Bài tập nâng cao về vectơ - Chuyên đề 1: Vectơ và các phép trên vectơ

Chuyªn ®Ò 1
===================
VECT¥ Vµ C¸C PHÐP TO¸N TR£N VECT¥
I. TãM T¾T KIÕN THøC
Vectơ
Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là đã chỉ rõ điểm mút nào là điểm đầu (gốc), điểm mút nào là điểm cuối (ngọn), được đặc trưng bởi các yếu tố:
(*) Phương
(**) Hướng (chiều)
(***) Độ lớn (độ dài)
 A B
Hướng từ điểm đầu tới điểm cuối của vectơ được gọi là hướng của vectơ.
Kí hiệu: Vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B được kí hiệu là 
* Ngoài ra, vectơ còn được kí hiệu bởi các chữ in thường như đối với các vectơ tự do. 
Độ dài của vectơ là 
Vectơ-không là vectơ có điểm đầu trùng với điểm cuối. Do đó độ dài của vectơ-không bằng 0 và vectơ-không có hướng tùy ý. 
Vectơ-không được kí hiệu là chứ không phải 0.
Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó, ví dụ giá của vectơ là đường thẳng AB.
Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. Ví dụ hai vectơ và là hai vectơ cùng phương (vì AB // CD) và được kí hiệu là 
 A B
 D C
Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng, có thể ngược hướng.
 * Vectơ-không cùng hướng với mọi vectơ.
Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài: 
Các phép toán trên vectơ
Phép cộng hai vectơ
Cho hai vectơ và . Tổng của hai vectơ này được xác định như sau:
(1) Lấy một điểm A bất kì.
 Dựng các vectơ , .
Vectơ được gọi là tổng của hai vectơ và : 
Từ đó, ta có các quy tắc sau đây:
Quy tắc ba điểm (Quy tắc chèn điểm)
Với ba điểm M, N, P bất kì, ta có: 
Mở rộng ra, ta có quy tắc n điểm: 
Quy tắc hình bình hành: 
Với hình bình hành MNPQ bất kì, ta có: 
Các tính chất của phép cộng vectơ:
 Tính giao hoán: 
 Tính kết hợp: 
 Cộng với vectơ-không: 
Ta cũng có một bất đẳng thức khá quan trọng sau đây:
 (Dấu “=” xảy ra Û )
Phép trừ hai vectơ: 
Vectơ đối: Vectơ được gọi là vectơ đối của vectơ khi và là hai vectơ ngược hướng và có cùng độ dài: 
Hiệu của hai vectơ và là tổng của vectơ với vectơ đối của vectơ : 
Các quy tắc:
Quy tắc ba điểm: 
Với ba điểm M, N, P bất kì, ta có: 
Quy tắc chuyển vế:
Với ba vectơ và ta có: 
Phép nhân một vect ơ với một số thực
Tích của số thực k với vectơ là một vectơ, kí hiệu là , được xác định như sau:
Nếu hoặc thì 
Nếu và thì và 
Nếu và thì và 
Từ đó ta có các hệ quả sau đây:
Các tính chất của phép nhân một vectơ với một số thực:
 ; 
Điều kiện để ba điểm thẳng hàng: 
Ba điểm A, B, C thẳng hàng
Hệ thức trung điểm - trọng tâm 
Hệ thức trung điểm:
Cho đoạn thẳng AB, M là trung điểm của đoạn AB và O là một điểm bất kì.
Ta có: M là trung điểm của AB 
Û AM = MB và 
Û 
Û 
Û (1)
Û (theo quy tắc ba điểm)
Û (theo quy tắc chuyển vế)
Û (2)
Từ các hệ thức (1) và (2) ta suy ra:
Điều kiện cần và đủ để M là trung điểm của AB là 
Điều kiện cần và đủ để M là trung điểm của AB là tồn tại một điểm I sao cho 
* Chú ý: Khi cho điểm I º M, ta có hệ thức (2) Û hệ thức (1)
Hệ thức trọng tâm:
Cho tam giác ABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác, ta có:
G là trọng tâm tam giác ABC Û (3)
(Chứng minh: Bạn đọc có thể sử dụng quy tắc hình bình hành hoặc hệ thức (2)).
Với điểm O bất kì, ta có hệ thức (1) được biến đổi như sau:
(3) Û 
 Û 
 Û 
 Û (4)
Từ các hệ thức (3) và (4) ta suy ra:
Điều kiện cần và đủ để G là trọng tâm tam giác ABC là 
Điều kiện cần và đủ để G là trọng tâm tam giác ABC là tồn tại một điểm O sao cho 
 * Chú ý: Khi cho điểm O º G, ta có hệ thức (4) Û hệ thức (3)
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
Dạng 1: Chứng minh hai vectơ bằng nhau:
Phương pháp giải: 
Dùng định nghĩa hai vectơ bằng nhau: 
Sử dụng tính chất của hình bình hành
Ví dụ 1. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của các đoạn AB, AC, CD và BD. Chứng minh rằng: 
Giải. Ta thấy: MN // AC và MN = AC (tính chất đường trung bình)
 QP // AC và QP = AC (tính chất đường trung bình)
Do đó MN // QP và MN = QP Þ và Þ (đccm)
Ví dụ 2. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm của AD, BC và AC. Biết . Chứng minh rằng: 
Giải. Ta thấy: MP // DC và MP = DC Þ 
 PN // AB và PN = AB Þ 
 Mặt khác, theo giả thiết Þ 
 Suy ra ABCD là hình bình hành. Vậy (đccm)
Dạng 2: Chứng minh các đẳng thức vectơ:
Phương pháp giải:
Biến đổi vế trái thành vế phải hoặc biến đổi vế phải thành vế trái.
Biến đổi tương đương.
Sử dụng tính chất bắc cầu.
Ví dụ 3. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N là trung điểm của AD và BC. O là trung điểm của MN. Chứng minh các đẳng thức sau:
a. 
b. 
c. 
d. với I là một điểm bất kì.
Giải.
a. 
b. Ta có: 
c. Ta thấy:
d. Từ kết quả câu c. ta có:
* Chú ý: 
Điểm O như trên được gọi là trọng tâm của tứ giác ABCD. Trọng tâm này là duy nhất và luôn thỏa mãn các hệ thức ở phần c. và d.
Ta có thể chứng minh ba đường thẳng MN, PQ, EF đồng quy tại O là trung điểm mỗi đường, trong đó M, N, P, Q, E, F lần lượt là trung điểm của các đoạn AD, BC, AB, CD, AC và BD.
O luôn nằm trên đoạn thẳng nối một đỉnh của tứ giác với trọng tâm của tam giác tạo bởi ba đỉnh còn lại.
Ví dụ 4. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F bất kì trên mặt phẳng. Chứng minh:
a. b. 
c. 
d. 
Giải. 
a. (đúng)
b. (đúng)
c. 
 (đúng)
d. 
 (đúng)
Ví dụ 5. Cho tam giác ABC, AM, BN, CP là các trung tuyến. D, E, F là trung điểm của AM, BN và CP. Chứng tỏ rằng: với O là một điểm bất kì.
Giải. Ta có: 
Tương tự: và 
Cộng vế các bất đẳng thức trên, ta thu được đccm.
Dạng 3: Chứng minh ba điểm thẳng hàng
Phương pháp giải:
Ba điểm A, B, C thẳng hàng 
Ví dụ 6. Cho tam giác ABC. O, G, H thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm và trực tâm của tam giác. Chứng minh:
a. 
b. 
c. O, G, H thẳng hàng
Giải. 
a. Gọi M là trung điểm của BC.
Ta thấy: AH // MO (cùng vuông góc với BC)
Þ (định lí Ta-lét) Þ AH = 2MO
Từ đó suy ra (1)
Mặt khác, vì M là trung điểm của BC nên theo hệ thức trung điểm ta có:
 (2)
Cộng vế (1) và (2) ta suy ra 
b. Ta có 
c. G là trọng tâm tam giác ABC nên 
Do đó . Vậy O, G, H thẳng hàng.
Ví dụ 7. Cho tứ giác ABCD. Các điểm M, N theo thứ tự thay đổi trên các cạnh AD, BC sao cho . Các điểm E, F lần lượt là trung điểm của AC và BD. Chứng minh I luôn chuyển động trên đoạn EF.
Giải. Đặt 
Vì E là trung điểm của AC, I là trung điểm của MN nên theo Ví dụ 3. ta có 
 (1)
Mặt khác do E và F là trung điểm của AC và BD
Nên (2)
Từ (1) và (2) suy ra . Ta có đccm.
Dạng 4: Chứng minh hai điểm trùng nhau
Phương pháp giải:
A trùng B Û 
A trùng B Û 
Ví dụ 8. Chứng minh rằng là điều kiện cần và đủ để hai tam giác ABC và DEF có cùng trọng tâm.
Giải. Gọi G và G’ thứ tự là trọng tâm của các tam giác ABC và DEF.
Vì G’ là trọng tâm nên ta có: 
Do đó hai tam giác ABC và DEF có cùng trọng tâm Û 
Û 
Ví dụ 9. Cho M, N, P, Q. R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA của lục giác ABCDEF. Chứng minh rằng các tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.
Giải. Xét 
Mặt khác, theo Ví dụ 8. ta có đccm.
Dạng 5: Tìm tập hợp các điểm thỏa mãn một đẳng thức vectơ cho trước
Phương pháp giải:
 với O cố định và không đổi thì tập hợp điểm M là đường tròn tâm O bán kính 
 với A, B cố định thì tập hợp điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng AB
 với O cố định, không đổi và k Î R thì tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua O và có cùng phương với 
 với O, A cố định và k Î R thì tập hợp điểm M là đường thẳng OA
Ví dụ 10. Cho tứ giác ABCD 
Xác định điểm O sao cho 
Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn hệ thức 
Giải. 
Ta có:
Gọi I là trung điểm của BD. Khi đó 
Vậy hay 
Từ đó suy ra vị trí của điểm O
Mà theo câu a. thì 
Do đó Û MO = MA
Vậy tập hợp điểm M là đường trung trực của OA
III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O).
Xác định các điểm M, N, P thỏa mãn các hệ thức sau:
 , , 
Chứng minh: 
Cho tam giác ABC. Gọi A’ là điểm đối xứng với B qua A, B’ là điểm đối xứng với C qua B, C’ là điểm đối xứng với A qua C. O là một điểm bất kì. Chứng minh 
Cho tam giác ABC đều tâm O, M là một điểm nằm trong tam giác. Chứng minh với H, K, L thứ tự là hình chiếu của M trên AB, BC và CA.
Cho tam giác ABC, BC = a, AC = b, AB = c. I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Chứng minh 
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Các điểm I, J thỏa mãn , . Phân tích các vectơ , theo các vectơ và . Từ đó suy ra ba điểm I, J, G thẳng hàng.
Cho đường thẳng d và tam giác ABC. Tìm điểm M thuộc đường thẳng d sao cho:
a. nhỏ nhất
b. nhỏ nhất
Cho tam giác ABC.
Xác định điểm I sao cho 
Chứng minh rằng đường thẳng nối hai điểm M, N xác định bởi hệ thức luôn đi qua một điểm cố định
Tìm tập hợp các điểm H sao cho 
Tìm tập hợp các điểm K sao cho 
Cho điểm M nằm trên cạnh BC của tam giác ABC. Chứng minh rằng:
Cho tam giác ABC và ba số thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm M sao cho