Bài tập Hình học 10 - Chương II: Tích vô hướng của Hai vectơ và ứng dụng

Chöông II: TÍCH VOÂ HÖÔÙNG CUÛAHAI VECTÔ 
VAØ ÖÙNG DUÏNG 
§1: GIAÙ TRÒ LÖÔÏNG GIAÙC CUÛA MOÄT GOÙC BAÁT KYØ ( TÖØ 00 ñeán 1800)
A.TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT
 · Ñònh nghóa : Treân nöûa döôøng troøn ñôn vò laáy ñieåm M thoûa goùc xOM = a vaø M( x ; y)
 *. sin goùc a laø y; kyù hieäu sin a = y 	
*. cos goùc a laø x0; kyù hieäu cos a = y0 
 *. tang goùc a laø( x ¹ 0); kyù hieäu tan a = 
 *. cotang goùc a laø( y ¹ 0); kyù hieäu cot a = 
 · Baûng giaù trò löôïng giaùc cuûa caùc goùc ñaëc bieät 
 a
00
300
450
600
900
Sin a
0
1
Cos a
1
0
tan a
0
1
êê
Cot a
êê
1
0
 · Hai goùc buø nhau: 
Sin( 1800- µ) = sin µ	
Cos ( 1800-µ) = - cos µ 
Tan (1800-µ) = - Tan µ (µ ¹ 900)
Cot ( 1800-µ) = - Cot µ ( 0 <µ< 1800)
 B.VÍ DUÏ 
Ví duï 1: Tính giaù trò löôïng giaùc cuûa goùc 
a.	45 0
b.	1200
Giaûi:
a. Sin 450 = , cos 450 = , tan 450=1, cot 450 = 1
b. Sin 1200 =, cos 1200 = -, tan1200 = -, cot1200= - 
Ví duï 2: Tính giaù trò bieåu thöùc
	A = Cos 200 + cos 800+ cos 1000+ cos1600
Giaûi:
A = Cos 200+ cos 800 + (-cos 800) + ( - cos 200)	 = 0
 C : BAØI TAÄP
Baøi 1: Tính giaù trò bieåu thöùc: 
A=( 2sin 300 + cos 135 0 – 3 tan 1500)( cos 1800 -cot 600)
B= sin2900 + cos 21200- cos200- tan2600+ cot21350
Baøi 2: Ñôn gianû caùc bieåu thöùc:
a) A= Sin 1000 + sin 800+ cos 160 + cos 1640
 b) B= 2 Sin (1800- µ) cotµ - cos(1800- µ) tan µ cot(1800- µ) . (Vôùi 00< µ<900)
Baøi 3 : a) Chöùng minh raèng sin2x +cos2x = 1 ( 00 £ x £ 1800)
b)Tính sinx khi cosx = 
c) Tính sinx.cosx neáu sinx – cosx = 
d) Chöùng minh raèng 1 + tan2 x = ( Vôùi x ¹ 900 )
	e) Chöùng minh raèng 1 + cot2 x = ( Vôùi 00 < x < 18000 )
Baøi 4 : Tính giaù trò bieåu thöùc:
	A = cos 00 + cos100 + cos200 + . . . . . . + cos 1700
	B= cos21200 - sin21500 +2 tan1350 
Baøi 5: Cho tam giaùc ABC , Chöùng minh raèng
sin(A + B)sin(B + C)sin(C + A) = sinAsinBsinC
cos(A + C) + cos B = 0
tan( A – C) + tan( B + 2C) = 0
Baøi 6: Cho tam giaùc ñeàu ABC coù troïng taâm G . Tính goùc giöõa
	a) vaø 	b) vaø 	c) vaø 
	d) vaø 	c) vaø 	
§2: TÍCH VOÂ HÖÔÙNG 2 VEÙCTÔ 
A. TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT:
 · Cho = vaø =	. Khi ñoù goùc AOB laø goùc giuõa 2 vectô vaø Kyù hieäu ( ;)
 Neáu =hoaëc = thì goùc ( ;) tuøy yù 
 Neáu ( ;) = 900 ta kyù hieäu ^	
 · 
 Bình phöông voâ höôùng 2 = êê2 .
 · Caùc quy taéc: Cho " ; " k ÎR
. = .	( Tính giao hoaùn)
. = 0 ^ 
 (k, = k ()
 (±) = ± (Tính chaát phaân phoái ñoái vôùi pheùp coäng vaø tröø ) 
· Phöông tích cuûa moät ñieåm ñoái vôùi moät ñöôøng troøn
Cho ñöôøng troøn (O,R) vaø moät ñieåm M coá ñònh, Moät ñöôøng thaúng r thay ñoåi, 
luoân ñi qua ñieåm M caét ñöôøng troøn (O,R) taïi A, B
 Phöông tích cuûa ñieåm M, ñoái vôùi ñöôøng troøn (O,R): kí hieäu: P M/(O)
	P M/(O) = MO2 – R2 =
 	Neáu M ôû ngoaøi ñöôøng troøn (O,R), MT laø tieáp tuyeán thì P M/(O) = MT2 
· Bieåu thöùc toaï ñoä cuûa tích voâ höôùng 
Cho = (x, y) , = (x', y') ; M(xM, yM), N(xN, yN); ta coù 
 	.= x.x' + y.y'
|| = 
Cos (,) = 
^	Û xx' + yy' = 0
 MN = || = 
B : CAÙC VÍ DUÏ : 
Ví duï 1: Cho = (1, 2), = (-1, m)
a) Tìm m ñeå , vuoâng goùc 
b) Tính ñoä daøi , ; tìm m ñeå || = ||
Giaûi
a) ^ Û -1 + 2m = 0Û m = 
b) ||	= 
 ||	= 
 || = || 	Û Û m = 
Ví duï2: cho r ñeàu ABC caïnh a vaø troïng taâm G; tính 
.;.;.;.;.;.
Giaûi
. = a.a cos 600 = a2
. = a.a cos 1200 = - a2
. = 
=
=
=0 vì ^
Ví duï 3: Trong Mp oxy cho 2 ñieåm M(-2;2),N(4,1)
a)Tìm treân truïc ox ñieåm P caùch ñeàu 2 ñieåm M,N
b)Tính cos cuûa goùc MON
Giaûi
a) p Î ox => P( xp,0)
 MP = NP MP2 = NP2
	 (xp +2)2 + 22 = ( xp -2)2 + 12
	Vaäy P (,0)
	b) 
Cos MON = cos(,)==
C. BAØI TAÄP:
A. Traéc nghieäm : 
Caâu 1: Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, AB = a ; BC = 2a
* Tính tích voâ höôùng .
a) a2 	b) 3a2	c) a2	d) a2
* Tính tích voâ höôùng .
a) a2 	b) a2	c) - a2	d) a2
Caâu 2: Cho =(3; -1) vaø =(-1; 2). Khi ñoù goùc giöõa vaø laø
	a) 300	b) 450	c) 1350	d) 900
Caâu 3:Cho =( 2 ; 5) vaø = (3 ; -7). Khi ñoù goùc giöõa vaø laø 
	a) 450	b) 300	c) 1350	d) 1200
Caâu 4: Cho A(m - 1; 2) , B(2;5-2m) C(m-3;4). Tìm giaù trò cuûa m ñeå A ; B ; C thaúng haøng
	a) m = 2	b) m = 3	c) m = -2	d) m = 1
Caâu 5: Cho tam giaùc ABC vôùi A ( 3; -1) ; B(-4;2) ; C(4; 3). Tìm D ñeå ABDC laø hbh
	a) D( 3;6)	b) D(-3;6)	c) D( 3;-6)	d) D(-3;-6)
Caâu 6: Cho tam giaùc ABC vôùi A ( -2; 8) ; B(-6;1) ; C(0; 4). Tam giaùc ABC laø tam giaùc gì 
	a) Caân 	b)Vuoâng caân	c) Vuoâng	d)Ñeàu
Caâu 7: Cho =(2x - 5 ; 2) ; =(3 – x; -2). Ñònh x ñeå A , B , C thaúng haøng
	a) x = 2	b) x = -2	c) x = 1	d) x = -1
Caâu 8: Cho tam giaùc ñeàu ABC coù troïng taâm G. Phaùt bieåu naøo ñuùng
 a) = 	b) = 	c) .=	 d) 2 +2 + 2 = 2
Caâu 9:Cho (O,5), ñieåm I ôû ngoaøi (O), veõ caùt tuyeán IAB vôùi IA = 9, IB = 16 
a) IO= 13	b) IO= 12	c) IO= 10	d) IO= 15 
C aâu 10: Cho A( 1;4) ;B(3 ; -6) ; C(5;4). Tìm tọa độ tâm I đường tròn ngoại tiếp ABC:
	a) I(2;5)	b) I(; 2)	c)I(9; 10)	d)I(3;4)
Caâu 11:Ñöôøng troøn qua 3 ñieåm A(1;2) ; B(5;2) C(1 ; -3) coù taâm I laø :
	a) I( 2; 1)	b) I( -2; 1)	c) I( 3; -0.5)	d) I( 2; -0.5)
Caâu 12: Phaùt bieåu naøo laø sai
 a) Neáu = thì || =||	b) Neáu =. thì =
 c) . = .	d) - = -
Caâu 13: Cho tam giaùc ñeàu ABC caïnh a, troïng taâm laø G. Phaùt bieåu naøo laø ñuùng
 a) = 	b) |+| = 2a c) . = a2	d) .= 0	
 Caâu 14: Cho hình vuoâng ABCD caïnh a .Keát quaû naøo ñuùng
 	a) . = a2	 b) . = a2	 c) . = 2a2	d) . = 0
Caâu 15:Cho (O,30), ñieåm I ôû ngoaøi (O), veõ caùt tuyeán IAB vôùi IA = 54, IB = 96 
a) IO= 69	b) IO= 78	c) IO=84	d) IO=81 
Caâu 16:Chæ ra coâng thöùc ñuùng
 a) = 	b) = ± || c) = ± 	d ) = ||
Caâu 17 : Cho tam giaùc ñeàu ABC caïnh a.Tích voâ höôùng . nhaän keát quaû naøo 
 a) a2 	b) - 	 c) 	d) a2	
Caâu 18:Cho . = AB. CD thì phaùt bieåu naøo sau ñaây laø ñuùng:
 a) ngöôïc höôùng 	 b) A, B, C, D thaèng haøng
 c) cuøng höôùng 	 d) = 
Câu19: Cho A(2;3) ; B(9;4) ; C(5;m) Tam giác ABC vuông tại C thì giá trị của m là :
	a) m = 1 hay m = 6	b) m = 0 hay m = 7	 c) m = 0 hay m = -7	d) m = 1 hay m = 7 
Caâu 20: Cho =(m2 -2m+2 ; 3m-5), =(2;1) . Tìm giaù trò cuûa m ñeå ^ 
	a) m = 1	b)m = -	c)m = 1 hoaëc m = -	d) Caû a ; b ; c ñeàu ñuùng
Caâu 21: Cho =(4;3) vaø =(1;7). Khi ñoù goùc giöõa 2 vec tô (,) laø :	 
	a) 300	b) 450	 	c) 600	d) Keát quaû khaùc
Caâu 22: Cho tam giaùc ñeàu ABC caïnh a coù G laø troïng taâm:
	*. Phöông tích cuûa G vôùi ñöôøng troøn ñöôøng kính BC
	a) - 	b) 	c) - 	d) -
	*. Phöông tích cuûa A vôùi ñöôøng troøn ñöôøng kính BC
	a) 	b) 	c) a2	d) 
Caâu 23: Cho hình vuoâng ABCD taâm O caïnh a:
	*. Phöông tích cuûa A vôùi ñöôøng troøn ñöôøng kính CD
	a) a	b)a2	c)2a2	d) 
	*. Phöông tích cuûa A vôùi ñöôøng troøn taâm C coù baùn kính = a
	a) 	b) 	c) a2	d) 2a2
B.Tö luaän
Baøi 1: Cho tam giaùc ABC vôùi A ( 1; 1) ; B(2;3) ; C(5; -1).	 	
Chöùng minh raèng tam giaùc vuoâng
Xaùc ñònh taâm ñöông troøn ngoaïi tieáp
Tính dieän tích tam giaùc vaø dieän tích ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc
Baøi 2: Cho A (-1 ; -1) vaø B (5; 6)
Tìm M Î x’Ox ñeå tam giaùc ABM caân taïi M
Tìm N Î y’Oy ñeå tam giaùc ABN vuoâng taïi N
Xaùc ñònh H,K ñeå ABHK laø hình bình haønh nhaän J(1;4) laøm taâm
Xaùc ñònh C thoûa 3 - 4= 2
Tìm G sao cho O laø troïng taâm tam giaùc ABG
Xaùc ñònh I Î x’Ox ñeå | ++| ñaït giaù trò nhoû nhaát 
Baøi 3: Cho A(-2;1) vaø B(4;5) 
	a) Tìm M Î x’Ox ñeå tam giaùc ABM vuoâng taïi M
	b) Tìm C ñeå OACB laø hình bình haønh
Baøi 4: Cho =(; -5) vaø =( k ; -4). Tìm k ñeå:
	a) cuøng phöông 
	b) vuoâng goùc 
	c) || = ||
Baøi 5: Cho =(-2; 3) ;=( 4 ; 1)
Tính cosin goùc hôïp bôûi vaø ; vaø ; vaø ; + vaø - 
Tìm soá m vaø n sao cho m+n vuoâng goùc +
Tìm bieát .= 4 vaø .= -2
Baøi 6: Cho tam giaùc ABC vôùi A ( -4; 1) ; B(2;4) ; C(2; -2).	 	
Tam giaùc ABC laø tam giaùc gì . Tính dieän tích tam giaùc
Goïi G , H , I laø troïng taâm , tröïc taâm vaø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp cuûa tam giaùc.
Tính G, H , I vaø CMR +2 = 
Baøi 7: Cho tam giaùc ABC coù A (-2 ; 2) , B(6 ; 6) , C(2 ; -2)
Chöùng minh raèng A ; B ; C khoâng thaúng haøng	
Tìm toïa ñoä ñieåm D ñeå ABCD laø hình bình haønh	
Tìm ñieåm M Î truïc x’Ox ñeå tam giaùc ABM vuoâng taïi B	
Tam giaùc ABC laø tam giaùc gì ?	
 	 e)Tìm toïa ñoä tröïc taâm H cuûa tam giaùc ABC 	
Baøi 8: Cho D ABC coù AB=7, AC=5, AÂ = 1200
a) Tính .,.
b) Tính ñoä daøi trung tuyeán AM (M laø trung ñieåm BC)
Baøi 9: Cho 4 ñieåm baát kyø A,B,C.D: chöùng minh raèng:
 ++=0
Töø ñoù suy ra moät caùch chöùng minh ñònh lyù “3 ñöôøng cao cuûa moät tam giaùc ñoàng quy”
Baøi 10: Cho r ABC coù 3 trung tuyeán AD, BE,CF; CMR:
++=0
Baøi 11 : Cho r ABC coù AC= b, AB= c, goùc BAC = µ vaø AD laø phaân giaùc 
cuûa goùc BAC ( D thuoäc caïnh BC) 
a) Haõy bieåu thò qua ,
b) Tính ñoä daøi ñoaïn AD
5) Cho 2 ñieåm M,N naèm treân ñöôøng troøn ñöôøng kính AB= 2 R, AMBN =I
a) Chöùng minh: =
	=
b) Tính + theo R
Baøi 11: Cho ñoaïn AB coá ñònh, AB= 2a, k Î IR, Tìm taäp hôïp ñieåm M sao cho: 
a) = k
	 b) MA2 - MB2 = k2 
Baøi 12: Töø ñieån M ôû ngoaøi ñt (0) veõ caùc tuyeán MAB vôùi ñt (0) (A,B Î (0) ; 2 tieáp tuyeán taïi A,B cuûa ñöôøng troøn (0) caét nhau taïi I, IO Ç AB taïi D; ñöôøng thaúng qua I vaø vuoâng goùc vôùi MO taïi H vaø laàn löôït caét AB taïi C; caét ñöôøng troøn (0) taïi E, F 
Chöùng minh :
a. 
b. OF2 = 
c. 
d. PM/(ICD) + PI/(MCH) 	= IM2
( (ICD), (MCH) : ñöôøng troøn ngoaïi tieáp: D : ICD, MCH) 
Baøi 13:. Cho hai ñöôøng thaúng AB vaø CD caét nhau taïi M chöùng minh raèng 4 ñieåm A,B,C,D cuøng thuoäc moät ñöôøng troøn khi vaø chæ khi 
Baøi 14:. Trong maët phaúng toaï ñoä cho 
	vaø 
Tìm caùc giaù trò cuûa k ñeå : 
a. 	b. 
Baøi 15:. Cho = (-2, 3), = (4,1)
a. Tim coâsin cuûa goùc giöõa moãi caëp vectô sau : 
 * vaø , vaø , + vaø - 
b. Tìm caùc soá k vaø l sao cho = k + l	Vuoâng goùc vôùi + 
c. Tìm vectô bieát 
Baøi 16:. Cho hai ñieåm A (-3,2) B(4,3) tìm toaï ñoä cuûa 
a. Ñieåm M Î ox sao cho D MAB vuoâng taïi M 
b. Ñieåm N Î oy sao cho NA = NB 
c. Ñieåm K Î oy sao cho3 ñieåm A,K,B thaúng haøng 
d. Ñieåm C sao cho D ABC vuoâng caân taïi C 
Baøi 17:. Cho 3 ñieåm A (-1,1) B(3,1), C(2,4) 
a. Tính chu vi vaø dieän tích D ABC
b. Goïi A’ laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa A treân BC; tìm toaï ñoä A’
c. Tìm toaï ñoä tröïc taâm H, troïng taâm G, vaø taâm I ñöôøng troøn ngoaïi tieáp D ABC; töø ñoù chöùng minh 3 ñieåm I,H,G thaúng haøng. 
Baøi 18:. Cho 4 ñieåm A (-8,0) B(0,4), C(2,0) D (-3,-5) chöùng minh 4 ñieåm A,B,C,D cuøng thuoäc moät ñöôøng troøn 
Baøi 19:. Bieát A(1,-1), B (3,0) laø hai ñænh cuûa hình vuoâng ABCD; tìm toaï ñoä caùc ñænh C vaø D.
Baøi 20: Cho M coá ñònh ngoaøi döôøng troøn (O,R) ,veõ caùt tuyeán MAB vaø 2 tieáp tuyeán CT vaø CT’. Goïi D laø giao ñieåm cuûa TT’ vaø AB. H vaø I laàn löôït laø trung ñieåm cuûa cuûa TT’ vaø AB
	a) CMR : .==
	b) Cho AB = 8 cm. Goïi (C1) laø ñöôøng troøn taâm A, baùn kính = 4 cm, (C2) laø ñöôøng troøn taâm B, baùn kính = 3cm. Tìm taäp hôïp N thoaû P N/(C1) + P N/(C2) = 15 
Baøi 21: Cho (O;7), ñieåm I thoûa OI =11. Qua I veõ 2 caùt tuyeán IAB vaø ICD
	Cho IA = 12, tính IB
	Cho CD = 1; tính IC ; ID
Baøi 22: Ñieåm I naèm trong (O;R), qua I veõ 2 daây AB vaø CD. Tính IC ; ID
IA = 12 ; IB = 16 ; CD = 32
IA =12 ; IB = 18 ; 
Baøi 23: Cho (O;20) OM = 30, veõ tieáp tuyeán MT vaø caùt tuyeán MAB . Cho AB = 5
Tính MT ; MA ; MB
Ñöôøng troøn ngoaïi tieáp DAOB caét MO taïi E. Tính OE
Baøi 24: Cho (O;30); I ôû ngoaøi ñöôøng troøn , veõ 2 caùt tuyeán IAB vaø ICD ; tieáp tuyeán IT. Ñöôøng thaúng IO caét ñöôøng troøn taïi E vaø F . Cho IA = 54 ; IB = 96; IC = 64. Tính ID ; IT ; IO ; IE ; IF
Baøi 25: Cho tam giaùc ABC coù 3 ñöôøng cao AA’ ; BB’ ; CC’ ñoàng quy taïi H
	CMR : == 
Baøi 26:Hai ñöôøng troøn (O) vaø (O’) caét nhau taïi A vaø B. M laø 1 ñieåm treân caïnh AB keùo daøi. Qua M laàn löôït veõ 2 tieáp tuyeán MT, MT’, 2 caùt tuyeán MCD, MC’D’ ñoái vôùi (O) vaø (O’)
	CMR MT = MT’ vaø CDD’C’ noäi tieáp
Baøi 27: Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A vaø ñöôøng cao AH. Treân ñöôøng troøn taâm C, baùn kính CA laáy ñieåm M ( khoâng ôû treân ñöôøng BC keùo daøi). CMR ñöôøng thaúng CM tieáp xuùc vôùi (BHM)
Baøi 28: tam giaùc ABC noäi tieáp trong (O), M laø trung ñieåm BC. Ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc AOM caét ñöôøng thaúng BC taïi 1 ñieåm thöù 2 laø E vaø caét (O) taïi D. AD caét BC taïi F.Chöùng minh raèng:
	a) =
	b) =
	c) EA tieáp xuùc vôùi (O) vaø ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc AMF
Baøi 29: Cho P naèm ngoaøi (O), veõ caùt tuyeán PAB löu ñoäng,tieáp tuyeán vôùi (O) veõ töø A vaø B caét nhau M. Veõ MH vuoâng goùc vôùi OP.
CMR : 5 ñieåm O , A , B, M , H ôû treân 1 ñöôøng troøn
Tìm taäp hôïp M khi PAB quay quanh P
c)Goïi I laø trung ñieåm AB, N laø giao ñieåm cuûa PAB vaø MH . CMR =
Baøi 30: Cho ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính AB=2R. Treân ñöôøng thaúng AB laáy 1 ñieåm M ôû ngoaøi (O) sao cho MA = . Töø M veõ tieáp tuyeán MT
Tính MT theo R
b) Goïi TH laø ñöôøng cao trong DTMO. Chöùng minh raèng : =
c) Tính ÃH/(O)
d)Veõ caùt tuyeán MCD, CMR töù giaùc CDOH noäi tieáp
e) AD vaø BC caét nhau taïi N. CMR : += 4R2 
Baøi 31: Treân ñoaïn AB = 8, veõ (A,4) vaø (B,3). Tìm taäp hôïp M thoûa ÃM/(A) +ÃM/(B) = 15
Cho nöûa ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính AB . M, N laø 2 ñieåm cuøng phía treân tieáp tuyeán keû töø B. AM vaø AN caét (O) taïi M1 vaø N1.
CMR töù giaùc MNN1M1 noäi tieáp
Giaû söû AB = BN = 10; BM = 5. Tính AM ; AM1 ; AN1 ; sin M1AN1, M1N1 
Baøi 32: M laø 1 dieåm treân nöûa ñöôøng troøn ñöôøng kính AB . H laø hình chieáu cuûa M xuoáng AB . Ñöôøng troøn ñöôøg kính MH caét MA ; MB taïi P,Q vaø caét nöûa ñöôøng troøn taïi E
CMR töù giaùc APQB noäi tieáp
CMR 3 ñöôøng AB ; PQ ; ME ñoàng quy
Baøi 33: Cho 3 ñieåm A ; B ; C thaúng haøng theo thöù töï. AB = 5 ; BC = 7. Ñöôøng troøn di ñoäng qua A , B coù taâm laø O. Veõ 2 tieáp tuyeán CT ; CT’. Goïi D laø giao ñieåm TT’ vôùi AB. Goïi H; I laàn löôït laø trung ñieåm cuûa ñoïan TT’, AB
Tìm taäp hôïp T; T’
CMR : ==
CMR : Ñieåm D coá ñònh. Suy ra taäp hôïp H
Baøi 34 : Cho ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính BC = 4; A ngoaøi (O), AB = 6 ; AC = 5. AC , AB caét (O) taïi D vaø E
Tính AO , AE , AD
Qua A veõ AH ^BC vaø caét (O) taïi F ; K. Laáy M Î (O). Goïi BMÇAH = I ; CMÇAH = J
 	Chöùng minh raèng =
Baøi 35: Cho 2 ñöôøng troøn (O;10) ; (O’;20) tieáp xuùc ngoaøi taïi A. Tieáp tuyeán chung BB’ caét OO’ taïi I vaø caét tieáp tuyeán chung qua A taïi M
Tính IO ; IO’ ; IB ; IB’
CMR: IA2 = IB.IB’. Suy ra OO’ tieáp xuùc ñöôøng troøn ñöôøng kính BB’
CMR : IM2 = IO.IO’. Suy ra BB’ tieáp xuùc ñöôøng troøn ñöôøng kính OO’
§3 :	HEÄ THÖÙC LÖÔÏNG TRONG TAM GIAÙC
A. TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT :
· Caùc kyù hieäu trong D ABC 
B
a
A
C
c
b
ha
ma
Ñoä daøi : BC = a, CA = b, AB = c
ma, mb, mc : ñoä daøi trung tuyeán öùng vôùi ñænh A,B,C 
ha, hb, hc : Ñoä daøi ñöôøng cao öùng vôùi ñænh A,B,C 
P = : nöõa chu vi D ABC 
S : dieän tích tam giaùc 
R,r : baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp, noäi tieáp D.
· Ñònh lyù Coâsin : a2 = b2 + c2 - 2bc cos A
· Ñònh lyù sin : 
· Coâng thöùc trung tuyeán :	
· Coâng thöùc tính dieän tích 
a. S = a.ha = b.hb = c.hc 
b. S = b.c. sinA = c.a. sinB = a.b. sinC 
c. S = 
d. S = p.r
e. S = 	( Coâng thöùc Heâ – roâng)
B . VÍ DUÏ :
Cho D ABC coù a = 7, b = 8, c = 5; tính : AÂ, S, ha, R, r, ma
Giaûi :
a2 = b2 + c2 - 2bc cosA Û 49 = 64 + 25 - 2.8.5 cos AÂ 
Û Cos A = ½ Þ AÂ = 600 
S = ½ b.c.sinA = ½ 8.5.
S = ½ a.ha Û ha = 
S = Û R = 
S = p.r Û r = 
= Þ ma = 
C: BAØI TAÄP 
C 1: TRAÉC NGHIEÄM
Caâu1 : Cho tam giaùc ABC coù a= cm ; b= 2cm ; c= ( + 1) cm ;
*. Khi ñoù soá ñoù goùc A laø
a) 600	b) 450	c) 1200	d) 300
*. Khi ñoù soá ñoù goùc B laø
a) 600	b) 450	c) 900	d) 300
	*. Baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp R laø :
	a) 2 cm	b) cm	c) cm	d) 3 cm
	*. Chieàu cao ha laø : 
	a) 	b)	c) 	d) 
Caâu2 : Cho tam giaùc ABC coù b= 4 ; c = 5 ; goùc A = 1200 thì dieän tích laø
	a) S = 10	b) S = 5	c) S =5	d)S = 20
Caâu3 : Cho tam giaùc ABC coù b= 2 ; c = 3 ; a = thì giaù trò goùc A laø :
	a) 450	b) 600	c) 900	d)1200
Caâu 4: Cho tam giaùc ABC coù a= 8 ; c= 3 ; goùc B = 600. Ñoä daøi caïnh b laø bao nhieâu 
	a) b = 49	b) b= 	c) b = 7	d)b= 
Caâu 5: Cho tam giaùc ABC coù a= 3 ; b= 7 ; c= 8 ; goùc B baèng bao nhieâu
	a) 600	b) 300	c) 450	d) 720	
Caâu 6: Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A coù a= 10 cm ; c= 6cm ; baùn kính ñöôøng troøn noäi tieáp r laø
	a) 2 cm	b) 1 cm	c) cm	d) 3 cm
Caâu 7: Cho tam giaùc ABC coù a= 10 cm ; b= 6cm ; c= 8 cm ; ñöôøng trung tuyeán AM coù ñoä daøi	a) 4 cm	b) 5 cm	c) 6cm	d) 7 cm
Caâu 8: Cho hình bình haønh ABCD coù AB = a ; BC = a vaø goùc BAC = 450 .
 Dieän tích hình bình haønh laø 
a) 2a2 	b) a2 	c) a2 	d) a2 
Caâu 9: Cho tam giaùc ABC coù b= 8 cm ; c= 5cm vaø goùc A = 600 .
*. Caïnh BC laø 
a) 14cm	b) 7cm	c) 12cm	d) 10cm
*. Dieän tích tam giaùc :
a) S = 10	b) S = 5	c) S = 10	d) S = 10
	*. Baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp R laø :
	a) R= 	b) R = 	c)R =	d) R = 7	
	*. Chieàu cao ha laø : 
a) ha= 	b) ha= 	c) ha = 	d) ha = 
C2 : TÖÏ LUAÄN
Baøi 1: Cho tam giaùc ABC
1) a=5 ; b = 6 ; c = 7. Tính S, ha, hb , hc . R, r
2) a= 2 ; b= 2; c= -. Tính 3 goùc
3) b=8; c=5; goùc A = 600. Tính S , R , r , ha , ma
4) a=21; b= 17;c =10.Tính S, R , r , ha , ma
A = 600; hc = ; R = 5 . tính a , b, c
A=1200;B =450 ;R =2. tính 3 caïnh
a = 4 , b = 3 , c = 2. Tính SABC, suy ra SAIC ( I trung ñieåm AB)
Cho goùc A nhoïn, b = 2m,c = m , S = m2. Tính a . la
C = 3 , b = 4 ; S = 3. Tính a
Neáu A = 900. CMR:
*. la = *.r = ) 	*. 
*. M ÎBC; goùc BAM = a. CMR: AM = 
 11) Cho A=1200. CMR : 
 12) CMR : *. cotA + cotB + cotC = 
	*. 	
 13) . Tam giaùc ABC laø tam giaùc gì
 14) S = p(p – c)	. Tam giaùc ABC laø tam giaùc gì
 15) S = (a + b – c)(a + c - b). Tam giaùc ABC laø tam giaùc gì
 16) acosB = bcosA. Tam giaùc ABC laø tam giaùc gì
 17) mb2 +mc2 = 5ma2 . Tam giaùc ABC laø tam giaùc gì
 18) . Tam giaùc ABC laø tam giaùc gì
 19) Cho AB = k . Tìm taäp hôïp M thoûa MA2 + MB2 = 
 20) Goïi G laø troïng taâm tam giaùc . Chöùng minh raèng
	*.GA2 + GB2 + GC2 = 1/3 (a2+ b2+ c2) 
*. ma2 +mb2 +mc2 = (a2 +b2 +c2)
	*. 4ma2= b2 + c2 + 2bc.cosA
 21) CMR 	S =2R2sinA.sinB.sinC
	S=Rr(sinA + sinB + sinC)
	a =b.cosC + c.cosB
	ha = 2RsinBsinC
	sinB.cosC +sinC.cosB = sinA
 22) Chöùng minh raèng . Neáu daáu “=” xaûy ra thì ABC laø tam giaùc gì ?
 23) Cho b + c = 2a . Chöùng minh raèng 
 24) Ñònh x ñeå x2+x+1 ; 2x+1 ;x2 -1 laø 3 caïnh tam giaùc. Khi ñoù CMR tam giaùc coù goùc = 1200
 25) Ñöôøng troøn noäi tieáp tieáp xuùc 3 caïnh tam gíac taïi A1;B1;C1. CMR : SA1B1C1 = 	
 26) 2 trung tuyeán BM = 6, CN = 9 vaø hôïp vôùi nhau 1 goùc 1200 tính caùc caïnh cuûa D ABC 
Baøi 2: Cho töù giaùc ABCD. Goïi a laø goùc hôïp bôûi 2 ñöôøng cheùo AC vaø BD. 
CMR SABCD = AC.BD.sina
Veõ hình bình haønh ABDC’. Chöùng minh raèng : SABCD = SACC’ 
Baøi 3: Cho töù giaùc ABCD coù I, J laàn löôït laø trung ñieåm cuûa 2 ñöôøng cheùo AC vaø BD.
Chöùng minh raèng : AB2 + BC2 +CD2 + DA2 = AC2 + BD2 + 4 IJ2