Bài tập ôn tập Giải tích 12 - Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số - Bùi Văn Thanh

GV: BÙI VĂN THANH (SĐT: 01689341114) 
 1 
Chủ đề: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 
Chuyên đề 1: SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 
1. Định nghĩa: 
 Hàm số f đồng biến trên K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) < f(x2) 
 Hàm số f nghịch biến trên K  (x1, x2  K, x1 f(x2) 
2. Điều kiện cần: 
 Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I. 
 a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f(x)  0, x  I 
 b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f(x)  0, x  I 
3. Điều kiện đủ: 
 Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I. 
 a) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I. 
 b) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I. 
 c) Nếu f(x) = 0, x  I thì f không đổi trên I. 
Vấn đề 1: Xét chiều biến thiên của hàm số 
Phương pháp giải: 
Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau: 
– Tìm tập xác định của hàm số. 
– Tính y. Tìm các điểm mà tại đó y = 0 hoặc y không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn) 
– Lập bảng xét dấu y (bảng biến thiên). Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. 
Chú ý: 
Dấu của nhị thức bậc nhất f (x) ax b  : 
x - 
b
a
 + 
f (x) ax b  trái dấu với a 0 cùng dấu với a 
Dấu của tam thức bậc hai 
2f (x) ax bx c   : 
 - Nếu  < 0 thì f(x) luôn cùng dấu với a. 
 - Nếu  = 0 thì f(x) luôn cùng dấu với a (trừ x = 
b
2a
 ) 
 - Nếu  > 0 thì f(x) có hai nghiệm x1, x2 và 
x - 1x 2x + 
2f (x) ax bx c   cùng dấu với a 0 trái dấu với a 0 cùng dấu với a 
Bảng biến thiên: 
Ví dụ 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số: 3 2y 2x 9x 24x 7    
Giải: 
Tập xác định: D =  
Ta cĩ: 2y 6x 18x 24    , 
x 1
y 0
x 4
 
    
Bảng biến thiên: 
x - -1 4 + 
 y’ - 0 + 0 - 
y 
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng: ( ; 1),(4; )  ; đồng biến trên khoảng: ( 1;4) 
Ví dụ 2: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số: 3 2y x 3x 3x 2    
GV: BÙI VĂN THANH (SĐT: 01689341114) 
 2 
Giải: 
Tập xác định: D=  
Ta cĩ: 2y' 3x 6x 3   , 2y' 0 3x 6x 3 0 x 1       
Bảng biến thiên: 
x - -1 + 
 y’ + 0 + 
y 
Hàm số đồng biến trên  
Ví dụ 3: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số: 4 2y x 4x 3   
Giải: 
Tập xác định: D=  
Ta cĩ: 3y' 4x 8x  , 
x 0
y ' 0
x 2
 
   
Bảng biến thiên: 
x - 2 0 2 + 
 y’ + 0 - 0 + 0 - 
y 
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng: ( 2;0),( 2; )  ; đồng biến trên mỗi khoảng: ( ; 2),(0; 2) 
Ví dụ 4: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số: 
2x 1
y
x 1



Giải: 
Tập xác định: D \{1} 
Ta cĩ:
2
1
y ' 0, x D
(x 1)

   

Bảng biến thiên: 
x - 1 + 
 y’ - - 
y 
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng: ( ;1),(1; )  . 
Ví dụ 5: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số: 
2x 2x 1
y
x 2
  


Giải: 
Tập xác định: D \{ 2}  
Ta cĩ:
 
2
2
x 4x 5
y ' , x 2
x 2
  
  

; 2
x 5
y ' 0 x 4x 5 0
x 1
 
       
Bảng biến thiên: 
x - -5 -2 1 + 
 y’ - 0 + + 0 - 
y 
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng: ( ; 5),(1; )  ; đồng biến trên mỗi khoảng: ( 5; 2),( 2;1)   
GV: BÙI VĂN THANH (SĐT: 01689341114) 
 3 
Luyện tập (Bài tập về nhà): 
Bài 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số: 
a/ 4 2y x 4x 3   . 
b/ 4 2y x 6x 8x 1    . 
c/ 4y x 4x 6   . 
d/ 3 2y x 6x 9x 4    . 
e/ 3 2y x 3x 3x 2    . 
f/ 2y x 2x  . 
g/ 
2x 1
y
x 1



. 
h/ 
3x 1
y
1 x



. 
i/ 
3 2x
y
x 7



. 
j/ 
2x 2x 1
y
x 2
  


. 
k/ 
2x 8x 9
y
x 5
 


. 
l/ 
2
x 2
y
x x 3


 
. 
m/   2y 4 3x 6x 1   . 
n/ 2y x 1 2 x 3x 3     . 
o/ 3 2y x 2x  . 
Giải: 
a/ Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: 4 2y x 4x 3   . 
* Hàm số đã cho xác định trên D  . 
* Tính 3y' 4x 8x  . 
* Cho 3 2
2 2
x 04x 0 x 0
y ' 0 4x 8x 0 4x( x 2) 0
x 2 0 x 2 x 2
                       
. 
* Bảng xét dấu: 
* Dưạ vào bảng biến thiên: 
 Hàm số đồng biến trên:  ; 2  và  0; 2 . 
 Hàm số nghịch biến trên:  2;0 và  2; . 
b/ Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: 4 2y x 6x 8x 1    . 
* Hàm số đã cho xác định trên D  . 
* Tính    23y' 4x 12x 8 0 4 x 1 x 2       . Cho    2
x 2
y ' 0 4 x 1 x 2 0
x 1
 
       
* Bảng xét dấu: 
x – 2 0 2 + 
y ' + 0 – 0 + 0 – 
y 
 1 1 
– –3 – 
GV: BÙI VĂN THANH (SĐT: 01689341114) 
 4 
x  2 1 
 
y '  0  0  
y 
 
 
 4 
 23 
* Dưạ vào bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên  ; 2  và đồng biến trên 
   2;1 1;   hay hàm số đồng biến trên khoảng 2;  . 
c/ Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: 4y x 4x 6   . 
* Tâp̣ xác điṇh: D  . 
* Tính: 3y ' 4x 4  . Cho 3y' 0 4x 4 0 x 1      . 
* Bảng biến thiên: 
x  1 
 
y '  0 + 
y f (x) 
 
 
 3 
* Dưạ vào bảng biến thiên: 
 Hàm số nghịch biến trên:  ; 1  . 
 Hàm số đồng biến trên:  1;  . 
d/ Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: 3 2y x 6x 9x 4    . 
* Hàm số đã cho xác định trên D  . 
* Tính 2y' 3x 12x 9   . Cho 2
x 1
y 0 3x 12x 9 0
x 3
 
        
. 
* Bảng biến thiên: 
x  1 3 
 
y '  0  0  
  4 
GV: BÙI VĂN THANH (SĐT: 01689341114) 
 5 
y 0 
 
* Dưạ vào bảng biến thiên: 
 Hàm số nghịch biến trên:  ;1 và  3; . 
 Hàm số đồng biến trên:  1;3 . 
e/ Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: 3 2y x 3x 3x 2    . 
* Hàm số đã cho xác định trên D  . 
* Tìm 2y' 3x 6x 3   . Cho 2y' 0 3x 6x 3 0 x 1       . 
* Bảng biến thiên: 
x  1 
 
y ' + 0 + 
y f (x) 
 
 1 
 
* Dựa vào bảng biến thiên: Hàm số đồng biến trên    ; 1 1;    . 
 Hay hàm sớ đờng biến trên tâp̣ xác điṇhD  . 
f/ Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: 2y x 2x  . 
* Hàm số đã cho xác định khi: 2
x 0
x 2x 0
x 2
 
    
Tâp̣ xác điṇh:    D ;0 2;    . 
* Ta có:    
2
x 1
y ' , x ;0 2;
x 2x

     

. Hàm số khơng cĩ đạo hàm tại: x 0;x 2  . 
* Cho 
2
x 1
y ' 0 0 x 1 0 x 1
x 2x

       

. 
* Bảng biến thiên: 
x  0 1 2 
 
y '   0   
y 
* Dưạ vào bảng biến thiên: 
GV: BÙI VĂN THANH (SĐT: 01689341114) 
 6 
 Hàm số nghịch biến trên:  ;0 . 
 Hàm số đồng biến trên:  2; . 
g/ Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: 
2x 1
y
x 1



. 
* Hàm số đã cho xác điṇh trên: D \{1} . 
* Ta có: 
   
2 2
2. 1 1. 1 1
y ' 0, x D
(x 1) (x 1)
   
    
 
. 
* Bảng biến thiên: 
x  1 
 
y '   
y 
2  
  
2 
* Dưạ vào bảng biến thiên: Hàm số nghịch biến trên  ;1 và  1; . 
h/ Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: 
3x 1 3x 1
y
1 x x 1
 
 
  
. 
* Hàm số xác định và liên tục trên  D \ 1 . 
* Tìm 
 
2 2
3.1 1 .1 4
y ' 0; x 1
(1 x) (1 x)
 
    
 
. 
* Bảng biến thiên: 
x  1 
 
y '   
y 
  
3 
3  
* Hàm số đa ̃cho đồng biến (tăng) trên các khoảng:  ;1 và  1; . 
i/ Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: 
3 2x 2x 3
y
x 7 x 7
  
 
 
. 
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên:  D \ 7  . 
* Tính
 
   
 
2 2
2 .7 1.3 17
y ' 0, x D \ 7
x 7 x 7

  
      
 
. 
GV: BÙI VĂN THANH (SĐT: 01689341114) 
 7 
* Bảng biến thiên: 
x  7 
 
y '   
y 
2  
  
2 
 Hàm số đã cho luơn nghịch biến trên:  ; 7  và 7;  . 
j/ Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: 
2x 2x 1
y
x 2
  


. 
* Hàm số đã cho xác định trên:    D : 2 2;      . 
* Ta có: 
 
2
2
x 4x 5
y ' , x 2
x 2
  
  

. 
* Cho 
 
2
2
2
x 5x 4x 5
y ' 0 0 x 4x 5 0
x 1x 2
              
. 
* Bảng biến thiên: 
x  5 2 1 
 
y '  0   0  
y 
  0 
 12  
 
* Dưạ vào bảng biến thiên: 
 Hàm số nghịch biến trên:  ; 5  và  1; . 
 Hàm số đồng biến trên:  5; 2  và  2;1 . 
k/ Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: 
2x 8x 9
y
x 5
 


. 
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên:  D \ 5 . 
* Ta có:
 
2
2
x 10x 31
y ' 0, x 5
x 5
 
   

. 
Hàm số đồng biến trên  ;5 và 5; . 
GV: BÙI VĂN THANH (SĐT: 01689341114) 
 8 
l/ Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: 
2
x 2
y
x x 3


 
. 
* Hàm số đã cho xác định khi: 2x x 3 0   đúng x TXÐ: D     . 
* Ta có: 
  2
2 2
2x 1 x 2 7x 8
y ' x x 3
2 x x 3 2 x x 3
   
    
   
. 
* Cho 
2
7x 8 8
y ' 0 0 7x 8 0 x
72 x x 3
 
       
 
. 
* Bảng biến thiên: 
x  8/7 
 
y '  0  
y 
* Hàm số đã cho đồng biến trên
8
;
7
    
 và nghịch biến trên 
8
;
7
    
. 
m/ Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:   2y 4 3x 6x 1   . 
* Hàm số đã cho xác định trên D  . 
* Ta có: 
  22
2 2
6x 4 3x 36x 24x 24
y ' 3 6x 1
6x 1 6x 1
   
   
 
. 
* Cho 
2
2
2
1 7
x
36x 24x 24 3
y ' 0 0 36x 24x 24 0
6x 1 1 7
x
3
                
. 
* Bảng biến thiên: 
x 
 
1 7
3


1 7
3


  
y '  0  0  
y 
* Dưạ vào bảng biến thiên: 
 Hàm số đã cho đồng biến trên: 
1 7
;
3
       
 và 
1 7
;
3
       
. 
 Hàm số nghịch biến trên: 
1 7 1 7
;
3 3
         
. 
GV: BÙI VĂN THANH (SĐT: 01689341114) 
 9 
n/ Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: 2y x 1 2 x 3x 3     . 
* Hàm số đã cho xác định trên D  . 
* Ta có: 
 2
2 2
x 3x 3 2x 32x 3
y ' 1
x 3x 3 x 3x 3
   
  
   
. 
* Cho  
 
2
22
3
x
2y ' 0 x 3x 3 2x 3 x 1
x 3x 3 2x 3
             
. 
* Bảng biến thiên: 
x  1 
 
y '  0  
y 
* Dưạ vào bảng biến thiên: 
 Hàm số đã cho đồng biến trên:  ; 1  . 
 Hàm số nghịch biến trên:  1;  . 
o/ Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:  
1
3 2 2 3y x 2x x 2x    . 
* Hàm số đã cho xác định trên D  . 
* Ta có:   
   
2
2 3
2 2
22 33
1 2x 2 2x 2
y ' 2x 2 x 2x ; x 0, x 2
3
x 2x3 x 2x
  
       

. 
 Hàm số khơng cĩ đạo hàm tại x 0 và x 2 . 
* Cho y' 0 2x 2 0 x 1      . 
* Bảng biến thiên: 
x  0 1 2 
 
y '   0   
y 
* Dưạ vào bảng biến thiên: 
 Hàm số nghịch biến trên  ;1 . 
GV: BÙI VĂN THANH (SĐT: 01689341114) 
 10 
 Hàm số đồng biến trên  1; . 
Bài 2. Xét chiều biến thiên của các hàm số: 
Giải: 
GV: BÙI VĂN THANH (SĐT: 01689341114) 
 11 
Bài 3. Xét chiều biến thiên của các hàm số: 
Giải: 
GV: BÙI VĂN THANH (SĐT: 01689341114) 
 12 
Bài 4. Xét chiều biến thiên của các hàm số: 
Giải: 
GV: BÙI VĂN THANH (SĐT: 01689341114) 
 13 
Bài 5. Xét chiều biến thiên của các hàm số: 
Giải: 
GV: BÙI VĂN THANH (SĐT: 01689341114) 
 14 
Vấn đề 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc luôn 
nghịch biến trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định) 
Phương pháp giải: 
Cho hàm số y f (x,m) , m là tham số, có tập xác định D. 
 - Hàm số f đồng biến trên D  y  0, x  D. 
 - Hàm số f nghịch biến trên D  y  0, x  D. 
Từ đó suy ra điều kiện của m. 
Chú ý: 
1) y = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm. 
2) Nếu 
2y' ax bx c   thì: 
a b 0
c 0
y ' 0, x R
a 0
0
        
 ; 
a b 0
c 0
y ' 0, x R
a 0
0
        
Ví dụ 1: Tìm m để hàm số: y= x3 – 3mx2 + (m + 2)x – m đồng biến trên  
Giải: 
Tập xác định: D=  
Ta cĩ: y = 3x2– 6mx+ m+ 2 ;  = 9m2– 3m– 6 ; Hệ số a = 3 > 0 
Nếu  0 
2
m 1
3
   . Khi đĩ y 0, x    Hàm số đồng biến trên  
Nếu  > 0
2
m
3
m 1

 



. Khi đĩ phương trình y = 0 cĩ 2 nghiệm phân biệt x1, x2 (giả sử x1< x2) 
Bảng biến thiên: 
x - 1x 2x + 
y’ + 0 - 0 + 
y 
Hàm số khơng đồng biến trên  
Kết luận: Giá trị m thỏa mãn bài tốn là: 
2
m 1
3
   . 
Ví dụ 2: Tìm m để hàm số:    2 3 21y m 1 x m 1 x 3x 5
3
      đồng biến trên  
Giải: 
Tập xác định: D=  
Ta cĩ:    2 2y' m 1 x 2 m 1 x 3     ;  = 22m 2m 4   ; Hệ số a = 2m 1 
Nếu 2m 1 0 m 1    
 Với m = 1 thì y' 4x 3  ; 
3
y ' 0 x
4
   . Hàm số khơng đồng biến trên  
 Với m = -1 thì y' 3 0, x   . Hàm số đồng biến trên  
Nếu 2m 1 0 m 1    . 
Để hàm số đồng biến trên 
2
2
m 1 0 m 1
y ' 0, x
m 22m 2m 4 0
                
Kết luận: Giá trị m thỏa mãn bài tốn là: m 1 hoặc m 2 . 
Ví dụ 3: Tìm m để hàm số: 
2mx 1
y
x m



 nghịch biến trên từng khoảng xác định của nĩ. 
Giải: 
GV: BÙI VĂN THANH (SĐT: 01689341114) 
 15 
Tập xác định: D =  \ m . Ta cĩ:
 
2
2
2m 1
y '
x m



Để hàm số nghịch biến trên D 2
1 1
y ' 0, x m 2m 1 0 m
2 2
          
Kết luận: Giá trị m thỏa mãn bài tốn là: 
1 1
m
2 2
   
Lưu ý: Khơng xảy ra trường hợp 
1
m
2
 vì khi đĩ 
1
y ' 0, x
2
   khơng đúng với điều kiện cần đủ 
để hàm số đơn điệu. 
Ví dụ 4: Tìm m để hàm số: 
 22x m 2 x 3m 1
y
x 1
    


 nghịch biến trên từng khoảng xác định của nĩ. 
Giải: 
Tập xác định: D =  \ 1 . Ta cĩ:
 
2
2
2x 4x 2m 3
y '
x 1
   


Để hàm số nghịch biến trên D 2
1
y ' 0, x 1 2x 4x 2m 3 0 4m 2 0 m
2
               
Kết luận: Giá trị m thỏa mãn bài tốn là: 
1
m
2
 . 
Ví dụ 5: Tìm m để hàm số:  3 21y x mx 2m 1 x m 2
3
      nghịch biến trên khoảng  2;0 . 
Giải: 
Tập xác định: D =  
Ta cĩ: 2y' x 2mx 2m 1    ; 2
x 1
y ' 0 x 2mx 2m 1 0
x 2m 1
 
         
Nếu 2m 1 1 m 1    thì  2y ' x 1 0, x    . Hàm số khơng nghịch biến trên khoảng  2;0 . 
Nếu 2m 1 1 m 1    . Ta cĩ bảng biến thiên: 
x - 1 2m 1 + 
y’ + 0 - 0 + 
y 
Dựa vào BBT ta thấy hàm số khơng nghịch biến trên khoảng  2;0 . 
Nếu 2m 1 1 m 1    . Ta cĩ bảng biến thiên: 
x - 2m 1 1 + 
y’ + 0 - 0 + 
y 
Dựa vào BBT ta cĩ : Để hàm số nghịch biến trên khoảng  2;0 12m 1 2 m
2
     
Kết luận: Giá trị m thỏa mãn bài tốn là: 
1
m
2
 . 
GV: BÙI VĂN THANH (SĐT: 01689341114) 
 16 
Luyện tập (Bài tập về nhà): 
Bài 1. Cho hàm số 3 2y x 3(m 1)x 3m(m 2)x 1      . Tìm m để hàm số đồng biến trên R. 
Giải: 
TXĐ: D = R. 
Ta cĩ: 2y' 3x 6(m 1)x 3m(m 2)     
Hàm số đồng biến trên R khi y' 0, x 
a 3 0
' 9 0
    
(vơ lí) 
Bài 2. Cho hàm số 2y x (m x) m   . Tìm m để hàm số nghịch biến trên R. 
Giải: 
TXĐ: D = R 
Ta cĩ: 2y' 3x 2mx  
Hàm số đã cho nghịch biến trên R khi y' 0, x  2
2
a 1 0
3x 2mx 0, x m 0
m 0
         
Bài 3. Cho hàm số 3 2y x 2x (m 1)x m 3      . Tìm m để hàm số đồng biến trên R. 
Giải: 
TXĐ: D = R. 
Ta cĩ: 2y' 3x 4x m 1    
Hàm số đồng biến trên R khi y' 0, x  2
a 3 0 7
3x 4x m 1 0, x m
' 3m 7 0 3
             
Vậy: Với 
7
m
3
 thì yêu cầu bài tốn được thỏa mãn. 
Bài 4. Cho hàm số 2y x (m x) mx 6    . Tìm m để hàm số luơn nghịch biến trên R. 
Giải: 
TXĐ: D = R. 
Ta cĩ : 2y' 3x 2mx m   
Hàm số nghịch biến trên R khi y' 0, x  2
2
a 3 0
3x 2mx m 0, x 0 m 3
m 3m 0
            
Vậy: Với 0 m 3  thì điều kiện bài tốn được thỏa mãn. 
Bài 5. Cho hàm số 3 2y x 3mx 3(2m 1)x 1     . Tìm m để hàm số đồng biến trên R. 
Giải: 
TXĐ: D = R 
Ta cĩ: 2y' 3x 6mx 3(2m 1)    
Hàm số đồng biến trên R khi y' 0, x  
2
2
a 1 0
3x 6mx 3(2m 1) 0, x m 1
' m 2m 1 0
              
Vậy: Với m = 1 thì điều kiện bài tốn được thỏa mãn. 
Bài 6. Cho hàm số 3 2
1
y x (m 1)x (m 3)x 4
3
      . Tìm m để hàm số luơn nghịch biến trên R. 
Giải: 
TXĐ: D = R. 
Ta cĩ: 2y' x 2(m 1)x m 3     
Hàm số luơn luơn giảm khi y' 0, x  
2
2
a 1 0
x 2(m 1)x m 3 0, x (vơ nghiem)
' m m 4 0
             
Vậy: Khơng cĩ giá trị m thỏa yêu cầu bài tốn 
Bài 7. Cho hàm số 3 2y mx (2m 1)x (m 2)x 2      . Tìm m để hàm số luơn đồng biến trên R. 
Giải: 
TXĐ: D =R 
GV: BÙI VĂN THANH (SĐT: 01689341114) 
 17 
Ta cĩ: 2y' 3mx 2(2m 1)x m 2     
Trường hợp 1: m 0 y' 2x 2     m = 0 khơng thỏa yêu cầu bài tốn. 
Trường hợp 2: m 0 
Hàm số đồng biến trên R khi y' 0, x  
2 2
a 3m 0 m 0 m 0
(vơ nghiem)
m 1' (2m 1) 3m(m 2) 0 m 2m 1 0
                           
Vậy: Khơng cĩ giá trị nào của m thỏa yêu cầu bài tốn 
Bài 8. Tìm m để hàm số 3 2
m 1
y x mx (3m 2)x
3

    luơn đồng biến trên R. 
Giải: 
TXĐ: D = R 
Ta cĩ: 2y' (m 1)x 2mx 3m 2     
Trường hợp 1: m 1 0 m 1 y' 2x 1        m = 1 khơng thỏa yêu cầu bài tốn 
Trường hợp 2: m 1 0 m 1    
Hàm số luơn đồng biến khi y' 0, x  
2
2
m 1 0
(m 1)x 2mx 3m 2 0, x m 2
' 2m 5m 2 0
               
Vậy: Với m 2 thì yêu cầu bài tốn được thỏa mãn. 
Bài 9. Cho hàm số 3 2
1
y mx mx x
3
   . Tìm m để hàm số đã cho luơn nghịch biến trên R. 
Giải: 
TXĐ: D = R 
Ta cĩ: 2y' mx 2mx 1   
Trường hợp 1: m 0 y' 1 0     m = 0 thỏa yêu cầu bài tốn 
Trường hợp 2: m 0 
Hàm số đã cho nghịch biến trên R khi y' 0, x  
2
2
a m 0 m 0
mx 2mx 1 0, x 1 m 0
1 m 0' m m 0
                      
Vậy: Với 1 m 0   thì yêu cầu bài tốn được thỏa mãn. 
Bài 10. Định m để hàm số 3 2
1 m
y x 2(2 m)x 2(2 m)x 5
3

      luơn nghịch biến trên R. 
Giải: 
TXĐ: D = R 
Ta cĩ: 2y' (1 m)x 4(2 m)x 4 2m      
Trường hợp 1: 
1
m 1 y' 4x 2 0 x
2
       nên m = 1 khơng thỏa yêu cầu bài tốn 
Trường hợp 2: m 1 
Hàm số luơn giảm khi 
2
a 1 m 0 m 1
2 m 3
2 m 3' 2m 10m 12 0
                  
Bài 11. Cho hàm số 3 2 2
m 2
y x (m 2)x (m 8)x m 1
3

       . Tìm m để đồ thị hàm số nghịch biến 
trên R. 
Giải: 
TXĐ: D = R 
2y' (m 2)x 2(m 2)x m 8      
Trường hợp 1: m 2 0 m 2 y' 10       m = -2 thỏa yêu cầu bài tốn 
Trường hợp 2: m 2 
Hàm số nghịch biến trên R khi y' 0, x  
2
a m 2 0
(m 2)x 2(m 2)x m 8 0, x m 2
' 10m 20 0
                
GV: BÙI VĂN THANH (SĐT: 01689341114) 
 18 
Vậy: Với m 2 thì yêu cầu bài tốn được thỏa mãn. 
Bài 12. Cho hàm số 2 3 2
1
y (m 1)x (m 1)x 3x 5
3
      . Tìm m để hàm số đồng biến trên R 
Giải: 
TXĐ: D = R 
Ta cĩ: 2 2y' (m 1)x 2(m 1)x 3     
Trường hợp 1: 2m 1 0 m 1    
* m 1 y' 4x 3     m = 1 khơng thỏa yêu cầu bài tốn 
* m 1 y' 3 0     m = - 1 thỏa yêu cầu bài tốn 
Trường hợp 2: 2m 1 0 m 1    
Hàm số đồng biến trên R khi y' 0, x  
2
2 2
2
m 1 0
(m 1)x 2(m 1)x 3 0 m 1 m 2
2m 2m 4 0
               
Vậy: Với m 1 m 2   thì bài tốn được thỏa mãn. 
Bài 13. Tìm m để hàm số 
mx 2
y
x m 3


 
 luơn đồng biến trên từng khoảng xác định. 
Giải: 
TXĐ:  D R \ 3 m  
Ta cĩ: 
2
2
m 3m 2
y '
(x m 3)
 

 
Hàm số luơn đồng biến khi y' 0, x 3 m    2m 3m 2 0 m 1 m 2        
Bài 14. Cho hàm số 
2 2x m x m 2
y
x 1
  


. Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. 
Giải: 
TXĐ:  D R \ 1  
Ta cĩ: 
2 2
2
x 2x m m 2
y '
(x 1)
   


Hàm số đồng biến trên tập xác định khi y' 0, x 1   
2 2 2
2 2
a 1 0
x 2x m m 2 0, x 1 m m 1 0
( 1) 2( 1) m m 2 0
           