Bí quyết Giải phương trình lượng giác

GIAÛI PHệễNG TRèNH 
BÍ QUYEÁT 
LệễẽNG GIAÙC 
- CÁC KĨ THUẬT GIẢI PHƯƠNG TRèNH ĐẶC SẮC 
- CÁC MẸO LOẠI NGHIỆM NHANH, CHÍNH XÁC 
- CÁCH BẤM MÁY TÍNH TèM HƯỚNG GIẢI. 
 1 
I. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 
 
2 2
2 2
2 2
sin 1 cos
sin cos 1
cos 1 sin
x x
x x
x x
     
  
 
2 2
2 2
1 1
1 tan tan 1
cos cos
x x
x x
     
 
2 2
2 2
1 1
1 cot cot 1
sin sin
x x
x x
     
 
1
tan .cot 1 cot
tan
x x x
x
   
 
4 4 2 2
6 6 2 2
sin cos 1 2 sin cos ;
sin cos 1 3 sin cos
x x x x
x x x x
   

   
 
3 3
3 3
sin cos (sin cos )(1 sin cos )
sin cos (sin cos )(1 sin cos )
x x x x x x
x x x x x x
    

    
II. DẤU CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 
 Gúc I Gúc II Gúc III Gúc IV 
sinx     
cosx     
tanx     
cotx     
III. MỐI QUAN HỆ CỦA CÁC CUNG LƯỢNG GIÁC ĐẶC BIỆT 
 Hai cung đối nhau 
cos( ) cosx x  sin( ) sinx x   
tan( ) tanx x   cot( ) cotx x   
 Hai cung bự nhau 
sin( ) sinx x  cos( ) cosx x   
tan( ) tanx x   cot( ) cotx x   
 Hai cung phụ nhau 
sin( ) cos
2
x x

  cos( ) sin
2
x x

  
tan( ) cot
2
x x

  cot( ) tan
2
x x

  
 Hai cung hơn nhau  
sin( ) sinx x    cos( ) cosx x    
tan( ) tanx x   cot( ) cotx x   
 Hai cung hơn nhau 
2

CễNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM VỮNG 
 2 
sin( ) cos
2
x x

  cos( ) sin
2
x x

   
tan( ) cot
2
x x

   cot( ) cot
2
x x

   
 Với k là số nguyờn thỡ ta cú: 
sin( 2 ) sinx k x  cos( 2 ) cosx k x  
tan( ) tanx k x  cot( ) cotx k x  
IV. CễNG THỨC CỘNG 
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
tan tan
tan( )
1 tan tan
x y x y x y
x y x y x y
x y
x y
x y
  
  

 

sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
tan tan
tan( )
1 tan tan
x y x y x y
x y x y x y
x y
x y
x y
  
  

 

Đặc biệt: 
TH1: Cụng thức gúc nhõn đụi: 
2 2 2 2
2
sin2 2 sin cos
cos2 cos sin 2cos 1 1 2 sin
2 tan
tan2
1 tan
x x x
x x x x x
x
x
x
       
  
Hệ quả: Cụng thức hạ bậc 2: 
2 21 cos2 1 cos2sin ;cos
2 2
x x
x x
 
  
TH2: Cụng thức gúc nhõn ba: 
3
3
sin 3 3 sin 4 sin
cos 3 4 cos 3cos
x x x
x x x
  

  
V. CễNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG SANG TÍCH VÀ TÍCH SANG TỔNG 
cos cos 2 cos cos
2 2
x y x y
x y
 
  
cos cos 2 sin cos
2 2
x y x y
x y
 
   
sin sin 2 sin cos
2 2
x y x y
x y
 
  
sin sin 2 cos sin
2 2
x y x y
x y
 
  
1
cos cos cos( ) cos( )
2
x y x y x y       
1
sin sin cos( ) cos( )
2
x y x y x y        
1
sin cos sin( ) sin( )
2
x y x y x y       
1
cos sin sin( ) sin( )
2
x y x y x y       
Chỳ ý: 
 sin cos 2 sin 2 cos
4 4
x x x x
                   
 sin cos 2 sin 2 cos
4 4
x x x x
                    
 3 
 
2
sin sin
2
u v k
u v
u v k

 
       
  
2
cos cos
2
u v k
u v
u v k


       
 tan tan
2
u v k
u v
u k



    
  
  cot cot
u v k
u v
u k


    
 
Đặc biệt: 
sin 0
sin 1 2
2
sin 1 2
2
x x k
x x k
x x k





  
   
    
cos 0
2
cos 1 2
cos 1 2
x x k
x x k
x x k



 
   
  
   
Chỳ ý: 
 Điều kiện cú nghiệm của phương trỡnh sin x m và cosx m là: 1 1m   . 
 Sử dụng thành thạo cõu thần chỳ " Cos đối - Sin bự - Phụ chộo" để đưa cỏc phương trỡnh dạng sau 
về phương trỡnh cơ bản: 
sin cos sin sin
2
u v u v
        
 cos sin cos cos
2
u v u v
        
sin sin sin sin( )u v u v     cos cos cos cos( )u v u v     
 Đối với phương trỡnh 
2
2
cos 1 cos 1
sin 1sin 1
x x
xx
        
 khụng nờn giải trực tiếp vỡ khi đú phải giải 4 
phương trỡnh cơ bản thành phần, khi đú việc kết hợp nghiệm sẽ rất khú khăn. Ta nờn dựa vào cụng 
thức 2 2sin cos 1x x  để biến đổi như sau: 
2
2
cos 1 sin 0
sin2 0
cos 0sin 1
x x
x
xx
        
. 
 Tương tự đối với phương trỡnh 
2 2
2
2
1
cos 2 cos 1 0
2 cos2 0
1 1 2 sin 0
sin
2
x x
x
x
x

           

. 
Bài 1. Giải cỏc phương trỡnh sau 
 
2
cos
4 2
x
       
 2 sin 2 3 0
6
x
       
 2 cos 2 0
3
x
       
  3 tan 3
3
x
      
Hướng dẫn giải: 
 
2 3
cos cos cos
4 2 4 4
x x
                     
PHƯƠNG TRèNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 
 4 
Ta xỏc định ở phương trỡnh này 
3
,
4 4
u x v
 
   , nờn dựa vào cụng thức nghiệm ta cú 
3
2
4 4
x k
 
   hoặc 
3
2
4 4
x k
 
    . 
Vậy nghiệm của phương trỡnh là: 2x k   ; 2
2
x k

   , ( )k   . 
 2 sin 2 3 0
6
x
       
3
sin 2 sin 2 sin
6 2 6 3
x x
                                   
2 2
6 3 12
4 3
2 2
6 3 4
x k x k
x k x k
  
 
  
 
 
       
 
  
      
 
 ( )k   . 
 2 cos 2 0
3
x
       
2
cos cos cos
3 2 3 4
x x
                     
2
3 4
2
3 4
x k
x k
 

 


   

 
    

2
12
7
2
12
x k
x k





   

 
   

 ( )k   . 
 3 tan 3
3
x
      
3
tan tan tan
3 3 3 6
x x
                     
3 6
x k
 
   
6
x k

   , ( )k   . 
Chỳ ý: Đối với phương trỡnh tan x m ( tan x m ), trong đú m là hằng số thỡ điều kiện 
cos 0x  ( sin 0x  ) là khụng cần thiết. 
Bài 2. Giải cỏc phương trỡnh sau 
 sin sin 2
4
x x
       
 sin cos 2
6 4
x x
                 
 tan 3 tan
4 6
x x
                 
  cot 2 tan 0
4 6
x x
                  
Hướng dẫn giải: 
 sin sin 2
4
x x
      
2 2
4
2 2
4
x x k
x x k



 

   

 
    

2
4
2
4 3
x k
x k


 

   

 
  

, ( )k   . 
 PT
2
cos 2 cos
4 3
x x
                  
2
2 2
4 3
2
2 2
4 3
x x k
x x k
 

 


    

 
     

5 2
36 3
11
2
12
x k
x k
 



  

 
   

. 
 Do PT cú dạng tan tanu v nờn ta chỉ cần một điều kiện cos 0u  hoặc cos 0v  . Để đơn 
giản ta chọn điều kiện: cos 0
6 6 2 3
x x k x k
   
 
             
. Khi đú: 
 5 
5
tan 3 tan 3
4 6 4 6 24 2
x x x x k x k
     

                        
, ( )k   . 
Kết hợp nghiệm trờn đường trũn lượng giỏc thu được nghiệm của PT: 
5
24 2
x k
 
  ,( )k   . 
 Do cú thể biến đổi PT về dạng tan tanu v nờn ta chỉ cần một điều kiện cos 0u  hoặc 
cos 0v  . Để đơn giản ta chọn điều kiện: 
cos 0
6 6 2 3
x x k x k
   
 
             
. 
PT  cot 2 tan
4 6
x x
                 
3
tan tan 2
6 4
x x
                  
3
2
6 4
x x k
 
    
11
36 3
x k
 
  
( )k   . 
Kết hợp nghiệm trờn đường trũn lượng giỏc thu được nghiệm của PT: 
11
36 3
x k
 
  ,( )k   . 
Bài 3. Giải cỏc phương trỡnh sau 
 24 cos 2( 3 1)cos 3 0x x     
22 cos 5 sin 4 0x x   
 23 tan (1 3) tan 1 0x x     2 2sin cos
4
x x
      
Hướng dẫn giải: 
 PT 
1
cos 2
2 3
3
2cos
62
x x k
x kx




 
     
  
     
 
 ( ).k   
 PT 22(1 sin ) 5 sin 4 0x x    
 (loại)
 (t/m)
2
sin 2
2 sin 5 sin 2 0 1
sin
2
x
x x
x
 
    
 
Vậy phương trỡnh cú nghiệm: 2
6
x k

  và 
5
2
6
x k

  , ( )k   . 
 PT
tan 1
1
tan
3
x
x
 
  

 (loại)
2
sin 2
2 sin 5 sin 2 0 1
sin
2
x
x x
x
 
    
 
Vậy phương trỡnh cú nghiệm: 2
6
x k

  và 
5
2
6
x k

  , ( )k   . 
 PT
1 cos 2
2 1 cos2
2 2
x
x
       
  sin 2 cos 2x x  tan 2 1x  .
8 2
x k
 
   
Bài 4. Giải cỏc phương trỡnh sau 
 4 4
1
sin cos sin2
2
x x x    
4 4sin cos 1 2 sin
2 2
x x
x   
 6 
 
4 42(sin cos ) cos 2 0
2
x x x
        
  6 6sin cos cos 4x x x  
Hướng dẫn giải: 
 PT 2 2 2
1 1 1
1 2 sin cos sin 2 1 sin 2 sin2
2 2 2
x x x x x        
2sin 2 2 sin2 3 0x x   
 (loại)
sin2 1
sin2 3
x
x
    
2 2
2
x k

   ,( ).
4
x k k

    
 PT 2
1
1 sin 1 2 sin
2
x x   
 (loại)
2
sin 0
sin 4sin 0
sin 4
x
x x
x
      
( ).x k k    
 PT
212 1 sin 2 sin2 0
2
x x
         
2sin 2 sin2 2 0x x    
 (loại)
sin2 1
sin2 2
x
x
    
2 2
2
x k

   ,( ).
4
x k k

     
 PT 2 2 21 3 sin cos 1 2 sin 2x x x    2 2
3
1 sin 2 1 2 sin 2
4
x x   
sin2 0 2 ,( ).
2
x x k x k k

        
Bài 5. Giải cỏc phương trỡnh sau 
 4 4sin cos sin cos 0x x x x    
6 62(sin cos ) sin cos
0
2 2sin
x x x x
x
 


(A06) 
 4 2
1
cos sin
4
x x 
 
2(2 3)cos 2 sin ( )
2 4 1
2 cos 1
x
x
x

  


Hướng dẫn giải: 
 PT 2
1 1
1 sin 2 sin2 0
2 2
x x    2sin 2 sin 2 2 0x x   
 (loại)
sin2 1
sin2 2
x
x
    
,( ).
4
x k k

    
 (A-2006) Điều kiện: 
2 42 2 sin 0 sin
32
2
4
x k
x x
x k





   

     
  

PT 6 62(sin cos ) sin cos 0x x x x    2
3 1
2 1 sin 2 sin2 0
4 2
x x
        
 (loại)
2
sin2 1
3 sin 2 sin2 4 0 4
sin2
3
x
x x
x
 
    
  
4
x k

   , ( ).k   
Kết hợp nghiệm ta thu được nghiệm của phương trỡnh 
5
2 .
4
x k

  
 7 
 PT 4 2 4 2
1
cos 1 cos 4 cos 4 cos 3 0
4
x x x x       
 (loại)
2
2
1
cos
2
3
cos
4
x
x

 

 
  

22 cos 1 0 cos2 0 2
2 4 2
x x x k x k
  
           , ( )k   . 
 Điều kiện: 2 cos 1 2 .
3
x x k

     
PT 2(2 3)cos 2 sin ( ) 2 cos 1
2 4
x
x x

      3 cos 1 cos 1
2
x x
                  
3 cos cos 0
2
x x
        
3 cos sin 0x x   tan 3 ,( ).
3
x x k k

      
Bài 6. Giải cỏc phương trỡnh sau 
 sin 3 cos2 sin 0x x x   (D-2013)  
2sin 5 2 cos 1x x  (B-2013) 
 sin 4 cos 2 sin 2x x x   (A-2014)  cos 3 cos2 cos 1 0x x x    (D-2006) 
Hướng dẫn giải: 
 PT sin 3 sin cos 2 0x x x    2 cos 2 sin cos2 0x x x   cos2 (2 sin 1) 0x x   
4 2cos2 0
21
6sin
2 7
2
6
x k
x
x k
x
x k
 





  
           
 

. 
 PT sin 5 1 cos2 1x x     cos2 sin 5 cos2 sin 5x x x x     
2 5 2
2cos2 cos 5
2
2 5 2
2
x x k
x x
x x k





                 

2
6 3 ( ).
2
14 7
x k
k
x k
 
 

   

 
   


 PT sin 4 cos 2 2 sin cosx x x x    sin (1 2 cos ) 2(2 cos 1) 0x x x     
(sin 2)(1 2 cos ) 0x x   
 (loại)sin 2
2 .1
3cos
2
x
x k
x


 
    
 
 PT 2cos 3 cos cos2 1 0 2 sin2 sin 2 sin 0x x x x x x        
sin (sin2 sin ) 0x x x  
sin 0 sin 0
sin2 sin 0 2 cos 1 0
x x
x x x
          
 2 2
3
x k
x k



 

   
 8 
DẠNG 1. PHƯƠNG TRèNH BẬC NHẤT VỚI SINX VÀ COSX 
 Dạng phương trỡnh: sin cosa x b x c  
 Cỏch giải: Chia hai vế phương trỡnh cho 2 2a b 
2 2 2 2 2 2
sin cos
a b c
x x
a b a b a b
  
  
C1: Đặt 
2 2 2 2
cos , sin .
a b
a b a b
  
 
 Khi đú 
2 2
PT sin( ) ?
c
x x
a b
    

C2: Đặt 
2 2 2 2
sin , cos .
a b
a b a b
  
 
 Khi đú 
2 2
PT cos( ) ?
c
x x
a b
    

 Điều kiện cú nghiệm của phương trỡnh: 2 2 2a b c  
 Chỳ ý: Khi phương trỡnh cú a c hoặc b c thỡ dựng cụng thức gúc nhõn đụi và sử dụng 
phộp nhúm nhõn tử chung. 
Bài 1. Giải cỏc phương trỡnh sau 
 cos 3 sin 2x x   2 sin 2 cos 6x x  
 3 cos 3 sin 3 2x x   sin cos 2 sin 5x x x  
Hướng dẫn giải: 
 Nhận xột: Trong PT này ta xỏc định cỏc hệ số 1, 3, 2a b c   thỏa món điều kiện 
2 2 2a b c  do đú phương trỡnh này cú nghiệm. Để giải PT ta cần chia cả hai vế cho 
2 2 2 21 ( 3) 2a b    . 
PT
1 3 2
cos sin
2 2 2
x x   
2
sin
6 2
x
       
2
12
7
2
12
x k
x k





  

 
  

 PT
1 1 3
cos sin
22 2
x x  
3
sin
4 2
x
       
2
12
5
2
12
x k
x k





  

 
  

 PT
3 1 2
cos 3 sin 3
2 2 2
x x  
2
sin 3
3 2
x
       
3
3 4
3
3 2
3 4
x k
x k
 

 


    

 
   

36 3
5 2
.
36 3
x k
x k
 
 
   

 
   

, ( )k   . 
 PT
1 1
sin cos sin 5
2 2
x x x   sin sin 5
4
x x
       
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRèNH LƯỢNG GIÁC 
 9 
5 2
4 16 2
3
5 2
4 8 3
x x k x k
x x k x k
  

  

 
     
 
  
      
 
. 
Bài 2. Giải cỏc phương trỡnh sau 
 3 sin2 sin 2 1
2
x x
        
 ( 3 1)sin ( 3 1)cos 3 1 0x x      
 33 sin 3 cos 3 1 4 sinx x x    
2 6
cos7 3 sin 7 2 0, ;
5 7
x x x
          
Hướng dẫn giải: 
 PT
3 1 1
3 sin2 cos 2 1 sin2 cos 2
2 2 2
x x x x     
1
sin 2
6 2
x
       
2 2
6 6
5
2 2
6 6
x k
x k
 

 


   

 
   

3
x k
x k



 

  
 ( )k   . 
 PT
3 1 3 1 1 3
sin cos
8 8 8
x x
  
   
Nhận xột: Sử dụng mỏy tớnh 570ES PLUS ta bấm SHIFT SIN của 
3 1
8

 thu được 
5
12

, tức là 
5 3 1
sin
12 8
 
 . Vậy ta cú nờn đưa phương trỡnh về dạng 
5 5 1 3
cos sin sin cos
12 12 8
x x
  
  
ngay lập tức hay chưa? Cõu trả lời là chưa. Bởi vỡ kết quả 
5
12

 khụng phải giỏ trị cung lượng giỏc đặc 
biệt cú mặt trong SGK?Vỡ vậy ta nờn làm như sau cho thuyết phục: 
Ta cú 
5 2 3 2 1 3 1
sin sin sin cos cos sin . .
12 4 6 4 6 4 6 2 2 2 2 8
                  
. 
Nờn PT 
5 5 3 1
cos sin sin cos
12 12 8
x x
  
  
5 5
sin cos
12 12
x
                  
5 7
sin cos
12 12
x
                 
5
sin sin
12 12
x
                  
5
2
12 12
5 13
2
12 12
x k
x k
 

 


    

 
   

Vậy phương trỡnh cú nghiệm: 2
2
x k

   và 
2
2
3
x k

  , ( )k   . 
 PT sin 3 3 cos 3 1x x   
1 3 1
sin 3 cos 3
2 2 2
x x   
1
sin 3
3 2
x
       
3 2
3 6
5
3 2
3 6
x k
x k
 

 


   

 
   

2
18 3
2
6 3
x k
x k
 
 

   

 
  

. 
 10 
 PT
3 1 2
sin 7 cos 7
2 2 2
x x  
2
sin 7
6 2
x
       
7 2
6 4
3
7 2
6 4
x k
x k
 

 


   

 
   

5
7 2
12
11
7 2
12
x k
x k





  

 
  

5 2
84 7
11 2
84 7
x k
x k
 
 

  

 
  

 ( )k   . 
Nhận xột: Để tỡm nghiệm 
2 6
;
5 7
x
       
 thực chất là ta phải chọn số nguyờn k thỏa món 
2 5 2 6
5 84 7 7
k
   
   hoặc 
2 11 2 6
5 84 7 7
k
   
   tức là ta phải giải cỏc bất phương trỡnh 
2 5 2 6
5 84 7 7
k
   ; 
2 11 2 6
5 84 7 7
k
   để tỡm cỏc miền giỏ trị của k rồi sau đú chọn k là số 
nguyờn. 
KL: Vậy phương trỡnh cú cỏc nghiệm thỏa món điều kiện là: 
53
84
x

 , 
5
12
x

 và 
59
84
x

 . 
Ngoài ra, ta cú thể khụng cần giải cỏc BPT nghiệm nguyờn ở trờn bằng cỏch sử dụng 570ES PLUS 
như sau: 
- Trước tiờn ta tỡm khoảng gần đỳng của 
2 6
;
5 7
     
 là  0,4;0,857... 
- Nhập biểu thức thứ nhất 
5 2
84 7
X
 vào mỏy tớnh (vỡ mỏy tớnh khụng cú k nờn ta coi X là k ) rồi 
CALC với cỏc giỏ trị 0; 1; 2; 3...X     để kiểm tra xem cú thỏa món hay khụng. Khi đú ta tỡm 
được 2k  , ứng với nghiệm là 
53
84
x

 . 
- Tương tự cho biểu thức thứ 2 thu được 1; 2k k  , tương ứng với nghiệm 
5
12
x

 và 
59
84
x

 . 
Bài 3. Giải cỏc phương trỡnh sau 
 cos 7 sin 5 3(cos5 sin 7 )x x x x    tan 3 cot 4(sin 3 cos )x x x x   
 
3(1 cos 2 )
cos
2 sin
x
x
x

  
sin sin2
3
cos cos2
x x
x x



 (CĐ2004) 
Hướng dẫn giải: 
 Nhận xột: Đối với PT dạng sin cosa x b x c  thỡ chỳng ta cú thể giải một cỏch dễ dàng bằng 
cỏch chia cho 2 2a b . Nhưng nếu gặp dạng sin cos sin cosa mx b mx c nx d nx   trong 
đú 2 2 2 2a b c d   thỡ làm thế nào? Cứ bỡnh tĩnh quan sỏt nhộ! Chỳng ta nhận thấy mỗi vế của 
phương trỡnh đều cú dạng bậc nhất của sin và cos, ta thử chia mỗi vế cho 2 2a b , rất may 
2 2 2 2a b c d   . Nhưng lưu ý rằng, ta phải chuyển vế sao cho mỗi vế cú cựng một cung. Từ đú 
ta cú lời giải như sau: 
PT cos 7 3 sin 7 sin 5 3 cos 5x x x x   
1 3 1 3
cos7 sin7 sin5 cos5
2 2 2 2
x x x x    
 11 
sin 7 sin 5
6 3
x x
                  
7 5 2
6 3
2
7 5 2
6 3
x x k
x x k
 

 


    

 
    

12
24 6
x k
x k


 

  

 
  

 Điều kiện: 
sin 0
sin2 0 .
cos 0 2
x
x x k
x
     
 
PT
2 2sin 3 cos
4(sin 3 cos )
sin cos
x x
x x
x x

  
sin 3 cos
(sin 3 cos ) 4 0
sin cos
x x
x x
x x
         
sin 3 cos 0
sin 3 cos 2 sin2
x x
x x x
  
 
  

tan 3
sin sin2
3
x
x x

  
         
Giải và kết hợp nghiệm trờn đường trũn lượng giỏc ta thu được: ; 2 ;
3 3
x k x k
 
      
2 2
9 3
x k
 
  , ( )k   . 
 Điều kiện: sin 0x x k   
PT sin2 3 cos2 3x x  
3
sin 2
3 2
x
       
2 2
3 3
2
2 2
3 3
x k
x k
 

 


   

 
   

 (loại)
6
x k
x k



 

  
. Vậy phương trỡnh cú nghiệm: ,( )
6
x k k

    . 
 Điều kiện: 
2
cos cos2 0 2 2
3
x x x x k x k

        
PT sin sin2 3(cos cos2 )x x x x    sin 3 cos sin2 3 cos2x x x x    
1 3 1 3
sin cos sin 2 cos 2
2 2 2 2
x x x x    sin sin 2
3 3
x x
                  
2
5 2
9 3
x k
x k

 
  

  
 ( )k   . 
Vậy phương trỡnh cú nghiệm:
5 2
2 ;
9 3
x k x k
 
    . 
Bài 4. Giải cỏc phương trỡnh sau 
 
1
cos 3 sin
cos
x x
x
   1 tan 2 2 sin 4
x x
        
(A2013) 
 3 cos5 2sin 3 cos2 sin 0x x x x   (D09)  
6
4 sin 3 cos 6
4 sin 3cos 1
x x
x x
  
 
Hướng dẫn giải: 
 12 
 Điều kiện: cos 0 .
2
x x k

    
PT 2cos 3 sin cos 1x x x   cos2 3 sin 2 1x x  
1 3 1
cos2 sin 2
2 2 2
x x   
2 21 6 6sin 2
56 2
2 2
6 6
x k
x
x k
 

 


                

 (t/m)
 (t/m)
3
x k
x k



 

  
 ( )k   . 
Vậy phương trỡnh cú nghiệm: ;
3
x k x k

    . 
 Điều kiện: cos 0 .
2
x x k

    
PT
sin
1 2(sin cos )
cos
x
x x
x
   
1
(sin cos ) 2 0
cos
x x
x
   