Bài tập về nhà: Một số dạng toán về tứ diện

Bài 1: Một số bài tốn về tứ diện – Khĩa LTðH đảm bảo – Thầy Trần Phương 
 Hocmai.vn – Ngơi trường chung của học trị Việt 1 
BTVN MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ TỨ DIỆN 
Bài 1: Tứ diện SABC cĩ ( ).SA mp ABC⊥ Gọi H, K lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và SBC. 
1. Chứng minh SC vuơng gĩc với mp(BHK) và ( ) ( )SAC BHK⊥ 
2. Chứng minh ( )HK SBC⊥ và ( ) ( ).SBC BHK⊥ 
 Giải: 
1. Vì H là trực tâm tam giác ABC BH AC∆ ⇒ ⊥ , theo giả thiết 
 ( )SA mp ABC BH SA⊥ ⇒ ⊥ . Nên ( )BH mp SAC SC BH⊥ ⇒ ⊥ 
 Do K là trực tâm SBC BK SC∆ ⇒ ⊥ 
 Từ đĩ suy ra ( ) ( ) ( )SC mp BHK mp BHK mp SAC⊥ ⇒ ⊥ (đpcm) 
 2. Tương tự như trên ta cũng chứng minh được: ( )SB mp CHK SB HK⊥ ⇒ ⊥ 
 Mà ( )SC mp BHK SC HK⊥ ⇒ ⊥ . Do đĩ: ( ) ( ) ( )HK mp SBC mp SBC mp BHK⊥ ⇒ ⊥ 
Bài 2: Cho tứ diện ABCD với AB=CD=a, AC=BD=b, BC=AD=c. Gọi I và J lần lượt là 
 trung điểm của AB và CD. Hãy tính độ dài đoạn vuơng gĩc chung của AB và CD 
 Giải: 
 Ta thấy ngay ABC ABD∆ = ∆ nên 2 trung tuyến CI và BD bằng nhau hay ICD∆ cân tại I. 
 Nên ta cĩ IJ CD⊥ . 
 CM tương tự ta cĩ: IJ AB⊥ vậy IJ chính là đoạn vuơng gĩc chung của AB và CD. 
 Tính IJ: Áp dụng cơng thức trung tuyến và ta tính IJ được kết quả là: 
2 2 2
IJ
2
b c a+ −
=
Bài 3: Tính thể tích khối tứ diện ABCD biết , ,AB a AC b AD c= = = và các gĩc ,BAC∠ ,CAD DAB∠ ∠ 
 đều bằng 60
 . 
 Giải: 
 Khơng mất tính tổng quát ta giả sử { }min , ,a a b c= 
www.VNMATH.com
Bài 1: Một số bài tốn về tứ diện – Khĩa LTðH đảm bảo – Thầy Trần Phương 
Page 2 of 4 
Trên AC, AD lấy lần lượt hai điểm C1, D1 sao cho AC1 = AD1 = a, từ giả thiết suy ra tứ diện ABC1D1 là tứ 
diện đều cạnh a nên cĩ 
1 1
32
12ABC D
V a=
Theo cơng thức tỉ số thể tích: 1 1
2
1 1
.
ABC D
ABCD
V AC AD a
V AC AD bc
= =
1 12
2
12ABCD ABC D
bc abcV V
a
⇒ = =
 Bài 4: Cho tam diện vuơng gĩc Oxyz. Lần lượt lấy trên Ox, Oy, Oz ba đoạn OA=a, OB=b, OC=c. Gọi α, 
β,γ là số đo các nhị diện cạnh BC, CA, AB. 
a) CMR: 2 2 2os os os 1c c cα β γ+ + = 
b) CMR: 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )ABC OBC OCA OABS S S S∆ ∆ ∆ ∆= + + 
 Giải: 
a) Kẽ .CH AB OH AB OHC γ⊥ ⇒ ⊥ ⇒∠ = Ta cĩ: 
2
2
2os os
OH OH
CH CH
c cγ γ⇔= = 
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2os
a b b c c a a bCH OC OH c
a b a b b c c a
γ+ += + = ⇒ =
+ + +
Tương tự và ta tính được: 2 2 2os os os 1c c cα β γ+ + = 
b) Áp dụng cơng thức diện tích hình chiếu ta cĩ: 
2 2 2 2
cos
cos ( ) ( ) ( ) ( )
cos
ABC OBC OCA OAB
OBC ABC
OCA ABC
OAB ABC
S
S S
S S
S
S S S S
α
β
γ
∆ ∆ ∆ ∆
=

= ∆ ⇒ = + +

= 
∆
∆
∆ ∆
∆
 Bài 5: Trong mặt phẳng (P) cho hình vuơng ABCD cạnh a. Lấy M,N thuộc CB và CD. ðặt CM=x, 
CN=y. Lấy ( )S At P∈ ⊥ . Tìm hệ thức giữa x, y để: 
a) ( ) 0( ), ( ) 45SAM SAN∠ = 
b) ( ) ( )SAM SMN⊥ 
 Giải: 
a) ( )( ), ( )SAM SAN MAN∠ = ∠ 
Ta cĩ: 2 2 2 2 . cosMN MA NA MA NA MAN= + − ∠ 
Ta tính được: 
www.VNMATH.com
Bài 1: Một số bài tốn về tứ diện – Khĩa LTðH đảm bảo – Thầy Trần Phương 
Page 3 of 4 
2 2 2
2 2 2 0 2 2 3 4
2 2 2
( ) 45 4 ( ) 4 2 ( )
( )
MN x y
MA a a x MAN x y a x y a axy x y
NA a a y
= +

= + − ⇒ ∠ = ⇔ + + = + −

= + − 
b) Giả sử ( ) ( )SAM SMN⊥ 
Kẽ ' ' ( ) 'NM SM NM SMA NM SA⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ 
Nhưng SA MN⊥ nên NM’ trùng với NM hay M’trùng với M 
2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )a a y a a x x y x a x y⇒ + − = + − + + ⇔ = −
Bài 6: Cho hình Tứ diện S.ABC cĩ các gĩc phẳng ở đỉnh S vuơng. 
1. Chứng minh rằng: 
 3
∆ABC ∆SBC ∆SAB ∆SACS S S S≥ + + 
2. Cho SA=a, SB+SC=k. ðặt SB=x. Tính thể tích tứ diện S.ABC theo a,k,x. Xác định SB,SC để 
 thể tích tứ diện S.ABC Max. 
 Giải: 
1. Gọi H là trực tâm ∆ABC , Nối dài AH cắt BC tại K 1AH BC( )⇒ ⊥ 
( ) 2SA SB SA SBC SA BC( )
SA SC
⊥ 
⇒ ⊥ ⇒ ⊥⊥ 
Tứ (1) và (2) ta cĩ: ( ) ( )BC SAH SAK BC SH⊥ ≡ ⇒ ⊥ 
Chứng minh tương tự ta cũng cĩ: AC SH SH ( ABC )⊥ ⇒ ⊥ . 
Tam giác SAK vuơng, chiều cao SH nên: 
( ) ( )( )
2
22
2 2 2 ∆SBC ∆HBC ∆ABC
SK .BC KH .BC KA.BCSK KH .KA . S S S     = ⇔ = ⇔ =     
     
Tương tự: ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2∆SAB ∆ABC ∆HAB ∆SAC ∆HAC ∆ABCS S S ; S S S= = 
Cộng các vế với nhau ta cĩ: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2∆SAB ∆SBC ∆SAC ∆ABCS S S S+ + = 
Theo BðT Cơsi ta cĩ: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 21 1 1 3∆SAB ∆SBC ∆SAC ∆SAB ∆SBC ∆SAC ∆ABCS S S S S S S+ + ≤ + + + + = 
www.VNMATH.com
Bài 1: Một số bài tốn về tứ diện – Khĩa LTðH đảm bảo – Thầy Trần Phương 
Page 4 of 4 
2. 
( ) [ ]
2
2
2
1 1 1
6 6 6 6
6 2 2
SABC
SABC
akV SA.SB.SC ax k x a x k x
ak k kMaxV x k x x SB SC
= = − ≤ + − =
⇒ = ⇔ = − ⇔ = ⇔ = =
 .Hết 
 Nguồn: hocmai.vn 
www.VNMATH.com