Bí kíp casio để tính giới hạn của dãy số và hàm số

www.facebook.com/mathsnqdieu 
GV: Cao Thành Thái 1 
BÍ KÍP CASIO ĐỂ TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ 
PHẦN I. TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 
Giới hạn của dãy số ( )
n
u khi n → +∞ ký hiệu là lim
n
u . Do n → +∞ (một số vô cùng lớn) nên khi dùng MTCT 
để tính giới hạn bằng chức năng CALC ta sẽ gán cho biến một giá trị lớn tùy ý (thường là 100; 1000000;......). Cụ thể 
như sau: 
1. Đối với hàm lũy thừa (chứa n ở mũ) 
Cách thức tính: 
- Bước 1: nhập hàm số (thay biến n bởi biến x). 
- Bước 2: bấm nút r màn hình máy tính xuất hiện 
Ta nhập giá trị = 100x , sau đó bấm nút =. 
Ví dụ: Tính giới hạn 
13 4.5
lim
6 2 3.5
n n
n n
++
+ −
. 
Ta thực hiện bấm máy như sau: 
- Bước 1: 
a3^Q)$+4O5^Q)+1R6+2^Q)$p3O5
^Q) 
Ta được màn hình 1. 
- Bước 2: bấm r nhập 100 = 
 ta được kết quả hình 2. Giá trị 20
3
− là giới hạn cần tìm. 
2. Đối với hàm không phải là hàm lũy thừa 
Cách thức tính: 
- Bước 1: nhập hàm số (thay biến n bởi biến x). 
- Bước 2: bấm nút r màn hình máy tính xuất hiện 
Ta nhập giá trị = 1000000x , sau đó bấm nút =. 
Ví dụ: Tính giới hạn 
2
2
3 4
lim
5 4
n n
n n
+ +
+ +
. 
Ta thực hiện bấm máy như sau: 
- Bước 1: aQ)d+3Q)+4R5Q)d+Q)+4. 
Ta được màn hình 1: 
- Bước 2: bấm r nhập 1000000 (có thể 1000000000) = 
 ta được kết quả hình 2. Giá trị gần đúng 10,2
5
= là giới hạn 
cần tìm. 
PHẦN II. TÍNH GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 
1. Giới hạn của hàm số khi → +∞x . 
Cách thức tính: 
- Bước 1: nhập hàm số. 
- Bước 2: bấm nút r màn hình máy tính xuất hiện 
Ta nhập giá trị = 1000000x , sau đó bấm nút =. 
Ví dụ: Tính giới hạn 
24 3 1
lim
5 2x
x x
x→+∞
+ +
+
. 
Ta thực hiện bấm máy như sau: 
- Bước 1: as4Q)d+3Q)+1R5Q)+2 
www.facebook.com/mathsnqdieu 
GV: Cao Thành Thái 2 
Ta được màn hình 1. 
- Bước 2: bấm r nhập 1000000 (có thể 1000000000) = 
 ta được kết quả hình 2. Giá trị gần đúng 20,4
5
= là giới hạn cần tìm. 
 2. Giới hạn của hàm số khi → −∞x . 
Cách thức tính: 
- Bước 1: nhập hàm số. 
- Bước 2: bấm nút r màn hình máy tính xuất hiện 
Ta nhập giá trị = −1000000x , sau đó bấm nút =. 
Ví dụ: Tính giới hạn 
23 4 3 1
lim
5 2x
x x x
x→−∞
− + +
+
. 
Ta thực hiện bấm máy như sau: 
- Bước 1: a3Q)ps4Q)d+3Q)+1R5Q)+2 
Ta được màn hình 1. 
- Bước 2: bấm r nhập -1000000 (có thể -1000000000) = 
 ta được kết quả hình 2. Giá trị gần đúng 1, 0 là giới hạn cần tìm. 
3. Giới hạn của hàm số khi →
0
x x . 
Phương pháp 1 
Cách thức tính: 
- Bước 1: nhập hàm số. 
- Bước 2: bấm nút r màn hình máy tính xuất hiện 
Ta nhập giá trị ,=
0
0001x x (hoặc ,=
0
0001nx x nếu →
0
n
x x sau đó bấm nút =. 
Ví dụ: Tính giới hạn 
2
22
2 12
lim
4x
x x
x→−
+ +
−
. 
Ta thực hiện bấm máy như sau: 
- Bước 1: a2Q)+sQ)d+12RQ)dp4. 
Ta được màn hình 1. 
- Bước 2: bấm r nhập ,−2 0001 (có thể ,−2 0000001 ) = 
 ta được kết quả hình 2. Giá trị gần đúng 30,375
8
− =− là giới 
hạn cần tìm. 
Phương pháp 2: dùng đạo hàm để tính (qy) 
Ta dùng định nghĩa đạo hàm 
0
0
0
0
( ) ( )
( ) lim
x x
f x f x
f x
x x→
−
′ =
−
. 
Dạng 1: 
0
0
( )
lim
x x
g x
A
x x→
=
−
 biết 
0
( ) 0g x = . 
Ta viết 
0
( ) ( ) ( )g x f x f x= − . Khi đó nếu ( )f x có đạo hàm tại 
0
x thì 
0
0
0
0
( ) ( )
lim ( )
x x
f x f x
A f x
x x→
−
′= =
−
. 
Dạng 2: 
0
( )
lim
( )x x
F x
B
G x→
= biết 
0 0
( ) ( ) 0F x G x= = . 
www.facebook.com/mathsnqdieu 
GV: Cao Thành Thái 3 
Ta viết 
0
( ) ( ) ( )F x f x f x= − và 
0
( ) ( ) ( )G x g x g x= − . Khi đó nếu ( )f x , ( )g x có đạo hàm tại 
0
x và 
0
( ) 0g x′ ≠ thì 
0
0
0 0
0 0
0
( ) ( )
( )
lim
( ) ( ) ( )x x
f x f x
x x f x
B
g x g x g x
x x
→
−
′−
= =
′−
−
. (Phương pháp L’Hopital). 
Lưu ý: Phương pháp này áp dụng cho giới hạn hữu hạn dạng 0
0
. 
Ví dụ: Tính giới hạn 
2
2
3 2
lim
2x
x x
x→−
+ +
+
. 
Ta thực hiện bấm máy như sau: 
aqyQ)d+3Q)+2$p2 
$$qyQ)+2$z2 
được mành hình 1. Nhập xong ta bấm = được màn hình 2. 
 Kết quả bài này bằng 1− . 
Ví dụ: Tính giới hạn 
2
21
2 1 2 6
lim
1x
x x x
x→
+ − + +
−
. 
Ta thực hiện bấm máy như sau: 
aqy2Q)+1psQ)d+2Q)+6$$1$$qy
Q)dp1$1 được màn hình 1. Nhập xong ta bấm = được màn hình 2. 
Kết quả bài này là giá trị gần bằng ( )
2
0, 6
3
= . 
4. Giới hạn phải của hàm số khi +→
0
x x . 
Cách thức tính: 
- Bước 1: nhập hàm số. 
- Bước 2: bấm nút r màn hình máy tính xuất hiện 
Ta nhập giá trị ,= +
0
0 0001x x (hoặc ,= +
0
0 0001nx x nếu →
0
n
x x sau đó bấm nút =. 
Ví dụ: Tính giới hạn 
2
2
2
2 12
lim
4x
x x
x+→−
+ +
−
. 
Ta thực hiện bấm máy như sau: 
- Bước 1: a2Q)+sQ)d+12$$Q)dp4 
Ta được màn hình 1. 
- Bước 2: bấm r nhập ,− +2 0 0001 = 
 ta được kết quả hình 2. Giá trị gần đúng 30,375
8
− =− là giới hạn 
cần tìm. 
5. Giới hạn phải của hàm số khi −→
0
x x . 
Cách thức tính: 
- Bước 1: nhập hàm số. 
- Bước 2: bấm nút r màn hình máy tính xuất hiện 
Ta nhập giá trị ,= −
0
0 0001x x (hoặc ,= −
0
0 0001nx x nếu →
0
n
x x sau đó bấm nút =. 
www.facebook.com/mathsnqdieu 
GV: Cao Thành Thái 4 
Ví dụ: Tính giới hạn 
2
2
2
2 12
lim
4x
x x
x−→
− +
−
. 
Ta thực hiện bấm máy như sau: 
- Bước 1: a2Q)psQ)d+12$$Q)dp4 
Ta được màn hình 1. 
- Bước 2: bấm r nhập ,−2 0 0001 = 
 ta được kết quả hình 2. Giá trị gần đúng 30,375
8
= là giới hạn 
cần tìm. 
PHẦN III. CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM
Bài 1. Chứng minh phương trình 32 6 1 0x x− + = có ít nhất hai nghiệm. 
Cách bấm máy tính CASIO 570VN PLUS 
w72Q)qdp6Q)+1==z2=2== 
Ta được kết quả hiển thị như sau: 
Giải 
Xét hàm số 3( ) 2 6 1f x x x= − + . 
Hàm số 3( ) 2 6 1f x x x= − + liên tục trên đoạn 2;0 −   . 
Ta có ( 2) 3f − = − và (0) 1f = . Do đó ( 2). (0) 0f f− < . 
Vậy phương trình ( ) 0f x = có ít nhất một nghiệm trên khoảng ( 2;0)− (1). 
Hàm số 3( ) 2 6 1f x x x= − + liên tục trên đoạn 0;1    . 
Ta có (0) 1f = và (1) 3f = − . Do đó (0). (1) 0f f < . 
Vậy phương trình ( ) 0f x = có ít nhất một nghiệm trên khoảng (0;1) (2). 
Từ (1) và (2) suy ra phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm. 
Bài 2. Chứng minh rằng phương trình 5 3 3 0x x− + = luôn có nghiệm. 
Hướng dẫn: Để chứng minh phương trình luôn có nghiệm ta chỉ cần chứng minh phương trình có ít nhất một nghiệm 
trên một khoảng nào đó ta đã chọn. 
Ta sử dụng MTCT để tìm một khoảng phù hợp đó như sau: 
Cách bấm máy tính CASIO 570VN PLUS (sử dụng TABLE) 
w7Q)^5$p3Q)+3==z2=2==RR 
Ta được kết quả hiển thị như sau: 
Giải 
Xét hàm số 5( ) 3 3f x x x= − + . 
Hàm số 5( ) 3 3f x x x= − + liên tục trên đoạn 2; 1 − −   . 
www.facebook.com/mathsnqdieu 
GV: Cao Thành Thái 5 
Ta có ( 2) 23f − = − và ( 1) 5f − = . Do đó ( 2). ( 1) 23.5 115 0f f− − = − = − < . 
Vậy phương trình ( ) 0f x = có ít nhất một nghiệm trên khoảng ( 2; 1)− − . 
Hay phương trình đã cho luôn có nghiệm. 
Bài 3. Chứng minh phương trình 32 6 1 0x x− + = có đúng ba nghiệm trong khoảng ( 2;2)− . 
Hướng dẫn: Phương trình bậc 3 có tối đa ba nghiệm. Do đó để chứng minh phương trình có đúng ba nghiệm thì ta 
chia khoảng ( 2;2)− thành ba khoảng phân biệt, mà trên mỗi khoảng đó phương trình có một nghiệm. 
Cách bấm máy tính CASIO 570VN PLUS 
w72Q)qdp6Q)+1==z2=2== 
Ta được kết quả hiển thị như sau: 
Giải 
Xét hàm số 3( ) 2 6 1f x x x= − + . 
Hàm số 3( ) 2 6 1f x x x= − + liên tục trên đoạn 2;0 −   . 
Ta có ( 2) 3f − = − và (0) 1f = . Do đó ( 2). (0) 0f f− < . 
Vậy phương trình ( ) 0f x = có ít nhất một nghiệm trên khoảng ( 2;0)− (1). 
Hàm số 3( ) 2 6 1f x x x= − + liên tục trên đoạn 0;1    . 
Ta có (0) 1f = và (1) 3f = − . Do đó (0). (1) 0f f < . 
Vậy phương trình ( ) 0f x = có ít nhất một nghiệm trên khoảng (0;1) (2). 
Hàm số 3( ) 2 6 1f x x x= − + liên tục trên đoạn 1;2    . 
Ta có (1) 3f =− và (2) 5f = . Do đó (1). (2) 0f f < . 
Vậy phương trình ( ) 0f x = có ít nhất một nghiệm trên khoảng (1;2) (3). 
Từ (1), (2) và (3) suy ra phương trình đã cho có đúng ba nghiệm trên khoảng ( 2;2)− . 
Bài 4. Chứng minh phương trình 4 cos 3x x− = có ít nhất một nghiệm. 
Hướng dẫn: Chuyển về cùng vế trái 4 cos 3 0x x− − = rồi tiến hành dùng MTCT tìm khoảng chứa nghiệm. Thường 
chọn các giá trị cung góc lượng giác đặc biệt như: , , , ,
6 4 3 2
π π π π
 Lưu ý: do phương trình có chứa hàm số lượng giác 
nên trước khi bấm máy tính phải chuyển đơn vị đo là radian. 
 qw4 
Cách bấm máy tính CASIO 570VN PLUS 
w74kQ))p3pQ)==zqKa4=qKa2=qKa4
= 
Ta được kết quả hiển thị như sau: 
Giải 
www.facebook.com/mathsnqdieu 
GV: Cao Thành Thái 6 
4 cos 3 4 cos 3 0x x x x− = ⇔ − − = . 
Xét hàm số ( ) 4 cos 3f x x x= − − . 
Hàm số ( ) 4 cos 3f x x x= − − liên tục trên đoạn 0;
2
π
 
 
 
 
. 
Ta có (0) 1f = và 3
2 2
f
π π
   = − −   
. Do đó (0). 0
2
f f
π
   <   
. 
Vậy phương trình ( ) 0f x = có ít nhất một nghiệm trên khoảng 0;
2
π
     
. 
Bài 5. Chứng minh rằng phương trình 4 2014 2015 0x x− + − = có ít nhất một nghiệm nhỏ hơn 2. 
Hướng dẫn: Phương trình có ít nhất một nghiệm nhỏ hơn 2. Do đó ta chọn một khoảng từ 2 trở xuống, chẳng hạn 
( 3; 1)− − , ( 2;0)− , (1;2) 
Giải 
Xét hàm số 4( ) 2014 2015f x x x= − + − . 
Hàm số 4( ) 2014 2015f x x x= − + − liên tục trên đoạn 0;2    . 
Ta có (0) 2015f =− và (2) 1997f = . Do đó (0). (2) 0f f < . 
Vậy phương trình ( ) 0f x = có ít nhất một nghiệm trên khoảng ( )0;2 .