Bài tập ôn tập Toán Lớp 11

BÀI TẬP 
Bài 1. Tính giới hạn. 
1) 
29 5 8lim .
2 3x
x x x
x→−∞
+ − +
−
 2) 
2
2 31
1lim .
1 2 3x
x
x x→−
−
+ +
3) 2lim 2 2017 .
x
x x x
→+∞
 + − − 
 
 4) 22
2lim .
2 3 2x
x
x x→−
+
+ −
5) 
2
2
5 6lim .
sin( 2)x
x x
x→
− +
−
 6) 2 2lim 2 5 1 .
x
x x x x
→+∞
 + + − − − 
 
7) 
2
1
11 10lim .
1x
x x
x→
− +
−
 8) 
0
1 2 1lim .
x
x
x→
+ −
9) 
2
2
3 1lim .
3 8
n n
n n
+ +
+ −
 10) 
1
3 1 2lim .
tan( 1)x
x
x→
+ −
−
11) 32 3lim 1 1 .
x
x x x
→−∞
 
− + + + 
 
 12) 21
4 4lim .
3 2x
x
x x→
−
− +
13) 2lim 2 3 .
x
x x x
→+∞
 + + − 
 
 14) 
3
3 24
4 2 8 3 4 8 10lim .
4 16 64x
x x
x x x→
+ − − −
− − +
15) 
1 1
2 1
3 4lim .
2 3
n n
n n
+ −
+
−
+
 16) 
1
3 1 2lim .
1x
x
x→
+ −
−
17) 2lim 4 1 2 .
x
x x x
→+∞
 + + − 
 
 18) 2
sin 2coslim .
1x
x x
x→±∞
−
+
19) 2 40
cos cos3lim .
x
x x
x x→
−
−
 20) 
0
4 2lim .
sin 2x
x
x→
− −
Bài 2. Cho hàm số 
2
2
5 6 khi 3( ) .9
1 khi 3
x x
xf x x
mx x

− +
>
= 
−
 + ≤
 Tìm m để hàm số liên tục trên .ℝ 
Bài 3. 1) Cho cos .y x x= Chứng minh 2sin '' 0.y x y+ + = 
2) Cho 2 .y x x= − Giải bất phương trình ' 0.y ≤ 
3) Cho 3sin 2 cos 2 4 .y x x x= + − Giải phương trình ' 0.y = 
4) Cho cos2 2sin 2 .y x x= − Giải phương trình ' 0.y = 
5) Cho sin .
2sin 3cos
xy
x x
=
+
 Giải phương trình ' 0.y = 
6) Cho sin cos .
sin cos
x xy
x x
−
=
+
 Giải phương trình ' 0.y = 
7) Cho 
24
.
4
xy
x
+
= Giải bất phương trình ' 0.y < 
Bài 4. 1) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 4 2 12y x x= − − tại giao điểm của đồ thị với trục .Ox 
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1,
1
xy
x
+
=
−
 biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 2.− 
3) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 23 9 1,y x x x= + − + biết tiếp tuyến song song với đường 
thẳng 3 9 .y x= − 
4) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2
1
xy
x
−
=
−
 tại điểm có tung độ bằng 1
2
 cắt ,Ox Oy tại , .A B Tính độ dài .AB 
5) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 
22 3
,
2 1
x xy
x
+ −
=
−
 biết tiếp tuyến vuông góc với đường 
thẳng 12017 .
5
y x= − 
Bài 5. Cho hàm số 2 1( ) .
1 1
xf x
x
−
=
+ −
 Chứng minh rằng ( )f x liên tục tại điểm 0 1x = nhưng không có 
đạo hàm tại điểm này. 
Bài 6. Chứng minh rằng phương trình có nghiệm. 
1) 4 5( 2) (2 3) 1 0.m x x x+ − + − = 
2) 36 4 2 4 22 3 5 4.x x x m x x− + − = − + 
3) 2 4( 1) 2 2 0.m m x x+ + + − = 
4) 3 5( 1)( 1) ( 2) 2 3 0.m x x x− − + + + = 
5) 2013 (sin 2 cos2 ) 2014 .x m x x pi+ − = 
Bài 7. Cho , ,a b c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân. Chứng minh rằng 
2 2 2 2 2( )( ) ( ) .a b b c ab bc+ + = + 
Bài 8. 
Bài 9. 
Bài 10. 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a và SA ⊥ (ABCD)
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và CD.
1. Chứng minh đường thẳng DI vuông góc với mặt phẳng (SAJ) ;
2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng IJ và SC ;
3. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng BD và SJ .
.
Cho hình lập phương ABCD.A′B′C ′D′. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD và A′D′
Tính góc giữa hai đường thẳng A′M và C ′N .
Cho hình lập phương ABCD.A′B′C ′D′. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của C ′D′ và B′C ′
Chứng minh rằng D′N ⊥ AM .
1) .
2) .
Cho tứ diện ABCD đều, cạnh a. Gọi M là trung điểm của AB. Tính khoảng cách từ D tới CM .
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, OB =
a
√
3
3
,
SO ⊥ (ABCD), SB = a . Tính khoảng cách giữa SA và BD.
3)
4)
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều, tam giác SCD
vuông cân tại S. Gọi I, E lần lượt là trung điểm của AB, CD.
1. Chứng minh rằng AB vuông góc với mặt phẳng (SIE) ;
2. Chứng minh rằng tam giác SIE vuông ;
3. Gọi M là một điểm nằm trên cạnh BC. Tìm độ dài của đoạn thẳng CM theo a sao cho
DM vuông góc với SA.