Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Sơn Động năm học 2011 - 2012 môn thi: Toán

Phòng GD & ĐT sơn động
Đề thi chọn học sinh giỏi cấp HUYệN Năm học 2011 - 2012
Môn thi: Toán 
 Thời gian làm bài: 150 phút 
Bài I ( 5,5 điểm ):
1) Cho biểu thức:
 	a. Rút gọn P.	
 	c. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của P
2) Tính giá trị biểu thức K = 2x3 + 2x2 +1 tại x = 
3) Giải phương trình: 
Bài II( 2,5 điểm ):
1) Chứng minh rằng với thì không chia hết cho 9.
2) Cho x, y, z thỏa mãn Tính Q = x2 + y2.
Bài III ( 3 điểm ): 
1) Tìm x, y nguyên thỏa mãn 23x + 7y =17
2) Cho a, b, x, y là các số thực thoả mãn: và . 
Chứng minh rằng: 
Bài IV ( 4 điểm ): 
Cho hệ phương trình 
Giải hệ phương trình khi m = 
Xác định giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x,y) thỏa mãn x > y.
Cho x , y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện x + y + z = 2
CMR: 
Bài V ( 5 điểm ): 
1) Cho (O, R) và điểm K nằm bên trong đường tròn. Hãy tìm dây cung ngắn nhất của (O) đi qua K.
2) Cho đường tròn tâm O, đường kính BC và một điểm A trên nửa đường tròn( A khác B và C). Hạ AH vuông góc với BC ( H thuộc BC). Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A dựng hai nửa đường tròn đường kính HB và HC, chúng lần lượt cắt AB và AC tại E và F.
 	 a. Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC.
 	 b. Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn đường kính HB và HC.
 	 c. Gọi I và K lần lượt là hai điểm đối xứng với H qua AB và AC. Chứng minh rằng ba điểm I, A, K thẳng hàng.
 	 d. Đường thẳng IK cắt tiếp tuyến kẻ từ B của nửa đường tròn (O) tại M. Chứng minh rằng MC, AH, EF đồng quy.
Đáp án
Môn Toán 9
Câu
Nội dung
Điểm
I/1
1) Cho biểu thức:
 	a. Rút gọn P.	
 	c. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của P
2,5
* ĐKXĐ: 
0,75
a
HS rút gọn ra kq 
0,75
KL: 
I/2
2) Tính giá trị biểu thức K = 2x3 + 2x2 +1 tại 
x = 
1,5
x = 
27x3 + 27x2+9x+1=+3(3x+1)
27x3 + 27x2=
2x3+2x2+1=2
0,75
0,75
I/3
3) Giải phương trình: 
1,5
ĐK: 
+ Sử dụng bất đẳng thức cô si hoặc Bu nhi a đánh giá VT 2
+ Đánh giá VP 
Do đó: PT 
KL.
0,75
0,75
II/1
1) Chứng minh rằng với thì không chia hết cho 9.
1,5
Giả sử tồn tại số tự nhiên để 
Đặt . Vì (1)
Ta có: 
Vì 
 không chia hết cho 9 không chia hết cho 9 (2)
Ta thấy (1) và (2) mâu thuẫn. Vậy điều giả sử là sai.
Vậy ng với thì không chia hết cho 9.
0,75
0,75
II/2
2) Cho x, y, z thỏa mãn Tính Q = x2 + y2.
1
III/1
1) Tìm x, y nguyên thỏa mãn 23x + 7y =17
1
+) 
+) có x,y là số nguyên 
Do đó: x+2 = 7t ( t là số nguyên)x = 7t-2
Khi đó: y = -23t+6
Thử lại ta được x = 7t-2 và y = -23t+6 là nghiệm nguyên của pt
0,25
0,25
0,5
III/2
Ta có: nên 
2
a
Từ đó: 
KL:
0,25
0,25
0,25
b
IV/1
Cho hệ phương trình 
Giải hệ phương trình khi m = 
Xác định giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x,y) thỏa mãn x>y.
2,25
a
Thay m = 1/2 và giảI hệ PT
0,75
b
+) Nếu m = 0 thì HPT vô nghiệm
+) Nếu m khác 0 thì HPT có nghiệm duy nhất là: 
x>y
Vậy, m0; my
0,5
0,25
0,5
0,25
IV/2
Cho x , y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện x + y + z=2
 CMR: 
1,75
áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=
KL
0,5
0,5
0,5
0,25
V
1) Cho (O:R) và điểm K nằm bên trong đường tròn. Hãy tìm dây cung ngắn nhất của (O) đi qua K.
1
Gọi AB là dây cung đi qua K và vuông góc với AB
CD là dây cung bất kì đi qua K và không trùng với AB.
Kẻ OH vuông góc với CD tại H.
Nếu H trùng với K thì OK AB; OKCD. Suy ra AB trùng với CD. Mâu thuẫn
Vậy H không trùng với K. 
DO OHCD nên OH AB.
Vậy dây cung vuông góc với OK tại K là dây cung ngắn nhất đI qua K
0,25
0,25
0,5
2) Cho đường tròn tâm O, đường kính BC và một điểm A trên nửa đường tròn( A khác B và C). Hạ AH vuông góc với BC ( H thuộc BC). Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A dựng hai nửa đường tròn đường kính HB và HC, chúng lần lượt cắt AB và AC tại E và F.
 	 a. Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC.
 	 b. Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn đường kính HB và HC.
 	 c. Gọi I và K lần lượt là hai điểm đối xứng với H qua AB và AC. Chứng minh rằng ba điểm I, A, K thẳng hàng.
 	 d. Đường thẳng IK cắt tiếp tuyến kẻ từ B của nửa đường tròn (O) tại M. Chứng minh rằng MC, AH, EF đồng quy.
4
a,
Xét tam giác vuông ABH có HEAB
 AB.AE = AH2 (1)	
Xét tam giác vuông ACH có HFAC
 AC.AF = AH2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra AE.AB = AF.AC.
b,
Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của HB và HC 
Ta có tam giác PEH cân tại P, suy ra góc HEP = góc PHE
Góc HCF = góc PHE (đồng vị) suy ra góc HEP = góc HCF
Mặt khác AEHF là hình chữ nhật nên ta có: 
góc HEF = góc HAF. Từ đẳng thức trên ta suy ra:
góc HEP + gócHEF = góc HCF + HAF = 900
suy ra EF PE, do đó EF là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BH.
Chứng minh tương tự ta có: EF là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CH.
c, 
 Góc IAH bằng 2 lần góc BAH
Góc KAH bằng 2 lần góc CAH
Suy ra góc IAH + góc KAH =2( góc BAH + góc CAH) = 1800
Suy ra I, A và K thẳng hàng
d, 
Gọi N là giao điểm của BM và CA 
Theo tính chất tiếp tuyến ta có MB = MA, vì tam giác BAN vuông tại A nên M là trung điểm của BN. Mặt khác AH // BN suy ra CM đi qua trung điểm của AH.
Do tứ giác AEHF là hình chữ nhật nên EF đi qua trung điểm của AH.
Suy ra CM, AH, EF đồng quy