Bài tập Nguyên hàm - Tích phân có lời giải

www.MATHVN.com Bài tập Nguyờn hàm - Tớch phõn cú lời giải 
Bieõn soaùn: Thaày Traàn Sú Tuứng - Trang 1 
. TP1: TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỈ 
Dạng 1: Tỏch phõn thức 
Cõu 1. xI dx
x x
2 2
2
1 7 12
=
− +
∫ 
 • I dx
x x
2
1
16 91
4 3
 
= + − 
− − ∫
 = ( )x x x 2116 ln 4 9 ln 3+ − − − = 1 25ln2 16 ln3+ − . 
Cõu 2. dxI
x x
2
5 3
1
=
+
∫ 
 • Ta cú: x
xx x x x3 2 3 2
1 1 1
( 1) 1
= − + +
+ +
 ⇒ I x x
x
2
2
21 1 3 1 3ln ln( 1) ln 2 ln5
2 2 2 812
 
= − − + + = − + + 
 
Cõu 3. xI dx
x x x
5 2
3 2
4
3 1
2 5 6
+
=
− − +
∫ • I
2 4 13 7 14ln ln ln 2
3 3 15 6 5
= − + + 
Cõu 4. xdxI
x
1
0 3( 1)
=
+
∫ 
 • Ta cú: x x x x
x x
2 3
3 3
1 1 ( 1) ( 1)
( 1) ( 1)
− −
+ −
= = + − +
+ +
 I x x dx
1 2 3
0
1( 1) ( 1)
8
− − ⇒ = + − + = ∫ 
Dạng 2: Đổi biến số 
Cõu 5. xI dx
x
2
4
( 1)
(2 1)
−
=
+
∫ • Ta cú: 
x x
f x
x x
2
1 1 1( ) . .
3 2 1 2 1
′   − −
=    + +   
 ⇒
x
I C
x
3
1 1
9 2 1
 −
= + + 
Cõu 6. 
( )
( )
x
I dx
x
991
101
0
7 1
2 1
−
=
+
∫ 
 • 
( )
x dx x x
I d
x x xx
99 991 1
2
0 0
7 1 1 7 1 7 1
2 1 9 2 1 2 12 1
     − − −
= =     
+ + +     +
∫ ∫ 
x
x
100
1001 1 7 1 11 2 1
09 100 2 1 900
 −  
= ⋅ =  −  
+ 
Cõu 7. xI dx
x
1
2 2
0
5
( 4)
=
+
∫ • Đặt t x
2 4= + ⇒ I 1
8
= 
Cõu 8. xI dx
x
1 7
2 5
0 (1 )
=
+
∫ • Đặt t x dt xdx
21 2= + ⇒ = ⇒ tI dt
t
2 3
5 5
1
1 ( 1) 1 1.
2 4 2
−
= =∫ 
Bài tập Nguyờn hàm - Tớch phõn cú lời giải www.mathvn.com 
Bieõn soaùn: Thaày Traàn Sú Tuứng - Trang 2 
Cõu 9. I x x dx
1
5 3 6
0
(1 )= −∫ 
 • Đặt 
dt t t
t x dt x dx dx I t t dt
x
1 7 8
3 2 6
2
0
1 1 11 3 (1 )
3 3 7 8 1683
 
−
= − ⇒ = − ⇒ = ⇒ = − = − = 
 ∫
Cõu 10. I dx
x x
4 3
4
1
1
( 1)
=
+
∫ • Đặt t x
2
= ⇒ 
t
I dt
t t
3
2
1
1 1 1 3ln
2 4 21
 
= − = 
+ 
∫ 
Cõu 11. dxI
x x
2
10 2
1 .( 1)
=
+
∫ • 
x dx
I
x x
2 4
5 10 2
1
.
.( 1)
=
+
∫ . Đặt t x
5
= ⇒ 
dt
I
t t
32
2 2
1
1
5 ( 1)
=
+
∫ 
Cõu 12. xI dx
x x
2 7
7
1
1
(1 )
−
=
+
∫ • 
x x
I dx
x x
2 7 6
7 7
1
(1 ).
.(1 )
−
=
+
∫ . Đặt t x
7
= ⇒ 
t
I dt
t t
128
1
1 1
7 (1 )
−
=
+∫
Cõu 13. dxI
x x
3
6 2
1 (1 )
=
+
∫ 
 • Đặt : x
t
1
= ⇒ 
t
I dt t t dt
t t
3
163
4 2
2 2
1 3
3
11
1 1
 
= − = − + − 
+ + 
∫ ∫ = 
117 41 3
135 12
pi−
+ 
Cõu 14. xI dx
x
2 2001
2 1002
1
.
(1 )
=
+
∫ 
 • 
x
I dx dx
x x
x
x
2 22004
3 2 1002 1002
1 1 3
2
1. .
(1 ) 1 1
= =
+  
+ 
 
∫ ∫ . Đặt t dt dx
x x2 3
1 21= + ⇒ = − . 
 Cỏch 2: Ta cú: x xdxI
x x
1 2000
2 2000 2 2
0
1 .2
2 (1 ) (1 )
=
+ +
∫ . Đặt t x dt xdx
21 2= + ⇒ = 
 ⇒ 
t
I dt d
t tt t
10002 21000
1000 2 1001
1 1
1 ( 1) 1 1 1 11 1
2 2 2002.2
   −
= = − − =   
   
∫ ∫ 
Cõu 15. xI dx
x
2 2
4
1
1
1
+
=
+
∫ 
 • Ta cú: x x
x x
x
2 2
4 2
2
11
1
11
+
+
=
+ +
. Đặt t x dt dx
x x2
1 11
 
= − ⇒ = + 
 
 ⇒ 
dt
I dt
t tt
3 3
2 2
2
1 1
1 1 1
2 2 2 22
 
= = − 
− +−  
∫ ∫
t
t
31 2 1 2 1.ln ln2
2 2 2 2 2 2 11
 
− −
= =  
 + + 
www.MATHVN.com Bài tập Nguyờn hàm - Tớch phõn cú lời giải 
Bieõn soaùn: Thaày Traàn Sú Tuứng - Trang 3 
. 
Cõu 16. xI dx
x
2 2
4
1
1
1
−
=
+
∫ 
 • Ta cú: x x
x x
x
2 2
4 2
2
1 1
1
11
−
−
=
+ +
. Đặt t x dt dx
x x2
1 11
 
= + ⇒ = − 
 
 ⇒ 
dt
I
t
5
2
2
2 2
= −
+
∫ . 
 Đặt 
du
t u dt
u2
2 tan 2
cos
= ⇒ = ; u u u u1 2
5 5tan 2 arctan2; tan arctan
2 2
= ⇒ = = ⇒ = 
 ⇒ 
u
u
I du u u
2
1
2 1
2 2 2 5( ) arctan arctan 2
2 2 2 2
 
= = − = − 
 
∫ 
Cõu 17. 
x
I dx
x x
2 2
3
1
1−
=
+
∫ • Ta cú: xI dx
x
x
2 2
1
1 1
1
−
=
+
∫ . Đặt t x x
1
= + ⇒ I
4ln
5
= 
Cõu 18. xI dx
x
1 4
6
0
1
1
+
=
+
∫ 
 • Ta cú: x x x x x x x x
x x x x x x x x
4 4 2 2 4 2 2 2
6 6 2 4 2 6 2 6
1 ( 1) 1 1
1 1 ( 1)( 1) 1 1 1
+ − + + − +
= = + = +
+ + + − + + + +
 ⇒ 
d x
I dx dx
x x
1 1 3
2 3 2
0 0
1 1 ( ) 1 .
3 4 3 4 31 ( ) 1
pi pi pi
= + = + =
+ +
∫ ∫ 
Cõu 19. xI dx
x
3
23
4
0 1
=
−
∫ 
 • 
x
I dx dx
x x x x
3 3
23 3
2 2 2 2
0 0
1 1 1 1 ln(2 3)
2 4 12( 1)( 1) 1 1
pi 
= = + = − + 
− + − + 
∫ ∫ 
Cõu 20. xdxI
x x
1
4 2
0 1
=
+ +
∫ . • Đặt t x
2
= ⇒ 
dt dt
I
t t
t
1 1
2 220 0
1 1
2 2 6 31 1 3
2 2
pi
= = =
+ +   
+ +   
   
∫ ∫ 
Cõu 21. xI dx
x x
1 5
22
4 2
1
1
1
+
+
=
− +
∫ 
 • Ta cú: x x
x x x
x
2 2
4 2 2
2
11
1
11 1
+
+
=
− + + −
. Đặt t x dt dx
x x2
1 11
 
= − ⇒ = + 
 
 ⇒ 
dt
I
t
1
2
0 1
=
+
∫ . Đặt 
du
t u dt
u2
tan
cos
= ⇒ = ⇒ I du
4
0 4
pi
pi
= =∫ 
Bài tập Nguyờn hàm - Tớch phõn cú lời giải www.mathvn.com 
Bieõn soaùn: Thaày Traàn Sú Tuứng - Trang 4 
 TP2: TÍCH PHÂN HÀM SỐ Vễ TỈ 
Dạng 1: Đổi biến số dạng 1 
Cõu 22. xI dx
x x23 9 1
=
+ −
∫ 
 • 
x
I dx x x x dx x dx x x dx
x x
2 2 2
2
(3 9 1) 3 9 1
3 9 1
= = − − = − −
+ −
∫ ∫ ∫ ∫ 
 + I x dx x C2 31 13= = +∫ + I x x dx
2
2 9 1= −∫ x d x x C
3
2 2 2 2
2
1 19 1 (9 1) (9 1)
18 27
= − − = − +∫ 
 ⇒ I x x C
3
2 321 (9 1)
27
= − + + 
Cõu 23. x xI dx
x x
2
1
+
=
+
∫ 
 • 
x x
dx
x x
2
1
+
+
∫ 
x x
dx dx
x x x x
2
1 1
= +
+ +
∫ ∫ . 
 +
x
I dx
x x
2
1
1
=
+
∫ . Đặt t= x x t x x
21 1+ ⇔ − = x t3 2 2( 1)⇔ = − x dx t t dt2 24 ( 1)
3
⇔ = − 
 ⇒ t dt t t C2 3
4 4 4( 1)
3 9 3
− = − +∫ = ( )x x x x C3 14 41 19 3+ − + + 
 + 
x
I dx
x x
2
1
=
+
∫ = 
d x x
x x
2 (1 )
3 1
+
+
∫ = x x C2
4 1
3
+ + 
 Vậy: ( )I x x C34 1
9
= + + 
Cõu 24. xI dx
x
4
0
2 1
1 2 1
+
=
+ +
∫ • Đặt t x2 1= + . I = 
t
dt
t
3 2
1
2 ln 2
1
= +
+∫
 . 
Cõu 25. dxI
x x
6
2 2 1 4 1
=
+ + +
∫ • Đặt t x4 1= + . I
3 1ln
2 12
= − 
Cõu 26. I x x dx
1
3 2
0
1= −∫ • Đặt: t x
21= − ⇒ ( )I t t dt1 2 4
0
2
15
= − =∫ . 
Cõu 27. xI dx
x
1
0
1
1
+
=
+
∫ 
 • Đặt t x= ⇒ dx t dt2 .= . I = t tdt
t
1 3
0
2
1
+
+∫
 = t t dt
t
1
2
0
22 2
1
 
− + − 
+ ∫
 = 
11 4 ln2
3
− . 
Cõu 28. xI dx
x x
3
0
3
3 1 3
−
=
+ + +
∫ 
www.MATHVN.com Bài tập Nguyờn hàm - Tớch phõn cú lời giải 
Bieõn soaùn: Thaày Traàn Sú Tuứng - Trang 5 
. 
 • Đặt t x tdu dx1 2= + ⇒ = ⇒ t tI dt t dt dt
tt t
2 2 23
2
1 1 1
2 8 1(2 6) 6
13 2
−
= = − +
++ +
∫ ∫ ∫
33 6 ln
2
= − + 
Cõu 29. I x x dx
0
3
1
. 1
−
= +∫ 
 • Đặt 
t t
t x t x dx t dt I t dt
1
1 7 4
3 2 33
00
91 1 3 3( 1) 3
7 4 28
 
= + ⇒ = + ⇒ = ⇒ = − = − = − 
 ∫
Cõu 30. xI dx
x x
5 2
1
1
3 1
+
=
+
∫ 
 • Đặt 
tdt
t x dx
23 1
3
= + ⇒ = ⇒ 
t
tdt
I
t
t
22
4
2
2
1 1
3 2.
31.
3
 
−
+ 
 
 
=
−
∫ 
dt
t dt
t
4 4
2
2
2 2
2 ( 1) 2
9 1
= − +
−
∫ ∫ 
t
t t
t
3
4 42 1 1 100 9ln ln .
9 3 1 27 52 2
  −
= − + = +  + 
Cõu 31. x xI dx
x
3 2
0
2 1
1
+ −
=
+
∫ 
 • Đặt x t x t21 1+ = ⇔ = − ⇒ dx tdt2= 
 ⇒ 
t t t
I tdt t t dt t
t
2
2 22 2 2 5
4 2 3
11 1
2( 1) ( 1) 1 4 542 2 (2 3 ) 2
5 5
 
− + − −
= = − = − = 
 ∫ ∫
Cõu 32. x dxI
x x
1 2
0
2
( 1) 1
=
+ +
∫ 
 • Đặt t x t x tdt dx21 1 2= + ⇒ = + ⇒ = 
t t
I tdt t dt t
t tt
222 22 2 3
3
11 1
( 1) 1 1 16 11 2.2 2 2 2
3 3
  − −
⇒ = = − = − − =  
   ∫ ∫
Cõu 33. ( )
x
I dx
x
4
2
0
1
1 1 2
+
=
+ +
∫ 
 • Đặt 
dx
t x dt dx t dt
x
1 1 2 ( 1)
1 2
= + + ⇒ = ⇒ = −
+
 và t tx
2 2
2
−
= 
 Ta cú: I = t t t t t tdt dt t dt
tt t t
4 4 42 3 2
2 2 2
2 2 2
1 ( 2 2)( 1) 1 3 4 2 1 4 23
2 2 2
 − + − − + −
= = − + − 
 
∫ ∫ ∫ 
 = 
t
t t
t
21 23 4 ln
2 2
 
− + + 
 
 
= 
12 ln 2
4
− 
Cõu 34. xI dx
x
8
2
3
1
1
−
=
+
∫ 
Bài tập Nguyờn hàm - Tớch phõn cú lời giải www.mathvn.com 
Bieõn soaùn: Thaày Traàn Sú Tuứng - Trang 6 
 • 
x
I dx
x x
8
2 2
3
1
1 1
 
= −  + + 
∫ = ( )x x x
8
2 2
31 ln 1
 
+ − + +  = ( ) ( )1 ln 3 2 ln 8 3+ + − + 
Cõu 35. I x x x dx
1
3 2
0
( 1) 2= − −∫ 
 • I x x x dx x x x x x dx
1 1
3 2 2 2
0 0
( 1) 2 ( 2 1) 2 ( 1)= − − = − + − −∫ ∫ . Đặt t x x
22= − ⇒ I 2
15
= − . 
Cõu 36. x x xI dx
x x
2 3 2
20
2 3
1
− +
=
− +
∫ 
 • 
x x x
I dx
x x
2 2
20
( )(2 1)
1
− −
=
− +
∫ . Đặt t x x
2 1= − + I t dt
3
2
1
42 ( 1)
3
⇒ = − =∫ . 
Cõu 37. x dxI
x
2 3
3 20 4
=
+
∫ 
 • Đặt t x x t xdx t dt3 2 2 3 24 4 2 3= + ⇒ = − ⇒ = ⇒ I t t dt
3
2
4 3
4
3 3 8( 4 ) 4 2
2 2 5
 
= − = − + 
 
∫ 
Cõu 38. dxI
x x
1
211 1−
=
+ + +
∫ 
 • Ta cú: x x x xI dx dx
xx x
1 12 2
2 2
1 1
1 1 1 1
2(1 ) (1 )
− −
+ − + + − +
= =
+ − +
∫ ∫ 
x
dx dx
x x
1 1 2
1 1
1 1 11
2 2
− −
  +
= + − 
 
∫ ∫ 
 + I dx x x
x
1
1
1 1
1
1 1 11 ln | 1
2 2 −
−
 
 = + = + =   
 
∫ 
 + 
x
I dx
x
1 2
2
1
1
2
−
+
= ∫ . Đặt t x t x tdt xdx
2 2 21 1 2 2= + ⇒ = + ⇒ = ⇒ I2= 
t dt
t
2 2
2
2
0
2( 1)
=
−
∫ 
 Vậy: I€ 1= . 
 Cỏch 2: Đặt t x x2 1= + + . 
Cõu 39. 
( )x x
I dx
x
1
3 31
4
1
3
−
= ∫ • Ta cú: I dx
x x
1
1 3
2 3
1
3
1 11 .
 
= − 
 
∫ . Đặt t
x2
1 1= − ⇒ I 6= . 
Cõu 40. xI dx
x
2 2
1
4 −
= ∫ 
 • Ta cú: xI xdx
x
2 2
2
1
4 −
= ∫ . Đặt t = x t x tdt xdx
2 2 24 4− ⇒ = − ⇒ = − 
 ⇒ I = t tdt t tdt dt t
tt t t
00 0 02
2 2 2
33 3 3
( ) 4 2(1 ) ln
24 4 4
 
− −
= = + = + 
+
− − −  
∫ ∫ ∫ = 
2 33 ln
2 3
 
−
 − +
 + 
www.MATHVN.com Bài tập Nguyờn hàm - Tớch phõn cú lời giải 
Bieõn soaùn: Thaày Traàn Sú Tuứng - Trang 7 
. 
Cõu 41. xI dx
x x
2 5
2 22 ( 1) 5
=
+ +
∫ • Đặt t x
2 5= + ⇒ dtI
t
5
2
3
1 15ln
4 74
= =
−
∫ . 
Cõu 42. xI dx
x x
27
3 21
2−
=
+
∫ 
 • Đặt t x6= ⇒ 
t t
I dt dt
tt t t t
3 33
2 2 2
1 1
2 2 2 15 5 1
( 1) 1 1
 −
= = − + − 
+ + + 
∫ ∫
2 55 3 1 ln
3 12
pi 
= − + − 
 
Cõu 43. I dx
x x
1
20
1
1
=
+ +
∫ 
 • Đặt t x x x2 1= + + + ⇒ dtI t
t
1 3 1 3
1
1
2 3 2 3ln(2 1) ln
2 1 3
+
+ +
= = + =
+∫
Cõu 44. xI dx
x x
3 2
2 2
0 (1 1 ) (2 1 )
=
+ + + +
∫ 
 • Đặt x t2 1+ + = ⇒ I t dt
t t
4
2
3
42 36 42 16 12 42 ln
3
 
= − + − = − + 
 
∫ 
Cõu 45. xI dx
x x x x
3 2
0 2( 1) 2 1 1
=
+ + + + +
∫ 
 • Đặt t x 1= + ⇒ t t dtI t dt
t t
2 22 2
2
2
1 1
2 ( 1) 2 ( 1)
( 1)
−
= = −
+
∫ ∫ t
23
1
2 2( 1)
3 3
= − = 
Cõu 46. x x xI dx
x
32 2 3
4
1
2011− +
= ∫ 
 • Ta cú: xI dx dx M N
x x
32 2 2 22
3 3
1 1
1 1
2011
−
= + = +∫ ∫ 
xM dx
x
32 2 2
3
1
1 1−
= ∫ . Đặt t
x
3
2
1 1= − ⇒ M t dt
3 7
32
3
0
3 21 7
2 128
−
= − = −∫ 
 N dx x dx
x x
2 22 2 2 2
3
3 2
1 1 1
2011 2011 140772011
162
−
 
= = = − = 
 
∫ ∫ 
 ⇒ I
314077 21 7
16 128
= − . 
Cõu 47. dxI
x x
1
33 30 (1 ). 1
=
+ +
∫ 
 • Đặt t x3 31= + ⇒ t dtI dt
t t t t
3 32 22
2 2
1 14 3 2 33 3.( 1) .( 1)
= =
− −
∫ ∫ 
Bài tập Nguyờn hàm - Tớch phõn cú lời giải www.mathvn.com 
Bieõn soaùn: Thaày Traàn Sú Tuứng - Trang 8 
dt dt t dt
t
tt t
tt
3 3 3
2
3
2 2 2 3
2 2 4
1 1 13 342 3
33
11
11 1. 1
−
 
− 
 
= = =
    
−
−    
   
∫ ∫ ∫ 
 Đặt 
dt
u du
t t3 4
1 31= − ⇒ = ⇒ u uI du u du u
1
11 12 1 2
2 1 22 23 3
3 3
3
0 0 0
0
1 1 1
13 3 3 2
3
−
−
 
 
= = = = = 
  
 
∫ ∫ 
Cõu 48. xI dx
x x
x
2 2 4
23
1 1
=
 
− + 
 
∫ 
 • Đặt t x2 1= + 
 ⇒ 
t
I dt
t
3 2 2
2
2
( 1)
2
−
=
−
∫ = 
t t
dt t dt dt
t t
3 3 34 2
2
2 2
2 2 2
2 1 1 19 2 4 2ln
3 4 4 22 2
 
− + +
= + = +  
 
−− −  
∫ ∫ ∫ 
Dạng 2: Đổi biến số dạng 2 
Cõu 49. ( )xI x x dx
x
1
0
1 2 ln 1
1
 
− = − + + 
∫ 
 • Tớnh xH dx
x
1
0
1
1
−
=
+
∫ . Đặt x t tcos ; 0; 2
pi 
= ∈  
 
 ⇒ H 2
2
pi
= − 
 • Tớnh K x x dx
1
0
2 ln(1 )= +∫ . Đặt 
u x
dv xdx
ln(1 )
2
 = +

=
 ⇒ K
1
2
= 
Cõu 50. I x x x dx
2
5 2 2
2
( ) 4
−
= + −∫ 
 • I = x x x dx
2
5 2 2
2
( ) 4
−
+ −∫ = x x dx
2
5 2
2
4
−
−∫ + x x dx
2
2 2
2
4
−
−∫ = A + B. 
 + Tớnh A = x x dx
2
5 2
2
4
−
−∫ . Đặt t x= − . Tớnh được: A = 0. 
 + Tớnh B = x x dx
2
2 2
2
4
−
−∫ . Đặt x t2sin= . Tớnh được: B = 2pi . 
 Vậy: I 2pi= . 
www.MATHVN.com Bài tập Nguyờn hàm - Tớch phõn cú lời giải 
Bieõn soaùn: Thaày Traàn Sú Tuứng - Trang 9 
. 
Cõu 51. 
( )x dx
I
x
2 2
4
1
3 4
2
− −
= ∫ 
 • Ta cú: xI dx dx
x x
2 2 2
4 4
1 1
3 4
2 2
−
= −∫ ∫ . 
 + Tớnh I1 = dx
x
2
4
1
3
2
∫ = x dx
2
4
1
3 7
2 16
−
=∫ . 
 + Tớnh xI dx
x
2 2
2 4
1
4
2
−
= ∫ . Đặt x t dx tdt2sin 2 cos= ⇒ = . 
 ⇒ 
tdt
I t dt t d t
t t
22 2 2
2 2
2 4 2
6 6 6
1 cos 1 1 1 3cot cot . (cot )
8 8 8 8sin sin
pi pi pi
pi pi pi
 
= = = − = 
 
∫ ∫ ∫ 
 Vậy: ( )I 1 7 2 3
16
= − . 
Cõu 52. x dxI
x
1 2
60 4
=
−
∫ 
 • Đặt t x dt x dx3 23= ⇒ = ⇒ dtI
t
1
20
1
3 4
=
−
∫ . 
 Đặt t u u dt udu2sin , 0; 2cos
2
pi 
= ∈ ⇒ =  
⇒ I dt
6
0
1
3 18
pi
pi
= =∫ . 
Cõu 53. xI dx
x
2
0
2
2
−
=
+∫
 • Đặt x t dx tdt2cos 2sin= ⇒ = − ⇒ tI dt
2
2
0
4 sin 2
2
pi
pi= = −∫ . 
Cõu 54. x dxI
x x
1 2
20 3 2
=
+ −
∫ 
 • Ta cú: x dxI
x
1 2
2 20 2 ( 1)
=
− −
∫ . Đặt x t1 2cos− = . 
 ⇒ 
t t
I dt
t
22
22
3
(1 2cos ) 2sin
4 (2 cos )
pi
pi
+
= −
−
∫ = ( )t t dt
2
3
2
3 4cos 2cos2
pi
pi
+ +∫ = 
3 3 4
2 2
pi
+ − 
Cõu 55. x x dx
1
2
2
0
1 2 1− −∫ • Đặt x tsin= ⇒ I t t tdt
6
0
3 1(cos sin )cos
12 8 8
pi
pi
= − = + −∫ 
Bài tập Nguyờn hàm - Tớch phõn cú lời giải www.mathvn.com 
Bieõn soaùn: Thaày Traàn Sú Tuứng - Trang 10 
 Dạng 3: Tớch phõn từng phần 
Cõu 56. I x dx
3
2
2
1= −∫ 
 • Đặt 
x
du dxu x
xdv dx
v x
2
21 1

 = 
= − ⇒ 
−
= 
=
x
I x x x dx x dx
x x
3 3
2 2
2 2
2 2
3 11 . 5 2 1
2 1 1
 
⇒ = − − = − − + 
 
− − 
∫ ∫ 
dx
x dx
x
3 3
2
2
2 2
5 2 1
1
= − − −
−
∫ ∫ I x x
2 3
2
5 2 ln 1= − − + − 
 ⇒ ( )I 5 2 1ln 2 1 ln2
2 4
= − + + 
 Chỳ ý: Khụng được dựng phộp đổi biến x
t
1
cos
= vỡ [ ]2;3 1;1 ∉ −  
TP3: TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 
Dạng 1: Biến đổi lượng giỏc 
Cõu 57. x xI dx
x x
28cos sin 2 3
sin cos
− −
=
−
∫ 
 • ( )x x xI dx x x x x dx
x x
2(sin cos ) 4 cos2 sin cos 4(sin cos
sin cos
− +
 = = − − + 
−
∫ ∫ 
 x x C3cos 5sin= − + . 
Cõu 58. x x xI dx
x
cot tan 2 tan 2
sin 4
− −
= ∫ 
 • Ta cú: x x x xI dx dx dx C
x x xx2
2cot 2 2 tan 2 2 cot 4 cos4 12
sin 4 sin 4 2sin 4sin 4
−
= = = = − +∫ ∫ ∫ 
Cõu 59. 
x
I dx
x x
2cos
8
sin 2 cos2 2
pi 
+ 
 
=
+ +
∫ 
 • Ta cú: 
x
I dx
x
1 cos 21 4
2 2 1 sin 2
4
pi
pi
 
+ + 
 
=
 
+ + 
 
∫ 
x
dx
dx
x x x
2
cos 21 4
2 2 1 sin 2 sin cos4 8 8
pi
pi pi pi
 
  +   
= +        + +  + + +            
∫ ∫ 
www.MATHVN.com Bài tập Nguyờn hàm - Tớch phõn cú lời giải 
Bieõn soaùn: Thaày Traàn Sú Tuứng - Trang 11 
. 
x
dx
dx
x x2
cos 21 14
2 32 2 1 sin 2 sin
4 8
pi
pi pi
  
+   
  = +
    + + +         
∫ ∫ 
 x x C
1 3ln 1 sin 2 cot
4 84 2
pi pi    
= + + − + +        
Cõu 60. dxI
x x
3
2 3 sin cos
pi
pi
=
+ −
∫ 
 • 
dx
I
x
3
1
2 1 cos
3
pi
pi pi
=
 
− + 
 
∫ = 
dx
I
x2
3
1
4 2sin
2 6
pi
pi pi
=
 
+ 
 
∫ = 
1
4 3
. 
Cõu 61. I dx
x
6
0
1
2sin 3
pi
=
−
∫ 
 • Ta cú: I dx dx
x x
6 6
0 0
1
1 1 2
2 sin sin sin sin
3 3
pi pi
pi pi
= =
− −
∫ ∫ 
x x
dx dx
x x
x
6 6
0 0
coscos 2 6 2 63
sin sin 2 cos .sin
3 2 6 2 6
pi pi pi pipi
pi pi pi
    
+ − −    
    
= =
   
− + −   
   
∫ ∫ 
x x
dx dx
x x
6 6
0 0
cos sin
2 6 2 61 1
2 2sin cos
2 6 2 6
pi pipi pi
pi pi
   
− +   
   
= +
   
− +   
   
∫ ∫
x x
6 6
0 0
ln sin ln cos .....
2 6 2 6
pi pipi pi   
= − − + =   
   
Cõu 62. I x x x x dx
2
4 4 6 6
0
(sin cos )(sin cos )
pi
= + +∫ . 
 • Ta cú: x x x x4 4 6 6(sin cos )(sin cos )+ + x x33 7 3cos4 cos8
64 16 64
= + + ⇒ I
33
128
pi= . 
Cõu 63. I x x x dx
2
4 4
0
cos2 (sin cos )
pi
= +∫ 
 • I x x dx x d x
2 2
2 2
0 0
1 1 1cos2 1 sin 2 1 sin 2 (sin2 ) 0
2 2 2
pi pi
   
= − = − =   
   
∫ ∫ 
Cõu 64. I x x dx
2
3 2
0
(cos 1)cos .
pi
= −∫ 
Bài tập Nguyờn hàm - Tớch phõn cú lời giải www.mathvn.com 
Bieõn soaùn: Thaày Traàn Sú Tuứng - Trang 12 
 • A = ( )xdx x d x2 2 25 2
0 0
cos 1 sin (sin )
pi pi
= −∫ ∫ = 
8
15
 B = x dx x dx
2 2
2
0 0
1cos . (1 cos2 ).
2
pi pi
= +∫ ∫ = 4
pi
 Vậy I = 8
15
 – 
4
pi
. 
Cõu 65. 
2
2
0
I cos cos 2x xdx
pi
= ∫ 
 • I x xdx x xdx x x dx
2 2 2
2
0 0 0
1 1cos cos2 (1 cos2 )cos2 (1 2cos2 cos4 )
2 4
pi pi pi
= = + = + +∫ ∫ ∫ 
 x x x
2
0
1 1( sin2 sin 4 )
4 4 8
pi
pi
= + + = 
Cõu 66. xI dx
x
3
2
0
4sin
1 cos
pi
=
+∫
 • 
x x x
x x x x x
x x
3 3
2
4sin 4sin (1 cos ) 4sin 4sin cos 4sin 2sin2
1 cos sin
−
= = − = −
+
 I x x dx2
0
(4sin 2sin 2 ) 2
pi
⇒ = − =∫ 
Cõu 67. I xdx
2
0
1 sin
pi
= +∫ 
 • 
x x x x
I dx dx
22 2
0 0
sin cos sin cos
2 2 2 2
pi pi 
= + = + 
 ∫ ∫
x
dx
2
0
2 sin
2 4
pi pi 
= + 
 ∫
x x
dx dx
3
22
30
2
2 sin sin
2 4 2 4
pi
pi
pi
pi pi
 
    
= + − +    
    
  
∫ ∫ 4 2= 
Cõu 68. dxI
x
4
6
0 cos
pi
= ∫ • Ta cú: I x x d x
4
2 4
0
28(1 2 tan tan ) (tan )
15
pi
= + + =∫ . 
Dạng 2: Đổi biến số dạng 1 
www.MATHVN.com Bài tập Nguyờn hàm - Tớch phõn cú lời giải 
Bieõn soaùn: Thaày Traàn Sú Tuứng - Trang 13 
. Cõu 69. xdxI
x x
sin 2
3 4sin cos2
=
+ −∫
 • Ta cú: x xI dx
x x2
2sin cos
2sin 4sin 2
=
+ +
∫ . Đặt t xsin= ⇒ I x Cx
1ln sin 1
sin 1
= + + +
+
Cõu 70. dxI
x x3 5sin .cos
= ∫ 
 • ∫ ∫== xx
dx
xxx
dxI 23233 cos.2sin
8
cos.cos.sin
 Đặt t xtan= . I t t t dt x x x C
t x
3 3 4 2
2
3 1 3 13 tan tan 3ln tan
4 2 2 tan
−
 
= + + + = + + − + 
 ∫
 Chỳ ý: tx
t2
2sin 2
1
=
+
. 
Cõu 71. dxI
x x3sin .cos
= ∫ 
 • 
dx dx
I
x x x x x2 2
2
sin .cos .cos sin2 .cos
= =∫ ∫ . Đặt t xtan= 
dx t
dt x
x t2 2
2; sin2
cos 1
⇒ = =
+
dt t
I dt
t t
t
2
2
12
2
1
+
⇒ = =
+
∫ ∫
t x
t dt t C x C
t
2 21 tan( ) ln ln tan
2 2
= + = + + = + +∫ 
Cõu 72. x xI xdx
x
2011 2011 2009
5
sin sin cot
sin
−
= ∫ 
 • Ta cú: xxI xdx xdx
x x
2011 2011 22
4 4
11
cotsin cot cot
sin sin
−
−
= =∫ ∫ 
 Đặt t xcot= ⇒ I t tdt t t C
2 4024 8046
22011 2011 20112011 2011t (1 )
4024 8046
= + = + +∫ 
 = x x C
4024 8046
2011 20112011 2011cot cot
4024 8046
+ + 
Cõu 73. x xI dx
x
2
0
sin2 .cos
1 cos
pi
=
+∫
 • Ta cú: x xI dx
x
22
0
sin .cos2
1 cos
pi
=
+∫
. Đặt t x1 cos= + ⇒ tI dt
t
2 2
1
( 1)2 2 ln2 1−= = −∫ 
Cõu 74. I x xdx
3
2
0
sin tan
pi
= ∫ 
 • Ta cú: x x xI x dx dx
x x
23 3
2
0 0
sin (1 cos )sinsin .
cos cos
pi pi
−
= =∫ ∫ . Đặt t xcos= 
Bài tập Nguyờn hàm - Tớch phõn cú lời giải www.mathvn.com 
Bieõn soaùn: Thaày Traàn Sú Tuứng - Trang 14 
 ⇒ 
u
I du
u
1
22
1
1 3ln 2
8
−
= − = −∫ 
Cõu 75. I x x dx2
2
sin (2 1 cos2 )
pi
pi
= − +∫ 
 • Ta cú: I xdx x xdx H K2 2
2 2
2sin sin 1 cos2
pi pi
pi pi
= − + = +∫ ∫ 
 + H xdx x dx2
2 2
2sin (1 cos2 )
2 2
pi pi
pi pi
pi pi
pi= = − = − =∫ ∫ 
 + K x x x xdx2 2 2
2 2
sin 2 cos 2 sin cos
pi pi
pi pi
= = −∫ ∫ xd x
2
2
22 sin (sin )
3
pi
pi
= − =∫ 
 I
2
2 3
pi
⇒ = − 
Cõu 76. 
dx
I
x x
3
2 4
4
sin .cos
pi
pi
= ∫ 
 • 
dx
I
x x
3
2 2
4
4.
sin 2 .cos
pi
pi
= ∫ . Đặt t xtan= ⇒ 
dx
dt
x2cos
= . 
t dt t
I t dt t
tt t
3
3 32 2 3
2
2 2
11 1
(1 ) 1 1 8 3 42 2
3 3
  + −
= = + + = − + + =  
  
∫ ∫
Cõu 77. ( )
2
2
0
sin 2
2 sin
xI dx
x