Bộ đề ôn thi học sinh giỏi và thi vào lớp chuyên môn Toán 9

BỘ §Ò thi häc sinh giái To¸n 9
ĐỀ 1:
Bµi 1 (1 ®): Cho : M = x2 + y2+xy-3x-3y+2011. Víi gi¸ trÞ nµo cña x,y th× M ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. T×m gi¸ trÞ ®ã?
Bµi 2 (1 ®): CMR víi mäi n N*
Bµi 3 (1,5 ®): Gi¶i ph­¬ng tr×nh 
a/ + = 6x -5-x2	b/ 
Bµi 4 (0,5 ®): Chøng minh r»ng x, y, z, + + ®Òu lµ c¸c sè h÷u tØ th× ,, còng lµ c¸c sè h÷u tØ.
Bµi 5 (1,5 ®): 
1/ Chøng minh r»ng nÕu mét ®­ëng th¼ng kh«ng ®i qua gèc to¹ ®é, c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng a, c¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã tung ®é b»ng b th× ®­êng th¼ng ®ã cã d¹ng 
2/Cho ®­êng th¼ng (m – 2)x + (m – 1)y = 1 
a/ Chøng minh r»ng ®­êng th¼ng lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh víi mäi m.
c/ TÝnh gi¸ trÞ cña m ®Ó kho¶ng c¸ch tõ gèc to¹ ®é O ®Õn ®­êng th¼ng lµ lín nhÊt.
Bµi 6 (2,5 ®): Cho tam gi¸c OAB (OA = OB). VÏ ®­êng cao OH, AK biÕt OA = a, .
a/ TÝnh c¸c c¹nh tam gi¸c AKB theo a vµ .
b/ TÝnh c¸c c¹nh cña c¸c tam gi¸c OKA vµ AKB theo a vµ 2. Tõ ®ã biÓu diÔn sin2, cos2 theo sin, cos.
Bµi 7 (2 ®) :
Cho h×nh vu«ng ABCD. O lµ mét ®iÓm thuäc miÒn trong h×nh vu«ng sao cho OA : OB : OC = 1 : 2 : 3. TÝnh sè ®o gãc AOB ?
Mét sè §Ò luyÖn thi vµo chuyªn To¸n 9
®Ò 1’
Bµi 1 (1 ®): Cho : M = x2 + y2+xy-3x-3y+2011. Víi gi¸ trÞ nµo cña x,y th× M ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. T×m gi¸ trÞ ®ã?
Bµi 2 (1 ®): Chøng minh r»ng víi mäi n N*
Bµi 3 (1,5 ®):
Gi¶i ph¬ng tr×nh 
a/ + = 6x -5-x2	b/ 
Bµi 4 (0,5 ®): Chøng minh r»ng x, y, z, + + ®Òu lµ c¸c sè h÷u tØ th× ,, còng lµ c¸c sè h÷u tØ.
Bµi 5 (1,5 ®): 
1/ Chøng minh r»ng nÕu mét ®ëng th¼ng kh«ng ®i qua gèc to¹ ®é, c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng a, c¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã tung ®é b»ng b th× ®êng th¼ng ®ã cã d¹ng 
2/Cho ®êng th¼ng (m – 2)x + (m – 1)y = 1 
a/ Chøng minh r»ng ®êng th¼ng lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh víi mäi m.
c/ TÝnh gi¸ trÞ cña m ®Ó kho¶ng c¸ch tõ gèc to¹ ®é O ®Õn ®êng th¼ng lµ lín nhÊt.
Bµi 6 (2,5 ®): Cho tam gi¸c OAB (OA = OB). VÏ ®êng cao OH, AK biÕt OA = a, .
a/ TÝnh c¸c c¹nh tam gi¸c AKB theo a vµ .
b/ TÝnh c¸c c¹nh cña c¸c tam gi¸c OKA vµ AKB theo a vµ 2. Tõ ®ã biÓu diÔn sin2, cos2 theo sin, cos.
Bµi 7 (2 ®) :
Cho h×nh vu«ng ABCD. O lµ mét ®iÓm thuäc miÒn trong h×nh vu«ng sao cho OA : OB : OC = 1 : 2 : 3. TÝnh sè ®o gãc AOB ?
§Ò 2
Bµi 1: (8 ®iÓm) Cho parabol .
ViÕt ph¬ng tr×nh c¸c tiÕp tuyÕn cña (P), biÕt c¸c tiÕp tuyÕn nµy ®i qua ®iÓm .
Gäi d lµ ®êng th¼ng ®i qua ®iÓm vµ cã hÖ sè gãc m. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ®êng th¼ng d c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt M vµ N, khi ®ã t×m quÜ tÝch trung ®iÓm I cña ®o¹n th¼ng MN khi m thay ®æi.
T×m quÜ tÝch c¸c ®iÓm M0 tõ ®ã cã thÓ kÎ ®îc hai tiÕp tuyÕn cña parabol (P) vµ hai tiÕp tuyÕn nµy vu«ng gãc víi nhau.
Bµi 2: (4®iÓm)
Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:
Bµi 3: (8 ®iÓm)
Cho nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB cè ®Þnh. C lµ mét ®iÓm bÊt k× thuéc nöa ®êng trßn. ë phÝa ngoµi tam gi¸c ABC, vÏ c¸c h×nh vu«ng BCDE vµ ACFG. Gäi Ax, By lµ c¸c tiÕp tuyÕn cña nöa ®êng trßn.
Chøng minh r»ng khi C di chuyÓn trªn nöa ®êng trßn ®· cho th× ®êng th¼ng ED lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh vµ ®êng th¼ng FG lu«n ®i qua ®iÓm cè ®Þnh kh¸c.
T×m quÜ tÝch cña c¸c ®iÓm E vµ G khi C di chuyÓn trªn nöa ®êng trßn ®· cho.
T×m quÜ tÝch cña c¸c ®iÓm D vµ F khi C di chuyÓn trªn nöa ®êng trßn ®· cho.
§Ò 3
Bµi 1: (7 ®iÓm)Gi¶i ph¬ng tr×nh: 
Chøng minh r»ng nÕu a, b, c lµ c¸c sè kh«ng ©m vµ b lµ sè trung b×nh céng cña a vµ c th× ta cã:
Bµi 2: (6 ®iÓm)T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña .
T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh:
Bµi 3: (7 ®iÓm)
Cho ®êng trßn t©m O, b¸n kÝnh R, hai ®êng kÝnh AB vµ CD vu«ng gãc víi nhau. E lµ ®iÓm bÊt k× trªn cung AD. Nèi EC c¾t OA t¹i M, nèi EB c¾t OD t¹i N. 
Chøng minh r»ng tÝch lµ mét h»ng sè. Suy ra gi¸ trÞ nhá nhÊt cña tæng , khi ®ã cho biÕt vÞ trÝ cña ®iÓm E ?
Gäi GH lµ d©y cung cè ®Þnh cña ®êng trßn t©m O b¸n kÝnh R ®· cho vµ GH kh«ng ph¶i lµ ®êng kÝnh. K lµ ®iÓm chuyÓn ®éng trªn cung lín GH. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña K ®Ó chu vi cña tam gi¸c GHK lín nhÊt.
§Ò 4
Bµi 1: (8 ®iÓm)Cho ph¬ng tr×nh .
T×m c¸c gi¸ trÞ cña ®Ó ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt.
T×m c¸c gi¸ trÞ cña ®Ó ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt vµ tho¶ m·n hÖ thøc .
Gi¶ sö ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm kh«ng ©m. T×m gi¸ trÞ cña ®Ó nghiÖm d¬ng cña ph¬ng tr×nh ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt.
Bµi 2: (4®iÓm)Gi¶i ph¬ng tr×nh: (2)
Bµi 3: (8 ®iÓm)Cho tam gi¸c ABC cã ( lµ hai ®é dµi cho tríc), H×nh ch÷ nhËt MNPQ cã ®Ønh M trªn c¹nh AB, N trªn c¹nh AC, P vµ Q ë trªn c¹nh BC ®îc gäi lµ h×nh ch÷ nhËt néi tiÕp trong tam gi¸c ABC.
T×m vÞ trÝ cña M trªn c¹nh AB ®Ó h×nh ch÷ nhËt MNPQ cã diÖn tÝch lín nhÊt. TÝnh diÖn tÝch lín nhÊt ®ã.
Dùng h×nh vu«ng EFGH néi tiÕp trong tam gi¸c ABC b»ng thíc kÎ vµ com-pa. TÝnh diÖn tÝch cña h×nh vu«ng ®ã. 
§Ò 5
Bµi 1: (7 ®iÓm) 1. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: 	
Chøng minh r»ng nÕu a, b, c lµ c¸c sè tho¶ m·n c¸c bÊt ®¼ng thøc:
	Th× 
Bµi 2: (6 ®iÓm) X¸c ®Þnh h×nh vu«ng cã ®é dµi c¹nh lµ sè nguyªn vµ diÖn tÝch còng lµ sè nguyªn gåm 4 ch÷ sè, trong ®ã c¸c ch÷ sè hµng ®¬n vÞ, hµng chôc vµ hµng tr¨m gièng nhau.
A, B, C lµ mét nhãm ba ngêi th©n thuéc. Cha cña A thuéc nhãm ®ã, còng vËy con g¸i cña B vµ ngêi song sinh cña C còng ë trong nhãm ®ã. BiÕt r»ng C vµ ngêi song sinh cña C lµ hai ngêi kh¸c giíi tÝnh vµ C kh«ng ph¶i lµ con cña B. Hái trong ba ngêi A, B, C ai lµ ngêi kh¸c giíi tÝnh víi hai ngêi kia ?
Bµi 3: (7 ®iÓm) Cho ®êng trßn (O) t©m O, b¸n kÝnh R, hai ®êng kÝnh AB vµ CD vu«ng gãc víi nhau. §êng trßn (O1) néi tiÕp trong tam gi¸c ACD. §êng trßn (O2) tiÕp xóc víi 2 c¹nh OB vµ OD cña tam gi¸c OBD vµ tiÕp xóc trong víi ®êng trßn (O). §êng trßn (O3) tiÕp xóc víi 2 c¹nh OB vµ OC cña tam gi¸c OBC vµ tiÕp xóc trong víi ®êng trßn (O). §êng trßn (O4) tiÕp xóc víi 2 tia CA vµ CD vµ tiÕp xóc ngoµi víi ®êng trßn (O1). TÝnh b¸n kÝnh cña c¸c ®êng trßn (O1), (O2), (O3), (O4) theo R.
§Ò 10
Bài 1 (4đ). Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : 
a) 4x2 – 49 – 12xy + 9y2
b) x2 + 7x + 10 
Bài 2 (4đ) Cho 
a) Rút gọn A. 
b) Tìm x nguyên để A nguyên.
Bài 3 (4đ). Giải phương trình
b) x2 – 2 = (2x + 3)(x + 5) + 23
Bài 4 (6đ). Tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao AD, BE, CF gặp nhau tại H. Đường thẳng vuông góc với AB tại B và đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt nhau tại G.
Chứng minh rằng GH đi qua trung điểm M của BC.
∆ABC ~ ∆AEF
H cách đều các cạnh của tam giác DDEF
Bài 5 (1đ). Cho ba số thực x, y và z sao cho x + y + z = 1. Chứng minh rằng
Bài 6 (1đ). Giải bất phương trình 
HẾT
§¸p ¸n
Gợi ý đáp án
Điểm
Bài 1a)
 4x2-49-12xy+9y2=(4x2-12xy+9y2)-49
=(2x-3y)2-72=(2x-3y+7)(2x-37-7)
(1 đ)
(1đ)
Bài 1b)
x2+7x+10 =x2+5x+2x+10
=x(x+5) +2(x+5) =(x+5)(x+2)
(1đ)
(1đ)
Bài 2a) x2-7x+10=(x-5)(x-2). Điều kiện để A có nghĩa là 
x ≠5và x ≠2
(0,5đ)
(2đ)
2b), với x nguyên, A nguyên khi và chỉ khi nguyên, khi đó x-2=1 hoặc x-2 =-1 nghĩa là x=3, hoặc x=1.
(1,5đ)
Bài 3a) Ta xét các trường hợp sau
TH1: 
Ta thấy x=3 thuộc khoảng đang xét vậy nó là nghiệm của phương trình.
TH2:
Ta thấy x=0,2 không thuộc khoảng đang xét vậy nó không là nghiệm của phương trình.
Kết luận phương trình có nghiệm x=3.
(1đ)
(1đ)
Bài 3b) x2-2=(2x+3)(x+5)+23 Ûx2-25=(2x+3)(x+5)
Û(x-5)(x+5)=(2x+3)(x+5) Û(x-5)(x+5)-(2x+3)(x+5)=0
Û(x+5) [x-5 –(2x+3)] = 0 Û(x+5)(-x-8)=0 Û x-5=0 hoặc x+8 =0 Û x=-5 hoặc x=-8
(2đ)
Bài 4a) Ta có BG ^AB, CH ^AB, nên BG //CH,
 tương tự: BH ^AC, CG ^AC, nên BH//CG.tứ giác BGCH có các cặp cạnh đối sông song nên nó là hình bình hành. Do đó hai đường chéo GH và BC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Vậy GH đi qua trung điểm M của BC.
(2đ)
4b) Do BE và CF là các đường cao của tam giác ABC nên các tam giác ABE và ACF vuông. Hai tam giác vuông ABE và ACF có chung góc A nên chúng đồng dạng. Từ đây suy ra 
Hai tam giác ABC và AEF có góc A chung (2). Từ (1) và (2) ta suy ra ∆ABC ~ ∆AEF.
(1,5đ)
4c) Chứng minh tương tự ta được ∆BDF~∆BAC, ∆EDC~∆BAC, suy ra ∆BDF~∆DECÞ.
(1,5đ)
4d) Ta có 
Suy ra DH là tia phân giác góc EDF. Chứng minh tương tự ta có FH là tia phân giác góc EFD. Từ đây suy ra H là giao điểm ba đường phân giác tam giác DEF. Vậy H các đều ba cạnh của tam giác DEF.
(1đ)
Bài 5) Ta có
 x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y)3 + z3 – 3xyz – 3xy(x + y)
= (x + y + z)[(x + y)2 – (x + y)z + z2] – 3xy(x + y + z)
= (x + y + z)[(x + y)2 – (x + y)z + z2 – 3xy]= x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx 
= 
= dpcm
1đ
Bài 6) Điều kiện , bất phương trình 	
Hoặc biểu diễn trên trục số : 
1đ
§Ò 11
Bài 1: a) Giải phương trình: .
 b) Tìm x, y thoả mãn:.
Bài 2. Rút gọn .
Bài 3. Tìm GTNN (nếu có) của các biểu thức sau:
.
.
Bài 4. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên đường kính AB lấy hai điểm I và J đối xứng nhau qua O. M là một điểm (khác A và B) trên (O); các đường thẳng MO, MI, MJ thứ tự cắt (O) tại E, F, G; FG cắt AB tại C. Đường thẳng đi qua F song song AB cắt MO, MJ lần lượt tại D và K. Gọi H là trung điểm của FG.
Chứng minh tứ giác DHEF nội tiếp được.
Chứng minh CE là tiếp tuyến của đường tròn (O).
.................................................
ĐÁP ÁN
Bài 1: a) .
 (vì ).
b) 
Bài 2..
Bài 3. 
Vậy, Pmin=8 khi 
Vậy, Qmin=2006 khi 
Bài 4.
a) Ta có: 
mà nội tiếp được.
 b) Từ câu a suy ra 
 mà nội tiếp được
 . Vậy CE là tiếp tuyến của (O).
De 12
Baìi 1 (2 âiãøm): Cho biãøu thæïc 
a) Phán têch A thaình nhán tæí.
b) Tçm càûp säú x, y thoaí maîn âiãöu kiãûn y - x = âäöng thåìi A = 0
Baìi 2 (2 âiãøm):
	Cho biãøu thæïc M = x2 + 2y2 + 3z2 + 4t2 våïi x, y, z, t laì caïc säú nguyãn khäng ám. Tçm caïc giaï trë cuía x, y, z, t âãø biãøu thæïc M coï giaï trë nhoí nháút thoaí maîn âiãöu kiãûn:
	2x2 - 2y2 + 5t2 = 30
	x2 + 8y2 + 9z2 = 168
Baìi 3 (2 âiãøm):
	Cho haìm säú f(x) = 	(x Î R)
a) Chæïng minh ràòng våïi hai giaï trë x1 , x2 tuyì yï cuía x sao cho 1≤ x1< x2 thç f(x1) < f(x2) 
b) Våïi giaï trë naìo cuía x thç 
Baìi 4 (4 âiãøm):
	Cho tam giaïc cán ABC (AB = AC), âæåìng cao AH. Trãn caûnh BC láúy 2 âiãøm M vaì E sao cho ME = BC (BM < BE). Qua M keí âæåìng thàóng vuäng goïc våïi BC càõt AB taûi D. Qua E keí âæåìng thàóng vuäng goïc våïi DE càõt âæåìng thàóng AH taûi N.
a) Chæïng minh: BM . BH = MD . HN
b) Chæïng toí N laì mäüt âiãøm cäú âënh.
c) Biãút AB = 5 cm, BC = 6 cm. Tênh khoaíng caïch giæîa tám âæåìng troìn näüi tiãúp vaì tám âæåìng troìn ngoaûi tiãúp cuía tam giaïc ABC.
HÆÅÏNG DÁÙN CHÁÚM ÂÃÖ THI HOÜC SINH GIOÍI NÀM 2006-2007
Män: Toaïn - Låïp 9
Baìi 1(2 âiãøm)
a) (1 âiãøm)
 (0,5 â)
 (0,5 â)
b) (1 âiãøm)
	 	hoàûc	 	hoàûc	
Û
Û
Û
* 	 
Û
Û
* 
Û
Û
* 
hoÆc
hoÆc
Û
Û
Váûy coï 3 càûp säú thoía maîn âiãöu kiãûn A = 0 vaì laì:
 (; ) ; (x = ; y = ) vaì (; )
Baìi 2 (2 âiãøm)
	Tæì 	2x2 - 2y2 + 5t2 = 30 vaì x2 + 8y2 + 9z2 = 168
	Suy ra: 3x2 + 6y2 + 9z2 + 5t2 = 198
	 3(x2 + 2y2 + 3z2 + 4t2 ) = 198 + 7t2
 3M = 198 + 7t2
	Giaï trë nhoí nháút cuía M laì 66 khi t = 0
	Do âoï: 2x2 - 2y2 = 30 (1) vaì x2 + 8y2 + 9z2 = 168 (2)
	Tæì (1) Þ (x + y)(x - y ) = 15 
	Vç x, y laì caïc säú nguyãn khäng ám, nãn x + y = 15 vaì x - y = 1 (3)
	Hoàûc: x + y = 5 vaì x - y = 3 (4)
	Tæì (3) Þ x = 8, y = 7, caïc giaï trë naìy khäng thoía (2)
	Tæì (4) Þ x = 4, y = 1. Thay vaìo (2) ta coï:
	 16 + 8 + 9z2 = 168
 9z2 = 144
 z2 = 16
 z = 4 (z = - 4 loaûi)
	Váûûy giaï trë nhoí nháút cuía M laì 66, khi: x = 4, y = 1, z = 4, t = 0
Baìi 3 (2 âiãøm) 
a) 1 âiãøm
- Våïi x1 = 1, x2 >1 thç f(x1) = 0, f(x2) > 0 nãn f(x1) < f(x2) 
- Nãúu x ¹ 1, ta coï 
Våïi 1 
Do âoï: < hay f(x1) < f(x2) 
Váûy våïi 1£ x1 < x2 	 thç f(x1) < f(x2) 
b) 1 âiãøm 
f(x) > > > > 0
	 Û x (x - 2) > 0 Û x > 2 hoàûc x < 0 (1) 
 f(x) <Û< Û 4x2 - 8x + 4 < 3x2 - 6x + 6
	 Û x2 - 2x - 2 < 0 Û (x - 1)2 - 3 < 0 Û (x -1 + ) (x - 1 - ) < 0
	 Û 1 - < x < 1 + (2)
	Tæì (1) vaì (2) suy ra < f(x) < Û 1 - < x < 0 hoàûc 2 < x < 1 + 
Baìi 4 (4 âiãøm)
 A
 D
a) Xeït D MDE vaì D HEN coï:
 = = 900
 = (goïc coï caûnh tæång æïng vuäng goïc)
nãn DMDE ∾ DHEN , suy ra: 
Hay MD.HN = HE.ME
Do BH = ME () nãn BM = HE
Do âoï: MD.HN = BM.BH (1)
b) 	Tæì (1) Þ (2)
DABH coï MD//AH nãn (3)
Tæì (2) vaì (3) Þ Þ 
N Î AH cäú âënh vaì HN khäng thay âäøi nãn N laì âiãøm cäú âënh.
c)	
 A
K
I
 P 
 B H C
BC = 6cm Þ BH = 3cm
DAHB () coï AH2 = AB2 - BH2
 = 52 - 32 = 16 = 42
 Þ AH = 4cm
Goüi K laì tám âæåìng troìn näüi tiãúp ABC, thç BK laì phán giaïc cuía vaì K AH.
 Do âoï: 
Suy ra: 
 KH = 1,5cm
 KA = 2,5cm
Goüi I laì tám dæåìng troìn ngoaûi tiãúp DABC thç IP laì âæåìng trung træûc cuía caûnh AB vaì I AH nãn .
DABH () coï cos ()
DAPI () coï cos ()Þ
	Do âoï KI = AI - AK = 3,125 - 2,5 = 0,625 (cm)
Váûy khoaíng caïch giæîa tám âæåìng troìn ngoüai tiãúp vaì tám âæåìng troìn näüi tiãúp cuía tam giaïc ABC laì 0,625cm.
®Ò 13
Bài 1: (2 điểm) 
Rút gọn biểu thức
 với x > 0, y > 0
Bài 2: (4 điểm) 
a. Xác định m để phương trình sau vô nghiệm
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
A = (x – 2y + 1)2 + (2x – 4y + 7)2.
Bài 3: (2 điểm)
Bốn người 1; 2; 3; 4 tham dự một hội nghị. Biết rằng :
a. Mỗi người chỉ biết hai trong bốn thứ tiếng Anh, Nga, Pháp, Việt.
b. Người 1 biết tiếng Nga, không biết tiếng Pháp.
c. Người 2 biết tiếng Anh, không biết tiếng Pháp và phải phiên dịch cho người 1 và người 3.
d. Người 4 không biết tiếng Nga, không biết tiếng Việt nhưng nói chuyện trực tiếp được với người 1.
Hỏi mỗi người biết các thứ tiếng nào ?
Bài 4: (4 điểm) 
a. Cho a ³ b, x ³ y. Chứng minh (a + b) (x + y) £ 2(ax + by) (1)
b. Cho a + b ³ 2. Chứng minh a2006 + b2006 £ a2007 + b2007	(2)
Bài 5: (8 điểm) 
Cho đoạn thẳng AB = a .
a. Nêu cách dựng và dựng ABC sao cho và trực tâm H của ABC là trung điểm của đường cao BD. 	(2 điểm)
b. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC, vẽ đường kính AG, HG cắt BC tại K. Chứng minh OKBC.	(2 điểm)
c. Chứng minh cân và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC theo a.	(2 điểm)
d. Tính diện tích tam giác ABC theo a.	(2 điểm)
 cd 
®Ò 14 
Câu 1/ (1đ) Cho x = .Chứng minh rằng x là một số nguyên . 
Câu 2/ (1,5đ) Cho x > 0 , y > 0 , t > 0 . 
Chứng minh rằng : .
Câu 3/(1,5đ) Cho đa thức bậc hai f(x)= ax2 + bx + c có nghiệm dương x = m . Chứng minh rằng đa thức g(x) = cx2 + bx + a (c≠0) cũng có nghiệm dương x = n và thỏa mãn m + .
Câu 4/ (2đ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d(m) có phương trình :
(m -1)x+ (m -2)y - 1 = 0 (m là tham số) . 
Tìm m để khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d(m) có giá trị lớn nhất . Xác định đường thẳng đó .
Câu 5/ (4đ) Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) và (O; r) với R > r. Lấy A và E là hai điểm thuộc đường tròn (O; r) , trong đó A di động , E cố định ( với A ≠ E) . Qua E vẽ một đường thẳng vuông góc với AE cắt đường tròn (O; R) ở B và C . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB .
a/ (1,5đ) Chứng minh EB2 +EC2 + EA2 không phụ thuộc vị trí điểm A .
b/ (1,5đ) Chứng minh rằng khi điểm A di động trên đường tròn (O; r) và A≠ E thì đường thẳng CM luôn đi qua một điểm cố định ( gọi tên điểm cố định là K ) .
c/ (1đ) Trên tia AK đặt một điểm H sao cho AH = AK . Khi A di động trên đường tròn (O;r) thì điểm H di động trên đường nào ? Chứng minh nhận xét đó ?
 Đáp án 
Câu
Nội dung
Điểm
Câu1
(1đ)
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
Câu 2
 (1,5đ)
 Từ đẳng thức với điều kiện do đề bài đã cho suy ra :
 (1)
 (2)
 (2) (3)
 Từ (3) 
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,5 đ
Câu 3
(1,5đ)
Ta có : x = m là nghiệm của đa thức f(x)= ax2 + bx + c
0,25 đ
0,25đ
0,25đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25
Câu 4
(2đ)
Nếu m =1 thì d(1) là đường thẳng y= -1 nên khoảng cách từ O đến d(1) là 1
Nếu m =2 thì d(2) là đường thẳng x = 1 nên khoảng cách từ O đến d(2) là 1 
 (1)
Nếu m ≠1 và m≠ 2 thì d(m) cắt trục hoành tại Avà cắt trục tung tại BGọi OH là khoảng cách từ O đến đường thẳng AB ta có :
Từ (1) và (2) và do 1 < suy ra khoảng cách lớn nhất từ O đến d(m) là
 Khi đó đường thẳng d có công thức là x - y- 2 = 0 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Câu 5
Câu a (1,5đ) 
Câu b (1,5đ)
Câu c
 (1đ)
Gọi G là trung điểm BC thì OGBC (đl) suy ra 
 GB = GC và GE = GD (đl) 
và OG là đường trung bình ADE nên OG=AE hay AE = 2OG 
Ta có EB2+EC2= (BG-EG)2+ (GC+ GD)2=(BG-EG)2+(BG+EG)2 
Suy ra EB2+EC2= 2(BG2 +EG2) 
Áp dụng định lý Pi ta go vào các tam giác vuông OGE và OGB ta có :
OG2+GE2= r2 và OG2+GB2= R2 
Do đó EB2+EC2+EA2=2(BG2 +EG2)+4OG2 =2 (BG2+OG2)+2 (EG2+OG2)
 = 2R2 +2r2 ( không đổi)
Trường hợp đặc biệt :
Thì chứng minh trên vẫn đúng
Hai tam giác ABC và ADE có chung trung tuyến AG nên có chung trọng tâm 
Mà tam giác ADE có trung tuyến OE cố định , 
Nên điểm cố định K mà trung tuyến CM của ABC đi qua chính là trọng tâm của ADE
Do H thuộc tia AK, mà K là trọng tâm ADE và AH AK nên H trùng với G ( là trung điểm chung của hai đoạn thẳng DE và BC ) 
Mà vuông tại E ( chứng minh trên) , O,E cố định (theo gt) )
 Vậy khi A di động trên đường tròn (O; r) thì H di động trên đường tròn đường kính OE 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
§Ò 15
Bài 1: (3 điểm)
a. Cho n là một số nguyên dương. Hãy so sánh:
 và 
b. Tính:
Bài 2: (3 điểm) 
Chứng minh rằng:
 với và 
Bài 3: (4 điểm) 
Cho đường tròn tâm O có 2 đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của OA và OB. Đường thẳng CN cắt (O) tại I. 
Chứng minh .
De 16
Bài1: ( 1,5 điểm)Tìm x, y Î biết
x2 -25 = y(y+6) 
1+x + x2 +x3 = y3
Bài 2: ( 1, 5 điểm) Cho P = 
Tìm điều kiện của x để P có nghĩa.
Rút gọn P.
Bài3: ( 2,5 điểm)Cho Parabol (P) :y= và đường thẳng (D) qua 2 điểm A và B trên (P) có hoành độ lần lượt là -2 và 4
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đó.
Viết phương trình đường (D).
Tìm vị trí của điểm M trên cung AB của (P) tương ứng hoành độ x [-2 , 4] sao cho D AMB có diện tích lớn nhất .
Bài 4: ( 3, 5 điểm) 
Cho hình vuông ABCD có tâm O , vẽ đường d quay quanh O cắt 2 cạnh AD và BC lần lượt ở E và F ( E,F không trùng các đỉnh hình vuông).Từ E và F lần lượt vẽ các đường thẳng song song với BD và AC cắt nhau ở I.
Tìm quỹ tích của điểm I.
Từ I vẽ đường vuông góc với EF tại H.Chứng tỏ rằng H thuộc đường tròn cố định và đường IH đi qua điểm cố định.
Bài 5: ( 1 điểm) Chứng minh rằng: 
ĐÁP ÁN
Bài 1: ( 1, 5 điểm)
a) x2 -25 = y(y+6) x2 – ( y +3) 2 = 16 (1) 
Và từ (1) Mặt khác và có cùng tính chất chẵn lẽ 
 nghiệm là các bộ số (4;-3) ; ( -4; -3) ; (5 ; 0) ; ( -5; 0 ) ; ( 5; -6) ; ( -5; -6)
b)Xét x = -1 ; x = 0 y tương ứng
Xét x 0 và x -1 =>x (x+1) >0
=> x3 < y3 < (x+1)3 : Vô lý 
=> Bộ số (x ,y) là (0 ; 1) ; ( -1; 0)
Bài 2: ( 1, 5 điểm)
 TXĐ 1 
( nếu 1 x < 2) 
( nếu x > 2)
Bài 3: ( 2, 5 điểm)
Khảo sát ( tự làm)
A(-2;yA ) (P) ; B(a; yB) (P) => A( -2 ;1)
 	 B( 4 ; 4)
 Phương trình (D) : y = 
D AMB có AB không đổi => SAMB max MH max ( MH ^ AB) lúc đó M (d) //AB và tiếp xúc (P)
(d) : y= 
 M là tiếp điểm của (d) với (P) => M( 1 ; )
Bài 4 : ( 3, 5 điểm)
Tìm quỹ tích
Thuận:D AEI vuông cân => AE = AI ; D AOE = DOCF
=>AI = CF => FI //AB=> I AB ( cố định)
* Giới hạn I AB và trừ 2 điểm A và B
* Đảo : Gọi I’ bất kỳ trên AB ( A , B ) .Gọi E’, F’ là điểm đối xứng của I’ qua AC và BD
=>OA là phân giác của ; OB là tia phân giác của 
=> => E’ ; O; F’ thẳng hàng
 * Kết luận : I AB ngoại trừ 2 điểm A và B
b)AEHI nội tiếp => nội tiếp =>đường tròn đường kính AB =>=> K ở chính giữa cung ( cố định )
Bài 5: ( 1 điểm)
 Đặt vế trái A 
Vận dụng 
.
	1 > ( luôn luôn đúng )
=> BĐT đã được chứng minh
	Phßng GD-§T TP	kú thi chän hoc sinh giái 
	Tr­êng THCS	líp 9 thCS n¨m häc 2007 - 2008
 M«n : To¸n (Vßng 1) 
 §Ò chÝnh thøc Thêi gian: 120 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)
Bµi 1: (8 ®iÓm)
Cho parabol .
ViÕt ph­¬ng tr×nh c¸c tiÕp tuyÕn cña (P), biÕt c¸c tiÕp tuyÕn nµy ®i qua ®iÓm .
Gäi d lµ ®­êng th¼ng ®i qua ®iÓm vµ cã hÖ sè gãc m. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ®­êng th¼ng d c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt M vµ N, khi ®ã t×m quÜ tÝch trung ®iÓm I cña ®o¹n th¼ng MN khi m thay ®æi.
T×m quÜ tÝch c¸c ®iÓm M0 tõ ®ã cã thÓ kÎ ®­îc hai tiÕp tuyÕn cña parabol (P) vµ hai tiÕp tuyÕn nµy vu«ng gãc víi nhau.
Bµi 2: (4®iÓm)
Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh:
Bµi