Bài tập Hình học 8

(Em hãy nhớ muốn soạn được bài và hướng dẫn được học sinh giải quyết bài kiểm tra liên quan đến kiến thức môn học thì phải nắm vững nội dung kiến thức bài soạn và kiến thức của các phần có liên quan . Phần Đại dễ soạn hơn Hình nên em tự tìm hiểu kiến thức, còn phần Hình thì trước hết em hãy nắm vững các “dấu hiệu nhận biết” của các hình theo thứ tự dấu hiệu nhận biết. Vì muốn chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật hoặc hình thoi thì ta phải chứng minh nó là hình bình hành hoặc hình thang và bổ sung thêm dấu hiệu để hình bình hành hoặc hình thang trở thành hình chữ nhật hoặc hình thoi nên phải nắm vững dấu hiệu nhận biết của các hình. Muốn nắm vững kiến thức thì bản thân em sẽ phải là một học sinh, sẽ lại phải giải các bài tập)
HÌNH THANG, ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC
Cho tứ giác ABCD có AB = BC và AC là tia phân giác của góc A. Chứng minh ABCD là hình thang.
Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm M thuộc cạnh BC sao cho , N là trung điểm cạnh AB. Chứng minh:
	a) Tam giác AMB cân.
	b) Tứ giác MNAC là hình thang vuông.
Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ đường cao AH. Từ H kẻ HD ^ AC, HE ^ AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng HB, HC. Chứng minh tứ giác DEMN là hình thang vuông.
Cho hình thang ABCD (AB // CD) có . Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân.
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh AB, AC lấy lần lượt các điểm D và E sao cho AD = AE.
	a) Chứng minh BDEC là hình thang cân.
	b) Tính các góc của hình thang cân đó, biết .
	ĐS: b) .
Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AC = BD. Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng DC tại E. Chứng minh:
	a) Tam giác BDE là tam giác cân.
	b) Các tam giác ACD và BDC bằng nhau.
	c) ABCD là hình thang cân.
Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Trên cạnh AB, lấy hai điểm D, E sao cho AD = DE = EB. Gọi I là giao điểm của AM với CD. Chứng minh: AI = IM.
Cho tam giác ABC và hai đường trung tuyến BD, CE cắt nhau tại G. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BG, CG. Chứng minh tứ giác MNDE có các cặp cạnh đối song song và bằng nhau.
Cho tam giác ABC. Trên tia BA lấy điểm D sao cho A là trung điểm BD. Trên tia CB lấy điểm E sao cho B là trung điểm CE. Hai đường thẳng AC và DE cắt nhau tại I. Chứng minh rằng: .
Cho tứ giác ABCD có góc , , AD = BC. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Tính góc nhọn tạo bởi đường thẳng FE với các đường thẳng AD và BC.
Cho A, B, C theo thứ tự nằm trên đường thẳng d (AB > BC). Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là d, vẽ các tam giác đều AMB và BNC. Gọi P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của BM, CM, BN, AN. Chứng minh:
	a) PQRS là hình thang cân.	b) .
Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AM, D là giao điểm của BI và AC.
	a) Chứng minh: .	b) So sánh độ dài BD và ID.
Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AD, BC, AC, BD.
	a) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q nằm trên một đường thẳng.
	b) Tính MN, PQ, biết các cạnh đáy của hình thang .
	c) Chứng minh rằng nếu MP = PQ = QN thì .
Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi E, F, K lần lượt là trung điểm của AD, BC, BD. Chứng minh ba điểm E, K, F thẳng hàng.
Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD và BC. Đường thẳng EF cắt BD ở I, cắt AC ở K.
	a) Chứng minh: AK = KC, BI = ID.
	b) Cho AB = 6, CD = 10. Tính EI, KF, IK.
Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, K lần lượt là trung điểm của AD, BC, AC.
	a) So sánh độ dài các đoạn thẳng EK và CD, KF và AB.
	b) Chứng minh: .
	c) Khi thì tứ giác ABCD là hình gì.
	ĐS: c) ABCD là hình thang.
Tính độ dài đường trung bình của một hình thang cân biết rằng các đường chéo của nó vuông góc với nhau và đường cao bằng 10 cm.
Cho tam giác ABC, trọng tâm G. Vẽ đường thẳng d đi qua G cắt các đoạn thẳng AB, AC. Gọi A’, B’. C’ thứ tự là hình chiếu của A, B, C trên d. Tìm liên hệ giữa các độ dài AA’, BB’, CC’.
Cho tam giác ABC, trọng tâm G. Vẽ đường thẳng d nằm ngoài tam giác ABC. Gọi A’, B’. C’, G’ thứ tự là hình chiếu của A, B, C trên d. Tìm liên hệ giữa các độ dài AA’, BB’, CC’ , GG’
HÌNH BÌNH HÀNH
Bài 1. Cho hình bình hành ABCD, đường chéo BD. Kẻ AH vuông góc với BD ở H, CK vuông góc với BD ở K. Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành.
Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Qua điểm O, vẽ đường thẳng a cắt hai đường thẳng AD, BC lần lượt tại E, F, vẽ đường thẳng b cắt hai cạnh AB, CD lần lượt tại K, H. Chứng minh tứ giác EKFH là hình bình hành.
Cho tam giác ABC. Từ một điểm E trên cạnh AC vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB tại F và đường thẳng song song với AB cắt BC tại D. Giả sử AE = BF.
	a) Chứng minh tam giác AED cân.	b) Chứng minh AD là phân giác của góc A.
Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA và I, K là trung điểm các đường chéo AC, BD. Chứng minh:
	a) Các tứ giác MNPQ, INKQ là hình bình hành.	
	b) Các đường thẳng MP, NQ, IK đồng qui.
Cho tam giác ABC và H là trực tâm. Các đường thẳng vuông góc với AB tại B, vuông góc với AC tại C cắt nhau ở D.
	a) Chứng minh tứ giác BDCH là hình bình hành.	
	b) Tính số đo góc , biết .
Cho hình bình hành ABCD, . Từ C vẽ CE vuông góc với AB. Nối E với trung điểm M của AD. Từ M vẽ MF vuông góc với CE, MF cắt BC tại N.
	a) Tứ giác MNCD là hình gì?	b) Tam giác EMC là tam giác gì?
	c) Chứng minh: .
Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là giao điểm của AB và CD, AD và BC; M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AE, EC, CF, FA. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.
Cho hình bình hành ABCD. Các điểm E, F thuộc đường chéo AC sao cho AE = EF = FC. Gọi M là giao điểm của BF và CD; N là giao điểm của DE và AB. Chứng minh rằng:
	a) M, N theo thứ tự là trung điểm của CD, AB.	b) EMFN là hình bình hành.
Cho hình thang vuông ABCD, có và AD = 2BC. Kẻ AH vuông góc với BD (H thuộc BD). Gọi I là trung điểm của HD. Chứng minh rằng: CI ^ AI.
Cho tam giác ABC và O là một điểm thuộc miền trong của tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA và L, M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn OA, OB, OC. Chứng minh rằng: các đoạn thẳng EL, FM và DN đồng qui.
HÌNH CHỮ NHẬT
Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AC, E là điểm đối xứng với H qua I. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của HC, CE. Các đường thẳng AM, AN cắt HE tại G và K. 
	a) Chứng minh tứ giác AHCE là hình chữ nhật.
	b) Chứng minh HG = GK = KE.
Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì? 
	ĐS: EFGH là hình chữ nhật. 
Cho tam giác ABC vuông tại A. Về phía ngoài tam giác ABC, vẽ hai tam giác vuông cân ADB (DA = DB) và ACE (EA = EC). Gọi M là trung điểm của BC, I là giao điểm của DM với AB, K là giao điểm của EM với AC. Chứng minh: 
	a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng.
	b) Tứ giác IAKM là hình chữ nhật.
	c) Tam giác DME là tam giác vuông cân.
Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AD, BD, AC, BC. 
	a) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng.
	b) Chứng minh tứ giác ABPN là hình thang cân.
	c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa AB và CD để ABPN là hình chữ nhật.
	ĐS: c) thì ABPN là hình chữ nhật.
Cho tam giác ABC. Gọi O là một điểm thuộc miền trong của tam giác, M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng OB, OC, AC, AB. 
	a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.
	b) Xác định vị trí của điểm O đế tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
	ĐS: b) O thuộc đường cao AH của DABC.
Cho tam giác ABC vuông cân tại C. Trên các cạnh AC, BC lấy lần lượt các điểm P, Q sao cho AP = CQ. Từ điểm P vẽ PM song song với BC (M Î AB). 
	a) Chứng minh tứ giác PCQM là hình chữ nhật.
	b) Gọi I là trung điểm của PQ. Chứng minh rằng khi P di chuyển trên cạnh AC, Q di chuyển trên cạnh BC thì điểm I di chuyển trên một đoạn thẳng cố định.
	ĐS: b) I di chuyển trên đường trung bình của DABC.
Cho hình chữ nhật ABCD. Nối C với một điểm E bất kỳ trên đường chéo BD. Trên tia đối của tia EC lấy điểm F sao cho EF = EC. Vẽ FH và FK lần lượt vuông góc với AB và AD. Chứng minh rằng: 
	a) Tứ giác AHFK là hình chữ nhật.
	b) AF song song với BD và KH song song với AC.
	c) Ba điểm E, H, K thẳng hàng.
 Cho tam giác ABC và H là trực tâm. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và CA; D, E, F lần lượt là trung điểm các đoạn HA, HB và HC.
	a) Chứng minh rằng các tứ giác MNFD và MEFP là các hình chữ nhật.
	b) Để các đoạn MD, ME và DP bằng nhau thì tam giác ABC phải là tam giác gì?
HÌNH THOI
Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, AD. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi.
Cho tứ giác ABCD có , , . Gọi E, F, M, N lần lượt là trung điểm của AB, DC, DB, AC. 
	a) Chứng minh tứ giác EMFN là hình thoi.
	b) Tính góc . 	ĐS: b) .
Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Gọi E, F, G, H lần lượt là các giao điểm của các phân giác trong của các tam giác OAB, OBC, ODC, ODA.
	a) Chứng minh: ba điểm E, O, G thẳng hàng, ba điểm H, O, F thẳng hàng.
	b) Chứng minh các tam giác AEB và CGD bằng nhau.
	c) Chứng minh tứ giác EFGH là hình thoi.
Cho tam giác ABC và một điểm M thuộc cạnh BC. Qua M vẽ đường thẳng song song với AB, cắt AC ở E và đường thẳng song song với AC, cắt AB ở F.
	a) Chứng minh tứ giác AFME là hình bình hành.
	b) Xác định vị trí điểm M trên cạnh BC để tứ giác AFME là hình thoi.
	ĐS: b) M là chân đường phân giác góc B của DABC.
Cho hình bình hành ABCD có AB = 2AD, . Vẽ BH ^ AD (H Î AD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm cạnh CD, AB.
	a) Chứng minh tứ giác ANMD là hình thoi.
	b) Tính góc .
	ĐS: b) .
Cho tam giác đều ABC. Gọi H là trực tâm của tam giác, AD là đường cao. Trên cạnh BC lấy điểm M. Từ M vẽ ME ^ AB (E Î AB) và MF ^ AC (F Î AC). Gọi I là trung điểm của AM.
	a) Chứng minh tứ giác DEIF là hình thoi.
	b) Chứng minh các đường thẳng MH, ID, EF đồng qui.
Bài 7. Cho hình bình hành ABCD, hai đường chéo cắt nhau ở O. Hai đường thẳng d1 và d2 cùng đi qua O và vuông góc với nhau. Đường thẳng d1 cắt các cạnh AB và CD ở M và P. Đường thẳng d2 cắt các cạnh BC và AD ở N và Q. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi.
DIỆN TÍCH TAM GIÁC
 Cho tam giác ABC. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BA, BC. Lấy điểm M trên đoạn thẳng EF (M ¹ E, M ¹ F). Chứng minh .
 Cho tam giác ABC cân tại A, điểm M thuộc đáy BC. Gọi BD là đường cao của tam giác ABC; H và K chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB và AC. Chứng minh: . 
 Cho hình bình hành ABCD. Gọi K và L là hai điểm thuộc cạnh BC sao cho BK = KL = LC. Tính tỉ số diện tích của: 
	a) Các tam giác DAC và DCK.
	b) Tam giác DAC và tứ giác ADLB.
	c) Các tứ giác ABKD và ABLD.
	ĐS: a) 	b) 	c) .
 Cho tam giác ABC, hai đường trung tuyến AM, BN cắt nhau tại G. Diện tích tam giác AGB bằng . Tính diện tích tam giác ABC.
ĐS: . 
 Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho BD = 3DA, trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = 4EC. Gọi F là giao điểm của AE và CD.
	a) Chứng minh: FD = FC.
	b) Chứng minh: .
 Cho tam giác đều ABC, đường cao AH và điểm M thuộc miền trong của tam giác. Gọi P, Q, R lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M đến BC, AC, AB. 
	 Chứng minh: MP + MQ + MR = AH.
1. Tỉ số của hai đoạn thẳng
	· Tỉ số của hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vị đo.
	· Tỉ số của hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào cách chọn đơn vị đo.
2. Đoạn thẳng tỉ lệ
	Hai đoạn thẳng AB và CD đgl tỉ lệ với hai đoạn thẳng A¢B¢ và C¢D¢ nếu có tỉ lệ thức:
	hay 	
3. Định lí Ta-lét trong tam giác
	Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
4. Định lí Ta-lét đảo
	Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.
5. Hệ quả
	Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.
	Chú ý: Hệ quả trên vẫn đúng cho trường hợp đường thẳng song song với một cạnh và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại.
6. Tính chất đường phân giác trong tam giác
	Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.
	AD, AE là các phân giác trong và ngoài của góc Þ 
7. Nhắc lại một số tính chất của tỉ lệ thức
Cho tam giác ABC, G là trọng tâm. Qua G vẽ đường thẳng song song với cạnh AC, cắt các cạnh AB, BC lần lượt ở D và E. Tính độ dài đoạn thẳng DE, biết và chu vi tam giác ABC bằng 75cm.
HD: Vẽ DN // BC Þ DNCE là hbh Þ DE = NC. DE = 18 cm.
Cho hình thang ABCD (AB // CD). Đường thẳng song song hai đáy cắt cạnh AD tại M, cắt cạnh BC tại N sao cho MD = 3MA.
	a) Tính tỉ số .	b) Cho AB = 8cm, CD = 20cm. Tính MN.
	HD: a) Vẽ AQ // BC, cắt MN tại P Þ ABNP, PNCQ là các hbh Þ .	
	b) Vẽ PE // AD Þ MPED là hbh Þ MN = 11 cm.
Cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm B¢, C¢ sao cho . Qua B¢ vẽ đường thẳng a song song với BC, cắt cạnh AC tại C¢¢.
	a) So sánh độ dài các đoạn thẳng AC¢ và AC¢¢.	b) Chứng minh B¢C¢ // BC.
	HD: a) AC¢ = AC¢¢	b) C¢ trùng với C¢¢ Þ B¢C¢ // BC.
Cho tam giác ABC, đường cao AH. Đường thẳng a song song với BC cắt các cạnh AB, AC và đường cao AH lần lượt tại B¢, C¢, H¢.
	a) Chứng minh .
	b) Cho và diện tích tam giác ABC là . Tính diện tích tam giác AB¢C¢.
	HD: b) .
Cho tam giác ABC. Gọi D là điểm chia cạnh AB thành hai đoạn thẳng có độ dài AD = 13,5cm, DB = 4,5cm. Tính tỉ số các khoảng cách từ các điểm D và B đến cạnh AC.
HD: Vẽ BM ^ AC, DN ^ AC Þ .
Cho tam giác ABC có BC = 15cm. Trên đường cao AH lấy các điểm I, K sao cho AK = KI = IH. Qua I và K vẽ các đường thẳng EF // BC, MN // BC (E, M Î AB; F, N Î AC).
	a) Tính độ dài các đoạn thẳng MN và EF.
	b) Tính diện tích tứ giác MNFE, biết rằng diện tích của tam giác ABC là .
	HD: a) EF = 10 cm, MN = 5cm	b) .
Cho tứ giác ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Qua điểm I thuộc đoạn OB, vẽ đường thẳng song song với đường chéo AC, cắt các cạnh AB, BC và các tia DA, DC theo thứ tự tại các điểm M, N, P, Q.
	a) Chứng minh: và .	b) Chứng minh: .
	HD: Sử dụng định lí Ta-lét.
Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm của cạnh AB, F là trung điểm của cạnh CD. Chứng minh rằng hai đoạn thẳng DE và BF chia đường chéo AC thành ba đoạn bằng nhau.
	HD: Gọi M, N lần lượt là giao điểm của DE và BF với AC. Chứng minh: AM = MN = NC. 
TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC
Cho tam giác ABC cân ở A, BC = 8cm, phân giác của góc B cắt đường cao AH ở K, .
	a) Tính độ dài AB.	b) Đường thẳng vuông góc với BK cắt AH ở E. Tính EH.
	HD: a) AB = 6cm	b) EH = 8,94 cm.
Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh AB = m, AC = n; AD là đường phân giác trong của góc A. Tính tỉ số diện tích của tam giác ABD và tam giác ACD. 	HD: .
Cho tam giác ABC cân ở A, phân giác trong BD, BC = 10cm, AB = 15cm.
	a) Tính AD, DC.
	b) Đường phân giác ngoài của góc B của tam giác ABC cắt đường thẳng AC tại D¢. Tính D¢C.
	HD: a) DA = 9cm, DC = 6cm	b) D¢C = 10cm.
Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 6cm, BC = 7cm. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, O là giao điểm của hai đường phân giác BD, AE.
	a) Tính độ dài đoạn thẳng AD.	b) Chứng minh OG // AC.
	HD: a) 	b) OG // DM Þ OG // AC.
Cho tam giác ABC, trung tuyến AM, đường phân giác của góc cắt AB ở D, đường phân giác của góc cắt cạnh AC ở E. Chứng minh DE // BC.
	HD: .
SỬ DỤNG TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG ĐỂ TÍNH TOÁN
Cho tam giác A¢B¢C¢ đòng dạng với tam giác ABC theo tỉ số k.
	a) Tính tỉ số chu vi của hai tam giác.
	b) Cho và hiệu chu vi của hai tam giác là 40dm. Tính chu vi của mỗi tam giác.
	HD: a) 	b) .
Cho tam giác A¢B¢C¢ đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số . Tính chu vi của tam giác ABC, biết chu vi của tam giác A¢B¢C¢ bằng 27cm.
	HD: .
Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là AB = 3cm, AC = 5cm, BC = 7cm. Tam giác A¢B¢C¢ đồng dạng với tam giác ABC và có chu vi bằng 75cm. Tính độ dài các cạnh của DA¢B¢C¢.
	HD: .
Cho tam giác ABC và các đường cao BH, CK.
	a) Chứng minh DABH đồng dạng DACK.	b) Cho . Tính .
	HD: b) .
Cho hình vuông ABCD. Trên hai cạnh AB, BC lấy hai điểm P và Q sao cho BP = BQ. Gọi H là hình chiếu của B trên đường thẳng CP.
	a) Chứng minh DBHP đồng dạng DCHB.	b) Chứng minh: .
	c) Chứng minh DCHD đồng dạng DBHQ. Từ đó suy ra .
	HD: c) Chứng minh .
Hai tam giác ABC và DEF có , , AB = 8cm, BC = 10cm, DE = 6cm.
	a) Tính độ dài các cạnh AC, DF, EF, biết rằng cạnh AC dài hơn cạnh DF là 3cm.
	b) Cho diện tích tam giác ABC bằng . Tính diện tích tam giác DEF.
	HD: a) DABC đồng dạng DDEF Þ EF = 7,5cm, DF = 9cm, AC = 12cm	b) .
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, BH = 4cm, CH = 9cm. Gọi I, K lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC.
	a) Chứng minh DAKI đồng dạng DABC.	b) Tính diện tích tam giác ABC.
	c) Tính diện tích của tứ giác AKHI.
	HD: b) 	c) .
Cho tam giác ABC, có , đường cao CH. Chứng minh:
	a) 	b) 
Cho tam giác ABC, hai trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Tính diệnt ích tam giác GMN, biết diện tích tam giác ABC bằng .
	HD: .
 Cho hình vuông ABCD, cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng với C qua D, EB cắt AD tại I. Trên EB lấy điểm M sao cho DM = DA.
	a) Chứng minh DEMC đồng dạng DECB.	b) Chứng minh EB.MC = .
	c) Tính diện tích tam giác EMC theo a. 	HD: c) .
 Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AB, lấy điểm M sao cho . Một đường thẳng qua M, song song với BC, cắt AC tại N. Một đường thẳng qua N, song song với AB, cắt BC tại D.
	a) Chứng minh DAMN đồng dạng D NDC.
	b) Cho AN = 8cm, BM = 4cm. Tính diện tích các tam giác AMN, ABC và NDC.
	HD: b) , , .
CHỨNG MINH TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
Cho tam giác ABC. Gọi A¢, B¢, C¢ lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA.
	a) Chứng minh DA¢B¢C¢ đồng dạng DCAB.
	b) Tính chu vi của DA¢B¢C¢, biết chu vi của DABC bằng 54cm.
	HD: b) .
Cho tam giác ABC, G là trọng tâm của tam giác. Gọi E, F, H lần lượt là trung điểm của AG, BG, CG. Chứng minh các tam giác EFH và ABC đồng dạng với nhau và G là trọng tâm của tam giác EFH.
	HD: Sử dụng tính chất đường trung bình và trọng tâm tam giác.
Cho tam giác ABC. Trên các cạnh BC, CA, AB lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho AM, BN, CP đồng qui tại O. Qua A và C vẽ các đường thẳng song song với BO cắt CO, OA lần lượt ở E và F.
	a) Chứng minh: DFCM đồng dạng DOMB và DPAE đồng dạng DPBO.
	b) Chứng minh: .
	HD: b) Sử dụng định lí Ta-lét và tam giác đồng dạng.
Cho tam giác ABC có AB = 15cm, AC = 20cm. Trên hai cạnh AB, AC lần lượt lấy 2 điểm D, E sao cho AD = 8cm, AE = 6cm.
	a) Chứng minh DAED đồng dạng DABC.
	b) Tính chu vi của tam giác ADE, khi biết BC = 25cm.
	c) Tính góc ADE, biết .
	HD: b) 	c) .
Cho góc . Trên cạnh Ox, lấy 2 điểm A, B sao cho OA = 5cm, OB = 16cm. Trên cạnh Oy, lấy 2 điểm C, D sao cho OC = 8cm, OD = 10cm.
	a) Chứng minh: DOCB đồng dạng DOAD.
	b) Gọi I là giao điểm của AD và BC. Chứng minh .
	HD: 
Cho tam giác ABC có các cạnh AB = 24cm, AC = 28cm. Đường phân giác góc A cắt cạnh BC tại D. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của các điểm B, C trên đường thẳng AD.
	a) Tính tỉ số 	b) Chứng minh .
	HD: a) CMR: DBDM đồng dạng DCDN Þ 	b) Chứng minh DABM đồng dạng DCAN.
Cho hình bình hành ABCD. Vẽ CE ^ AB và CF ^ AD, BH ^ AC.
	a) Chứng minh DABH đồng dạng DACE.	b) Chứng minh: .
	HD: b) Chứng minh: AB.AE = AC.AH, AD.AF = AC.CH Þ đpcm.
Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
	a) Chứng minh OA.OD = OB.OC.
	b) Đường thẳng qua O, vuông góc với AB, CD theo thứ tự tại H, K. Chứng minh .
	HD: a) Chứng minh DOAB đồng dạng DOCD.
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Gọi O là giao điểm của ba đường cao AH, BK, CI.
	a) Chứng minh OK.OB = OI.OC	b) Chứng minh DOKI đồng dạng DOCB
	c) Chứng minh DBOH đồng dạng DBCK	d) Chứng minh .
	HD: 
 Cho tam giác ABC vuông ở A, AB = 5,4cm, AC = 7,2cm.
	a) Tính BC.
	b) Từ trung điểm M của BC, vẽ đường thẳng vuông góc với BC, cắt đường thẳng AC tại H và cắt đường thẳng AB tại E. Chứng minh DEMB đồng dạng DCAB.
	c) Tính EB và EM.
	d) Chứng minh BH vuông góc với EC.
	e) Chứng