Bài thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính cầm tay tỉnh Bắc Giang năm học 2013-2014 môn: Toán-khối THPT

1 
 UBND TỈNH BẮC GIANG HDC BÀI THI HỌC SINH GIỎI 
 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY 
 NĂM HỌC 2013-2014 
 Môn: Toán-Khối THPT 
ĐIỂM TOÀN BÀI Các giám khảo 
(họ tên và chữ kí) 
SỐ PHÁCH 
(do chủ tịch hội 
đồng chấm ghi) Bằng số 
Bằng chữ 
Chú ý: 
- Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản đề thi này, những phần không yêu cầu trình bày lời giải thì 
điền kết quả vào ô trống tương ứng. 
- Nếu không có yêu cầu gì thêm, hãy tính chính xác đến 4 chữ số thập phân. 
- Các đoạn thẳng được đo theo cùng một đơn vị dài. 
Bài 1: (6 điểm) 
a) Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của phương trình: 
2sin ( os2 1) 4sin cos 2cos (cos2 2sin 2 1) 0x c x x x x x x      . 
Cách giải Kết quả Điểm 
Phương trình trở thành 
 (sin 2cos )(2sin 2 os2 1) 0x x x c x    
1.đ 
tan 2
2sin 2 os2 1 0
tan 2
cos 0
1
tan
2
x
x c x
x
x
x

    

 

 

 

1đ 
Từ đó suy ra x 
0 063 26'5'' 180 ( ).x k k   
0 026 33'54'' 180 ( ).x k k    
0 090 180 ( ).x k k   
1đ 
b) Tìm gần đúng giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: 
( ) 2 1 sin cos sin .cos 2 2 sin( ).
4
f x x x x x x

       
Cách giải Kết quả Điểm 
Đặt sin cos , [ 2; 2]t x x t    . 
Khi đó: 
2 1
( ) 2 1 2
2
t
f t t t

     
1.0đ 
2 
( 2 1) 2 2 1 2
( )
(1 2) 2 2 2 1
t khi t
f t
t khi t
      
 
      
1.0đ 
Từ đó suy ra GTLN, GTNN GTLN bằng 4 2 2 
GTNN bằng 1 
1.0đ 
Bài 2: (6 điểm) 
a) Cho tập hợp {0;1;2;3;4;5}A  . Có bao nhiêu số gồm 8 chữ số lập được từ tập A thỏa mãn đồng thời các điều 
kiện sau: 
 i) Chữ số 0 có mặt đúng 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần. 
 ii) Các chữ số lập được đều phải chẵn và không bắt đầu bỏi nhóm các chữ số 1,0,0,0. 
Cách giải Kết quả Điểm 
Số các số thỏa mãn điều kiện (i) là: 
8! 7!
3! 2!
 
1.đ 
 Số các số thỏa mãn điều kiện (i) và là số lẻ là: 
7! 6!
3.( )
3! 2!
 
Số các số thỏa mãn điều kiện (i) là số chẵn và xuất phát bởi nhóm các 
chữ số 1,0,0,0 là: 2.3! 
 1đ 
Số các số cần tìm là: 
8! 7!
3! 2!
 - 
7! 6!
3.( )
3! 2!
 -2.3! 
2748 1đ 
b) Cho dãy số 1 2( ) : ó 1, 3nu c u u  và 
1
1 2
3
4 2
n
n
n n
u
u
u u

 

 

 với 3.n  
Lập quy trình bấp phím tính nu . Tính 15 16 17, ,u u u 
Cách giải Kết quả Điểm 
Gán: A=1; B=3;D=2:D=D+1 
A=4B+2A:D=D+1:B=3A 
Bấm = 
1,5đ 
15
16
17
105413504
316240512
1475789056
u
u
u



15
16
17
105413504
316240512
1475789056
u
u
u



1,5đ 
Bài 3.(5 điểm) 
a) Sinh Viên Bình vừa trúng tuyển đại học được ngân hàng cho vay trong 4 năm học, mỗi năm 2000000 
đồng để nộp lệ phí, với lãi suất ưu đãi 3%/ năm. Sau khi tốt nghiệp đại học, bạn Bình phải trả góp hàng 
tháng cho ngân hàng số tiền m không đổi cũng với lãi suất 3%/ năm trong vòng 5 năm. Tính số tiền m hàng 
tháng bạn Bình phải trả nợ ngân hàng ( làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) 
Cách giải Kết quả Điểm 
Đặt A=2000000, q=1.03 
Sau 4 năm Bình nợ tiền ngân hàng là: 
4 3 2 8618271.62S Aq Aq Aq Aq     đồng 
1đ 
Nếu n lẻ 
Nếu n chẵn 
3 
Khi ra trường, sau năm thứ nhất Bình còn nợ ngần hàng là: 
1 12B Sq m  
sau năm thứ hai Bình còn nợ ngần hàng là: 
2 ( 12 ) 12B Sq m q m   
Sau năm thứ năm Bình nợ ngân hàng là: 
5 4 3 2
5 12 ( 1)B Sq m q q q q      
Cho 5 0B  
m=156819 
đồng 
1,5đ 
b) Tìm nghiệm gần đúng của hệ phương trình: 
tan log 3. 3
3tan log 2 .
tan 2log 3
z
z
x y e
x y
x y e
    

 

   
Cách giải Kết quả Điểm 
Điều kiện: cos 0, 0x y  
Đặt tan , log , za x b y c e   
Ta có 
3 3
3 2
2 3
4 22 11
, ,
17 17 17
a b c
a b
a b c
a b c
   

 
   
   
1,5đ 
Từ đó suy ra x, y, z 0,2311
19,6842
0,4353
x k
y
z
 

 
1đ 
Bài 4: (5 điểm) 
a) Cho tam giác ABC cân tại A. Biết trực tâm H của tam giác nằm trên đường tròn nội tiếp tam giác ABC. 
Tính gần đúng ( theo độ phút giây) góc A. 
Cách giải Kết quả Điểm 
E
H
D
B C
A
Có góc 0 045 , 90
4 2
A A
BDE BHE    
 1đ 
0tan( ) 2 tan( ) tan(45 ) 2cot
4 2
A A
BDE BHE    
083 37 '14''A  
1,5đ 
b) Tìm chiều dài bé nhất của một cái thang để nó có thể dựa vào tường và mặt đất, ngang qua cột đỡ cao 4m 
song song và cách tường 0,5 m kể từ tim của cột đỡ ( như hình vẽ). 
4 
Cách giải Kết quả Điểm 
Thang
Cét ®ì
T-êng
MÆt ®Êt
BC
D
A
E
Đặt ( 4)CD x x  
Tính được chiều dài thang là: 
2
2
24( 4)
x
l x
x
 

. 
1đ 
Xét hàm số 
2
2
2
( ) : 4
4( 4)
x
f x x x
x
  

Lập bảng biến thiên và tìm GTNN của hàm số f(x). 
Chiều dài nhỏ nhất 
của thang là: 
5 5
5.5902
2
 
1.5đ 
Bài 5. (5 điểm) 
Cho hình chóp S.ABCD, gọi A', B', C', D' lần lượt là trung điểm của các cạnh bên. Một mặt phẳng ( ) cắt hình 
chóp cụt A'B'C'D'.ABCD theo thiết diện là lục giác đều MNJPQI, trong đó M, N, J, P, Q, I và U là giao của 
mp( ) với các cạnh BC, CD, DD', D'A', A'B', BB' và A'S. Tính tỉ số thể tích của hai tứ diện UA'QP và UAIJ. 
Cách giải Kết quả Điểm 
O
U
Q
P
J
I
N
M
D'
C'
B'
A'
S
D
CB
A
+ Chỉ ra được 2MN=2PQ=IJ, IJ song song với BD 
+ Gọi O là tâm của lục giác đều. Suy ra khoảng cách từ O 
đến hai đáy của chóp cụt bằng nhau nên I, J lần lượt là 
trung điểm của cạnh BB', DD'. 
1đ 
+Đặt 
3
4 ' ' 2 , IJ 3 à .
2
a
BD a B D a a v MN PQ      
+ 
' 3 '
3
' ' ' ' 4 '
PQ A Q A Q
B D A B QB
    
+ Trong tam giác SA'B' với cát tuyến IQU ta có: 
2đ 
5 
US ' ' US
. . 1 1
' ' IS '
QA IB
UA QB UA
   
. '
.AIJ
'. . 1
.
. .UJ 12
U A QP
U
V UA UPUQ
V UAUI
  
1
12
2đ 
Bài 6. (3 điểm) Trên mỗi ô của một bảng 4x4 ô vuông, người ta điền một trong hai số 1 hoặc -1 sao cho tổng 
các số trong mỗi hàng và trong mỗi cột đều bằng 0. Hỏi có bao nhiêu cách điền như trên. 
Cách giải Kết quả Điểm 
Nếu ba hàng đầu điền hai số 1 và -1 sao cho tổng bằng không và 
mỗi cột có không quá hai chữ số 1 hoặc -1 thì hàng thứ tư chỉ có 
đúng một cách điền. Nên ta chỉ cần tìm cách điền cho 3 hàng 
đầu. 
0,5đ 
+ Số cách điền hàng thứ nhất hai chữ số 1 và -1 sao cho tổng bằng 0 
là: 2
4C . 
 * Nếu điền số ở hàng thứ hai không trùng vị trí ở hàng thứ nhất 
có 1 cách. Khi đó hàng thứ 3 có 2
4C cách điền. 
 * Nếu điền số ở hàng thứ hai trùng 2 vị trí ở hàng thứ nhất thì 
có 4 cách điền. Khi đó hàng thứ 3 có 2 cách điền. 
 * Nếu điền số ở hàng thứ hai trùng 4 vị trí ở hàng thứ nhất thì 
có 1 cách điền. Khi đó hàng thứ 3 có 1 cách điền. 
 1.5đ 
Số cách điền là: 2
4C .(1.6+1.1+4.2)=90 
90 1,5đ 
-------------------------Hết---------------------------