Bài tập Hình - Quan hệ song song

BÀI 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Vấn đề 1 : TèM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG a VÀ b :
Muốn tỡm giao tuyến của hai mặt phẳng a và b ta đi tỡm hai điểm chung I ; J của a và b 	” a ầẩ b = I J
Khi tỡm điểm chung ta chỳ ý :
 	ư Cỏch gọi tờn hai mặt phẳng để phỏt hiện điểm chung 
	ư M ẻ d và d è a ” M ẻ a 
	ư ” M là điểm chung 
1. 1: 1)Cho tứ diện ABCD cú E là trung điểm của AB. Hóy xỏc định giao tuyến của mặt phẳng (ECD) với cỏc mặt phẳng (ABC) ; (ABD) ; (BCD) ; (ACD)
 	 2)Cho tứ diện SABC và một điểm I trờn đoạn SA; d là đường thẳng trong (ABC) cắt AB; BC tại J ; K. Tỡm giao tuyến của mặt phẳng (I,d) với cỏc mặt phẳng sau : (SAB) ; (SAC) ; (SBC)
1. 2: 1)Cho tứ giỏc lồi ABCD và điểm S khụng nằm trong mặt phẳng chứa tứ giỏc. Tỡm giao tuyến của : 
 a) (SAC) và (SBD)	b) (SAB) và (SCD)	 	c) (SAD) và (SBC)
 	2)Cho hỡnh chúp S.ABCDE. Hóy xỏc định giao tuyến của mặt phẳng (SAC) với cỏc mặt phẳng (SAD) ; (SCE) 
1. 3: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là một tứ giỏc lồi ; M là điểm trờn cạnh CD. Tỡm giao tuyến của cỏc mặt phẳng : 
a)(SAM) và (SBD) 	 b)(SBM) ; (SAC)
1. 4: Cho tứ diện ABCD; M là điểm nằm trong DABC; N là điểm nằm trong DACD. Tỡm giao tuyến của : a) (AMN) và (BCD)	b) (CMN) và (ABD)
1. 5: Cho tứ diện ABCD .M nằm trờn AB sao cho AM = MB ; N nằm trờn AC sao cho AN = 3NC; điểm I nằm trong DBCD. Tỡm giao tuyến của : 
a) (MNI) và (BCD)	b) (MNI) và (ABD)	c) (MNI) và (ACD)
1. 6: Cho tứ diện ABCD ; gọi I ; J lần lượt là trung điểm của AD; BC . 
a) Tỡm giao tuyến của : (IBC) và (JAD)	
b)M là điểm trờn AB; N là điểm trờn AC. Tỡm giao tuyến của (IBC) và (DMN)
1. 7: Cho hai đường thẳng a ; b ẻ (P) và điểm S khụng thuộc (P). Hóy xỏc định giao tuyến của mặt phẳng chứa a và S với mặt phẳng chứa b và S ?
1. 8: Cho tứ diện ABCD ; trờn AB ; AC lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho : . Tỡm giao tuyến của (DMN) và (BCD)
1. 9; Cho bốn điểm ABCD khụng đồng phẳng ; gọi I ; K là trung điểm AD ; BC . Xỏc định giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (KAD) ?
1. 10 : Trong mặt phẳng a cho hỡnh thang ABCD cú đỏy là AB ; CD ; S là điểm nằm ngoài mặt phẳng hỡnh thang. Tỡm giao tuyến của : 
a) (SAD) và (SBC)	b) (SAC) và (SBD)
1.11. Hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thang hai đỏy là AD ; BC .Gọi M ; N là trung điểm AB ; CD và G là trọng tõm DSAD. Tỡm giao tuyến của :
a) (GMN) và (SAC)	b) (GMN) và (SBC) 
Vấn đề 2: 	CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG 
VÀ BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY 
	Chứng minh A; B; C thẳng hàng : 
 Chỉ ra A ; B ; C ẻ a 
 Chỉ ra A ; B ; C ẻ b
 Kết luận : A; B; Cẻ a ầẩ b ” A; B; C thẳng hàng 
Chứng minh a ; b ; MN đồng quy :
	Đặt a ẩầ b = P
	Chứng minh M ; N ; P thẳng hàng 
	Kết luận :MN ; a ; b đồng quy tại P 
2. 1: Cho hai mặt phẳng a và b cắt nhau theo giao tuyến d .Trờn a lấy hai điểm A ; B nhưng khụng thuộc d. O là điểm ở ngoài hai mặt phẳng . Cỏc đường thẳng OA ; OB lần lượt cắt b tại A’ ; B’. AB cắt d tại C
a)Chứng minh O; A; B khụng thẳng hàng ?
b)Chứng minh A’ ; B’ ; C’ thẳng hàng ? Từ đú suy ra AB ; A’B’; d đồng quy
2. 2: Trong khụng gian cho ba tia Ox ; Oy ; Oz khụng đồng phẳng. Trờn Ox lấy A ; A’ ; trờn Oy lấy B ; B’ trờn Oz lấy C ; C’ sao cho AB cắt A’B’ tại D ; BC cắt B’C’ tại E ; AC cắt A’C’ tại F. Chứng minh D; E ; F thẳng hàng ?
2. 3: Cho A; B; C khụng thẳng hàng ở ngoài mặt phẳng a . Gọi M ; N ; P lần lượt là giao điểm AB ; BC ; AC với a. Chứng minh M; N; P thẳng hàng ?
2. 4: 1) Cho hỡnh chúp S.ABCD đỏy ABCD là hỡnh bỡnh hành ; O là giao điểm hai đường chộo ; M ; N lần lượt là trung điểm SA ; SD. Chứng minh ba đường thẳng SO ; BN ; CM đồng quy 
 	 2)Cho tứ diện ABCD.Mặt phẳng a khụng song song AB cắt AC ; BC ; AD ; BD lần lượt tại M ; N ; R ; S . Chứng minh AB ; MN ; RS đồng quy ?
2. 5: Chứng minh trong một tứ diện cỏc đừơng thẳng nối đỉnh với trọng tõm mặt đối diện đồng quy ?
2.6. Hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thang hai đỏy là AD ; BC .Gọi M ; N là trung điểm AB ; CD và G là trọng tõm DSAD. Tỡm giao tuyến của :
a) (GMN) và (SAB)	b) (GMN) và (SCD) 
c) Gọi giao điểm của AB và CD là I ; J là giao điểm của hai giao tuyến của cõu a và cõu b. Chứng minh S ; I ; J thẳng hàng ?
Vấn đề 3: 	CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG CHẫO NHAU,
VÀ CÁC ĐIỂM ĐỒNG PHẲNG 
 Chứng minh 2 đường thẳng a ; b chộo nhau :
	ư Giả sử : a khụng chộo b 
	ư Từ đú suy ra hai đường thẳng a và b nằm trong 
 cựng mặt phẳng a ( đồng phẳng )
	ư Từ đú suy ra điều mõu thuẫn với gỉa thiết hoặc 
 mõu thuẫn với một điều đỳng nào đú 
 Chứng minh A, B, C, D nằm trong cựng một mặt phẳng – đồng phẳng
 ư Chứng minh hai đường 
 thẳng tạo thành từ bốn 
 điểm đú cắt nhau hoặc 
 song song với nhau 
3. 1: Cho bốn điểm A, B, C, D khụng đồng phẳng 
a)Chứng minh ba trong số 4 điểm này khụng thẳng hàng 
b)Chứng minh AB chộo với CD ?
3. 2: Cho hai đường thẳng chộo nhau a và b.Trờn a lấy hai điểm A, B ; trờn b lấy hai điểm C, D
a)Chứng minh AC chộo BD ?
b)Lấy M nằm trờn đoạn AC; N nằm trờn đoạn BD. Đường thẳng MN cú song song AB hoặc CD khụng ?
c)O là trung điểm MN. Chứng minh A, O, C, N đồng phẳng 
3. 3: Cho đường thẳng a cắt hai đường thẳng b và c. Hỏi ba đường thẳng a, b, c cú đồng phẳng khụng ? Tại sao ?
3. 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi I ; J là trung điểm AD; BC. 
a) Chứng minh AB chộo CD ?	b) Chứng minh IB chộo JA ?
Vấn đề 4: 	TèM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG D VÀ MẶT PHẲNG a 
Giả sử phải tỡm giao điểm d ầ a = ? 
 Phương phỏp 1: 
 Tỡm a è a 
 Chỉ ra được a ,d nằm trong cựng mặt phẳng và 
 chỳng cắt nhau tại M 	” d ầẩ a = M ( hỡnh vẽ )
 Phương phỏp 2: 
 Tỡm b chứa d thớch hợp 
 Giải bài toỏn tỡm giao tuyến a của a và b 
 Trong b : a ẩầ d = M ” d ẩ a = M ( hỡnh vẽ b)
4. 1: Cho tứ diện SABC; M ; N lần lượt là cỏc điểm nằm trong DSAB ; DSBC. MN cắt (ABC) tại P. Xỏc định giao điểm P
4. 2: Cho tứ diện ABCD ; M là trung điểm AB; N và P lần lượt là cỏc điểm nằm trờn AC; AD sao cho AN : AC = 3 : 4 ; AP : AD = 2 : 3. Tỡm giao điểm :
a) MN với (BCD)	b) BD với (MNP)	
c) Gọi Q là trung điểm NP.Tỡm giao điểm của MQ với (BCD)
4. 3: A; B ; C ; D là bốn điểm khụng đồng phẳng. M; N lần lượt là trung điểm của AC; BC. Trờn đoạn BD lấy P sao cho BP = 2PD. Tỡm giao điểm của :
a) CD với (MNP)	b) AD với (MNP)
4. 4: Cho hỡnh chúp SABC ; O là điểm trong DABC ; D và E là cỏc điểm năm trờn SB ; SC.Tỡm giao điểm của a) DE với (SAO)	b) SO với (ADE)
4. 5: Cho tứ diện SABC. I ; H lần lượt là trung điểm SA; AB. Trờn đoạn SC lấy điểm K sao cho CK = 3KS.
a)Tỡm giao điểm của đường thẳng BC với (IHK) ?
b)Gọi M là trung điểm HI. Tỡm giao điểm của đường thẳng KM với (ABC) ?
4. 6: Cho hỡnh chúp SABCD đỏy là hỡnh thang ABCD đỏy lớn AB. I; J; K là ba điểm trờn SA; SB; SC .Tỡm giao điểm IK và (SBD); giao điểm (ỊJK) và SD; SC
4. 7: Gọi I ; J lần lượt là hai điểm nằm trong DABC; DABD của tứ diện ABCD. M là điểm tuỳ ý trờn CD. Tỡm giao điểm IJ và mặt phẳng (AMB) 
4. 8: Hỡnh chúp SABCD đỏy là hỡnh bỡnh hành ABCD. M là trung điểm SD
a)Tỡm giao điểm I của BM và (SAC) ? Chứng minh : BI = 2IM ?
b)Tỡm giao điểm J của của SA và (BCM) ? Chứng minh J là trung điểm SA ?
c) N là điểm tuỳ ý trờn BC. Tỡm giao điểm của MN với (SAC) ?
Vấn đề 5: 	THIẾT DIỆN TẠO BỞI MẶT PHẲNG a VỚI KHỐI ĐA DIỆN
Lần lượt xột giao tuyến của a với cỏc 
mặt của khối đa diện đồng thời xột giao điểm của 
cỏc cạnh của đa diện với mặt phẳng a 
	Khi cỏc đoạn giao tuyến tỡm được khộp
kớn thành đa giỏc ta được thiết diện phải tỡm.
 	Việc chứng minh tiết diện cú hỡnh 
dạng đặc biệt như hỡnh bỡnh hành; hỡnh thang ; 
. . . trong mặt phẳng a cũng nhờ vào quỏ trỡnh 
đi tỡm giao tuyến và giao điểm ở trờn 
 	Trong phần này ta chỉ xột hai cỏch làm cơ bản :
I. Xỏc định thiết diện bằng cỏch kộo dài cỏc giao tuyến 
II.Xỏc định thiết diện bằng cỏch vẽ giao tuyến phụ 
5. 1: 1) Cho hỡnh lập phương ABCDA’B’C’D’. Gọi M ; N ; P lần lượt là trung điểm AA’ ; AD ; DC . Tỡm thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua M; N; P với hỡnh lập phương ?
 	 2) Cho hỡnh hộp ABCDA’B’C’D’. Gọi M ; N ; P lần lượt là trung điểm DC ; AD ; BB’. Tỡm thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNP) với hỡnh hộp và giao tuyến của (MNP) với mặt phẳng (A’B’C’D’)
5. 2: 1)Cho hỡnh chúp S.ABCD đỏy ABCD là hỡnh bỡnh hành . Gọi E; F; K lần lượt là trung điểm của SA ; AB ; BC. Xỏc định thiết diện của hỡnh chúp và mặt phẳng đi qua ba điểm E; F ; K
 	 2) Cho hỡnh chúp S.ABCD. Gọi A’ ; B’ ; C’ lần lượt là cỏc điểm nằm trờn SA ; SB; SC. Xỏc định thiết diện tạo bởi mặt phẳng (A’B’C’) với hỡnh chúp
*5. 3: Cho tứ diện ABCD ; điểm I nằm trờn BD và ở ngoài BD sao cho ID = 3IB; M ; N là hai điểm thuộc cạnh AD ; DC sao cho MA = MD ; ND = NC
a)Tỡm giao tuyến PQ của (IMN) với (ABC) ?
b)Xỏc dịnh thiết diện tạo bởi (IMN) với tứ diện ?
c)Chứng minh MN ; PQ ; AC đồng qui ?
*5. 4: 1)Cho tứ diện ABCD ; điểm I ; J lần lượt là trọng tõm DABC ; DDBC ; M là trung điểm AD. Tỡm tiết diện tạo bởi (MJI) và tứ diện ?
 	 2) Cho hỡnh chúp S.ABCDE. Lấy ba điểm M ; N ; K trờn SA ; BC ; SD. Xỏc định thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNK) với hỡnh chúp 
5. 5: Hỡnh chúp SABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thang với AB là đỏy . Gọi M ; N là trung điểm SB ; SC .
a)Tỡm giao tuyến của (SAD) và (SBC) ?
b)Tỡm giao điểm của SD với mặt phẳng (AMN) ?
c)Tỡm tiết diện tạo bởi mặt phẳng (AMN) với hỡnh chúp 
*5. 6: Hỡnh chúp SABCD cú đỏy ABCD là hỡnh bỡnh hành . M là trung điểm SC 
a)Tỡm giao điểm I của AM với (SBD) ? Chứng minh IA = 2IM 
b)Tỡm giao điểm F của SD với (AMB) ? Chứng minh F là trung điểm SD ?
c)Xỏc định hỡnh dạng tiết diện tạo bởi (AMB) với hỡnh chúp 
d)Gọi N là một điểm trờn cạnh AB .Tỡm giao điểm của MN với (SBD) ?
*5.7. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh bỡnh hành tõm O. Gọi M ; N ; P lần lượt là trung điểm SB ; SD ; OC
a) Tỡm giao tuyến của (MNP) với (SAC) ?	
b) Dựng thiết diện của (MNP) với hỡnh chúp ?
c) Tớnh tỉ số mà (MNP) chia cạnh SA ; BC ; CD ?	ĐS: c) 3 : 1 ; 1 : 1 ; 1 : 1
5.8. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh bỡnh hành; gọi M là trung điểm SB ; G là trọng tõm DSAD
a) Tỡm giao điểm I của GM với (ABCD) ?	
b) Chứng minh (CGM) chứa đường thẳng CD ?
c) Chứng minh (CGM) đi qua trung điểm SA ?
d) Dựng tiết diện của (CGM) với hỡnh chúp ?
*5.9. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh bỡnh hành tõm O ; I ; J là trọng tõm DSAB ; DSAD
a) Tỡm giao điểm của JI với (SAC) ?	
b) Dựng thiết diện tạo bởi (JIO) với hỡnh chúp 
5.10. Cho hỡnh chúp SABCD. Gọi I ; M ; N là ba điểm trờn SA ; AB ; CD 
a) Tỡm giao tuyến của (SAN) và (SDM) ?
b) Hóy xỏc định thiết diện tạo bởi (IMN) với hỡnh chúp 
BÀI TẬP TỔNG HỢP 
1: Cho tứ diện ABCD ; I là điểm nằm ngoài đoạn BD. Mặt phẳng (a) qua I cắt AB; BC; CD; DA tại M; N; P; Q. 
a) Chứng minh I ; M ; Q thẳng hảng và ba điểm I ; N ; P cũng thẳng hàng ?
b) Chứng minh MN; AC; PQ đồng qui ?
2: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh bỡnh hành . M là trung điểm 
SD; E là điểm trờn cạnh BC
a) Tỡm giao điểm N của SC với (AME) ?
b) Tỡm giao tuyến của (AME) với (SAC) ?
c) Tỡm giao điểm của K của SA với (MBC) ? Chứng minh K là trung điểm SA
3: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh bỡnh hành .F là trung điểm CD; E là điểm trờn cạnh SC sao cho SE = 2EC .Tỡm tiết diện tạo bởi (AEF) với hỡnh 
4: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh bỡnh hành .I là trung điểm SD; E là điểm trờn cạnh SB sao cho SE = 3EB .
a) Tỡm giao điểm F của CD với mặt phẳng (AIE) ?
b) Tỡm giao tuyến d của (AIE) với (SBC) ?
c) Chứng minh BC ; AF ; d đồng qui ?
5: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là tứ giỏc lồi .F là trung điểm SC; E là điểm trờn cạnh BC sao cho BE = 2EC .
a)Tỡm tiết diện tạo bởi (AEF) với hỡnh chúp ?
b) Tỡm giao điểm của SB với (AEF) ?
6: Hỡnh chúp SABCD cú đỏy ABCD là hỡnh bỡnh hành tõm O ; M là trung điểm SB; G là trọng tõm DSAD
a) Tỡm giao điểm I của GM với (ABCD) và chứng minh I nằm trờn đường thẳng CD và IC = 2ID ?
b) Tỡm giao điểm J của (OMG) với AD ? Tớnh tỉ số 
c)Tỡm giao điểm K của (OMG) với SA ? Tớnh 	HD: b) 2 c) 2
7: Cho tứ diện ABCD; trờn AD lấy N sao cho 
AN = 2ND ; M là trung điểm AC ; trờn BC lấy Q sao cho BQ = BC
a) Tỡm giao điểm I của MN với (BCD) ? Tớnh IC:ID
b) Tỡm giao điểm J của BD với (MNP) ? Tớnh JB:JD
8 Cho tứ diện ABCD. Gọi I ; J là hai điểm cố định nằm trờn AB ; AC và ỊJ khụng song song với BC. Mặt phẳng a quay quanh IJ cắt cạnh CD ; BD tại M ; N
a) Chứng minh MN luụn đi qua một điểm cố định ?
b) Tỡm tập hợp giao điểm của IN và JM ?
c)Tỡm tập hợp giao điểm của IM và JN ?
9. Cho hỡnh chúp SABC. Gọi A’ ; B’ ; C’ là cỏc điểm di động trờn SA ; SB ; SC thoả : 	
SA’ = SA ; SB’ = SB ; SC’ = SC
a) Chứng minh A’B’ đi qua một điểm cố định I và A’C’ đi qua điểm cố định J khi n thay đổi ?
b) Chứng minh (A’B’C’) chừa một đường thẳng cố định 
HD: a) dựng định lớ menelaus b) đường IJ 
BÀI 2: HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
Vấn đề 1: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
Phương phỏp :
Cú thể dựng một trong cỏc cỏch sau :
- Chứng minh hai đường thẳng đú đồng phẳng , rồi ỏp dụng phương phỏp chứng minh song song rong hỡnh học phẳng (như tớnh chất đường trung bỡnh, định lý đảo của định lý Ta-lột ...)
- Chứng minh hai đường thẳng đú cựng song song song với đường thẳng thứ 3.
- Áp dụng định lý về giao tuyến .
Bài1. Cho tứ diện SABC có I, J lần lượt là trung điểm của AB và BC. CMR: với "M ẻ SB (M ạ B) ta đều có IJ // (ACM)
Bài 2. Cho tứ diện ABCD gọi M và N lần lượt là trọng tâm D ABD và D ACD. CMR: M N // (BCD) và MN // (ABC)
Bài 3. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có chung cạnh AB và không đồng phẳng. Trên các cạnh AD, BE lần lượt lấy các điểm M, N sao cho (0 < k < 1). Chứng minh rằng MN // (CDE) 
Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD. Chứng minh IJ//CD
Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy AB và CD (CD > AB). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB
a, Chứng minh MN//CD
b, Tìm giao điểm P của SC và mp(AND). Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I. Chứng minh SI//AB//CD. Tứ giác SABI là hình gì?
Bài 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC, AD, AC, BD
a, Chứng minh MNPQ là hình bình hành
b, Chứng minh MN, PQ, RS cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn
Bài 4: Cho tam giác ABC nằm trong mp(P). Gọi Bx; Cy là 2 nửa đường thẳng song song và nằm về cùng phía đối với mp(P). M và N là 2 điểm di động lần lượt trên x, Cy sao cho CN = 2BM
a, Chứng minh rằng MN luôn đi qua điểm cố định I khi M, N di động 
b, E là điểm thuộc đoạn AM và . Gọi F là giao điểm của IE và AN, Q là giao điểm của BE và CF. Chứng minh rằng AQ//Bx//Cy và (QMN) chứa đường thẳng cố định khi M, N di động
Bài 5: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q là các điểm trên BC, SC, SD và AD sao cho MN//SB, NP//CD, MQ//CD
a, Chứng minh PQ//SA
b, Gọi K là giao điểm của MN và PQ. Chứng minh SK//AD//BC
c, Qua Q dựng Qx//SC; Qy//SB. Tìm giao điểm của Qx và mp(SAB); giao điểm của Qy và mp(SCD)
Bài 6: Cho hai hỡnh bỡnh hành ABCD và ABEF khụng cựng nằm trong mặt phẳng . Trờn hai đường thẳng chộo nhau AC và BF lần lượt lấy hai điểm M ; N sao cho 
AM : AC = BN : BF = 1: 3 . Chứng minh MN //< DE
Bài 7: Cho hai hỡnh bỡnh hành ABCD và ABEF khụng cựng nằm trong mặt phẳng . Trờn hai đường thẳng chộo nhau AC và BF lần lượt lấy hai điểm M ; N sao cho 
AM : AC = BN : BF = 5 . Dựng MM' < AB với M' trờn AD; NN' < AB với N' trờn AF. Chứng minh : a) MM' và NN' //< CD	b) M’N<// DF
Vấn đề 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng – Thiết diện qua một điểm và song song với đường thẳng cho trước
Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy AB và CD. Gọi I; J là trung điểm của AD và BC. Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB
a, Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJG)
b, Xác định thiết diện của hình chóp với mp(IJG). Thiết diện là hình gì? Tìm điều kiện đối với AB và CD để thiết diện là hình bình hành
Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy hình hình bình hành. Gọi I, J là trọng tâm các tam giác SAB và SAD và M là trung điểm của CD. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(IJM)
Bài 3: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy AD = a; BC = b. Gọi I; J là trọng tâm các tam giác SAD và SBC
a, Tìm đoạn giao tuyến của mp(ADJ) vớimp(SBC); của (BCI) và (SAD)
b, Tìm độ dài đoạn giao tuyến của 2 mặt phẳng (ADJ) và (BCI) giới hạn bởi 2 mp (SAB) và (SCD)
Bài 4: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AC và BC. Gọi K là một điểm trên cạnh BD với KB = 2KD. 
a, Xác định thiết diện của tứ diện với mp(IJK). Chứng minh thiết diện là hình thang cân
b, Tính diện tchs của thiết diện theo a
Bài 5: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều, . Gọi Dx là đường thẳng qua D và song song với SC.
a, Tìm giao điểm I của Dx và mp(SAB). Chứng minh AI//SB
b, Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(AIC) và tính diện tích của thiết diện đó
Bài 6: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành; I, J lần lượt là trung điểm của SA và AB. M là điểm bất kì trên nửa đường thẳng Ax chứa C. Biện luận theo vị trí của M trên Ax các dạng của thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(IJM)
Bài 7: Cho hình chóp SABCD đáy là hình vuông cạnh a; mặt bên SAB là tam giác đều; SC = SD = . Gọi H và K lần lượt là trung điểm của SA; SB. M là điểm trên cạnh AD. Mặt phẳng (HKM) cắt BC tại N
a,Chứng minh HKMN là hình thang cân
b, Đặt AM = x . Tính diện tích tứ giác HKMN theo a và x. Tìm x để diện tích này nhỏ nhất
c, Tìm tập hợp giao điểm của HM và KN; HN và KM
Bài 8: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, lấy M trên cạnh BA; P trên cạnh CD sao cho . Xác định thiết diện của tứ diện và mặt phẳng qua MP và song song với AC. Tính diện tích thiết diện đó
BÀI 3: ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
Vấn đề 1: ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
Phương phỏp chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng P
Ta chứng minh d khụng nằm trong (P) và song song với đường thẳng a chứa trong (P) .
Ghi chỳ : Nếu a khụng cú sẵn trong hỡnh thỡ ta chọn một mặt phẳng (Q) chứa d và lấy a là giao tuyến của (P) và (Q) .
Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD
a, Chứng minh và 
b, Gọi P là trung điểm của SA. Chứng minh SB và SC song song với mp(MNP)
c, Gọi G1 và G2 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và SBC. Chứng minh G1G2//mp(SAC)
Bài 2: Cho tứ diện ABCD. G là trọng tâm tam giác ABD, M trên BC sao cho MB = 2MC. Chứng minh MG//mp(ACD)
Bài 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi O và O’ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABC và ABD. Chứng minh:
a, Điều kiện cần và đủ để OO’//mp(BCD) là 
b, Điều kiện cần và đủ để OO’//mp(BCD) và mp(ACD) là BC = BD và AC = AD
Bài 4: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng 
a, Gọi O và O’ lần lượt là tâm của ABCD và ABEF. Chứng minh OO’//(ADF); OO’//(BCE)
b, Trên AE và BD lấy M và N sao cho . Chứng minh MN//mp(CDEF)
Bài 5: Cho tứ diện ABCD . Trờn cạnh AD lấy trung điểm M ; trờn BC lấy điểm N bất kỡ.Gọi (a) là mặt phẳng chứa đường thẳng MN và song song với CD .
a)Tỡm tiết diện của tứ diện ABCD với (a) ?
b)Xỏc định vị trớ của N trờn BC sao cho tiết diện là hỡnh bỡnh hành ?
Bài 6: Cho hỡnh chúp SABCD với đỏy ABCD là hỡnh thang cú đỏy lớn là AD. Gọi M là điểm bất kỡ trờn cạnh AB. (a) là mặt phẳng qua M và song song AD và SD.
a)Mặt phẳng (a) cắt SABCD theo tiết diện là hỡnh gỡ ?
	b)Chứng minh SA // (a) 
Bài 7: Cho hỡnh chúp SABCD. cú đỏy ABCD là hỡnh bỡnh hành. Mặt phẳng (a) di 
động luụn luụn song song BC và đồng thời đi qua trung điểm C’ của SC . 
a)Mặt phẳng (a) cắt cac cạnh SA ; SB ; SD lần lượt tại A’ ; B’ ; D’ tiết diện A’B’C’D’ là hỡnh gỡ ?
b)Chứng minh rằng (a) khi chuyển động luụn luụn chứa một đường thẳng cố định 
c)Gọi M là giao điểm của A’C’ và B’D’ .Chứng minh khi (a) di động thỡ M di động trờn đường thẳng cố định 
Bài 8: Cho hỡnh chúp S.ABCD đỏy là bỡnh hành.Gọi M là điểm di động trờn cạnh SC; mặt phẳng (a) chứa AM và < BD 
a)Chứng minh (a) luụn luụn đi qua một đường thẳng cố định khi M chuyển động trờn cạnh SC 
b) (a) cắt SB và SD tại E ; F .Trỡnh bày cỏch dựng E và F ?
c)Gọi I là giao điểm của ME và CB; J là giao điểm của MF và CD . Chứng minh ba điểm I ; J ; A thẳng hàng
Vấn đề 2: . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng –
 Thiết di