Bài tập phương pháp toạ độ trong không gian

Phần 1: HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1. Hệ trục tọa độ Decartes vuông góc Oxyz (Hệ tọa độ Oxyz)
Hệ gồm ba trục vuông góc với nhau từng đôi một tại O cùng với các vectơ đơn vị trên mỗi trục lần lượt là .
O: gốc tọa độ
: trục hoành
: trục tung
: trục cao
2. Tọa độ của vectơ trong không gian	
 2.1. Định nghĩa: 
Với định nghĩa trên, ta có: 
 2.2. Các công thức về tọa độ của vectơ trong không gian
Cho và số thực k
a) ;	b) ; c) ;
d) cp ()(với Đk: )
e) Tích vô hướng của hai vectơ:
Định nghĩa: ; Biểu thức tọa độ: 
Hệ quả: 
f) Tích có hướng của hai vectơ
Định nghĩa: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ có tọa độ xác 
	định như sau:
Tính chất: 	
 và 
 và cùng phương 
đồng phẳng 
Ứng dụng:
Diện tích tam giác: 
Thể tích khối hộp: 
Thể tích khối tứ diện: 
3. Tọa độ của điểm trong không gian
 3.1. Định nghĩa: 
Với định nghĩa trên, ta có: 
 3.2. Các công thức về tọa độ của điểm trong không gian
Cho 
Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: Tọa độ trọng tam G của tam giác ABC: 
CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, cho các vectơ .
a) Tìm tọa độ .
b) Tìm tọa độ .
c) Tìm tọa độ thỏa .
Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm và tam giác ABC với
 .
a) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
b) Tìm toạ độ điểm E thuộc mặt phẳng Oxy sao cho A, B, E thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng SABC là một tứ diện.
d) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh S của tứ diện SABC.
BÀI TẬP
Bài 1: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm
a) Tìm tọa độ các véc tơ: .
b) Tìm tọa độ ; ; điểm E thỏa 
c) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tính chu vi của tam 
 giác ABC.
d) Tính các góc của tam giác ABC.
e) Tìm tọa độ trung điểm I của AB. Tính độ dài đường trung tuyến CI của
 tam giác ABC.
f) Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành.
h) Tìm điểm H thuộc Ox để tam giác ACH vuông tại C.
Bài 2: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm
.
a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông.
b) Tính diện tích tam giác ABC.
c) Xác định toạ độ tâm và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
d) Xác định toạ độ chân đường cao của tam giác ABC kẻ từ đỉnh A.
Bài 3: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho bốn điểm 
A(1;1;-1), B(3;-4;0), C(-3;2;-2),D(6;2;0).
a) Chứng minh A,B,C,D là bốn đỉnh của một tứ diện.
b) Tính diện tích tam giác ABC và độ dài đường cao hạ từ A của tam giác
 ABC.
c) Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao hạ từ A của tứ diện
 ABCD.
d) Tìm các góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện ABCD.
e) Xác định toạ độ tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Bài 4: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có đỉnh D
 thuộc trục Oy và ba đỉnh .Biết rằng tứ diện
 có thể tích bằng 5 đơn vị thể tích. Tìm toạ độ đỉnh D.
Bài 5: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hình hộp 
 với .Tìm toạ độ các đỉnh còn
 lại của hình hộp.
Phần 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
 - Vectơ khác được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng nếu giá của
 vuông góc với .
 - Nếu hai vec tơ khác , không cùng phương và có giá song song hoặc nằm
 trên mặt phẳng thì ta có thể chọn ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
 là .
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
 - Phương trình tổng quát của mặt phẳng là phương trình có dạng:
, với 
 Trong đó, là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
 - Mặt phẳng đi qua điểm và nhận làm vectơ pháp
 tuyến có phương trình là: 
3. Các trường hợp đặc biệt của phương trình tổng quát:
Xét mặt phẳng có phương trình tổng quát: , với 
Các hệ số
Phương trình (a)
Tính chất mặt phẳng (a)
D = 0
(a) đi qua gốc toạ độ O
A = 0
(a) // Ox hoặc (a) É Ox
B = 0	
(a) // Oy hoặc (a) É Oy
C = 0
(a) // Oz hoặc (a) É Oz
A = B = 0
(a) // (Oxy) hoặc (a) º (Oxy)
A = C = 0
(a) // (Oxz) hoặc (a) º (Oxz)
B = C = 0
(a) // (Oyz) hoặc (a) º (Oyz)
Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn (cắt ba trục toạ độ tại các điểm ) là: 
4. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng:
Cho hai mặt phẳng và : 
 Hai mặt phẳng và lần lượt có vectơ pháp tuyến là ,.
· và cắt nhau Û và không cùng phương
 	 (nếu )
	· // Û Û (nếu )
	· ^ Û 
· º Û Û (nếu )
5. Góc giữa hai mặt phẳng
 Cho hai mặt phẳng và : : 
 : 
	Gọi là góc giữa và . Ta có:
6.Khoảng cách từ điểmđến mặt phẳng :
BÀI TẬP
Dạng 1. Viết phương trình mặt phẳng-
Phương pháp: Tuỳ theo điều kiện của từng bài toán, ta có thể chọn một trong số
 các cách sau:
Cách 1: Xác định toạ độ một điểm mà mặt phẳng đi qua và toạ độ
 của một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 
	 Khi đó, phương trình mặt phẳng cần tìm là:
 Chú ý: Nếu là một một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng và 
 trong đó hai vectơ khác , không cùng phương với nhau thì ta có thể 
 chọn .
Cách 2: Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng:
, với 
	 Từ các giả thiết của bài toán, tìm các hệ số A, B, C, D thoả điều kiện.
Cách 3: Sử dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: 
 Từ các giả thiết của bài toán, tìm các hệ số a, b, c thoả điều kiện.
CÁC VÍ DỤ 
Ví dụ 1: Lập phương trình mặt phẳng (ABC) với A(5; 1; 3), B(4; 0; 6), C(5; 0; 4).
Ví dụ 2: Lập phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(2; 3; 7), 
	 B(4; 1; 3).
Ví dụ 3: Lập phương trình mặt phẳng (P) qua M(2; –1; 2) và song song với mặt
 phẳng (Q): .
Ví dụ 4: Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A(1; 0; 1), B(5; 2; 3) và vuông góc với 
 (Q): 
BÀI TẬP
Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho A(2;1;-3), B(3;-2;2), C(4;1;-1)
 	a) Viết phương trình mặt phẳngqua A và vuông góc với BC
 	b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
 	c) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AC.
Bài 2 : Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau:
a) đi qua điểm và song song với mặt phẳng
 .
b) đi qua hai điểm , và vuông góc với mặt phẳng 
 .
c) đi qua và vuông góc với mặt phẳng Oxz và mặt phẳng
 .
d) đi qua và chứa giao tuyến của hai mặt phẳng
 và .
e) chứa giao tuyến của hai mặt phẳng và 
 và vuông góc với mặt phẳng.
f) đi qua điểm và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B,
 C sao cho M là trọng tâm của tam giác ABC.
g) đi qua điểm và chắn trên các tia Ox, Oy, Oz những đoạn
 thẳng bằng nhau.
Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm và cắt các tia Ox,
 Oy, Oz lần lượt tại A, B, C với sao cho:
	a) Thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất.
Dạng 2. –Vị trí tương đối của hai mặt phẳng. Góc giữa hai mặt phẳng-
CÁC VÍ DỤ
Ví dụ: Xác định các giá trị của m, n để cặp mặt phẳng sau song song nhau:
 	(P): và (Q): 
	BÀI TẬP
Bài 1: Xét vị trí tương đối của hai mặt phẳng và trong mỗi trường hợp
 sau :
a) : và : .
b) : và : .
c) : và : .
d) : và : .
Bài 2: Cho ba mặt phẳng : 
 :
	a) Tìm m để vuông góc .
	b) Tìm m để song song .
	c) Tìm m và n để trùng .
Bài 3: Tìm góc tạo bởi các cặp mặt phẳng sau:
a)  : x + y – 5z + 1 = 0 và  : 5x + y – 3z = 0
b)  : 2x – 2y + z + 3 = 0 và  : z + 2 = 0
c)  : x – 2z + 1 = 0 và  : y = 0
Bài 4 : Cho mặt phẳng : .
	a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua gốc toạ độ và song song .
	b) Tính góc tạo bởi và .
Dạng 3. –Khoảng cách-
Ví dụ: Trong không gian Oxyz cho tứ diện với các đỉnh A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0;6), D(2; 4; 6). Tính đường cao hạ từ đỉnh D của tứ diện.
	BÀI TẬP
Bài 1: Cho tứ diện ABCD biết toạ độ các đỉnh,và .
	a) Tính độ dài đường cao của tứ diện xuất phát từ A.
	b) Tìm toạ độ điểm M thuộc trục Ox sao cho M cách đều điểm D và mặt phẳng (ABC).
Bài 2: Cho hai mặt phẳng và . 
 Tìm trên Oz điểm cách đều và .
Bài 3: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: và
 .
Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng, biết rằng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng 4.
Bài 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) biết (P) đi qua hai điểm , và khoảng cách từ gốc toạ độ O đến (P) bằng .
Bài 6: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều hai mặt phẳng
: và : .
Bài 7: Viết phương trình mặt phẳng đối xứng với mặt phẳng
 qua điểm .
Phần 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
 - Vectơ khác được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng nếu giá của
 song song với hoặc chứa trong .
 - Nếu hai vec tơ khác , không cùng phương và cùng có giá vuông góc với
 thì ta có thể chọn ra một vectơ chỉ phương của đường thẳng là .
2. Phương trình của đường thẳng.
 a)Phương trình tham số của đường thẳng:
Đường thẳng D đi qua điểm M(x0; y0; z0) và có vectơ chỉ phương , có phương trình tham số là :
Ứng với mỗi giá trị của t cho ta các giá trị x, y, z tương ứng là tọa độ của một điểm M thuộc đường thẳng.
 b) Phương trình chính tắc của đường thẳng:
Khử tham số t từ phương trình tham số ta được phương trình chính tắc của đường thẳng D là:
Chú ý: Đường thẳng D là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau (α) và (b):
(α): A1x + B1y + C1z + D1 = 0 có một vectơ pháp tuyến 
(b): A2x + B2y + C2z + D2 = 0 có một vectơ pháp tuyến 
Điểm M (x ; y ; z) Î D Û Tọa độ M thỏa hệ phương trình :
Mỗi nghiệm của hệ (1) chính là tọa độ của một điểm nằm trên D.
Khi đó D có một vectơ chỉ phương là: 
3. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.
Cho hai đường thẳng: 	D1 đi qua A và có vectơ chỉ phương .
	D2 đi qua B và có vectơ chỉ phương .
Ta có các trường hợp sau:
D1 và D2 cùng nằm trong một mp Û [,]. = 0
D1 và D2 cắt nhau 	 Û 
D1 và D2 song song với nhau	 Û 
D1 và D2 trùng nhau	 	 Û 
D1 và D2 chéo nhau 	 Û [,].≠ 0
 Nếu và thì số giao điểm của hai đường
 thẳng trên là số nghiệm của hệ : 
Hệ vô nghiệm Û D1 và D2 song song với nhau hoặc chéo nhau.
Hệ có một nghiệm Û D1 và D2 cắt nhau
Hệ có vô số nghiệm Û D1 và D2 trùng nhau
4. Góc giữa hai đường thẳng. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Cho hai đường thẳng vàcó vectơ chỉ phương lần lượt là : và 
 Chú ý: 
Cho đường thẳng có vectơ chỉ phương và mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 có vtpt .
Góc giữa đường thẳng D và mặt phẳng (α) được tính bằng công thức: 
5. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng và khoảng cách giữa hai đường
 thẳng chéo nhau.
a) Cho đường thẳng D đi qua điểm M0, có vectơ chỉ phương và điểm M. Khi
 đó :
 b) Cho hai đường thẳng D1 và D2 chéo nhau .
 D1 đi qua M1 và có vectơ chỉ phương 
 D2 đi qua M2 và có vectơ chỉ phương 
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau D1 và D2 được tính bằng công 
 thức sau:
BÀI TẬP
Dạng 1. –Viết phương trình đường thẳng-
Phương pháp: 
Cách 1: Xác định toạ độ một điểm mà đường thẳng đi qua và toạ độ
 của một vectơ chỉ phương của đường thẳng 
 Khi đó, phương trình tham số của đường thẳng cần tìm là:
Cách 2: Xác định hai mặt phẳng và có giao tuyến là đưởng thẳng cần
 tìm, viết phương trình giao tuyến đó (xem lại mục 2b phần lý thuyết)
CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng AB với A(2;3;–1), B(1; 2; 4).
Ví dụ 2: Viết PTTS của đường thẳng D đi qua điểm và vuông góc với
 mặt phẳng .
	BÀI TẬP
Viết phương trình tham số của đường thẳng D trong mỗi trường hợp sau:
Qua M(1 ; 2; 3) và có vectơ chỉ phương = (1 ; – 4 ; – 5).
Qua A(1 ; – 2 ; 3) và B(3 ; 0 ; 0).
Qua M(2 ; –1; 3) và vuông góc với mặt phẳng (a): x + y – x + 5 = 0.
Qua M(2; 0; –3) và song song với đường thẳng d: .
Viết phương trình tham số của đường thẳng D là hình chiếu vuông góc của d: lần lượt trên các mặt (Oxy), (Oyz), (Oxz).
Viết phương trình đường thẳng D đi qua điểm M(1; 1; 2) và song song với đường thẳng d là giao tuyến của mặt phẳng (α): 3x – y + 2z – 7 =0 và (b): x + 3y – 2z + 3 = 0.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) đi qua ba điểm A(1; 3; 2), B(1; 2; 1) và C(1; 1; 3). Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc (α).
Viết phương trình đường thẳng D đi qua điểm M(1; 4; –2) và song song với các mp (a): 6x + 2y + 2x + 3 = 0 và (β): 3x – 5y – 2z – 1 = 0.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho d: và mp (P): x – y – z – 1 = 0. Tìm phương trình chính tắc của đường thẳng D đi qua điểm A(1; 1; – 2), song song với (P) và vuông góc với d.
Tìm tập hợp các điểm M trong không gian cách đều ba điểm A(1; 1; 1), B(–1; 2; 0) và C(2; –3; 2). 
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(–4; –2; 4) và đường thẳng d:
. Viết phương trình đường thẳng D đi qua A, cắt và vuông góc với đường thẳng d.
Dạng 2. –Vị trí tương đối.
Ví dụ: Cho hai đường thẳng và 
	a) Chứng minh D1 và D2 chéo nhau.
	b) Tính khoảng cách giữa D1 và D2.
BÀI TẬP
Xét vị trí tương đối của các của các cặp đường thẳng sau:
d: 	và 	d¢: 
d: 	và 	d¢: 	
d: 	và 	d¢: 	
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mp(P): 2x – y + 2 = 0 và đường thẳng dm là giao tuyến của 2 mặt phẳng (a), (β) với:
(a): (2m + 1)x + (1–m)y + m – 1 = 0
	 (β): mx + (2m+1)z + 4m + 2 = 0
Định m để đường thẳng dm song song với mặt phẳng (P).
Cho hai đường thẳng d1 và d2 có phương trình: 
d1: và d2: 
Chứng minh d1 và d2 cắt nhau. Tìm giao điểm của chúng.
Lập phương trình mặt phẳng (a) chứa d1 và d2.
Cho hai đường thẳng d1 và d2 có phương trình: 
d1: và d2: 
Chứng minh d1 và d2 song song với nhau.
Lập phương trình mặt phẳng (a) chứa d1 và d2.
Cho hai đường thẳng d1 và d2 có phương trình: 
d1: và d2: 
Chứng minh d1 và d2 cắt nhau. Tìm giao điểm của chúng.
Lập phương trình mặt phẳng (a) chứa d1 và d2.
Cho mp(P): 4x – 3y + 11z – 26 = 0 và hai đường thẳng d1, d2: 
d1: và d2: 
Chứng minh d1 và d2 chéo nhau.
Lập phương trình đường thẳng D Ì (P) đồng thời cắt cả d1 và d2.
Bài 7: Cho điểm A(1; 1; 1) và hai đường thẳng d1, d2 có phương trình: 
d1: và d2: 
Lập phương trình đường thẳng D đi qua điểm A, vuông góc với d1 và cắt d2.
Dạng 3: Khoảng cách và góc
Bài toán 1: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho đường thẳng D đi qua điểm A và có vectơ chỉ phương và đi qua điểm A. Muốn tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng D, ta có thể sử dụng một trong hai cách sau:
Cách 1: 
 Xác định toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng D.
Cách 2: Áp dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Bài toán 2: Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
Phương pháp: 
 Cho đường thẳng D song song với mặt phẳng (P). Ta có:
 Trong đó M là điểm bất kỳ trên đường thẳng D (chọn M từ phương trình cuả D)
Bài toán 3: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Phương pháp:	
 Cho hai đường thẳng chéo nhau D1 và D2.
 D1 đi qua M1 và có vectơ chỉ phương 
 D2 đi qua M2 và có vectơ chỉ phương 
 Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau D1 và D2, ta có thể sử dụng
 một trong các cách sau:
Cách 1: 
- Lập phương trình mặt phẳng (a) chứa D1 và song song D2.
- Lấy một điểm A tuỳ ý trên D2.
- Ta có: .
Cách 2: Áp dụng công thức khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
BÀI TẬP 	
Bài 1: a) Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
b) Tính khoảng cách từ M(1 ;-2 ;1) đến đường thẳng: 
Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm . Hãy tính độ dài đường cao OH của tam giác OAB.	
Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng và
. 
a) Chứng minh chéo nhau.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng .
Bài 4: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng đường
 thẳng .
	a) Chứng minh rằng đường thẳng song song với mặt phẳng .
	b) Tính khoảng cách giữa và .
Bài 5: Chứng minh rằng hai đường thẳng sau chéo nhau và tính khoảng cách giữa
 chúng.
: :
Bài 6: Tìm góc tạo bởi cặp đường thẳng : và  : 
Bài 7: Tìm góc tạo bởi đường thẳng : và mặt phẳng 
 : x + y – z + 2 = 0.
Bài 8 : Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho đường thẳng 
	 và mặt phẳng .
a) Tìm giao điểm M của d và (P).
b) Viết phương trình đường thẳng chứa trong mặt phẳng (P) sao cho 
vuông góc với d và khoảng cách từ M đến bằng .
Dạng 4: Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.
Phương pháp: 
Cho hai đường thẳng chéo nhau D1 và D2 có vectơ chỉ phương lần lượt là và . Để viết phương trình đường vuông góc chung của D1 và D2, ta có thể sử dụng một trong các cách sau:
Cách 1:
Chuyển phương trình của D1 và D2 về dạng tham số
 và 
Trên D1 lấy một điểm bất kỳ là .
Trên D2 lấy một điểm bất kỳ là .
MN là đường vuông góc chung của D1 và D2 khi thoả mãn 
 Giải hệ phương trình trên ta tìm được , từ đó tìm được toạ độ M và N.
Viết phương trình đường vuông góc chung của D1 và D2 qua M và N.
Cách 2:
Đường vuông góc chung của D1 và D2 có một vectơ chỉ phương .
Chọn điểm A thuộc D1. Lập phương trình mặt phẳng chứa và D1 
( qua A và có một vectơ pháp tuyến ).
Xác định toạ độ điểm M là giao điểm của và D2.
Viết phương trình đường vuông góc chung của D1 và D2 qua M và nhận làm vectơ chỉ phương.
Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau . Viết phương trình đường vuông góc chung của chúng.
BÀI TẬP
Bài 1: Cho hai đường thẳng d1, d2: 
d1: và d2: 
	 a) Chứng minh d1 và d2 chéo nhau.
	 b) Viết phương trình đường vuông góc chung của d1 và d2.
Bài 2: Cho hai đường thẳng d1, d2 có phương trình: 
d1: và d2: 
	 a) Chứng minh d1 và d2 chéo nhau.
	 b) Viết phương trình đường vuông góc chung của d1 và d2.
Bài 3: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, Cho hai đường thẳng
 d1, d2 có phương trình: 
d1: và d2: 
	 a) Chứng minh d1 và d2 chéo nhau đồng thời vuông góc với nhau.
	 b) Viết phương trình đường vuông góc chung của d1 và d2.
Dạng 5: Hình chiếu – Điểm đối xứng.
Bài toán 1: Hình chiếu của một điểm trên một mặt phẳng.
Phương pháp: Muốn tìm hình chiếu H của điểm M lên mặt phẳng , ta làm
 như sau: 
Viết phương trình đường thẳng qua M và vuông góc với .
Ta có . Do đó, giải hệ phương trình gồm phương trình của đường thẳng và của ta sẽ tìm được toạ độ điểm H.
Bài toán 2: Điểm đối xứng của một điểm qua một mặt phẳng.
Phương pháp: Muốn tìm điểm M’ đối xứng với điểm M qua mặt phẳng , ta
 làm như sau: 
Tìm hình chiếu H của điểm M lên mặt phẳng .
M’ đối xứng với điểm M qua mặt phẳng khi H là trung điểm MM’, từ đó tìm được toạ độ của M’.
 Bài toán 3: Hình chiếu của một điểm trên một đường thẳng.
Phương pháp: Muốn tìm hình chiếu H của điểm M lên đường thẳng , ta làm
 như sau: 
Viết phương trình mặt phẳng qua M và vuông góc với .
Ta có . Do đó, giải hệ phương trình gồm phương trình của đường thẳng và của ta sẽ tìm được toạ độ điểm H.
Bài toan 4: Điểm đối xứng của một điểm qua một đường thẳng.
Phương pháp: Muốn tìm điểm M’ đối xứng với điểm M qua đường thẳng , ta
 làm như sau: 
Tìm hình chiếu H của điểm M lên đường thẳng .
M’ đối xứng với điểm M qua đường thẳng khi H là trung điểm MM’, từ đó tìm được toạ độ của M’.
Ví dụ: Cho điểm M(1; 4; 2) và mặt phẳng (P): .
a) Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P).
b) Tìm toạ độ điểm M¢ đối xứng với M qua (P).
c) Tính khoảng cách từ M đến (P).
	BÀI TẬP
Bài 1: Trong không gian Oxyz,có mặt phẳng .
 a)Tìm toạ độ hình chiếu của điểm A(2;3;5)trên mặt phẳng.
 b)Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua mặt phẳng .
Bài 2: Trong không gian Oxyz ,cho đường thẳng .Tìm
toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm A(2;1;-1)trên đường thẳng .
Bài3:Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,cho đường thẳng . Gọi K là điểm đối xứng của điểm I(2;-1;3) qua đường thẳng d .Xác định toạ độ điểm K.
Bài4: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,cho mặt phẳng
	 và đường thẳng .
 a)Tìm giao điểm A của d và .
 b)Viết phương trình đường thẳng là hình chiếu vuông góc của d lên .
Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng D là giao tuyến của hai mặt phẳng (a): 2x +y + z + 1 = 0, ( β): x +y + z + 2 = 0 và mặt phẳng (P): 4x – 2y + z – 1 = 0. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng trên mặt phẳng (P).
Bài 6: Trong không gian Oxyz,cho điểmM(2;1;4) và đường thẳng . Tìm toạ độ điểm H thuộc đường thẳng sao cho đoạn MH có độ dài nhỏ nhất.
Phần 4: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN
1. Phương trình của mặt cầu:
a) Phương trình tổng quát của mặt cầu có dạng:
 , trong đó thoả điều
 kiện .
 Khi đó, mặt cầu có tâm và có bán kính .
b) Mặt cầu có tâm và bán kính R có phương trình chính tắc:
2. Vị trí tương đối của mặt phẳng () và mặt cầu (S):
 — và mặt cầu (S) không có điểm chung.
 — tiếp xúc mặt cầu (S).
 — cắt mặt cầu (S) tạo ra giao tuyến là một đường tròn (C) có
 tâm I’ là hình chiếu vuông góc của I lên () và bán kính .(với )
3.