Bài tập nâng cao hệ thức lượng trong tam giác vuông

BÀI TẬP NÂNG CAO HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUễNG
Bài 1: Cho hỡnh thang cõn ABCD, đỏy lớn CD = 10cm, đỏy nhỏ bằng đường cao, đường chộo vuụng gúc với cạnh bờn. Tớnh độ dài đường cao của hỡnh thang cõn đú.
 Bài giải sơ lược:
 Kẻ AH CD ; BK CD. Đặt AH = AB = x HK = x 
 AHD = BKC (cạnh huyền- gúc nhọn) 
 Suy ra : DH = CK = . 
 Vậy HC = HK + CK = x + = 
 Áp dụng hệ thức lượng cho tam giỏc ADC vuụng ở A cú đường cao AH
 Ta cú : AH2 = DH . CH hay 5x2 = 100
 Giải phương trỡnh trờn ta được x = và x = – (loại)
 Vậy : AH = 
Bài 2: Cho tam giỏc ABC cõn tại A, đường cao ứng với cạnh đỏy cú độ dài 15,6cm, đường cao ứng với cạnh bờn dài 12cm. Tớnh độ dài cạnh đỏy BC.
Giải: Đặt BC = 2x, từ tớnh chất của tam giỏc cõn ta suy ra CH = x
 Áp dụng định lớ Pitago tớnh được AC = 
 Từ KBC HAC 
 hay 
 Đưa về phương trỡnh 15,62 + x2 = 6,76x2
 Giải phương trỡnh trờn ta được nghiệm dương x = 6,5
 Vậy BC = 2.6,5 = 13(cm)
Bài Tập 3 : Cho . Qua trung điểm I của AC, dựng ID BC.
Chứng minh : 
Giải: Hạ . Ta cú : HD = DC ( t/c đường trung bỡnh)
Ta cú : BD2 – CD2 = ( BC - CD)2 – CD2
 = BC2 + CD2 – 2BC.CD – CD2
 = BC2 – BC.(2CD) = BC2 – BC.HC
 = BC2 – AC2 = AB2
( Chỳ ý : AB2 = BC2 – AC2)
Bài Tập 4 : Cho ABC vuụng tại A. Đường cao AH, kẻ HE, HF lần lượt vuụng gúc với AB, AC. Chứng minh rằng: a) b) BC . BE . CF = AH3
Giải: a) Trong cú HB2 = BE . BA (1) ; 
 cú HC2 = CF . CA (2 ) 
Từ (1) và (2) cú : . (1)
Trong cú :AB2 = BH . BC và AC2 = HC . BC suy ra (2)
Từ (1) và (2). Ta cú : .
b) . 
Thay (3) 
Tương tự ta cũng cú ( 4) . 
Từ (3) và (4) Ta cú : BE .CF = .
 Mà AB. AC = BC . AH nờn BC . BE . CF = = AH3
Bài 5: Cho hỡnh vuụng ABCD. Qua A, vẽ cỏt tuyến
Bất kỡ cắt cạnh BC, tia CD lần lượt tại E và F.
Chứng minh : .
Giải: Dựng điểm H thuộc tia CD sao cho BE = HD.
Ta cú : ( c – g –c ) .
Áp dụng hệ thức lựơng cho .
Ta cú : nờn 
Bài 6: Cho hỡnh thoi ABCD cú , tia Ax tạo với 
Tia AB gúc , cắt BC, CD lần lượt tại M, N.
Chứng minh: 
Giải: Từ A, dựng đường thẳng vuụng gúc với AN
Cắt CD tại P, hạ .
Ta cú : ( g – c – g)
Áp dụng hệ thức lượng cho 
Ta cú : nờn (1)
Mà AH2 = sinD.AD = sin600.AD = (2)
Thay (2) và (1). Ta cú : 
Bài 1: Trong hỡnh vẽ sau biết , , ; , .
Hóy tớnh (làm trũn đến số thập phõn thứ tư ). a) CN b) c) d) AD.
Bài 2 : Trong hỡnh vẽ sau biết , , , .
Hóy tớnh : a) PT b) Diện tớch tam giac PQR.
Hướng dẫn : Từ T và R hạ cỏc đường vuụng gúc với PQ.
Bài 3: Cho tam giỏc ABD vuụng tại B, AB = 6 cm, BD = 8 cm. Trờn cạnh BD lấy điểm C sao cho BC = 3 cm. Từ D kẻ Dx // AB, nú cắt đường thẳng AC tại E.
a) Tớnh AD. b) Tớnh cỏc gúc BAD, BAC. 
c) Chứng minh AC là tia phõn giỏc của gúc BAD.
d) Chứng minh tam giỏc ADE cõn tại D.
Hướng dẫn cõu c: Hạ . Chứng minh : AB = CI.
Bài 4: Cho ABC cú gúc A = 200 ; = 300 ; AB = 60cm . Đường cao kẻ từ C đến AB cắt AB tại P ( hỡnh vẽ) . Hóy tỡm 
a) Tớnh AP ? ; BP ? b) CP ?
Bài 5: Cho rABC cú . Kẻ BH ^ AC và CK ^ AB.
a) chứng minh KH = BC.CosA
b) Trung điểm của BC là M. Chứng minh rMKH là tam giỏc đều
Hướng dẫn :
Cõu a : Từ KH = BC.CosA 
Cõu b: Vận dụng tớnh chất đường trung tuyến trong tam giỏc vuụng và chỳ ý 
Bài 6: Cho rABC (= 900 ). Từ trung điểm E của cạnh AC kẻ EF ^ BC.
 Nối AF và BE.
	a) Chứng minh AF = BE.cosC.
	b) Biết BC = 10 cm, sinC = 0,6. Tớnh diện tớch tứ giỏc ABFE.
	c) AF và BE cắt nhau tại O. Tớnh .
Hướng dẫn : Cõu a : Tương tự cỏch giải bài 5.
Cõu b: Sử dụng tớnh chất 2 diện tớch miền đa giỏc hỡnh học 8.
Cõu c : Rất khú: Hạ AH, FK vuụng gúc với BE.Tớnh SABFE = SABE + SBFE . Suy ra 
Bài 7: Cho tam giỏc vuụng ABC ( = 900 ). Lấy điểm M trờn cạnh AC. 
Kẻ AH ^ BM, CK ^ BM.
	a) Chứng minh : . b) Chứng minh : . 
Hướng dẫn :
Cõu a : Tương tự cỏch giải bài 5. Cõu b: Tiếp tục vận dụng cõu a lần 2.
Bài 8: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú đ.chộo AC lớn hơn đ.chộo BD. Kẻ CH ^ AD 
và CK ^ AB.
	a) Chứng minh rCKH rBCA. b) Chứng minh .
	c) Tớnh diện tớch tứ giỏc AKCH biết , AB = 4 cm và AD = 5 cm.
Bài 9: Cho , trực tõm H là trung điểm của đường cao AD. 
Chứng minh: tgB.tgC = 2.
ĐÁP ÁN
Bài 1: Trong hỡnh vẽ sau biết , , ; , .
Hóy tớnh (làm trũn đến số thập phõn thứ tư ). a) CN b) c) d) AD.
Bài giải
a) .
b) ị.
c) ị.
d) 
ị .
Bài 2 : Trong hỡnh vẽ sau biết , , , .
Hóy tớnh : a) PT b) Diện tớch tam giac PQR.
Bài giải
a) Xột DPTQ, kẻ đường cao TK , ta cú .
; ị ;
ị .
b) Ta cú ;
Kẻ đường cao RH, ta cú .
Xột DPTQ, ta cú : ;
ị .
Diện tớch tam giỏc PQR : .
Bài 3: Cho tam giỏc ABD vuụng tại B, AB = 6 cm, BD = 8 cm. Trờn cạnh BD lấy điểm C sao cho BC = 3 cm. Từ D kẻ Dx // AB, nú cắt đường thẳng AC tại E.
a) Tớnh AD. b) Tớnh cỏc gúc BAD, BAC. 
c) Chứng minh AC là tia phõn giỏc của gúc BAD.
d) Chứng minh tam giỏc ADE cõn tại D.
Giải :a) Áp dụng định lớ Pitago. Ta cú :
b) Áp dụng tỉ số lượng giỏc. Ta cú :
 (*)
c) Hạ . Ta cú : ( g-g) 
nờn (CH-CGV) 
Suy ra : (**)
Từ (*) và (**). Ta cú : hay AC là tia phõn giỏc của .
d) Mặt khỏc : ( cặp gúc soletrong)
nờn hay cõn tại D.
Bài 4: Cho ABC cú gúc A = 200 ; = 300 ; AB = 60cm . Đường cao kẻ từ C đến AB cắt AB tại P ( hỡnh vẽ) . Hóy tỡm 
a) Tớnh AP ? ; BP ? b) CP ?	
Hướng Dẫn
a) Kẻ AH BC ; AHB tại H
 AH = AB . SinB
 = 60.Sin300 = 60. = 30
AHC ( = 1v)
 AH = AC. Cos400 
 AC = = = 39,164
 APC cú ( = 1v)
AP = AC.Cos 200 
 = 39,164 . 0,9397 = 36,802
PB = AB – AP = 60 – 36,802 = 23, 198
b) APC ( = 1v) 
 CP = AC. Sin200 = 39,164 . 0,342 = 13, 394
Bài 5: Cho rABC cú . Kẻ BH ^ AC và CK ^ AB.
a) chứng minh KH = BC.CosA
b) Trung điểm của BC là M. Chứng minh rMKH là tam giỏc đều
Giải : a) ( g-g)
 và chung
Suy ra : 
Mặt khỏc : 
Hay HK = cosA.BC
b) .
Mặt khỏc : HM = KM = ( Tớnh chất đường trung tuyến trong tam giỏc vuụng)
nờn HK = HM = KM hay rMKH là tam giỏc đều.
Bài 6: Cho rABC (= 900 ). Từ trung điểm E của cạnh AC kẻ EF ^ BC.
 Nối AF và BE.
	a) Chứng minh AF = BE.cosC.
	b) Biết BC = 10 cm, sinC = 0,6. Tớnh diện tớch tứ giỏc ABFE.
	c) AF và BE cắt nhau tại O. Tớnh .
Giải: a) ( g-g)
nờn ( c -g- c)
Vậy AF = BE.cosC
b) Vỡ rABC (= 900 ). 
nờn AB = SinC. BC = 0,6.10 = 6cm.
 nờn AE = EC = 4cm.
Mặt khỏc : EF = SinC. EC = 0,6. 4 = 2,4cm.
 ( Định lớ Pitago)
SABFE = SABC - SCFE 
= = 20,16 (cm2)
c) Hạ AH BE; FK BE.
Ta cú : SABFE = SABE + SBFE 
 = 
 (1)
mà + BE = ( Định lớ Pitago) (2)
 + ( g - g)
 và chung nờn ( c-g-c)
nờn (3)
Từ (1), (2) và (3). Ta cú : 
 SinAOB = 
Bài 7: Cho tam giỏc vuụng ABC ( = 900 ). 
Lấy điểm M trờn cạnh AC. 
Kẻ AH ^ BM, CK ^ BM.
	a) Chứng minh : .
	b) Chứng minh : . 
Giải: a) Ta cú : ( g - g)
Vỡ ; ( cựng phụ với )
 b) Từ cõu a), ta cú : 
 mà Suy ra : (1) 
Mặt khỏc : ( g - g)
 = = ( 2)
 Thay (2) vào (1). Ta cú : 
Bài 8: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú đ.chộo AC lớn hơn đ.chộo BD. Kẻ CH ^ AD 
và CK ^ AB.
	a) Chứng minh rCKH rBCA.
	b) Chứng minh .
	c) Tớnh diện tớch tứ giỏc AKCH 
biết , AB = 4 cm và AD = 5 cm.
GIẢI: 
a) ( g - g)
Vỡ ( cựng bằng )
 (*)
Mặt khỏc : Xột tứ giỏc AKCH
Ta cú : ; 
Suy ra : (**)
Từ (*) và (**). Ta cú : rCKH rBCA( c-g-c).
b) 
 mà ( cặp gúc đồng vị) 
nờn 
c) SAKCH = SABCH + SBKC = 
 = + 
= 
 =2. ( 10+4cos600).sin600 + 
Bài 9: Cho hai hỡnh chữ nhật cú 2 kớch thước 3 và 5;
 4 và 6 được đặt sao cho cỏc cạnh hỡnh chữ nhật 
song song với nhau. Tớnh diện tớch tứ giỏc ANCQ?
Giải: Ta cú : SANCQ = SANQ + SCNQ 
= 
 mà AH = ; ; 
+ ( cặp gúc sole trong)
 = 
Ta chứng minh số đo khụng đổi.
Thật vậy : ( Tớnh chất gúc ngoài đỉnh O)
mà 
Suy ra : ( Cố định )
Vậy = = 
Và tgMQN = ; 
Vậy : = (cm2)
Bài 10: Cho , trực tõm H là trung điểm của đường cao AD. 
Chứng minh: tgB.tgC = 2.
Giải : ; 
nờn tgB.tgC = 
mà AD = 2HD
nờn tgB.tgC = 
Bài tập 11: Cho . Tớnh số đo gúc tạo bởi đường cao AH và trung tuyến AM. 
Giải: 
Ta cú : tg = 
Mặt khỏc : BH - HC = ( BM + MH) - ( MC - MH ) 
 = 2MH.
mà 
nờn MH = 
Vậy 
Bài 12: Cho , phõn giỏc AD, đường cao CH và trung tuyến BM gặp nhau tại một điểm. Chứng minh : aCosA = bCosB.
Bài 13: a) Cho tam giỏc DEF cú ED = 7 cm, . Kẻ đường cao EI của tam giỏc đú. Hóy tớnh:
a) Đường cao EI.	b) Cạnh EF.
b) Giải tam giỏc vuụng ABC, biết rằng , AB = 5, BC = 7.
Giải: a) Áp dụng hệ thức lượng . Ta cú :
 + EI = sinD. DE = sin 400.7 (cm)
 + EF = (cm) 
b) 
CosB 
+ 
Bài 14: Cho . Vẽ phõn giỏc AD, đường cao AH. 
a) Tớnh độ dài đoạn thẳng BD; DC.
b) Từ H, kẻ HK AC. Chứng minh : .
c) Tớnh độ dài đoạn thẳng AK và KC ?
Giải : 
a) Áp dụng định lớ Pitago, ta cú : 
+ Áp dụng tớnh chất đường phõn giỏc, ta cú : 
Suy ra : . CD = 
b) ( g-g)
c) Ta cú : AH .BC = AB .AC 
Từ 
; 
a) Áp dụng tớnh chất đường phõn giỏc, ta cú : 
Vậy CosB = 0,25 
+ nờn AB = 
+ Áp dụng cụng thức tớnh chiều dài đường phõn giỏc trong. Ta cú :
 hay 
AC = 
Cõu 4 
	1)Cho tam giỏcABC, Â= 900, AB < AC, đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là hỡnh chiếu của H trờn AB và AC. Chứng minh:
a) DE2=BH.HC	b) AH3=BC.BD.CE
	2)Cho tam giỏc ABC, BC= a, AC=b, AB=c. Chứng minh 
Kẻ phõn giỏc AD của 
kẻ BE AD; CF AD
BED vuụng tại E BE BD
CFD vuụng tại F CF CD
 BE + CF BD + CD = a	0.5 điểm
ABE (= 1v) BE = AB. SinA1 = c. sin	0.5 điểm
ACF (= 1V) CF = AC. SinA2 = b. sin	0.5 điểm
 BE + CF = (b + c) sin a sin 	0.5 điểm
Cõu 4. (2,5 điểm) 
 Cho ABC vuụng tại A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là hỡnh chiếu của điểm H trờn cạnh AB và AC.
 a) Chứng minh rằng: EA.EB + FA.FC = HB.HC
 b) Xỏc định số đo của sao cho SinB + CosB đạt giỏ trị lớn nhất.
Cõu 5. (1,0 điểm)
 Cho tam giỏc ABC cõn ở A và cú =1000. Đường phõn giỏc của gúc cắt cạnh AC ở D. Chứng minh rằng: BD + DA = BC.
Bài 4 ( 3 điểm ): Cho DABC vuụng cõn tại A, đường cao AH. Gọi M là trung điờ̉m của AH, E là hình chiờ́u của M trờn AB. EM cắt BC tại D. Chứng minh rằng: 
 a/ AE = AB b/ DAEH ∽ DCAD
 c/ Đường thẳng qua C và vuụng gúc với EH cắt AB tại K. c/m: BM // KH 
	a) DE ^ AB ị DE ∥AC ị = = 
 b) C/m : = ị D AEH ∽ D CDA ( c.g.c ) 
 c) C/m : D KBC ∽ D EMH (g.g) ị = = ị BK = AB 
ị BM ∥KH 
Bài 4( 3,5 điểm) Cho hỡnh vuụng ABCD. Trờn cạnh BC lấy điểm M, trờn cạnh CD lấy điểm N. Tia AM cắt đường thẳng CD tại K. Kẻ AI vuụng gúc với AK cắt CD tại I.
 1.Chứng minh : 
 2.Biếtsố đo =450, CM + CN = 7 cm, CM - CN = 1 cm.Tớnh số đo =?
 3. Từ điểm O trong tam giỏc AIK kẻ OP, OQ, OR lần lượt vuụng gúc với IK, AK, AI ( P IK, QAK, R AI). Xỏc định vị trớ điểm O để đạt giỏ trị nhỏ nhất. 
a)Ta có
Trong tam giác AIK vuông tại A ta có:
 . và AB = AD
Từ (1) và (2) 
 b)Kẻ AH vuông góc với MN . Do CM + CN =7 và CN- CM=1cmCN=4cm; 
CM= 3cm, MN = 5 cm
Ta có 
mà 
Ta lại có : và CM+MB = CN + ND CN- CM = MB- ND =1
 DN =2cm; BM =3cm; BC = AD = AH = 6 cm 
 -Tan AMH = => = . Hay = .
Từ giả thiết ta có AQOR là hình chữ nhật
 nhỏ nhất khi O là trung điểm của AD.