caùc hình troøn caét nhau. Caùc phaàn giao naøy taïo thaønh moät hình hoaëc nhieàu hình coù dieän tích hoaëc toång dieän tích baèng 9.
Chöùng minh raèng: Hoaëc toàn taïi moät hình troøn, hoaëc toàn taïi moät soá hình troøn ñoâi moät khoâng caét nhau sao cho dieän tích cuûa noù hoaëc toång dieän tích cuûa chuùng lôùn hôn 1.
Baøi 1: (2 ñieåm)
Thöïc hieän pheùp tính:
14 -	7
1 -
2
15 -	5
1 -
3
7
5
216
3	6
æ	ö
ç	÷
ç	-	÷ . (	-	) +
è	ø
x
Giaûi phöông trình:	3 x - 7	+ 4 = 0 .
Baøi 2: (3 ñieåm)
Cho haøm soá y = ax2 (1)
Tìm giaù trò a ñeå ñoà thò haøm soá (1) ñi qua ñieåm (2; 1). Veõ ñoà thò (P) cuûa haøm soá
(1) öùng vôùi giaù trò cuûa a vöøa tìm ñöôïc.
Chöùng toû raèng: Trong cuøng moät heä truïc toïa ñoä, ñöôøng thaúng (d):
y = mx – 2(m + 1) luoân luoân caét ñoà thò (P) (ôû caâu 1) taïi hai ñieåm phaân bieät. Tìm m ñeå hai giao ñieåm cuûa (d) vaø (P) coù hoaønh ñoä döông.
Chöùng minh raèng ñöôøng thaúng (d) (ôû caâu 2) luoân luoân ñi qua moät ñieåm coá ñònh khi m thay ñoåi.
Baøi 3: (4 ñieåm)
Cho ñöôøng troøn taâm O, ñöôøng kính AB coá ñònh. C laø moät ñieåm coá ñònh treân ñoaïn thaúng OA (C khaùc A vaø O). M laø ñieåm di ñoäng treân ñöôøng troøn (O) sao cho ñöôøng thaúng
vuoâng goùc vôùi MC taïi M caét caùc tieáp tuyeán taïi A vaø B cuûa ñöôøng troøn (O) laàn löôït ôû D vaø E .
Chöùng minh caùc töù giaùc DMCA vaø CBEM laø caùc töù giaùc noäi tieáp ñöôïc ñöôøng troøn .
Chöùng minh heä thöùc:
1
CM 2
1
=
CD 2
1
+
CE 2
Chöùng minh raèng tích AD. BE khoâng ñoåi khi M di ñoäng treân ñöôøng troøn (O).
Xaùc ñònh vò trí cuûa ñieåm M treân (O) sao cho töù giaùc ABDE coù dieän tích nhoû nhaát.
Baøi 4: (1 ñieåm)
Cho caùc soá thöïc x, y, z thoûa maõn caùc ñieàu kieän: x + y + z = 5 vaø xy + yz + zx = 8
Chöùng minh raèng: 1 £ x £ 7 .
3
Baøi 1: (2,5 ñieåm)
Cho hai phöông trình aån x:
ax2 + bx + c = 0 vaø a(1 – x2) + c(1 – x) – b = 0
2 x 2 - 8x + 12
Chöùng minh raèng ít nhaát moät trong hai phöông trình coù nghieäm.
Giaûi phöông trình:
x 2 - 4x - 6 =
Baøi 2: (2 ñieåm)
Caùc soá a, b, x, y thoaû maõn ñieàu kieän x + y = a + b vaø x2 + y2 = a2 + b2 Chöùng minh raèng:	x2002 + y2002 = a2002 + b2002
Tìm caùc gía trò cuûa x, y ñeå bieåu thöùc P = -x2 – y2 + xy + 2x + 2y ñaït giaù trò lôùn nhaát vaø chæ roõ giaù trò lôùn nhaát ñoù.
Baøi 3: (1,5 ñieåm)
Cho caùc soá nguyeân döông x, y, z thoûa maõn ñieuà

kieän x2 + y2 + z2 chia heát cho 4
Chöùng minh raèng:	19x + 5y + 2001z khoâng theå laø soá chính phöông.
Baøi 4: (3 ñieåm)
Cho hình vuoâng ABCD coù ñoä daøi caïnh baèng a. Treân caïnh AD vaø CD laáy caùc ñieåm M, N sao cho MˆBN = 450, BM vaø BN caét AC theo thöù töï taïi E vaø F.
Chöùng minh raèng boán ñieåm M, N, E, F cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn.
Goïi H laø giao ñieåm cuûa MF vaø NE, I laø giao ñieåm cuûa BH vaø MN.
Chöùng minh raèng Khi M, N di ñoäng nhöng vaãn thoaû maõn ñieàu kieän ñaõ cho thì I
di ñoäng treân moät cung cuûa moät ñöôøng troøn coá ñònh. Xaùc ñònh cung troøn ñoù.
Tìm vò trí cuûa M, N (vaãn thoûa maõn ñieàu kienä MDN lôùn nhaát.
ñaõ cho) ñeå dieän tích tam giaùc
Baøi 5: (1 ñieåm)
Cho tam giaùc ABC coù ba ñænh ñeàu ôû trong ñöôøng troøn taâm O baùn kính R vaø coù dieän tích lôùn hôn R2.
Chöùng minh raèng O naèm trong tam giaùc ABC.
ÑEÀ THI TUYEÅN SINH VAØO LÔÙP 10 KHOÁI THPT CHUYEÂN TOAÙN – TIN TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC VINH NAÊM 2001
(Thôøi gian laøm baøi: 150 phuùt)
Baøi 1.

Tìm moät soá töï nhieân coù 4 chöõ soá maø toång cuûa soá ñoù vaø taát caû caùc chöõ soá cuûa noù baèng 2002.
Tìm x sao cho:
æ 1-	
ç
ç
è 1-
öæ 1+	
x x
x
x
֍
+	֍
øè 1+
ö
x x
x
x
-	÷÷ £ 5
ø
Baøi 2.

Giaûi phöông trình:
6 - 2 5
1 x2 + x +1 -	= 0
4
Tìm giaù trò nhoû nhaát vaø lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc:
2
A =	y
3x2 + 3xy + 2y2
Baøi 3.

Tìm nghieäm töï nhieân cuûa phöông trình: 10x2 + 29xy + 21y2 = 2001
Baøi 4.

ÔÛ veà phía ngoaøi cuûa tam giaùc ABC, ta döïng caùc hình vuoâng ABB1A2, BCC1B2, CAA1C2. Goïi M laø trung ñieåm cuûa caïnh BC.
Chöùng minh AM vuoâng goùc vôùi A1A2.
ÑEÀ THI TUYEÅN SINH VAØO LÔÙP 10 MOÂN TOAÙN AB TRÖÔØNG PHOÅ THOÂNG NAÊNG KHIEÁU - ÑHQG TP. HCM
NAÊM HOÏC 2001 – 2002 - Thôøi gian laøm baøi: 150 phuùt
x - 1
Baøi 1:

Cho phöông trình:

+ 2

m2

+ 6 m - 11 = 0
Giaûi phöông trình khi m = 2.
Chöùng minh phöông trình coù nghieäm vôùi moïi m.
Baøi 2:
Cho heä phöông trình:
ïì x +
í
y + m ( x3 + 2 x 2
+ 2 x y 2 +
y 3 )
= 1 - m
ï	x y
= - 6
Giaûi heä phöông trình khi m = 0.
Giaûi heä phöông trình khi m = 1.
Baøi 3:

Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh AB, CD cuûa hình chöõ nhaät ABCD.
Bieát raèng ñöôøng troøn ngoaïi tieáp hình chöõ nhaät ABCD coù ñöôøng kính baèng
8 + 2	3
vaø toàn taïi moät ñieåm I thuoäc ñoaïn MN sao cho goùc DAI = 450, goùc IDA = 300.
Tính dieän tích hình chöõ nhaät ABCD.
Goïi K, H laàn löôït laø troïng taâm cuûa caùc tam giaùc ADI vaø BIC. Tính dieän tích tam giaùc NKH.
Baøi 4:

Tam giaùc ABC coù goùc ABC = 300 vaø goùc ACB = 150. Goïi O laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc ABC vaø M, N, P, I laàn löôït laø trung ñieåm cuûa BC, CA, AB, OC.
Tính goùc PON. Chöùng minh A, M, I thaúng haøng.
Chöùng minh P laø tröïc taâm cuûa tam giaùc OMN.
Baøi 5:

Tìm taát caû caùc soá thöïc a vaø b sao cho

2 x + a

=	b x + 5

vôùi moïi soá thöïc x.
Cho a, b, c, d, e, f laø caùc soá thöïc thoûa ñieàu kieän:
a x + b +
c x + d
=	e x + f
vôùi moïi soá thöïc x.
Bieát a, c vaø e khaùc 0. Chöùng minh: ad = bc.
ÑEÀ THI TUYEÅN SINH VAØO LÔÙP 10
TRÖÔØNG PHOÅ THOÂNG NAÊNG KHIEÁU – ÑHQG TP.HCM
NAÊM HOÏC 2000 – 2001 - MOÂN TOAÙN AB (Thôøi gian laøm baøi: 150 phuùt)
Baøi 1:

Cho x1, x2 laø hai nghieäm cuûa phöông trình:	x2 – 7x + 3 = 0
Haõy laäp phöông trình baäc hai coù nghieäm laø 2x1 - x2 vaø 2x2 – x1.
Haõy tính giaù trò bieåu thöùc:	A =
2x1 −x2 + 2x2 −x1
Baøi 2:

Giaûi heä phöông trình:
ìx - 2y = 6
î
íxy = 8
Giaûi heä phöông trình:
ìx + y = z2
ï
íx = 2(y + z)
î
ïxy = 2(z + 1)
Baøi 3:

Giaûi phöông trình:

+ x +1 = 1
x
x
Goïi a, b laø soá ño moãi goùc trong cuûa hai ña giaùc ñeàu coù soá caïnh laàn löôït laø m
vaø n. Tìm m vaø n neáu
a = 5 .
b	7
Baøi 4:

Cho ta