Bài toán thực tế liên quan đến hình học

Page | 1 Nguyễn Bá Hoàng_ĐT: 0936.407.353 
Bài toán thực tế liên quan đến hình học 
A. Nội dung kiến thức.
Bài toán thực tế liên quan đến hình học thường xoay quanh một số nội dung như sau: Tính toán để 
đường đi được ngắn nhất, tính toán để diện tích được lớn nhất, hay cũng có thể đơn giản là tính diện tích 
hoặc thể tích của một vật 
Ta chú ý một số kiến thức sau: 
1. Công thức tính chu vi, diện tích của các hình, thể tích của các khối hình.
 Hình tam giác: Cho tam giác ABC đường cao AH, đặt
, , , .a BC b CA c AB h AH    
Chu vi tam giác là: .P a b c  
Diện tích tam giác là:
1 1
.sin ( )( )( ).
2 2
S ah ab C p p a p b p c     
(với 
2
P
p  ). 
 Hình quạt: Xét hình quạt OAB có bán kính R, góc ở tâm bằng  (tính theo
radian).
Chu vi của hình quạt là: 2 . .
2
P R P R

 

  
Diện tích của hình quạt là: 2 22 . .
2
S R S R

 

  
 Hình nón, khối nón:
Diện tích xuang quanh của hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng r và
có đọ dài đường sinh bằng l là: .xqS rl 
Diện tích toàn phần của hình nón tròn xoay bằng diện tích xung quanh của 
hình nón cộng với diện tích đáy của hình nón: 
2.tpS rl r   
Thể tích của khối nón tròn xoay có có chiều cao h và bán kính đáy bằng r 
là: 
21 .
3
V r h
 Hình trụ, khối trụ:
Diện tích xuang quanh của hình trụ có bán kính đáy bằng r và có đường sinh
bằng l là: 2 .xqS rl 
Diện tích toàn phần của hình trụ bằng diện tích xung quanh của hình trụ đó 
cộng với diện tích hai đáy của hình trụ: 
22 2 .tpS rl r   
Thể tích của khối trụ có chiều cao h và có bán kính đáy bằng r là: 2 .V r h 
Chú ý: Trường hợp hình lăng trụ đứng và khối lăng trụ đứng (như hình vẽ) 
thì .h l 
H
A
B C
α
O
A
B
h
l
r
h
l
r
Page | 2 Nguyễn Bá Hoàng_ĐT: 0936.407.353 
 Mặt cầu, khối cầu:
Mặt cầu bán kính R có diện tích là: 24 .S R
Khối cầu bán kính R có thể tích là: 3
4
.
3
V R
2. Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn, khoảng, nửa đoạn, nửa
khoảng.
Có lẽ đây là một bài toán khá quen thuộc với rất nhiều bạn đọc, tác giả sẽ không nhắc lại phương 
pháp khảo sát hàm số để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. Tác giả cung cấp thêm cho bạn đọc một số công 
thức sau: 
 Cho hàm số 2 ,y ax bx c   nếu 0a  thì hàm số đã cho đạt giá trị nhỏ nhất trên khi .
2
b
x
a
 
 Cho hàm số 2 ,y ax bx c   nếu 0a  thì hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất trên khi .
2
b
x
a
 
 Với ,a b là các số thực dương thì ta có:
2( )
.
2 4
AM GM a b a b
ab ab
  
   Đẳng thức xảy ra khi
.a b
 Với , ,a b c là các số thực dương thì ta có:
3
3 ( ) .
3 27
AM GM a b c a b c
abc abc
    
   Đẳng thức
xảy ra khi .a b c  
Phần chứng minh xin để lại cho bạn đọc. 
3. Ứng dụng của tích phân trong việc tính diện tích hình phẳng, tính thể tích của khối
tròn xoay.
 Nếu hàm số ( )y f x liên tục trên đoạn  ;a b thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các
đường : ( ), 0, ,y f x y x a x b    là ( ) .
b
a
S f x dx 
 Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số ( ), ( )y f x y g x  liên tục trên đoạn
 ;a b và hai đường thẳng ,x a x b  là ( ) ( ) .
b
a
S f x g x dx 
 Cho hàm số ( )y f x liên tục trên  ; .a b Thể tích V của khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới
hạn bởi các đường : ( ), 0, , ,y f x y x a x b    khi quay xung quanh trục hoành được tính theo
công thức : 2 ( ) .
b
a
V f x dx 
 Thể tích V của khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường : ( ), ( ),y f x y g x 
(0 ( ) ( );f x g x  f, g liên tục trên đoạn  ; ),a b , ,x a x b  khi quay xung quanh trục Ox được
tính theo công thức : 2 2( ) ( ) .
b
a
V g x f x dx    
R 
Chu c cá c bá n thi tố t trướ c kì thi sá p tớ i 
Page | 3 Nguyễn Bá Hoàng_ĐT: 0936.407.353 
B. Ví dụ minh hoạ.
Ví dụ 1. Một đường dây điện được nối từ nhà máy điện trên bờ biển ở vị trí A đến vị trí C trên một hòn 
đảo. Khoảng cách ngắn nhất từ C đến đất liền là đoạn BC có độ dài 1 km, khoảng cách từ A đến B là 4 
km. Người ta chọn một vị trí là điểm S nằm giữa A và B để mắc đường dây điện từ A đến S, rồi từ S đến 
C như hình vẽ dưới đây. Chi phí mỗi km dây điện trên đất liền mất 3000USD, mỗi km dây điện đặt ngầm 
dưới biển mất 5000USD. Hỏi điểm S phải cách điểm A bao nhiêu km để chi phí mắc đường dây điện là ít 
nhất. 
A. 3,25km. B. 1 km. C. 2 km. D. 1,5 km. 
Lời giải 
Giả sử ,0 4 4 .AS x x BS x      
Tổng chi phí mắc đường dây điện là: 2( ) 300 500 1 (4 ) .f x x x   
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của ( )f x trên (0;4). 
Cách 1: Ta có: 
2 2
2
13
(4 ) 9 4
'( ) 0 300 500 0 3 1 (4 ) 5(4 ) ( 4) .
19161 (4 )
4
x
x
f x x x x
x x

 
             
   

So sánh với điều kiện ta có 
13
3,25.
4
x  
Đáp án A. 
Cách 2: 
Ta có: (3,25) 1600; (1) 1881,13883; (2) 1718,033989; (1,5) 1796,291202. f f f f    
Như vậy ta cũng tìm ra A là đáp án. 
Bình luận: Không ít bạn đọc cho rằng cách giải thứ hai không được khoa học và làm mất đi vẻ 
đẹp của toán học. Quan điểm của tác giả về Cách 1 và Cách 2 như sau: 
 Cả hai cách đều phải tìm giá trị lớn nhất của ( )f x trên (0;4). 
 Cách 1: Chúng ta giải quyết bằng cách khảo sát hàm số ( )f x trên khoảng (0;4) để tìm ra
giá trị của x mà tại đó ( )f x đạt giá trị lớn nhất; tiếp theo, so sánh kết quả tìm được với các
đáp án A, B, C, D để tìm ra câu trả lời đúng cho câu hỏi.
 Cách 2: Sau khi lập được hàm số ( )f x như Cách 1, tính (3,25), (1), (2), (1,5);f f f f số
lớn nhất trong bốn số tính được sẽ là giá trị lớn nhất của ( ).f x Từ đó, hiển nhiên, dễ dàng
tìm ra câu trả lời đúng cho câu hỏi.
 Có thể thấy, rõ ràng Cách 2 giúp ta tìm đáp án nhanh hơn cách 1. Sự khác biệt giữa Cách 1
và Cách 2 nêu trên nằm ở quan niệm về tình huống đặt ra. Với Cách 1, ta coi các phương
Page | 4 Nguyễn Bá Hoàng_ĐT: 0936.407.353 
án A, B, C, D chỉ là các dữ liệu đưa ra để đối chiếu; với Cách 2, ta coi các phương án 
A, B, C, D là giả thiết của tình huống đặt ra. 
 Có lẽ những bài tập trắc nghiệm có thể làm theo Cách 2 đôi phần là hạn chế của việc kiểm
tra theo hình thức trắc nghiệm, tuy nhiên trong quá trình làm bài thi mỗi câu hỏi đã được
người ra đề đã ngầm ấn định khoảng thời gian làm bài, do vậy theo tác giả nếu gặp câu hỏi
này trong phòng thi học sinh nên làm theo Cách 2.
Ví dụ 2. Một của sổ có dạng như hình vẽ, bao gồm: một hình chữ nhật ghép với nửa hình tròn có tâm 
nằm trên cạnh hình chữ nhật. Biết rằng chu vi cho phép của của sổ là 4 m. Hỏi diện tích lớn nhất của cửa 
sổ là bao nhiêu. 
A. 
24 .
4
m

B. 
28 .
4
m

C. 
22 .m D. 
28 .
4 3
m

Lời giải 
Gọi độ dài của IA và AB lầ lượt là a và b (0 , 4).a b  
Vì chu vi của cửa sổ bằng 4m nên ta có: 
4 2
(2 2 ) 4
2
a a
a a b b


 
     (1). 
Diện tích của cửa sổ là: 
2 2
2 24 2( ) 2 . ( ) 4 2 2 4 .
2 2 2 2
a a a a
S a a S a a a a a
      
          
 
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của ( )S a trên (0;4). 
Cách 1: 
Ta có: 
4
'( ) 0 4 4 0 .
4
S a a a a

      

 Suy ra: 
0 4
4 8
max ( ) .
4 4x
S a S
  
 
  
  
Đáp án B. 
Cách 2: 
Do ( )S a là hàm số bậc hai có hệ số của 2a âm nên nó đạt giá trị lớn nhất khi: 
0 4
4 4 4 8
max ( ) .
4 4 4
2. 2
2
x
a a S a S
    
 
       
      
   
  
Đáp án B. 
Bình luận: Vì sao tại (1) chúng ta không biểu diễn a theo b mà lại biểu diễn b theo a? Đâu đó có 
bạn đọc nghĩ rằng việc biểu diễn a theo b hay biểu diễn b theo a thì các bước làm vẫn vậy và không ảnh 
hưởng đến quá trình làm bài. Liệu điều này có đúng? Câu trả lời là không? Chúng ta biết rằng cửa gồm 
hai bộ phận (bộ phận hình chữ nhật và bộ phận có dạng nửa đường tròn), nhưng cả hai bộ phận này khi 
tính diện tích đều phải tính theo a. Như vậy nếu chúng ta biểu diễn a theo b thì việc tính toán sẽ phức tạp 
hơn khi biểu diễn b theo a. Công việc tưởng chừng như rất đơn giản này nhưng nó có thể giúp ích rất nhiều 
cho bạn đọc trong khi tính toán. 
Page | 5 Nguyễn Bá Hoàng_ĐT: 0936.407.353 
Ví dụ 3. Có hai cây cột dựng trên mặt đất lần lượt cao 1 m và 4 m, đỉnh của hai cây cột cách nhau 5 m. 
Người ta cần chọn một vị trí trên mặt đất (nằm giữa hai chân cột) và giăng dây nối đến hai đỉnh cột để 
trang trí như mô hình bên dưới. Tính độ dài dây ngắn nhất. 
A. 41 m. B. 37 m. C. 29 m. D. 3 5 m.
Lời giải 
Kẻ 2 25 3 4.AF BE DE AF      
Đặt , (0 4) 4 .DC x x CE x      
Độ dài đoạn dây cần giăng là: 
2 2( ) 1 16 (4 )f x x x    
2 2( ) 1 8 32.f x x x x     
Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của ( )f x trên (0;4). 
Ta có: 
2 2
4
'( ) 0 0
1 8 32
x x
f x
x x x

   
  
Dùng MTCT sử dụng tính năng nhẩm nghiệm ta tính được: 
'( ) 0 0,8 min ( ) (0,8) 41.f x x f x f     
Đáp án A. 
Ví dụ 4. Một màn hình ti vi hình chữ nhật cao 1,4 m được đặt ở độ cao 1,8 m so với tầm mắt (tính từ đầu 
mép dưới của màn hình). Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng sao cho góc nhìn lớn nhất ( BOC là 
góc nhìn). Hãy xác định độ dài AO để nhìn được rõ nhất. 
A. 2,4 m.AO  B. 2 m.AO  C. 2,6 m.AO  D. 3 m.AO 
Lời giải 
Đặt: 2 2, ( 0) 3,24, 10,24.AO x x OB x OC x       Ta có: 
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
3,24 10,24 1,96 5,76
cos .
2 . 2 3,24. 10,24 3,24. 10,24
OB OC BC x x x
BOC
OB OC x x x x
      
  
   
Góc nhìn BOC lớn nhất khi cos BOC bé nhất. 
Cách 1: 
Page | 6 Nguyễn Bá Hoàng_ĐT: 0936.407.353 
Đặt: 2 , 0.t x t  Xét: 
2
5,76 5,76
( ) .
3,24. 10,24 13,48 33,1776
t t
f t
t t t t
 
 
   
Ta có: 
2
2
2
6,74
13,48 33,1776 .( 5,76)
13,48 33,1776
'( )
13,48 33,1776
t
t t t
t t
f t
t t

   
 

 
 
3
2
0,98 5,6448
'( ) '( ) 0 5,76.
13,48 33,1776
t
f t f t t
t t

    
 
Suy ra cos BOC lớn nhất khi 5,76 2,4.x   
Đáp án A. 
Cách 2: 
Ta sẽ thử xem trong 4 đáp án đã cho đáp án nào làm cos BOC nhỏ nhất thì đó là đáp án cần tìm. 
Đặt: 
2
2 2
5,76
( ) .
3,24. 10,24
x
f x
x x


 
 Ta có: 
24
(2,4) 0,96; (2) 0,9612260675; (2,6) 0,960240166; (3) 0,960240166.
25
 f f f f    
Từ đó suy ra A là đáp án. 
Ví dụ 5. Mỗi trang giấy của cuốn sách giáo khoa cần diện tích 384 cm2. Lề trên và lề 
dưới là 3cm, lề trái và lề phải là 2 cm. Hãy cho biết kích thước tối ưu của trang giấy. 
A. Dài 24 cm; rộng 16 cm.
B. Dài 23,5 cm; rộng 17 cm.
C. Dài 25 cm; rộng 15,36 cm.
D. Dài 25,6 cm; rộng 15 cm.
Lời giải 
Trang giấy có kích thước tối ưu khi diện tích phần trình bày nội dung là lớn nhất. 
Gọi chiều dài của trang giấy là , ( 8 6),x x  suy ra chiều rộng là 
384
.
x
Diện tích để trình bày nội dung là: 
384 2304
( ) ( 6). 4 4 408.f x x x
x x
 
       
 
Ta cần tìm giá trị lớn nhất của ( )f x với 8 6.x 
Ta có: 
2
2304
'( ) 4 '( ) 0 24.f x f x x
x
      
Đáp án A. 
Ví dụ 6. (Đề minh hoạ lần 1 kỳ thi THPTQG năm 2017) Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm. 
Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x 
(cm), rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận 
được có thể tích lớn nhất. 
A. 6.x  B. 3.x  C. 2.x  D. 4.x 
Lời giải 
Page | 7 Nguyễn Bá Hoàng_ĐT: 0936.407.353 
Thể tích của hộp là: 2( ) (12 2 ) .V x x x  Ta cần tìm x để ( )V x đạt giá trị lớn nhất với 0 6.x  
Cách 1: 
Ta có: (6) 0; (3) 108; (2) 128; (4) 64.V V V V    
Suy ra C là đáp án. 
Cách 2: 
Ta có: 2 3 2( ) 4 ( 12 36) 4 48 144 .V x x x x x x x     
Suy ra: 
2
6
'( ) 0 12 96 144 0 .
2
x
V x x x
x

       
Mà (6) 0; (2) 128V V  nên 2x  thoả mãn đề bài. 
Đáp án C. 
Cách 3: 
Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: 
3
2 (6 ) (6 )
( ) 2.2 (6 )(6 ) 2. 2.64 128.
3
-AM GM x x x
V x x x x
    
      
 
2 6 2x x x   
( )f x ( )V x
( )V x 2x  ( )V x
Đáp án C. 
Bình luận: Sau khi xem 4 cách giải trên đâu đó sẽ có bạn đọc cho rằng cách giải thứ nhất hoặc 
cách giải thứ tư là nhanh chóng và đơn giản nhất. Tuy nhiên quan điểm của tác giả như sau: 
 Cách giải thứ nhất không phải bài nào cũng áp dụng được.
 Cách giải thứ tư không hữu ích trong các bài toán các biến số là số lẻ (hay bạn đọc còn gọi
là số xấu) vì giá trị của ( )f x trong bảng có thể là lớn nhất (nhỏ nhất) nhưng chưa hẳn đã
lớn nhất (nhỏ nhất) trên miền ta đang xét. Ở ví dụ này các giá trị của x đưa ra ở các phương
án A, B, C, D là số nguyên nên ta mới có thể nhanh chóng so sánh và đối chiếu với các giá
trị trong máy tính.
 Theo tác giả cách giải thứ ba là nhanh chóng và khoa học nhất, bài làm ở trên tác giả đã
giải chi tiết, tác giả đã đi tìm giá trị lớn nhất của ( ).V x Tuy nhiên nếu chỉ tìm x để ( )V x
lớn nhất thì ta có thể tìm được ngay nhờ việc giải phương trình: 4 12 2x x  hoặc
2 6 ,x x  cả hai phương trình này đều cho ta nghiệm 2.x  
 Câu hỏi: Tại sao tác giả lại tìm được một trong hai phương trình 4 12 2x x  hoặc
2 6x x  ? Câu trả lời rất đơn giản, trong mục A (kiến thức cần nhớ) tác giả đã
cung cấp cho bạn đọc một dẫn xuất của bất đẳng thức AM-GM đó là:
Ta có: 
3
3 ( ) ,
3 27
AM GM a b c a b c
abc abc
    
   với a, b, c là các số thực dương. 
Đẳng thức xảy ra khi .a b c  
Đẳng thức xảy ra khi: . 
Đáp án C. 
Cách 4: 
Sử dụng chức năng TABLE của MTCT (fx-570ES PLUS) ta thực hiện như sau: 
Bước 1: Nhấn MODE chọn chức năng TABLE bằng cách nhấn số 7. 
Bước 2: Màn hình yêu cầu nhập hàm số bạn đọc hãy nhập vào sau đó nhấn dấu “=”. 
Bước 3: Màn hình hiện “Start?” đây là giá trị bắt đầu, bọn đọc nhấn số 1 sau đó nhấn dấu “=”. Màn 
hình hiện tiếp “End?” đây là giá trị kết thúc, bạn đọc nhấn số 6 sau đó nhấn dấu “=”. Màn hình lại hiện 
tiếp “Step?” đây là khoảng cách mà bạn đọc cần chọn để đặt khoảng cách cho các giá trị của x, với bài này 
bạn đọc nhấn số 1 sau đó nhấn dấu “=”. 
Bước 4: Màn hình hiện lên cho ta một bảng gồm hai cột, cột bên trái là giá trị của x kẻm theo đó 
là các giá trị tương ứng của ở bên phải. Dựa vào bảng này bạn đọc sẽ suy ra thì lớn nhất. 
Page | 8 Nguyễn Bá Hoàng_ĐT: 0936.407.353 
Dẫn xuất của bất đẳng thức AM-GM trong phần tác giả đóng khung rất mạnh đối 
với bài toán này vì nó chuyển trạng thái liên kiết của a, b, c từ liên kết nhân sang 
liên kết cộng. 
Trở lại với bài toán Ta cần tìm x để 2( ) (12 2 )V x x x  đạt giá trị lớn nhất với 
0 6.x  Trong biểu thức ( )V x đang có các liên kết nhân cụ thể là các liên kết 
nhân của x, 12 2x và 12 2 ,x nếu ta dùng ngay AM-GM để chuyển sang liên kết 
cộng thì sẽ được tổng: 
3 3
(12 2 ) (12 2 ) 24 3
( ) (12 2 )(12 2 ) ,
3 3
AM GM x x x x
V x x x x
        
       
   
 rõ ràng 
rằng ta không khử được x. Tuy nhiên nếu ta chỉ nhân thêm 4 vào thì mọi chuyện sẽ 
khác: 
3
1 1 4 (12 2 ) (12 2 ) 1
( ) .4 (12 2 )(12 2 ) .512 128,
4 4 3 4
-AM GM x x x
V x x x x
    
      
 
đẳng thức xảy ra khi: 4 12 2 2.x x x    
Như vậy để giải bài toán này bạn đọc chỉ cần giải phương trình 4 12 2x x  hoặc 
2 6x x  là tìm ran gay đáp án. Việc tìm ra một trong hai phương trình trên không 
khó vì nó chỉ là các bước xác định điểm rơi đơn giản của bất đẳng thức AM-GM. 
 ( )V x
( )V x lớn nhất (giả sử 0 ),x x sau đó bạn đọc tính 0( )V x như vậy là bạn đọc đã tìm 
( ).V x
( )V x
4 12 2x x  2.x 
(2)V ( ) 128.V x 
Ví dụ 7. Một người thợ cơ khí vẽ bốn nửa đường tròn trên tấm nhôm hình vuông cạnh 1 m, sau đó cắt 
thành hình bông hoa (phần tô đậm trong hình vẽ). Hãy tính diện tích của bông hoa cắt được. 
A. 0,56 m2. B. 0,43 m2. C. 0,57 m2. D. 0,44 m2.
Lời giải 
Nhận xét: Diện tích của nửa cánh hoa sẽ bằng diện tích của một phần tư đường 
tròn trừ đi diện tích tam giác ABC (xem hình vẽ bên). 
Diện tích của nửa cánh hoa là: 2 2 2
1 1
.3,14.0,5 .0,5 0,07125 ( ).
4 2
m 
Diện tích của bông hoa cắt được là: 20,07125.8 0,57 ( ).m
Đáp án C. 
0,5 m
A
B C
Câu hỏi: Nếu đề bài yêu cầu tìm giá trị lớn nhất của thì liệu việc tính toán có
mất thời gian và gây sai lầm khi tính toán không, vì đây có số mũ chưa kể khả năng
số xấu? Rõ ràng việc tìm giá trị lớn nhất như ở trên biểu thức có vẻ khá dài và có lẽ
cũng là trở ngại nhất định cho một số bạn đọc, để giải quyết vấn đề này (cách làm
này chỉ được áp dụng cho hình thức thi trắc nghiệm) bạn đọc làm như sau: Đầu tiên
bạn đọc xác định điểm rơi để tìm x với mục đích xác định xem x bằng bao nhiêu thì
ra giá trị lớn nhất của 
Cụ thể ta có thể tìm giá trị lớn nhất của trong ví dụ trên như sau: 
Bước 1: Giải phương trình ta có 
Bước 2: Tính ta có ngay giá trị lớn nhất của 
Page | 9 Nguyễn Bá Hoàng_ĐT: 0936.407.353 
Ví dụ 8. (Đề minh hoạ kỳ thi THPTQG năm 2017) Từ một tấm nhôm hình chữ nhật có kích thước 
50 240 ,cm cm người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50 cm, theo hai cách sau 
(xem hình minh hoạ dướu đây): 
Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng. 
Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quang của một 
thùng. 
Kí hiệu 1V là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và 2V là tổng thể tích của hai thùng gò được theo 
cách 2. Tính tỉ số 1
2
.
V
V
A. 1
2
1
.
2
V
V
 B. 1
2
1.
V
V
 C. 1
2
2.
V
V
 D. 1
2
4.
V
V

Lời giải 
Gọi bán kính đáy của thùng gò theo cách 1 là 1R và bán kính đáy của thùng được gò theo cách 2 
là 2.R Ta có: 
2 2
1 1 1
2 2
2 2 2
50.
.
2.50. 2
V R R
V R R


 
Mà: 
2
1 1
1 2 2
2 2
240 2 4 2 4.
R R
R R
R R
      
Suy ra: 1
2
4
2.
2
V
V
 
Đáp án C. 
Ví dụ 9. Một cái mũ bằng vải của nhà ảo thuật với kích thước như hình vẽ. Hãy tính tổng diện tích vải 
cần để làm cái mũ đó biết rằng vành mũ hình tròn và ống mũ hình trụ. 
A. 2700 .cm B. 2754,25 .cm C. 2750,25 .cm D. 2756,25 .cm
Lời giải 
Ống mũ là hình trụ với chiều cao 30 ,cmh  bán kính đáy 
35 2.10
7,5 .
2
cmR

 
Diện tích vải để làm ống mũ là: 2 2
1 2 2 .7,5.30 .7,5 506,25S Rh R         (cm
2). 
Diện tích vải để là vành mũ là: 2 2
2 .17,5 .7,5 250S      (cm
2). 
10 cm
35 cm
35 cm
Page | 10 Nguyễn Bá Hoàng_ĐT: 0936.407.353 
Tổng diện tích vải cần để là cái mũ là: 506,25 250 756,25    (cm2). 
Đáp án D. 
Ví dụ 10. Người ta giăng lưới để nuôi riêng một loại cá trên một góc hồ. Biết rằng lưới được giăng theo 
một đường thẳng từ một vị trí trên bờ ngang đến một vị trí trên bờ dọc và phải đi qua một cái cọc đã cắm 
sẵn ở vị trí A. Hỏi diện nhỏ nhất có thể giăng là bao nhiêu, biết rằng khoảng cách từ cọc đến bờ ngang là 
5 m và khoảng cách từ cọc đến bờ dọc là 12 m. 
A. 120 m2. B. 156 m2. C. 238,008(3) m2. D. 283,003(8) m2.
Lời giải 
Đặt tên các điểm như hình vẽ. Đặt , ( 0).CJ x x  
Vì hai tam giác AJC và BKA là hai tam giác đồng dạng nên: 
12 60
.
5
x
KB
KB x
  
Diện tích của khu nuôi cá là: 
1 60
( ) ( 5). 12
2
S x x
x
 
   
 
1 300 150
( ) 60 12 60 ( ) 6 60
2
S x x S x x
x x
 
         
 
Ta có: 
2
150
'( ) 0 6 0 5.S x x
x
     
Suy ra diện tích nhỏ nhất có thể giăng là: (5) 120S  (m2). 
Đáp án A. 
Ví dụ 11. Một khối lập phương có cạnh 1 m chứa đầy nước. Đặt vào trong khối đó một khối nón có đỉnh 
trùng với tâm một mặt của lập phương, đáy khối nón tiếp xúc với các cạnh của mặt đối diện. Tính tỉ số 
thể tích của lượng nước tràn ra ngoài và lượng nước ban đầu trong khối hộp. 
A. .
12

B. 
12
.

C. 
4
.

D. 
3
.

Lời giải 
Thể tích của lượng nước tràn ra ngoài bằng thể tích của khối nón. 
Thể tích của khối nón là: 21 1
1
.1. .0,5 .
3 12
S S

  
Thể tích của khối lập phương là: 2 21.1.1 1.S S  
Page | 11 Nguyễn Bá Hoàng_ĐT: 0936.407.353 
Do đó tỉ số cần tìm là: 1
2
:1 .
12 12
S
S
 
 
Đáp án A. 
Ví dụ 12. Một miếng nhôm hình vuông cạnh 1,2 m được người thợ kẻ lưới thành 9 ô vuông nhỏ có diện 
tích bằng