Bài tập về số vô tỉ

 BÀI TẬP VỀ SỐ VÔ TỈ
Trong toán học, số vô tỉ là số thực không phải là số hữu tỉ, nghĩa là không thể biểu diễn được dưới dạng tỉ số a/b  (a và  b là các số nguyên)
Người ta đã chứng minh được rằng, tập hợp các số vô tỉ có lực lượng lớn hơn tập hợp các số hữu tỉ..
I/ Chứng minh số vô tỉ
1/ Chứng minh căn bậc hai của 2 () là số vô tỉ
Cách CM thứ nhất
Giả sử rằng  là một số hữu tỉ, nghĩa là tồn tại hai số nguyên a và b mà a / b = .
Như vậy  có thể được viết dưới dạng một phân số tối giản a / b với a, b là hai số nguyên tố cùng nhau và (a / b)2 = 2. à suy ra a2 / b2 = 2 và a2 = 2 b2. Khi đó a2 là số chẵn vì nó bằng 2 b2 (hiển nhiên là số chẵn) à suy ra a phải là số chẵn vì a2 là số chính phương chẵn (số chính phương lẻ có căn bậc hai là số lẻ, số chính phương chẵn có căn bậc hai là số chẵn.).
Vì a là số chẵn, nên tồn tại một số k thỏa mãn: a = 2k. Từ đó ta có: 
 (2k)2 = 2b2 Û 4k2 = 2b2 Û 2k2 = b2.
Vì 2k2 là số chẵn nên b2 là số chẵn, à suy ra b cũng là số chẵn
Vì  a và b đều là các số chẵn thì mâu thuẫn với giả thiết a / b là phân số tối giản 
vậy nếu  là một số hữu tỉ là kết luận sai è phải kết luận  là số vô tỉ.
Cách chứng minh trên có thể được tổng quát hóa để chứng rằng: "căn bậc hai của một số tự nhiên bất kì hoặc là một số nguyên hoặc là một số vô tỉ."
Cách CM thứ hai
Để chứng minh: "  là một số vô tỉ" người ta còn dùng phương pháp phản chứng theo một cách khác, cách này ít nổi tiếng hơn cách ở trên.
Giả sử rằng  là một số hữu tỉ. Điều này có nghĩa là tồn tại hai số nguyên dương m và n sao cho m/n = .
- Biến đổi đẳng thức trên, ta có: m/n = (2n - m)/(m - n).
Vì  > 1, nên từ (1) suy ra m > n  m > 2n - m. à suy ra (2n - m)/(m - n) là phân số rút gọn của phân số m/n.
 à suy ra, m/n không thể là phân số tối giản hay  không thể là số hữu tỉ - mâu thuẫn với giả thiết  là một số hữu tỉ. Vậy  phải là số vô tỉ.
Bổ sung:
Cách chứng minh trên tương tự với cách dùng phép dựng hình để chứng minh giả thuyết về số  - một loại phương pháp chứng minh được sử dụng bởi các nhà hình học Hy lạp cổ đại. 
Xét một tam giác vuông cân mà độ dài tương ứng của các cạnh góc vuông và 
cạnh huyền là hai số nguyên dương n và m. 
Áp dụng Định lý Pytago, ta suy ra tỉ số m/n bằng . 
Mặt khác, bằng phương pháp dựng hình cổ điển com-pa và thước thẳng ta dựng được một tam giác vuông cân nhỏ hơn với độ dài của các cạnh góc vuông và cạnh huyền tương ứng bằng m − n và 2n − m. 
Áp dụng Định lý Pytago cho tam giác thứ hai, ta suy ra tỉ số (2n − m)/(m − n) cũng bằng . Như vậy, m/n = (2n − m)/(m − n), điều này chứng tỏ phân số m/n không thể là phân số tối giản hay  không phải là số hữu tỉ mà phải là số vô tỉ.
2/ Chứng minh Căn bậc hai của 10 là số vô tỉ
Giả sử  là số hữu tỉ, tức là bằng m/n, vậy:
m2 = 10n2 trong đó m, n là số nguyên
Tuy nhiên, trong hệ thập phân, bất kỳ số bình phương nào cũng có số chẵn số 0 ở cuối. (Chứng minh: Bất kỳ số nguyên n nào, trong hệ thập phân, đều có dạng: a.10k, k ≥ 0, trong đó a không kết thúc bằng số 0. Vậy bất kỳ số bình phương n2 nào cũng có dạng: a2 102k, k ≥ 0.)
Như vậy, trong đẳng thức ở trên, vế trái có số chẵn số 0 ở cuối, nhưng vế phải lại có số lẻ số 0 ở cuối. Vậy giả thiết  là số hữu tỉ phải sai.
3/ Chứng minh Căn bậc ba của 2 là số vô tỉ
Giả sử A =  là một số hữu tỉ.Có nghĩa là tồn tại m,n là số nguyên sao cho A=m/n. Suy ra A là nghiệm hữu tỉ của phương trình: x3 = 2;
Suy ra m là ước của 2,n là ước của 1. Tuy nhiên không có m nào là ước của 2 mà lũy thừa 3 bằng 2. è Vậy A là vô tỉ.
II/ Bài tập thực hành Chứng minh số vô tỉ
Bài 1. Chứng minh là số vô tỉ.
Giải
1. Giả sử là số hữu tỉ Þ (tối giản). Suy ra (1). Đẳng thức này chứng tỏ mà 7 là số nguyên tố nên m 7. 
Đặt m = 7k (k Î Z), ta có m2 = 49k2 (2). 
Từ (1) và (2) suy ra 7n2 = 49k2 nên n2 = 7k2 (3). 
Từ (3) ta lại có n2 7 và vì 7 là số nguyên tố nên n 7. m và n cùng chia hết cho 7 nên phân số không tối giản, trái giả thiết. 
Vậy không phải là số hữu tỉ; è do đó là số vô tỉ.
Bài 2. 
Chứng minh tổng quát rằng : Nếu số tự nhiên a không phải là số chính phương thì là số vô tỉ.
HD Giải: Chứng minh phản chứng tương tư bài 1 ( nhưng đơn giản hơn).
Néu là số hữu tỉ thì có thể viết = à a = [±]2 Trái với giả thiết
Bài 3. 
Hãy viết một số hữu tỉ và một số vô tỉ lớn hơn nhưng nhỏ hơn 
Giải
a/ Giá trị gần đúng của = 1,4142; = 1,7320
 à số hữu tỉ đó là : 1,42.., 1,43; 1,53..1,70thoả mãn
b/ Nếu a < b thì a < (a +b)/2 < b à Do đó < <
Bài 4. Chứng minh rằng các số sau là số vô tỉ : 
a) 	
b) với m, n là các số hữu tỉ, n ≠ 0.
HD Giải
 a) Giả sử = m (m : số hữu tỉ) Þ = m2 – 1 Þ là số hữu tỉ (vô lí)
 b) Giả sử m + = a (a : số hữu tỉ) Þ = a – m Þ = n(a – m) Þ là số hữu tỉ, vô lí.
Bài 5. Có hai số vô tỉ dương nào mà tổng là số hữu tỉ không ?
ĐA: Có, chẳng hạn 
Bài 6 . Chứng minh rằng tổng của một số hữu tỉ với một số vô tỉ là một số vô tỉ.
HD Giải: Chứng minh bằng phản chứng. 
Giả sử tổng của số hữu tỉ a với số vô tỉ b là số hữu tỉ c. 
à Ta có : b = c – a. Ta thấy, hiệu của hai số hữu tỉ c và a là số hữu tỉ, 
 với b là số hữu tỉ thì trái với giả thiết. è Vậy c phải là số vô tỉ.
Bài 7. 
Xét xem các số a và b có thể là số vô tỉ không, nếu : 
a) ab và là số vô tỉ.	
b) a + b và là số hữu tỉ (a + b ≠ 0)
c) a + b, a2 và b2 là số hữu tỉ (a + b ≠ 0)
ĐA: a) Có thể. b, c) Không thể.
PHH sưu tầm & chỉnh li 6/11/2015 - Nguồn TK Wikipedia & vndoc.com