Bài tập về phương trình bậc hai và định lí viét môn Toán

Bài tập về phương trình bậc hai và định lí viét
Bài 1:A) Cho phương trình: x2- mx + m2 -7 = 0
Tìm m để phương trình có một nghiệm là - 1. Tìm nghiệm còn lại.
 B)Cho phương trình (m - 1)x2 - 4mx + 4m - 1 = 0 ( x là ẩn, m là tham số)
a, Giải phương trình với m = 2
b, Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất .
c, Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn x12 + x22 = 1.
Bài 2: Cho phương trình x2 - 2(k - 1)x + k - 4 = 0 (1) ( x là ẩn, k là tham số)
a, Giải phương trình với k = 1.
b,Chứng minh rằng PT (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi k.
c,Tìm k để PT có hai nghiệm cùng dấu. Khi đó 2 nghiệm mang dấu gì?
d, Chứng minh biểu thức A = x1(1 - x2) + x2(1 - x1) không phụ thuộc vào giá trị của k( x1,x2 là hai nghiệm của phương trình).
Bài 3: Cho phương trình (m + 3)x2 + 2mx + m - 3 = 0 (1) ( x là ẩn, m là tham số)
a, Với giá trị nào của m thì (1) là phương trình bậc hai.
a, Giải phương trình với m = 
b, Tìm m để phương trình có2 nghiệm trái dấu .
c, Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn x12 + x22 = 4.
d,Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là nghịch đảo của 2 nghiệm phương trình (1).
Bài 4: Cho phương trình (m - 1)x2 - 2mx + m + 1 = 0 ( x là ẩn, m là tham số)
a, Giải phương trình với m = - 2
b, Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m khác 1.
c, Tìm m để phương trình có tích 2 nghiệm bằng 5. Từ đó hãy tính tổng 2 nghiệm.
d, Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn = 1.
e, Tìm một hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm không phụ thuộc vào m.
Bài 5: Cho phương trình x2 + 2x - 5 = 0. Không giải phương trình hãy tính :
a, Tổng và tích hai nghiệm của phương trình.
b, Tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình.
c, Tổng các nghịch đảo 2 nghiệm của phương trình.
d, Tổng các nghịch đảo bình phương hai nghiệm của phương trình.
e, Tổng các lập phương hai nghiệm của phương trình.
Bài 6:A) Cho phương trình 2x2 - 3x + 1= 0 . Không giải phương trình , hãy tính : 
1. 2 . 3. Q = 
 4 .(x13 - x23 ):(x13 + x23)
 5. a) + b)x1 +x2
 c)x1 +x2 d) -
 B)Cho phương trình: x2+ 3x + 1 = 0 không giải phương trình trong đó x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Hãy tính giá trị các biểu thức sau:
a) A = x1(2 - x2) + x2(2 - x1)
b) B = 12 - 10 x1 x2 - ( x22+ x12)
c) C = (2x1 - x2).(2x2 - x1)
d) D = 
Bài 7. Lập phương trình bậc hai cho trước hai nghiệm x1, x2.
1) Cách giải:
Tính S = x1 + x2
 	P = x1.x2
Nếu S2 - 4P ³ 0 
 	thì x1, x2 là nghiệm của phương trình: x2 - Sx + P= 0
2) Các bài tập áp dụng:
VD1: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm lần lượt là: 
2 + ; 2 - .
Giải
 	S = 2 + + 2 - = 4
 	P = (2 + )(2(- ) = 4 - 3 = 1
Do S2 - 4P = 42 - 4 = 12 > 0
Vậy 2 + và 2 - là hai nghiệm của phương trình:
 	x2 - 4x + 1 = 0
VD2: Chứng minh rằng tồn tại phương trình bậc hai có hệ số nguyên và có một nghiệm là: 
Giải
 Cho x1 = = = 5 - 2
 	Chọn x2 = 5 + 2
Ta có: S = x1 + x2 = 
 	 = 5 - 2+5 + 2 = 10
 	P =(5 - 2)(5 + 2) = 25 - 24 = 1
 	Do S2 - 4P = 102 - 4 = 96 > 0
Vậy x1,x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai:
 	x2 -10x +1 = 0
Có các hệ số là số nguyên
VD3: Cho phương trình: x2 - 5x + 4 = 0 có hai nghiệm x1, x2. hãy tìm một phương trình bậc hai có hai nghiệm lần lượt là: X1 = x1 + 1; X2 = x2 +1
Giải
Xét phương trình: x2 - 5x + 4 = 0 có hai nghiệm x1, x2.
 	Theo viét ta có:
 	x1 + x2 = 5
 	x1.x2 = 4
Ta có S = X1 +X2 = x1 + 1 + x2 + 1 = x1 + x2 + 2 = 5 + 2 = 7
 	P = X1.X2 = (x1 + 1)( x2 +1) = 
 = x1x2 + (x1 +x2) +1 = 4 + 5 + 1 = 10
 Mà S2 - 4P = 72 - 4.10 = 9 > 0
Vậy X1, X2 là nghiệm của phương trình:
 	X2 - 7X + 10 = 0
VD4: Cho phương trình: x2 - 2(m -1)x + m -1 = 0 có hai nghiệm x1, x2. Hãy tìm một phương trình bậc hai có hai nghiệm là:
 	 	X1 = ; X2 = 
Giải
Xét phương trình : x2 - 2(m - 1)x + m - 1 = 0
PT có hai nghiệm 
 	Û D = (m - 1) 2 - m +1 ³ 0 
 	Û m2 - 3m + 2 ³ 0 
 	Û (m -)2 - ³ 0 
 	Û m ³ 2 hoặc m Ê 1
Phương trình có hai nghiệm x1, x2
 	Theo Vi - ét ta có:
 	x1 + x2 = 2m - 2
 	 x1.x2 = m -1
Ta có S = X1 +X2 = + = = 
 	 	 = = 
 	 P = X1.X2 = . = 
 	 = = 
 	Do S2 - 4P = - 
 	 = = 
 	= = .D ³ 0
Vì (1) có hai nghiệm nên D ³ 0
Vậy X1, X2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai:
 	X2 - 4()X + = 0
3) Bài tập thực hành:
Bài 1: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm lần lượt là:
a) 1 - và 1 + 	b) 1 + và 1 - 
Bài 2: Chứng minh rằng tồn tại một phương trình bậc hai có hệ số là số nguyên và có một nghiệm .
Bài 3: Cho phương trình 2x2 - 7x + 6 = 0 có hai nghiệm x1, x2. hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1, x2 trong các trường hợp sau:
a) X1 = ; X2 = 
b) X1 = x1 + 1; X2 = x2 + 1
c) X1 = x1 + ; X2 = x2 +
Bài 4: Cho phương trình: x2 - 2mx + 1 =0 có hai nghiệm x1, x2. Hãy tìm một phương trình bậc hai có hai nghiệm là:
 	X1 = x1 -; X2 = x2 - 
Bài 5: Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm x1, x2 là:
a, x1 = 2; x2 = 3. b,x1 = -1 ; x2 = c, x1 = 1 + ; x2 = 1 - d, x1 = 36 ; x2 = - 104.
Bài 8: Một số ứng dụng 
A) Cho PT x2 + ( 2m - 1)x - m = 0 ( x là ẩn)
a, CMR PT đã cho luôn có nghiệm với mọi m.
b, Gọi hai nghiệm là x1, x2 . Tìm m để : A = x12 + x22 - 6x1x2 có giá trị nhỏ nhất.
B) Cho PT x2 - mx + m - 1 = 0 ( x là ẩn)
a, CMR PT đã cho luôn có nghiệm với mọi m.
b, Gọi hai nghiệm là x1, x2 . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức:
 B = .
C) Cho PT x2 + 2(m + 2)x + m +1 = 0 ( x là ẩn) (*)
 a, Giải phương trình khi m = - 
 b, Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (*) có nghiệm.
c, Gọi x1 , x2 là nghiệm cả PT (*) , tìm các giá trị của m để : 
 1, x1( 1 - 2x2) + x2(1 - 2x1) = m3 
 2, x1(1 - 2x2) + x2(1 - 2x1) - m2.